Tipichnost' fraktal'no-khaoticheskoy struktury integral'nykh voronok v gamil'tonovykh sistemakh s razryvnoy pravoy chast'yu


Cite item

Full Text

Abstract

В работе рассмотрена линейно-квадратичная задача оптимального управления, в которой управление принимает значения в некотором двумерном треугольнике. Фазовый портрет оптимального синтеза содержит особые экстремали второго порядка, а управление на любой оптимальной траектории имеет счетное число точек разрыва - так называемый чаттеринг-режим. Обнаружен абсолютно новый феномен, а именно, хаотическое поведение оптимальных траекторий на конечных промежутках времени. Оптимальная траектория при любых фиксированных начальных условиях, конечно же, фиксирована; тем не менее, картина оптимального синтеза в целом содержит хаотические структуры канторовского типа, наподобие подковы Смейла, генерируемые гомоклинической точкой. Динамика переключений управления описывается с помощью топологической цепи Маркова. Вычислены оценки размерности множества неблуждающих точек и энтропия. Во второй части работы доказано, что подобное поведение решений типично для кусочно гладких гамильтоновых систем в окрестности специальных особых точек на стыке трех гиперповерхностей разрыва правой части системы.

References

  1. Аграчев А. А., Гамкрелидзе Р. В. Принцип оптимальности второго порядка для задачи быстродействия// Мат. сб. - 1976. - 100 (142 ), № 4 (8). - С. 610-643.
  2. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. - М.: Едиториал УРСС, 1989.
  3. Дмитрук А. В. Квадратичные условия понтрягинского минимума в задаче оптимального управления, линейной по управлению. I. Теорема о расшифровке// Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1986. - 50, № 2. - С. 284-312.
  4. Дмитрук А. В. Квадратичные достаточные условия минимальности анормальных субримановых геодезических// Итоги науки и техн. Сер. Совр. мат. прилож. - 1999. - 4.- С. 5-89.
  5. Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. Т. 1. - М.: Изд-во иностр. лит., 1963.
  6. Зеликин М. И., Борисов В. Ф. Особые оптимальные режимы в задачах математической экономики// Итоги навки и техн. Сер. Совр. мат. и ее прилож. - 2003. - 11. - С. 3-161.
  7. Зеликин М. И., Киселев Д. Д., Локуциевский Л. В. Оптимальное управление и теория Галуа// Мат. сб. - 2013. - 204, № 11. - С. 83-98.
  8. Зеликин М. И., Локуциевский Л. В., Хильдебранд Р. Геометрия окрестностей особых экстремалей в задачах с многомерным управлением// Тр. МИАН. - 2012. - 277. - С. 74-90.
  9. Зеликин М. И., Локуциевский Л. В., Хильдебранд Р. Стохастическая динамика алгебр Ли скобок Пуассона в окрестности точки негладкости гамильтониана// Докл. РАН. - 2013. - 450, № 1. - С. 1- 6.
  10. Зеликин М. И., Мельников Н.Б., Хильдебранд Р. Топологическая структура фазового портрета типичного слоя оптимального синтеза для задач с накоплением переключений// Тр. МИАН. - 2001. - 233. - С. 125-152.
  11. Зеликина Л. Ф., Зеликин М. И., Хлюстов К. В. Особые стратифицированные многообразия для инволютивных управляемых систем// Дифф. уравн. - 2001. - 37, № 9. - C. 1161-1167.
  12. Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. - М.: Факториал, 1999.
  13. Локуциевский Л. В. Гамильтоновость потока особых траекторий// Мат. сб. - 2014. - 205, № 3. - С. 133-160.
  14. Локуциевский Л. В. Особые режимы в управляемых системах с многомерным управлением из многогранника// Изв. РАН. Сер. мат. - 2014. - 78, № 5. - С. 167-190.
  15. Милютин А. А., Илютович А. Е., Осмоловский Н. П., Чуканов С. В. Оптимальное управление в линейных системах. - М.: Наука, 1993.
  16. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем// Функц. анализ и его прилож. - 1978. - 12, № 2. - С. 46-56.
  17. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1969.
  18. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. - М.: Наука, 1985.
  19. Falconer K. Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications. - Chichester: Wiley, 2003.
  20. Fuller A. T. Dimensional properties of optimal and sub-optimal nonlinear control systems// J. Franklin Inst. - 1970. - 289. - С. 379-393.
  21. Hildebrand R., Lokutsievskiy L. V., Zelikin M. I. Generic fractal structure of nite parts of trajectories of piecewise smooth hamiltonian systems// Russ. J. Math. Phys. - 2013. - 20, № 1. - С. 25-32.
  22. Kelley H. J., Kopp R. E., Moyer H. G. Singular extremals// В сб.: «Topics in Optimization». - N.Y.: Academic Press, 1967. - С. 63-101.
  23. Krener A. J. The high order maximum principle and its application to singular extremals// SIAM J. Control Optim. - 1977. - 15, № 2. - С. 256-293.
  24. Kupka I. Fuller’s phenomena// В сб.: «Progr. Systems Control Theory». - Boston: Birkha¨user, 1990. - С. 129-142.
  25. Lewis R. M. Defenitions of order and junction condition in singular control problems// SIAM J. Control Optim. - 1980. - 18, № 1. - С. 21-32.
  26. Lokutsievskiy L. V. Generic structure of the lagrangian manifold in chattering problems// Sb. Math. - 2014. - 205, № 3. - С. 432-458.
  27. Lokutsievskii L. V., Zelikin M. I., Hildebrand R. Fractal structure of hyperbolic Lipschitzian dynamical systems// Russ. J. Math. Phys. - 2012. - 19, № 1. - С. 27-44.
  28. Marchal C. Chattering arcs and chattering controls// J. Optim. Theory Appl. - 1973. - 11, № 5. - С. 441- 468.
  29. McDannel J. P., Powers W. F. Necessary conditions for joining optimal singular and non-singular subarcs// SIAM J. Control Optim. - 1971. - 9. - С. 161-173.
  30. Zelikin M. I., Borisov V. F. Theory of chattering control with applications to astronautics, robotics, economics, and engineering. - Boston: Birkha¨user, 1994.

Copyright (c) 2022 Contemporary Mathematics. Fundamental Directions

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies