Traces of Generalized Solutions of Elliptic Di erential-Di erence Equations with Degeneration

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Интерес к эллиптическим уравнениям с вырождением возник после работы М. В. Келдыша [6]. Эта статья стала отправной точкой для исследований многих математиков и сыграла важную роль в развитии теории вырождающихся дифференциальных уравнений. В дальнейшем подобными задачами занимались многие математики: О. А. Олейник и Е. В. Радкевич [11], М. И. Вишик [2], Г. Фикера [19] и многие другие. В своей работе [6] М. В. Келдыш впервые показал, что при определенных условиях часть границы (многообразие вырождения) свободна от краевых условий. Подобное явление возникает и в случае эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением. Но стоит отметить, что в отличие от эллиптических уравнений с вырождением, причиной такого явления служит не вырождение коэффициентов дифференциального оператора на многообразии вырождения, а присутствие в дифференциально-разностном операторе разностного оператора с вырождением, которое носит нелокальный характер. Основы общей теории функционально-дифференциальных уравнений были построены в работах А. Л. Скубачевского и его учеников (см. [4, 10, 14, 15, 18] и имеющуюся там библиографию). Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ, задание 1.1974.2014/K «Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений с частными производными». Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 124 СЛЕДЫ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 125 Обзор последних результатов посвященных краевым задачам для эллиптических функциональнодифференциальных уравнений и их приложениям можно найти в работе [17]. Кроме того, в указанной работе приведен целый ряд нерешенных задач в данной области. В настоящей работе получены необходимые и достаточные условия корректного определения следов обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений с вырождением. При этом дифференциально-разностный оператор содержит несколько вырожденных разностных операторов, в отличие от работ А. Л. Скубачевского [16, 22], в которых дифференциально-разностный оператор порядка 2m представляется в виде композиции сильно эллиптического дифференциального оператора и вырожденного разностного оператора, т. е. в виде LRu = LRu, где L - сильно эллиптический дифференциальный оператор, а R - разностный оператор, эрмитова часть которого является неотрицательным вырожденным оператором. Интерес к таким операторам вызван появлением ряда принципиально новых свойств даже по сравнению с сильно эллиптическими дифференциально-разностными операторами (см. [21]), а также приложениями полученных результатов к некоторым нелокальным эллиптическим задачам, возникающим в теории плазмы (см. [1]). В частности, А. Л. Скубачевским было показано, что нелокальные эллиптические задачи, связывающие значения неизвестной функции на различных компактах, можно свести к эллиптическим дифференциально-разностным уравнениям с вырождением. В большинстве работ разностные операторы рассматриваются в пространстве сеточных функций, т. е. функций, определенных на конечном или счетном множестве точек. В настоящей работе мы будем опираться на теорию разностных операторов, действующих в пространстве L2(Q), которая построена в работах А. Л. Скубачевского. Мы будем рассматривать уравнение n - i,j=1 ∂2 ∂xi∂xj Riju = f (x) (x ∈ Q ⊂ Rn) , (1) где Q ⊂ Rn - ограниченная область с кусочно-гладкой границей ∂Q, Rij - разностные операторы, действующие в пространстве L2(Q) и определенные по формуле Riju(x) = aijhu(x + h), h∈M M - конечное множество векторов h ∈ Rn с целочисленными координатами, aijh ∈ C. Мы будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения (1). Так как сдвиг на вектор h может отобразить точки x ∈ Q в точки x ∈ Rn \\ Q, то мы должны задать значения искомой функции не только на границе ∂Q, но и всюду в Rn \\ Q. Таким образом, мы будем рассматривать однородное краевое условие u(x) = 0 (x ∈ Rn \\ Q) . (2) В работах А. Л. Скубачевского было показано, что свойства разностных операторов можно охарактеризовать с помощью свойств некоторых матриц, элементами которых являются коэффициенты разностных операторов и нули. Данный подход основан на разбиении области Q на подобласти, которое порождается сдвигами разностного оператора границы ∂Q внутрь области Q. Настоящая работа состоит из четырех разделов. В разделе 1 приведены необходимые результаты относительно геометрических построений и свойств разностных операторов, которые были получены в работах А. Л. Скубачевского [16, 22]. В разделе 2 рассмотрены априорные оценки и введено фридрихсово расширение рассматриваемого дифференциально-разностного оператора. Доказательство оценок и построение фридрихсова расширения, а также исследование его спектральных свойств можно найти в нашей работе [12]. В разделе 3 введено определение обобщенного решения рассматриваемой первой краевой задачи для эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением, а также даны теоремы о локальной гладкости и о гладкости в близи границы, которые были получены нами в работах [13, 20]. Основной результат работы содержится в разделе 4. Доказаны необходимые и достаточные условия существования следов обобщенных решений на частях границы области. 126 В. А. ПОПОВ 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ И РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В данном разделе приведем результаты, посвященные геометрическим построениям и свойствам разностных операторов, которые были получены А. Л. Скубачевским. Доказательства приведенных ниже утверждений можно найти в работах [16, 22]. 1. Определение разбиения области и подобластей. Мы будем рассматривать ограниченную область Q, которая удовлетворяет следующему условию. Условие 1.1. Пусть Q ⊂ Rn - ограниченная область с кусочно-гладкой границей ∂Q = J Xi i (i = 1,..., N1), где Xi - открытые связные в топологии ∂Q (n - 1)-мерные многообразия класса C∞, n ?; 2. Пусть, кроме того, в некоторой окрестности каждой точки x0 ∈ K = ∂Q \\ J Xi область Q i диффеоморфна n-мерному углу раствора меньше 2π и больше 0. В частности, Q ⊂ Rn может быть ограниченной областью с границей ∂Q ∈ C∞, а также цилиндром (0, d) × G или прямоугольником, где G ⊂ Rn-1 - ограниченная область (с границей ∂G ∈ C∞, если n ?; 3). Пусть M ⊂ Rn - множество, состоящее из конечного числа векторов h c целочисленными координатами. Обозначим через M аддитивную абелеву группу, порожденную множеством M, а через Qr - открытые связные компоненты множества Q \\ 1 (∂Q + h). h∈M Определение 1.1. Множества Qr мы будем называть подобластями, а совокупность R всевозможных подобластей Qr (r = 1, 2,.. .) назовем разбиением области Q. Легко убедиться, что множество R не более чем счетно. Лемма 1.1. J ∂Qr = r f J h∈M (∂Q + h) \\ n Q. Лемма 1.2. 1. J Qr = Q. r n 2. Для любых Qr1 и h ∈ M либо найдется такое Qr2 , что Qr2 = Qr1 +h, либо Qr1 +h ⊂ R Следуя теории А. Л. Скубачевского, введем понятие классов подобластей. \\Q. Определение 1.2. Мы будем считать, что подобласти Qr1 , Qr2 ∈ R принадлежат одному и тому же классу, если существует вектор h ∈ M, для которого Qr2 = Qr1 + h. Будем обозначать подобласти Qr через Qsl, где s - номер класса (s = 1, 2,.. .), а l - порядковый номер данной подобласти в s-м классе. Очевидно, каждый класс состоит из конечного числа N = N (s) подобластей Qsl и N (s) ([diamQ]+ 1)n. Пример 1.1. Пусть Q = (0, 2) × (0, 1) ⊂ R2, M = {(1, 0)}. Тогда разбиение R состоит из одного класса подобластей: Q11 = (0, 1) × (0, 1), Q12 = (1, 2) × (0, 1) (см. рис. 1). Пример 1.2. Пусть Q = (0, π) × (0, 1) ⊂ R2, M = {(1, 0)}. Тогда разбиение R состоит из двух классов: Q1,l = (π - 4+ l, l) (l = 1, 2, 3) и Q2l = (l - 1,π - 4+ l) × (0, 1) (l = 1, 2, 3, 4) (см. рис. 2). 1 Пример 1.3. Пусть Q ⊂ R2 ограниченная область с границей ∂Q ∈ C∞, которая в полосе {x : 0 < x2 < 2} состоит из двух линий fx : x1 = - 1 exp ( 3 1 \\ sin x2 x L и {x : x1 = 2} , а также 2 пусть M = {(0, 1)} . Тогда разбиение R состоит из счетного числа подобластей. СЛЕДЫ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 127 x2 Г41 Г42 Q11 Г11 =Г21 Q12 Г2 1 Г12 2 0 Г31 1 Г32 2 x1 РИС. 1. Один класс подобластей. x2 K 1 Q11 Q12 Q13 Q21 Q22 Q23 Q24 0 π-3 1 π-2 2 π-1 3 π x1 РИС. 2. Два класса подобластей. При изучении гладкости обобщенных решений важную роль играет множество точек сопряжения, или угловых точек. Будем обозначать его через K. Введем множество K следующим образом: K = 1 h1,h2∈M {Q ∩ (∂Q + h1) ∩ [(∂Q + h2) \\ (∂Q + h1)] . (1.1) Свойства множества K описывают следующие утверждения, которые следуют из определения множества K. Лемма 1.3. Пусть x0 ∈ ∂Qsl ∩ ∂Q, и существует последовательность точек xn → x0 при n → ∞ такая, что xn ∈ Qs nln , (sn, ln) ⊕= (s, l). Тогда x0 ∈ K. 1 1 Следствие 1.1. Пусть x0 ∈ ∂Q ∩ ∂Qs l 2 2 ∩ ∂Qs l , (s1, l1) ⊕= (s2, l2). Тогда x0 ∈ K. Лемма 1.4. Пусть x0 ∈ Q ∩ ∂Qpl ∩ ∂Qqk, (p, l) ⊕= (q, k), и существует последовательность точек xn → x0 при n → ∞ такая, что xn ∈ Qs nln , (sn, ln) ⊕= (p, l), (q, k). Тогда x0 ∈ K. i i Следствие 1.2. Пусть x0 ∈ n ∂Qs l и (si, li) ⊕= (sj, lj ) при i ⊕= j (i, j = 1, 2, 3). Тогда x0 ∈ K. i Напомним определение множества K = ∂Q \\ J Xi, где Xi - открытые связные в топологии ∂Q i (n - 1)-мерные многообразия класса C∞, n ?; 2. Если ∂Q ∈ C∞, то K = ∅. Будем считать, что выполнено следующее условие: Условие 1.2. μn-1(K ∩ ∂Q) = 0, K ⊂ K. Пример 1.4. Пусть Q = (0, 2) × (0, 1) ⊂ R2, M = {(1, 0)}. Тогда множество K состоит из шести точек (i, j), где i = 0, 1, 2, j = 0, 1 (см. рис. 1). Пример 1.5. Пусть Q = (0, 2) × (0, 2), M = {(1, 0)} ∪ {(0, 1)}. Тогда множество K состоит из девяти точек (i, j), где i, j = 0, 1, 2 (см. рис. 3). 128 В. А. ПОПОВ x2 2 Q13 Q14 1 K Q11 Q12 0 1 2 x1 РИС. 3. Множество K состоит из девяти точек. Как уже отмечалось, в случае вырожденных дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений часть границы ∂Q при определенных условиях может быть свободна от краевых условий. Нам понадобится следующее обозначение: через Γp обозначим компоненты связности открытого (в индуцированной на ∂Q топологии) множества ∂Q \\ K. Лемма 1.5. Если (Γp+h)∩Q ⊕= ∅ при некотором h ∈ M, то либо Γp+h ⊂ Q, либо существует Γr ⊂ ∂Q \\ K такое, что Γp + h = Γr. В силу леммы 1.5 мы можем следующим образом разбить множество {Γp + h : Γp + h ⊂ Q, p = 1, 2,..., h ∈ M } на классы. Множества Γp1 + h1 и Γp2 + h2 принадлежат одному и тому же классу, если 1. существует h ∈ M такое, что Γp1 + h1 = Γp2 + h2 + h; 2. в случае Γp1 +h1, Γp2 +h2 ⊂ ∂Q, направления внутренних нормалей к ∂Q в точках x ∈ Γp1 +h1 и x - h ∈ Γp2 + h2 совпадают. Очевидно, множество Γp ⊂ ∂Q может принадлежать лишь одному классу, а множество Γp + h ⊂ Q - не более чем двум классам. Будем обозначать множества Γp + h через Γrj, где r = 1, 2,... - номер класса, j - номер элемента в данном классе (1 j J = J (r)). Не ограничивая общности, будем считать, что Γr1,..., ΓrJ0 ⊂ Q, Γr,J0+1,..., ΓrJ ⊂ ∂Q (0 J0 = J0(r) < J (r)). Лемма 1.6. Для любого Γrj ⊂ ∂Q существует подобласть Qsl такая, что Γrj ⊂ ∂Qsl, и при этом Γrj ∩ ∂Qs1l1 = ∅, если (s1, l1) ⊕= (s, l). Лемма 1.7. Для любого r = 1, 2,... существует единственное s = s(r) такое, что N (s) = J (r), и при этом подобласти s-го класса Qsl можно перенумеровать так, что Γrl ⊂ ∂Qsl (l = 1,...,N (s)) . Лемма 1.8. Для любого Γrj ⊂ Q существуют подобласти Qs1l1 и Qs2l2 такие, что Qs1l1 ⊕= Qs2l2 , Γrj ⊂ ∂Qs1l1 ∩ ∂Qs2l2 , и при этом Γrj ∩ ∂Qs3l3 = ∅, если (s3, l3) ⊕= (s1, l1), (s2, l2). Пример 1.6. Пусть Q = (0, 2) × (0, 1) ⊂ R2, M = {(1, 0)}. Тогда существуют четыре класса множеств Γrl (см. рис. 1): 1. Γ12 = {0} × (0, 1), Γ11 = {1} × (0, 1); 2. Γ21 = Γ11, Γ22 = {2} × (0, 1); 3. Γ31 = (0, 1) × {0} , Γ32 = (1, 2) × {0} ; 4. Γ41 = (0, 1) × {1} , Γ42 = (1, 2) × {1} . Теперь мы можем ввести понятие разностного оператора. СЛЕДЫ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 129 2. Разностный оператор в пространстве L2(Q). Будем рассматривать разностный оператор R : L2(Rn) → L2(Rn), определенный по формуле Ru(x) = ahu(x + h), (1.2) h∈M где ah - комплексные числа, множество M состоит из конечного числа векторов h ∈ Rn c целочисленными координатами, x = (x1,..., xn) ∈ Rn. Сдвиги x → x + h, вообще говоря, могут отобразить точку x ∈ Q в точку x + h ∈/ Q. Поэтому краевое условие (2) задается не только на границе ∂Q, но всюду в Rn \\ Q. Для того, чтобы формально записать это условие, мы введем оператор IQ : L2(Q) → L2(Rn) продолжения функции из L2(Q) нулем в Rn \\ Q. С другой стороны, функция (RIQu)(x) задана в Rn. Поэтому для рассмотрения этой функции только в области Q мы введем оператор PQ : L2(Rn) → L2(Q) сужения функции из L2(Rn) на Q. Таким образом, разностный оператор, действующий в пространстве L2(Q), введем следующим образом: RQ = PQRIQ : L2(Q) → L2(Q). 3. Свойства разностных операторов. В этом пункте мы изучим некоторые свойства разностных операторов RQ в пространстве L2(Q). Оказывается, эти свойства тесно связаны со свойствами конечного числа матриц, состоящих из нулей и коэффициентов разностного оператора R. Обозначим через L2( J Qsl\\ подпространство функций в L2(Q), равных нулю вне J Qsl, а l l через Ps : L2(Q) → L2( J Qsl\\ - оператор ортогонального проектирования функций из L2(Q) на l L2( J Qsl\\ (l = 1,...,N (s)). Так как μn(∂Qsl) = 0, из абсолютной непрерывности интеграла l Лебега следует, что L2(Q) = L2( 1 Qsl\\, (1.3) s l где μn(·) - мера Лебега в Rn. Лемма 1.9. L2( J Qsl\\ - инвариантное подпространство оператора RQ. l Введем изометрический изоморфизм гильбертовых пространств 2 Us : L2( 1 Qsl\\ → LN (Qs1), (1.4) l определив вектор-функцию (Usu)(x) равенством 2 (Usu)l(x) = u(x + hsl) (x ∈ Qs1), (1.5) где l = 1,...,N = N (s), hsl таково, что Qs1 + hsl = Qsl (hs1 = 0), LN (Qs1) = П L2(Qs1). l Лемма 1.10. Оператор RQs : LN (Qs1) → LN (Qs1), определенный по формуле 2 2 s RQs = UsRQU -1, (1.6) является оператором умножения на квадратную матрицу Rs порядка N (s) × N (s) с элементами rs (ah, если h = hsl - hsk ∈ M, kl = 0, если h = h (1.7) h / . sl - sk ∈ M Замечание 1.1. Поскольку область Q является ограниченной, а матрицы Rs состоят из конечного множества чисел ah и нулей, то множество различных матриц {Rsν } (ν = 1,..., n1) конечно. Лемма 1.11. Спектр оператора RQ совпадает с объединением спектров конечного числа матриц Rsν (ν = 1,..., n1). Каждая точка спектра σ(RQ) является собственным значением бесконечной кратности. 130 В. А. ПОПОВ 4. Разностные операторы с вырождением. Рассмотрим свойства разностных операторов RQ : L2(Q) → L2(Q), имеющих нетривиальное ядро. Обозначим через N (·) и R(·) соответственно ядро и образ некоторого оператора. Лемма 1.12. LN (Qs1) = N (RQs) ⊕ R(R∗ ), LN (Qs1) = N (R∗ ) ⊕ R(RQs). 2 Qs 2 Qs Введем обозначения AQ = (RQ + R∗ )/2, BQ = (RQ - R∗ )/2i. Очевидно, что Q Q RQ = AQ + iBQ. Операторы AQ и BQ называются соответственно вещественной и мнимой частями операs тора RQ. Положим AQs = UsAQU -1 s и BQs = UsBQU -1. В силу леммы 1.10 операторы AQs, BQs : LN (Qs1) → LN (Qs1) являются операторами умножения на матрицы As = (Rs + R∗)/2, 2 2 s s Bs = (Rs - R∗)/2i соответственно. Обозначим через PR,PR∗ ,PA,PB : L2(Q) → L2(Q) и PR R∗ A B N N s , Ps , Ps , Ps : L2 (Qs1) → L2 (Qs1) операторы ортогонального проектирования на подпространства Q R(RQ), R(R∗ ), R(AQ), R(BQ) и Qs R(RQs), R(R∗ ), R(AQs), R(BQs) соответственно. Операторы PR, PR∗ , PA, PB суть операторы умножения на некоторые матрицы, s s s s которые мы также обозначим PR, PR∗ , PA, PB соответственно. s s s s Лемма 1.13. L2(Q) = N (RQ) ⊕ R(R∗ ), L2(Q) = N (R∗ ) ⊕ R(RQ), при этом Q P u R∗ L2(Q) c RQ Q u L2(Q) , (1.8) PRu L (Q) c R∗ u L (Q) (1.9) 2 Q 2 для любой функции u ∈ L2(Q), где c> 0 - постоянная, не зависящая от u. Назовем ограниченный самосопряженный оператор A в гильбертовом пространстве H положительным, если (Au, u)H > 0 для любого 0 ⊕= u ∈ H, и неотрицательным, если (Au, u)H ?; 0 для любого u ∈ H. Если же (Au, u)H > c u H для любого u ∈ H, где c > 0, то оператор A будем называть положительно определенным. Рассмотрим разностные операторы Ri (i = 1, 2) вида (1.2) с коэффициентами aih вместо ah kl (h ∈ M). Положим RiQ = PQRiIQ. Определим матрицы Ris порядка N (s) × N (s) с элементами ris (k, l = 1,...,N (s)) по формуле (1.7) с коэффициентами aih вместо ah. Лемма 1.14. 1. Пусть N (R1s) ⊂ N (R2s) (s = 1, 2,.. .). Тогда N (R1Q) ⊂ N (R2Q), и для любой функции u ∈ L2(Q) справедливо неравенство R2Qu L2(Q) c1 R1Qu L2(Q), (1.10) где c1 > 0 - постоянная, не зависящая от u. Q 2. Если, кроме того, R1Q = AQ, R2Q = BQ, а матрицы As (s = 1, 2,.. .) неотрицательные, то оператор AQ неотрицательный, при этом N (RQ) = N (R∗ ) = N (AQ) и Q R(RQ) = R(R∗ ) = R(AQ). Лемма 1.15. Для любого u ∈ L2(Q) справедливы равенства PRu = U -1PRUsPsu, (1.11) s s s PR∗ u = U -1PR∗ UsPsu. (1.12) s s s СЛЕДЫ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 131 5. Разностные операторы в пространствах Соболева. Приведем некоторые свойства разностных операторов RQ в пространствах Соболева. 2 Пространство Соболева комплекснозначных функций будем обозначать через Wk (Q), k ∈ N. Норма в этом пространстве задается формулой ⎛ r ⎞1/2 2 (Q) u W k |D u(x)| dx⎟ , = ⎜ α 2 ⎝ ⎠ |α| k Q ∂ где α = (α1,..., αn), |α| = α1 + ... + αn, Dα = Dα1 ... Dαn , Dj = -i . 1 n ∂xj Лемма 1.16. Оператор RQ непрерывно отображает W˚ k (Q) в Wk (Q), при этом для всех 2 u ∈ W˚ k (Q) справедливо равенство α D RQu = RQDα 2 2 u (|α| k), где W˚ k (Q) - замыкание множества C˙ ∞(Q) в Wk (Q). 2 2 sl Лемма 1.17. Пусть при каждом s = 1, 2,... заданы открытые связные множества Q! таsl = Q кие, что Q! sl ⊂ Qsl и Q! s1 ! + hsl для каждого 1 l N = N (s). Тогда для всех ∈ L2(Q) таких, что RQu ∈ Wk (Q! ) (l = 1, 2,...,N (s), s = 1, 2,.. .) имеем PR∗ u u ∈ Wk (Q! ), при этом 2 sl 2 sl PR∗ u k N (Q W ) c2 RQu k , ( α R∗ D P u sl W2 (Q1 ) \\ (x) = ( j=1 PR∗ Dαu\\ 1 2 sj sl (x) (x ∈ Q! ), где c2 > 0 не зависит от s и от u, l = 1, 2,...,N (s), s = 1, 2,..., |α| k. 1. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И ФРИДРИХСОВО РАСШИРЕНИЕ В настоящем разделе мы приведем априорные оценки, полученные нами в работе [12], из которых вытекает секториальность рассматриваемого дифференциально-разностного оператора с вырождением, что влечет за собой существование фридрихсова расширения. Свойства фридрихсова расширении, секториальных операторов и полуторалинейных форм можно найти, например, в [5]. Кроме того, с помощью рассматриваемых ниже априорных оценок были доказаны теоремы о гладкости обобщенных решений. Введем неограниченный дифференциально-разностный оператор LR : D(LR) ⊂ L2(Q) → L2(Q), действующий по формуле n ∂2 R - L u(x) = ∂xi∂xj RijQu(x), (2.1) с областью определения где i,j=1 D(LR) = C˙ ∞(Q), RijQ = PQRij IQ, Rij = aijh u(x + h) (i, j = 1,..., n), (2.2) h∈M M - конечное множество векторов h ∈ Rn с целочисленными координатами, aijh ∈ C, C˙ ∞(Q) - множество бесконечно дифференцируемых в Q функций c компактным носителем. Введем матрицы Rijs порядка N (s) × N (s) с элементами rijs a ( ijh , если h = hsl - hsk ∈ M, kl = 0, если h = h (2.3) h / . sl - sk ∈ M Наряду с матрицами Rijs введем матрицы R ijs следующим образом. Пусть x ∈ Qs1 - произвольная точка. Рассмотрим все такие точки xi ∈ Q, что xi -x ∈ M. Поскольку область Q ограниченная, 132 В. А. ПОПОВ множество {xi} состоит из конечного числа точек I = I(s, x) (I ?; N (s)). Занумеруем точки xi так, что xi = x + hsi для i = 1,...,N = N (s), x1 = x. Введем матрицы R ijs = R ijs(x) порядка I × I (I = I(s, x)) с элементами rijs a ( ijh , если h = xl - xk ∈ M, kl = 0, если h = xl xk / (2.4) . - ∈ M Несмотря на то, что элементы матриц R ijs являются константами, порядок этих матриц зависит от выбора точки x. Замечание 2.1. Если I(s, x) = N (s), то R ijs(x) = Rijs. Если I(s, x) > N (s), то матрица Rijs получается из матрицы R ijs(x) вычеркиванием последних I(s, x) - N (s) строк и столбцов. Введем следующие обозначения Rijs + R∗ Rijs(x)+ R∗ (x) Aijs = Rijs - R∗ jis , 2 A ijs(x) = Rijs(x) - R∗ 2 (x) jis , Пусть Bijs = jis , 2i B ijs(x) = jis 2i (i, j = 1,..., n). AijQ = jiQ RijQ + R∗ , BijQ = 2 jiQ RijQ - R∗ . 2i Далее мы будем требовать выполнения следующих условий. Условие 2.1 (эллиптичности). Существуют такие нетривиальные самосопряженные неотрицательные разностные операторы RiQ, что справедливо неравенство n i,j=1 A ijs(x)ξiξj ?; n i=1 i R is(x)ξ2 для любых x ∈ Qs1 (s = 1, 2,.. .) и ξ ∈ Rn, где R is - матрицы, соответствующие разностному оператору RiQ. Условие 2.2 (вырожденности). Множество S = {s : det Aiis = 0, i = 1,..., n} непусто. Условие 2.3 (подчиненности). N (Aijs) ⊂ N (Bijs), N (Aiis) = N (Ris), N (Aiis) ⊂ N (Aijs) ∩ N (Ajis), i, j = 1,..., n, где N (·) - ядро матрицы. Теперь мы можем привести априорные оценки. Лемма 2.1. Пусть область Q удовлетворяет условию 1.1 и выполнены условия 2.1-2.3. Тогда существуют такие константы c0 ?; 0 и c1 > 0, что для любой функции u ∈ выполнено неравенство C˙ ∞(Q) Re(LRu, u)L2(Q) + c0 n i=1 (AiiQu, u)L2(Q) ?; c1 n i=1 2 RiQuxi L2(Q). (2.5) Для формулировки второй оценки нам понадобятся следующие обозначения. Введем неограниченный дифференциально-разностный оператор L+ : D(L+) ⊂ L2(Q) → L2(Q), действующий по формуле R R 2 n L+ ∂ R∗ + ∞ Ru = - ∂x ∂x jiQ u(x) (u ∈ D(LR ) = C˙ (Q)). i,j=1 i j Лемма 2.2. Пусть область Q удовлетворяет условию 1.1 и выполнены условия 2.1-2.3. То- . гда существуют такая постоянная c2 > 0, что для всех u, v ∈ C∞(Q) верны неравенства R f L R + L+ 2 u, v \\ L2(Q) + c0 n i=1 (AiiQu, v)L2(Q) СЛЕДЫ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 133 ⎡ n n ⎤ c2 ⎣ RiQux L (Q) 1RjQvx 1 + RiQu RiQv ⎦ , (2.6) i,j=1 f L i 2 1 - L+ \\ j 1L2(Q) n i=1 L2(Q) L2(Q) R R 1 1 u, v 2i c2 L2(Q) i,j=1 RiQuxi L2(Q) 1RjQvxj 1L2(Q). (2.7) В силу ограниченности операторов AijQ в L2(Q), а также лемм 2.1, 2.2 следует, что опера- R торы LR, L+ являются секториальными в L2(Q). Поэтому существует фридрихсово расширение . оператора LR, которое было построено в работе [12]. Введем скалярное произведение в C∞(Q) по формуле n 1 + . 2 (u, v)LR = 2 ((LR + LR ) u, v)L (Q) + c0 i=1 (AiiQu, v)L2(Q) + (u, v)L2(Q) (u, v ∈ C∞(Q)). Корректность такого скалярного произведения следует из условия 2.1 и лемм 1.11, 2.1. . Рассмотрим множество WLR , которое состоит из функций u ∈ L2(Q), для которых существует такая последовательность {up} ⊂ C∞(Q), что lim up - u L2(Q) = 0, lim up - uq LR = 0. (2.8) p→∞ Норму в WLR определим следующим образом: p,q→∞ p u LR = lim up LR , (2.9) →∞ . где up ∈ → C∞(Q), up u в L2(Q) и lim p,q→∞ up - uq LR = 0. Эта норма не зависит от выбора последовательности {up}. Пространство WLR с такой нормой полно. Введем неограниченные операторы LR : D(LR) ⊂ L2(Q) → L2(Q), L∗ : D(L∗ ) ⊂ L2(Q) → L2(Q), R R действующие по формулам n ∂2 LR - u = ∂xi∂xj RijQu(x) (u ∈ D(LR) = {u ∈ WLR : LRu ∈ L2(Q)}), i,j=1 n ∂2 ∗ Ru = - R∗ u(x) (u ∈ D(L∗ ) = {u ∈ WL : L∗ u ∈ L2(Q)}). L ∂x ∂x ijQ R R R i,j=1 i j Лемма 2.3. Пусть область Q удовлетворяет условию 1.1, и условия 2.1-2.3 выполнены. Тогда WLR ⊂ {u ∈ L2(Q): (RiiQu)xi ∈ L2(Q)}, при этом существует такая постоянная c3 > 0, что n n 2 c3 1 1 1(RiiQu)xi 1L (Q) aR[u]+ c0 (AiiQu, u)L2(Q) (u ∈ WLR ), (2.10) 1 1 i=1 2 i=1 где aR = (lR + l∗ )/2, а lR, l∗ - полуторалинейные формы, с которыми ассоциированы фридрих- R R R сово расширение LR и оператор L∗ соответственно. Таким образом, мы имеем, что (RiiQu)xi ∈ L2(Q), i = 1,..., n, при этом мы не можем гарантировать априори большую гладкость. Поэтому дифференцирование будем понимать в смысле обобщенных функций, т. е. в пространстве D!(Q). Помимо условий 2.1-2.3 будем предполагать, что выполнено следующее условие. Условие 2.4. N (A11s) = N (Aiis), i = 2,..., n. Данное условие необходимо при доказательстве спектральных свойств, а также при исследовании гладкости. Равенство ядер матриц, которые соответствуют разностным операторам, позволяет оценивать нормы AiiQu L2(Q) через одну норму A11Qu L2(Q), а также получить оценку в про- 2 странстве Соболева W 1(Q). 134 В. А. ПОПОВ Лемма 2.4. Пусть выполнены условия 2.1-2.4. Тогда образ разностного оператора R(A11Q) является инвариантным подпространством операторов A11Q и LR, и существуют константы c0 ?; 0, c1 > 0, c2 > 0 такие, что для любой функции u ∈ D(LR) выполнены неравенства n 2 2 (Q) Re (L u, u)L2(Q) + c (A u, u)L2(Q) c A u 2 2 (Q). (2.11) c1 A11Qu W 1 R 0 i=1 iiQ 2 11Q W 1 2. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ Введем понятие обобщенного решения краевой задачи для эллиптического дифференциальноразностного уравнения с вырождением. Рассмотрим уравнение n с краевым условием - i,j=1 ∂2 ∂xi∂xj RijQu = f (x) (x ∈ Q) (3.1) где f ∈ L2(Q). u(x) = 0 (x ∈ Rn \\ Q), (3.2) Определение 3.1. Функцию u ∈ D(LR) будем называть обобщенным решением краевой задачи (3.1), (3.2), если она удовлетворяет операторному уравнению LRu = f. Дадим эквивалентное определение обобщенного решения задачи (3.1), (3.2) в терминах интегрального тождества. Определение 3.2. Функцию u назовем обобщенным решением краевой задачи (3.1), (3.2), если для любой функции v ∈ C˙ ∞(Q) выполняется интегральное тождество RijQ uxj vxi r r dx = fv dx. (3.3) i,j Q Q 2 В силу [12, теорема 5.1] N (A11Q) ⊂ N (LR). Поэтому уравнение (3.1) может иметь решения, не принадлежащие даже пространству W 1(Q). Однако в работе [13] было показано, что ортогональная проекция решения на R(A11Q) уже обладает локальной гладкостью внутри подобластей Qsl, а в работе [20] доказана теорема о гладкости обобщенных решений вблизи границ подобластей. Приведем эти теоремы без доказательств, которые можно найти в упомянутых выше работах. Теорема 3.1. Пусть Q ⊂ Rn - ограниченная область, удовлетворяющая условию 1.1, и пусть выполнены условия 2.1-2.4. Пусть u ∈ D(LR) является обобщенным решением краевой задачи (3.1), (3.2), и пусть f ∈ L2(Q). Тогда PA11 u ∈ W 2(Q! ) выполнено для любого открытого связного множества Q! такого, 2 sl sl sl что Q! ⊂ Qsl (s = 1, 2,..., l = 1,...,N (S)). Теорема 3.2. Пусть Q ⊂ Rn - ограниченная область, удовлетворяющая условию 1.1, и пусть выполнены условия 2.1-2.4. Пусть u ∈ D(LR) является обобщенным решением краевой задачи (3.1), (3.2), и пусть f ∈ L2(Q). 2 Тогда PA11 u ∈ W 2(Qsl \\ Kε) для любого ε > 0 (s = 1, 2,..., l = 1,...,N (S)), где Kε = {x ∈ Rn : dist (x, K) < ε}. 3. СЛЕДЫ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ В данном разделе будет доказан основной результат настоящей работы. Как уже отмечалось, в случае эллиптических уравнений с вырождением часть границы может быть свободна от краевых условий. Это связано с вырождением коэффициентов оператора. Аналогичное явление мы можем наблюдать и для краевых задач для рассматриваемых эллиптических дифференциальноразностных уравнений с вырождением, однако причиной этого явления служит вырождение разностных операторов, которое носит нелокальный характер. Теоремы о гладкости гарантируют гладкость не самого обобщенного решения, а лишь ортогональной проекции решения на образ разностного оператора. Таким образом, обобщенное решение может не принадлежать пространству СЛЕДЫ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 135 Соболева, и встает вопрос о корректном определении следов решений. Ниже мы докажем теорему, в которой приведены необходимые и достаточные условия существования следов обобщенных решений на некоторых частях границ подобластей Qsl. После доказательства теоремы мы приведем пример области и дифференциально-разностного оператора, для которых выполнены все необходимые условия. По лемме 1.7 для любого r = 1, 2,... существует номер s = s(r) такой, что N (s) = J (r), и можно перенумеровать подобласти s-го класса так, что Γrl ⊂ ∂Qsl (l = 1,...,N (s)). Множество чисел l, 1 l N (s), таких, что l-й столбец матрицы R11s не представляет собой линейную комбинацию остальных столбцов данной матрицы, мы будем обозначать Br. Теорема 4.1. Пусть область Q ⊂ Rn удовлетворяет условиям 1.1-1.2, а также пусть вы- Γrl полнены условия 2.1-2.4. Тогда если Γrl ⊂ ∂Q, то следы u определены для всех u ∈ D(LR) Γrl тогда и только тогда, когда l ∈ Br. Кроме того, если l ∈ Br, то u = 0. Доказательство. Из условия 2.4 и в силу леммы 1.14 следует, что BiiQu W 1 k1 AiiQu 1 k2 A11Qu 1 для всех u ∈ WLR . 2 (Q) W2 (Q) W2 (Q) Тогда из лемм 2.3, 2.4 имеем 1 WLR ⊂ {u ∈ L2(Q) : R11Qu ∈ W2 (Q)}, (4.1) кроме того, существует такая постоянная c4 > 0, что выполнено неравенство n для всех u ∈ WLR . W 1 2 (Q) c4 R11Qu 2 aR[u]+ c0 i=1 (AiiQu, u)L2(Q) (4.2) 2 Пусть u ∈ D(LR). Тогда R11Qu ∈ W 1(Q). Далее из оценки норм следов функций из пространства Соболева получим . для всех u ∈ C∞(Q). N (s) j=1 Γrj 2 (Q) (R11Qu) L2(Γrj ) k3 R11Qu W 1 (4.3) Поэтому из (4.1), (4.2), а также из лемм 1.14, 1.17 имеем Γrj (PR11u) . L2(Γrj R11 ) k4 u LR . (4.4) Поскольку C∞(Q) плотно в WLR , то следы (P u) Γrl определены для любой функции u ∈ D(LR). Из [12, теорема 5.1] N (A11Q) ⊂ N (LR). Следовательно, по лемме 1.12, из условий 2.2-2.4 и Γ леммы 1.14 следы u rl определены в пространстве L2(Γrl) для любой функции u ∈ D(LR) тогда и только тогда, когда (PR11 u)(x) = u(x) для x ∈ Qsl. Данное условие можно выразить в терминах матриц следующим образом: N N (R11s) ⊂ {(x1,... xl-1, 0, xl+1,..., xN ) ∈ R }, т. е. l-й столбец матрицы R11s не является линейной комбинацией остальных столбцов. . Далее, предположим, что l ∈ Br и u ∈ D(LR). Рассмотрим последовательность функций up ∈ C∞(Q) таких, что u - up LR → 0 при p → ∞. Тогда из неравенства (4.4) получим Γrl (u - up) L2(Γrl) → 0 при p → ∞, Γ что означает u rl = 0. 136 В. А. ПОПОВ ✻x2 1 Γ11 Γ12 Γ13 • • • • • • • • Q11 Q12 Q13 Q21 Q22 Q23 Q24 • • Γ21 • • Γ22 • • Γ23 • • ✲ РИС. 4 Пример 4.1. Рассмотрим ограниченную область Q = (0, π) × (0, 1) ⊂ R2 и дифференциальноразностный оператор вида ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 LRu = - ∂x2 R11Qu - ∂x ∂x R12Qu - ∂x ∂x R21Qu - ∂x2 R22Qu, (4.5) 1 1 2 2 1 2 где разностные операторы задаются формулами RijQu = aij [u(x1, x2)+ u(x1 + 2, x2)+ u(x1 - 2, x2)] + +bij [u(x1 + 1, x2)+ u(x1 - 1, x2)+ u(x1 + 3, x2)+ u(x1 - 3, x2)] , где bij < aij, aij = aji, bij = bji. По построению BijQ = 0, AijQ = RijQ = RjiQ. Разбиение области состоит из двух классов подобластей: 1-й класс - Q11, Q12, Q13; 2-й класс - Q21, Q22, Q23, Q24 (см. рис. 4). Отметим, что в данном примере матрицы A ijs(x) = Aijs. Матрицы, соответствующие первому классу Aij1, имеют вид ⎛aij bij aij ⎞ Aij1 = ⎝bij aij bij ⎠ . aij bij aij Ядро матрицы Aij1 (i, j = 1, 2) есть линейная оболочка, натянутая на вектор (1, 0, -1)T . Собa2 ij 3aij + / ij + 8b2 a2 ij 3aij - / ij + 8b2 ственные значения матриц такого вида: λ1 = 0, λ2 = , λ3 = . 2 2 Очевидно, что при aij > bij > 0 все собственные значения матриц будут неотрицательными. Матрицы, соответствующие второму классу A˜ij2(x) = Aij2, имеют следующий вид: ⎛aij bij aij bij ⎞ Aij2 = . ⎜bij aij bij aij ⎟ ⎜aij bij aij bij ⎟ ⎝ ⎠ bij aij bij aij Ядро матрицы Aij2 (i, j = 1, 2) есть линейная оболочка, натянутая на 2 вектора: (1, 0, -1, 0)T и (0, 1, 0, -1)T . Собственные значения матриц такого вида: λ1 = λ2 = 0, λ3 = 2(aij - bij ), λ4 = 2(aij + bij ). Очевидно, что при aij > bij > 0 все собственные значения данных матриц также будут неотрицательными. Пусть операторы RiQ имеют вид RiQu = pi [u(x1, x2)+ u(x1 + 2, x2)+ u(x1 - 2, x2)] + +qi [u(x1 + 1, x2)+ u(x1 - 1, x2)+ u(x1 + 3, x2)+ u(x1 - 3, x2)] , где pi > qi > 0. Матрицы R is = Ris строятся аналогично матрицам Aijs, только вместо чисел aij стоят pi, а вместо bij стоят qi. По доказанному, det Aiis = 0 (i = 1, 2, s = 1, 2). Следовательно, S = {1, 2}. Таким образом, условие 2.2 выполнено. Кроме того, мы показали, что N (Aijs) = N (Ajis) = N (Aiis) = N (Ris) (i, j, s = 1, 2), а Bijs-нулевая матрица. Поэтому условия 2.3-2.4 СЛЕДЫ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 137 также выполнены. Тогда условие 2.1 примет вид ⎝B - Q A - P B - Q⎠ ?; 0 для любых ξ ∈ R2, если s = 1, A - P B - Q A - P ⎛A - P B - Q A - P ⎞ и ⎛A - P B - Q A - P B - Q⎞ ⎜B - Q A - P B - Q A - P ⎟ 2 ⎜A - P B - Q A - P B - Q⎟ ?; 0 для любых ξ ∈ R , если s = 2, ⎝ ⎠ B - Q A - P B - Q A - P где A = a11ξ2 + 2a12ξ1ξ2 + a22ξ2, B = b11ξ2 + 2b12ξ1ξ2 + b22ξ2, P = p1ξ2 + p2ξ2, Q = q1ξ2 + q2ξ2. 1 2 1 2 1 2 1 2 Эти условия выполнены, если A - P > B - Q> 0 для любых 0 ⊕= ξ ∈ R2, т. е. если (a11 - b11 - (p1 - q1))ξ2 + 2(a12 - b12)ξ1ξ2 + (a22 - b22 - (p2 - q2))ξ2 > 0, 1 2 (b11 - q1)ξ2 + 2b12ξ1ξ2 + (b22 - q2)ξ2 > 0, 1 2 для любых 0 ⊕= ξ ∈ R2. i,j=1 Таким образом, если матрицы ||bij ||2 i,j=1 , ||aij - bij ||2 положительно определены, а aij > bij (i, j = 1, 2), то выполняются условия 2.1-2.4. Очевидно, что второй столбец матрицы R111 не Γ является линейной комбинацией остальных столбцов, поэтому по теореме 4.1 следы u 12 и u Γ22 ∂Q11∩∂Q определены для любой функции u ∈ D(LR). При этом следы u и u ∂Q13∩∂Q не определены для некоторых функций u ∈ D(LR).

About the authors

V. A. Popov

RUDN University

Email: volodimir.a@gmail.com
6 Miklukho-Maklaya st., 117198 Moscow, Russia

References

Supplementary files