Nonexistence of Nontrivial Weak Solutions of Some Nonlinear Inequalities with Gradient Nonlinearity

Full Text

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Скалярные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3. Системы неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Список литературы 11 ВВЕДЕНИЕ В последние десятилетия большое внимание уделяется условиям отсутствия решений различных нелинейных уравнений и неравенств в частных производных в соответствующих функциональных классах. Эта статья вдохновлена различными недавними работами об отсутствии нетривиальных слабых решений некоторых нелинейных уравнений и неравенств в частных производных, содержащих це- лые степени оператора Лапласа. Мы получаем достаточные условия отсутствия нетривиальных слабых решений некоторых нелинейных уравнений и неравенств с целыми степенями операто- s ра Лапласа и с градиентными нелинейностями вида a(x) |∇(Δmu)|q + b(x)|∇u| , применяя метод нелинейной емкости, предложенный С. И. Похожаевым [4]. Позднее этот метод был развит в сов- местной работе Э. Митидиери и С. И. Похожаева [3], см. также [10, 11]. Так как метод позволил им получить новые точные достаточные условия отсутствия решений в более широких функциональ- ных классах, чем ранее известные методы (в частности, метод сравнения), авторов заинтересовало его применение с соответствующим выбором пробных функций к задачам с различными операто- рами [11]. Метод основан на получении асимптотически оптимальных априорных оценок путем примене- ния подходящих алгебраических неравенств к интегральной форме рассматриваемой задачи при соответствующем выборе пробных функций. Этот тип нелинейных слагаемых рассматривался в [1] для параболических неравенств. Метод также применялся для различных классов эллиптических уравнений, неравенств и систем, см. [2, 5-9]. В настоящей работе мы модифицируем условия отсутствия решений из [4], изменяя нелинейное слагаемое в рассматриваемом неравенстве или системе с целыми степенями оператора Лапласа. Публикация выполнена при поддержке Программы стратегического академического лидерства РУДН. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 1 2 В. Э. АДМАСУ, Е. И. ГАЛАХОВ, О. А. САЛИЕВА Оставшаяся часть статьи состоит из раздела 2 и раздела 3. В разделе 2 мы доказываем от- сутствие нетривиальных слабых решений для рассматриваемого неравенства, а в разделе 3 - для системы таких неравенств. Рассмотрим неравенство вида СКАЛЯРНЫЕ НЕРАВЕНСТВА s Δku(x) ?: a(x) |∇(Δmu(x))|q + b(x)|∇u(x)| , x ∈ RN (2.1) с q > 1, s > 1, (2.2) где a и b - локально интегрируемые неотрицательные функции, удовлетворяющие оценкам a(x) ?: c1(1 + |x|)α, b(x) ?: c2(1 + |x|)β (2.3) для некоторых c1, c2 > 0, α, β ∈ R и всех x ∈ RN . Определение 2.1. Будем называть слабым решением нелинейного неравенства (2.1) функцию u ∈ L 1 loc loc (RN ) такую, что a(x) |∇(Δmu)|q ∈ L1 r s (RN ), b(x)|∇u| s 1 ∈ Lloc r (RN ), и неравенство (a(x) |∇(Δmu(x))|q + b(x)|∇u(x)| ) ϕ(x) dx � RN RN u(x)Δk ϕ(x) dx (2.4) 0 выполняется для всякой пробной функции ϕ ∈ C2k(RN ; R+). Теорема 2.1. Предположим, что показатели q и s удовлетворяют неравенствам (2.2) и N + α q � N - 2(k - m)+ 1 при N > 2(k - m) - 1, N + β s � N - 2k +1 при N > 2k - 1. Тогда задача (2.1) не имеет нетривиальных слабых решений. Доказательство. По определению слабого решения, интегрируя по частям, имеем (2.5) r r | (a(x) |∇(Δmu(x))|q + b(x)|∇u(x) s ) ϕ(x) dx � RN RN u(x)Δk ϕ(x) dx � 1 r m � 2 ∇ (Δ RN u(x)) ∇ Δ ( k-m-1 ) ϕ(x \ 1 r dx + 2 RN ∇u(x)∇ Δ ( k-1 ) ϕ(x \ dx � (2.6) 1 r m � 2 |∇(Δ RN u(x))|· |∇(Δ k-m-1 1 r ϕ(x))| dx + 2 RN |∇u(x)|· |∇(Δ k-1 ϕ(x))| dx. Отсюда, применяя неравенство Юнга AB � Ap Bp1 + p p' ( A, B > 0, p > 1, p p \ ' = , p - 1 (2.7) мы оцениваем слагаемые в правой части (2.6) следующим образом: 1 r m 2 |∇(Δ RN u(x))|· |∇(Δ k-m-1 ϕ(x))| dx � 1 1 1 (2.8) 1 r m q r 1 ( k-m-1 \1q q q - (x)ϕ- (x) dx, � 2 a(x) |∇ (Δ RN u(x))| ∇ ϕ(x) dx + C1(q) 1 Δ 1 RN ϕ(x) 1 a q q 1 где (2.7) применяется с p = q и ⎧ 1 1 ⎨⎪ A = A(x)= aq (x) |∇ (Δmu(x))| ϕq (x), (2.9) 1 1 ( )1 1 ⎩⎪ B = B(x)= a- q (x) 1∇ Δk-m-1ϕ(x) 1 ϕ- q (x), ОТСУТСТВИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ 3 и 1 r 1 ( k-1 \1 1 2 |∇u(x)|· 1∇ Δ RN ϕ(x) 1 dx � 1 1 (2.10) 1 r s r 1 ( k-1 \1s s1 s1 ∇ 1 � 2 b(x)|∇u(x)| ϕ(x) dx + C2(s) 1 Δ RN RN ϕ(x) 1 1 b- s (x)ϕ- s (x) dx, где (2.7) применяется с p = s и ⎧ 1 1 ⎨ A = A(x)= b s (x)|∇u(x)|ϕ s (x), 1 1 (2.11) ⎩ B = B(x)= a- s (x) 1∇ (Δk-1ϕ(x))1 ϕ- s (x), 1 1 C1(q) и C2(s) - положительные константы, зависящие только от q и s соответственно. Тогда, комбинируя (2.7), (2.10) и (2.13), получим следующую априорную оценку: 1 r ⎛ ⎞ m q s 2 ⎝ (a(x) |∇(Δ RN u(x))| + b(x)|∇u(x)| ) ϕ(x) dx⎠ � (2.12) | r ! Lk � C1(q) -m- 1 1(ϕ)|q + C2(q) |Lk-1 (ϕ)|s1 \ dx, (aϕ)q1 -1 RN (bϕ)s1 -1 q s где Lj (ϕ)= ∇ (Δjϕ) (j = k - m - 1 или k - 1), q' = Теперь выберем пробную функцию ϕ вида q - 1 , s' = . s - 1 ϕ(x)= ϕ0 2 !|x| \ 2 , (2.13) 0 где R > 0 и ϕ0 ∈ C2k (RN ; R+) такова, что R ( 1, 0 � s � 1, Далее сделаем замену переменных: ϕ0(s)= 0, s ?: 2. (2.14) x → ξ : x = Rξ. (2.15) Преобразуя правую часть неравенства (2.12) по формуле (2.15), получим q1 r 1 ∗ 1q1 r |Lk-m-1(ϕ)| θ1 1Lk-m-1(ϕ0)1 (aϕ)q1 -1 dx = R (a ϕ )q1 -1 dξ, (2.16) 0 0 2 RN 1�|ξ|�√ ( α \ L где ∗ k-m-1 (ϕ0)= ∇ (Δk-m-1ϕ0) , a0(ξ)= a(Rξ), θ1 = N - 2(k - m) - 1+ q q', и s1 r 1 ∗ 1q1 r |Lk-1(ϕ)| θ2 1Lk-1(ϕ0)1 (bϕ)s1 -1 dx = R (b ϕ )s1-1 dξ, (2.17) 0 0 RN 1�|ξ|�√2 ( β \ L где ∗ k-1 (ϕ0)= ∇ (Δk-1ϕ0) , b0(ξ)= b(Rξ), θ2 = N - 2k - 1+ q q'. Теперь выберем пробную функцию ϕ0 так, что q1 r 1 k m 1(ϕ0)1 1L∗- - 1 dξ < (a0ϕ0)q1 -1 ∞ 2 1�|ξ|�√ 4 В. Э. АДМАСУ, Е. И. ГАЛАХОВ, О. А. САЛИЕВА и r 1 k q1 1(ϕ0)1 1L∗- 1 dξ < , (b0ϕ0)s1-1 ∞ 2 1�|ξ|�√ так что интеграл в правой части (2.12) конечен. Тогда из (2.12) следует, что r q s θ (a(x) |∇ (Δmu(x))| RN + b(x) |∇u(x)| )ϕ dx � CR , (2.18) где θ = max(θ1, θ2). Теперь предположим, что θ = θ1 ?: θ2 (противоположный случай можно исследовать аналогично) и рассмотрим следующие два случая для значений θ. Случай 1: если θ < 0, переходя к пределу при R →∞ в (2.18), имеем r | (a(x) |∇ (Δmu)|q + b(x) |∇u s) dx → 0. (2.19) RN Таким образом, утверждение теоремы доказано при θ < 0, т. е. N + α Случай 2: если θ = 0, 1 <q < N - 2(k - m)+ 1 N + α . (2.20) q = . (2.21) N - 2(k - m)+1 В этом случае из соотношения (2.16) следует где q1 r |Lk-m-1(ϕ)| (aϕ)q1 -1 dx = c1, (2.22) RN r 1L∗ 1 (ϕ0)1q c1 = 1 k-m-1 1 dξ, (2.23) и (так как θ2 � θ1 = 0) (a0ϕ0)q1-1 1�|ξ|�√2 s1 r |Lk-1(ϕ)| θ2 где R→∞ (bϕ)s1 -1 dx = lim RN c2R � c2, (2.24) r 1L∗ 1 (ϕ0)1s c2 = 1 k-1 1 dξ. (2.25) Отсюда и из (2.12) имеем r (b0ϕ0)s1-1 2 1�|ξ|�√ q s (a(x) |∇ (Δmu)| RN + b(x) |∇u| )ϕ dx � c. (2.26) Переходя к пределу при R → ∞, получим r s (a(x) |∇ (Δmu)|q + b(x) |∇u| ) dx � c. (2.27) RN Теперь вернемся к неравенству (2.6). Заметим, что 2R supp Lj (ϕ) ⊆ {x ∈ RN | R � |x| � √2R} = B√ \BR, где BL = {x ∈ RN | |x| < L}, L > 0 (L = R или 2R) . ОТСУТСТВИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ 5 Тогда в силу неравенства Гельдера из соотношения (2.6) следует r | (a(x) |∇ (Δmu) q RN ⎛ r | + b(x) |∇u s)ϕ dx � 1 ⎞ q ⎛ r 1 ⎞ q1 q1 � ⎜ m q ⎟ ⎜ |Lk-m-1(ϕ)| ⎟ ⎝ 2 R�|x|�√ R ⎛ r a |∇ (Δ u)| ϕ dx⎠ 1 ⎞ s ⎛ ⎝ 2 R�|x|�√ R r (aϕ)q1 -1 dx⎠ + 1 ⎞ s1 s1 (2.28) + ⎜ s ⎟ ⎜ |Lk-1(ϕ)| ⎟ ⎝ 2 R�|x|�√ R b(x) |∇u| ϕ dx⎠ ⎝ R�|x|�√2R (bϕ)s1 -1 dx⎠ . Однако, в силу (2.27) и абсолютной сходимости интеграла в этом соотношении, имеем r 2 R�|x|�√ R и r a(x) |∇ (Δmu)|q dx → 0 (2.29) s при R → ∞. 2 R�|x|�√ R b(x)|∇u| dx → 0 (2.30) Переходя к пределу при R →∞ в (2.28) и учитывая (2.22) и (2.24), вновь получим (2.19). Таким образом, u =0 п.в. и в этом случае, т. е. с учетом (2.21) условие отсутствия решения окончательно N + α записывается как 1 <q � N - 2(k , и это завершает доказательство теоремы 1. - m)+ 1 Рассмотрим систему вида ⎧ СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ q1 s1 N ⎨ Δk1 u(x) ?: a(x) |∇ (Δm1 v(x))| + b(x)|∇u(x)| q2 , x ∈ R , s2 N (3.1) ⎩ Δk2 v(x) ?: c(x) |∇ (Δm2 u(x))| с + d(x)|∇v(x)| , x ∈ R k1, k2, m1, m2 ∈ N, k1 > m2, k2 > m1, min(q1, q2, s1, s2) > 1, a(x) ?: C(1 + |x|)α1 , b(x) ?: C(1 + |x|)β1 , c(x) ?: C(1 + |x|)α2 , d(x) ?: C(1 + |x|)β2 для некоторых C > 0, α1, α2, β1, β2 ∈ R и всех x ∈ RN . (3.2) Определение 3.1. Будем называть слабым решением системы нелинейных неравенств (3.1) пару функций (u, v) ∈ (Ls1 (RN ) ∩ Lq2 (RN )) × (Lq1 (RN ) ∩ Ls2 (RN )) таких, что неравенства loc r loc q1 loc s1 loc r (a(x) |∇ (Δm1 v(x))| RN r + b(x)|∇u(x)| q2 )ϕ(x) dx � RN s2 r u(x)Δk1 ϕ(x) dx, (3.3) (c(x) |∇ (Δm2 u(x))| RN + d(x)|∇v(x)| )ϕ(x) dx � RN v(x)Δk2 ϕ(x) dx (3.4) 0 выполняются для любой пробной функции ϕ ∈ C2k(RN ; R+), где k = max(k1, k2). Теорема 3.1. Пусть выполняется (3.2). Предположим, что θ d=ef max i=1,...,4 θi � 0, где 2(k1 - m2)q2 - q2 + α2 (2k1 - 1)s1 + β1 θ1 = N - , θ2 = N - q2 - 1 , s1 - 1 (3.5) 2(k - m )q - q + α (2k - 1)s + β 2 1 1 1 1 2 2 2 . θ3 = N - , θ4 = N - q1 - 1 s2 - 1 Тогда задача (3.1) не имеет нетривиальных слабых решений в RN . 6 В. Э. АДМАСУ, Е. И. ГАЛАХОВ, О. А. САЛИЕВА Доказательство. Начнем с того, что положим ψ(x)= ϕ(x). В силу определения слабого решения и интегрирования по частям получим r | (a(x) |∇ (Δm1 v(x)) q1 RN | + b(x)|∇u(x) s1 r )ϕ(x) dx � RN u(x)Δk1 ϕ(x) dx � 1 r m2 � 2 ∇ (Δ RN u(x)) ∇ Δ ( k1 -m2-1 ) ϕ(x \ 1 r dx + 2 RN ∇u(x)∇ (Δk1-1 ) ϕ(x \ dx � (3.6) 1 r m2 1 ( k1-m2 -1 \1 1 r 1 ( k1-1 \1 � 2 |∇ (Δ RN 1 u(x)) |· 1∇ Δ ϕ(x) 1 dx + 1 2 RN 1 |∇u(x)|· 1∇ Δ ϕ(x) 1 dx, 1 r | (c(x) |∇ (Δm2 u(x)) q2 RN | + d(x)|∇v(x) s2 r )ϕ(x) dx � RN v(x)Δϕk2 (x) dx � 1 r m1 � 2 ∇ (Δ RN v(x)) ∇ Δ ( k2 -m1-1 ) ϕ(x \ 1 r dx + 2 RN ∇v(x)∇ (Δϕk2 -1 ) (x \ dx � (3.7) 1 r m1 1 ( k2-m1 -1 \1 1 r 1 ( k2 -1 \1 � 2 |∇ (Δ RN 1 v(x)) |· 1∇ Δ ϕ(x) 1 dx + 1 2 RN 1 |∇v(x)|· 1∇ Δ ϕ(x) 1 dx. 1 Отсюда, применяя неравенство Юнга в соотношениях (3.6) и (3.7), имеем 1 r m2 1 ( k1-m2 -1 \1 2 |∇ (Δ RN 1 u(x)) |· 1∇ Δ ϕ(x) 1 dx � 1 1 q1 q1 (3.8) 1 r m2 q2 r 1 ( k1-m2 -1 \1q2 - 2 - 2 � 2 c(x) |∇ (Δ RN u(x))| ∇ ϕ(x) dx + C1(q2) 1 Δ 1 RN ϕ(x) 1 1 c q2 (x)ϕ q2 (x) dx, 1 r 1 ( k1-1 \1 1 2 |∇u(x)|· 1∇ Δ RN ϕ(x) 1 dx � 1 1 s1 s1 (3.9) 1 r s1 r 1 ( \1s1 b 1 1 2 b(x)|∇u(x)| RN ∇ ϕ(x) dx + C2(s1) 1 1 RN Δk1-1ϕ(x) 1 1 - s1 (x)ϕ- s1 (x) dx, 1 r m1 1 ( k2-m1 -1 \1 2 |∇ (Δ RN 1 v(x)) |· 1∇ Δ ϕ(x) 1 dx � 1 1 r m1 q1 r 1 ( k2-m1 -1 1 1 1 \1q1 - q1 - q1 � 2 a(x) |∇ (Δ RN v(x))| ∇ ϕ(x) dx + C3(q1) 1 Δ 1 RN ϕ(x) 1 1 a q1 (x)ϕ q1 (x) dx, (3.10) 1 r 1 ( k2-1 \1 1 2 |∇v(x)|· 1∇ Δ RN ϕ(x) 1 dx � 1 1 s1 s1 (3.11) 1 r s2 r 1 ( k2-1 \1s2 - 2 - 2 � 2 d(x)|∇v(x)| RN ∇ ϕ(x) dx + C4(s2) 1 Δ 1 RN ϕ(x) 1 1 d s2 (x)ϕ s2 (x) dx, где 1 + 1 q i qi ' =1 и 1 + 1 s i si ' =1 (i = 1, 2). Введем следующие обозначения: r q1 s1 X = (a(x) |∇ (Δm1 v(x))| RN и r | Y = (c(x) |∇ (Δm2 u(x)) q2 + b(x)|∇u(x)| | + d(x)|∇v(x) s2 )ϕ(x) dx )ϕ(x) dx. RN ОТСУТСТВИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ 7 Тогда из (3.6)-(3.11) следует, что 1 r m2 q2 1 r s1 X � 2 RN c(x) |∇ (Δ u(x))| ϕ(x) dx + 2 RN b(x)|∇u(x)| ϕ(x) dx + 1 1 r ( \ q1 q2 q2 + C1(q2) |∇ RN Δk1-m2 -1ϕ(x) | 2 c- q2 (x)ϕ- q2 (x) dx + (3.12) 1 1 r ( \ s1 s1 s1 + C2(s1) |∇ RN Δk1-1ϕ(x) | 1 b- s1 (x)ϕ- s1 (x) dx, 1 r Y � 2 RN a(x) |∇ (Δm1 v(x))|q1 1 r ϕ(x) dx + 2 RN | d(x)|∇v(x) s2 ϕ(x) dx + 1 1 r ( \ q1 q1 q1 + C3(q1) |∇ RN Δk2-m1 -1ϕ(x) | 1 a- q1 (x)ϕ- q1 (x) dx + (3.13) 1 1 r ( \ s1 s2 s2 + C4(s2) |∇ RN Δk2-1ϕ(x) | 2 d- s2 (x)ϕ- s2 (x) dx. Складывая (3.12) с (3.13) и упрощая, получим 1 1 r ( \ q1 q2 q2 X + Y � 2C1(q2) |∇ RN Δk1-m2 -1ϕ(x) | 2 c- q2 (x)ϕ- q2 (x) dx + 1 1 r ( \ s1 s1 s1 + 2C2(s1) |∇ Δk1-1ϕ(x) | 1 b- s1 (x)ϕ- s1 (x) dx + RN q q 1 1 r ( \ q1 1 1 (3.14) + 2C3(q1) |∇ Δk2-m1 -1ϕ(x) | 1 a- q1

About the authors

V. E. Admasu

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Author for correspondence.
Email: galakhov@rambler.ru
Moscow, Russia

E. I. Galakhov

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Email: galakhov@rambler.ru
Moscow, Russia

O. A. Salieva

Moscow State Technological University “Stankin”

Email: olga.a.salieva@gmail.com
Moscow, Russia

References

Supplementary files