Smoothness of Generalized Solutions of the Second and Third Boundary-Value Problems for Strongly Elliptic Differential-Difference Equations

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ Общей теории функционально-дифференциальных уравнений посвящен целый ряд монографий, среди которых широко известны работы А. Д. Мышкиса [11], Р. Беллмана и К. Кука [2], Дж. Хейла [24]. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения рассматривались в работах Ф. Хартмана и Г. Стампакья [26], А. Б. Антоневича [1], В. С. Рабиновича [17] и др. Интерес к изучению функционально-дифференциальных уравнений связан с их приложениями в теории многослойных пластин и оболочек [13, 29], в нелинейной оптике [4], в теории многомерных диффузионных процессов [32], в теории нелокальных эллиптических задач [3, 22], возникающих в теории плазмы, к проблеме Като о квадратном корне из оператора [9] и др. Общая теория краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений построена в работах [18, 22, 32]. Систематическое исследование широкого класса эволюционных функционально-дифференциальных уравнений методами спектральной теории содержится в работах [5-7]. В работе [32] для краевых задач для дифференциально-разностных уравнений были получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гординга, исследованы вопросы однозначной, фредгольмовой и нетеровой разрешимости в пространствах Соболева, а также изучена гладкость обобщенных решений. В частности, было показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться внутри области даже при бесконечно дифференцируемых правых частях уравнений и сохраняется лишь в некоторых подобластях. Исследования теории краевых задач для дифференциально-разностных уравнений, такие как спектральная асимптотика, операторы с вырождением, краевые задачи для параболического уравнения со сдвигом по пространственным переменным, нашли свое продолжение в работах [15, 16, 19, 20, 23, 25]. Результаты о существования классического решения краевых задач для дифференциальноразностных уравнений с непрерывной правой частью, изучение гладкости обобщенных решений краевых задач для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения с правой частью из пространств Гельдера приведены в работах [12, 27, 28]. В настоящей работе изучается гладкость обобщенных решений в подобластях в шкале пространств Соболева второй и третьей краевых задач для сильно эллиптического дифференциальноразностного уравнения. Рассмотрим уравнение ) (x ∈ Q ⊂ Rn) (1.1) с краевым условием = 0 (x ∈ ∂Q), (1.2) где ν - единичный вектор внешней нормали к ∂Q, σ ∈ Ck(∂Q) - неотрицательная вещественнозначная функция; операторы RijQ определены по формуле RijQ = PQRijIQ : L2(Q) → L2(Q); IQ : L2(Q) → L2(Rn) - оператор продолжения функции из L2(Q) нулем в Rn \ Q; PQ : L2(Rn) → L2(Q) - оператор сужения функции из L2(Rn) на Q; Rij : L2(Rn) → L2(Rn) - разностные операторы вида , (1.3) где aijh - вещественные числа; M ⊂ Rn - множество, состоящее из конечного числа векторов h c целочисленными координатами. 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ В этом разделе мы рассмотрим свойства разностных операторов. Доказательства приводимых ниже утверждений можно найти в [32, гл. 2]. Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что выполнено следующее условие. Условие 2.1. Пусть Q ⊂ Rn - ограниченная область с кусочно-гладкой границей (i = 1,...,N1), где Xi - открытые связные в топологии ∂Q (n-1)-мерные многообразия класса. При этом в окрестности каждой точки x0 область Q диффеоморфна i n-мерному углу раствора меньше 2π и больше 0. В частности, Q ⊂ Rn может быть ограниченной областью с границей ∂Q ∈ C∞, а также или прямоугольником, где G ⊂ Rn-1 - ограниченная область (с границей ∈ , если n 3). Пусть M ⊂ Rn - множество, состоящее из конечного числа векторов h c целочисленными координатами. Обозначим через M аддитивную абелеву группу, порожденную множеством M, а через Qr - открытые связные компоненты множества. Определение 2.1. Множества Qr мы будем называть подобластями, а совокупность R всевозможных подобластей Qr (r = 1,2,...) назовем разбиением области Q. Заметим, что множество R не более, чем счетно. Лемма 2.1. Лемма 2.2. 1. 2. Для любых Qr1 и h ∈ M либо найдется такое Qr2, что Qr2 = Qr1 +h, либо Qr1 +h ⊂ Rn\Q. Разбиение R естественным образом распадается на классы. Мы будем считать, что подобласти Qr1,Qr2 ∈ R принадлежат одному и тому же классу, если существует вектор h ∈ M, для которого Qr2 = Qr1 +h. Будем обозначать подобласти Qr через Qsl, где s - номер класса (s = 1,2,...), а l - порядковый номер данной подобласти в s-м классе. Очевидно, каждый класс состоит из конечного числа N = N(s) подобластей Qsl и diam Q] + 1)n. Введем множество . (2.1) Из определения множества K следуют следующие леммы. Лемма 2.3. Пусть. Тогда x0 ∈ K. Лемма 2.4. Пусть при. Тогда x0 ∈ K. Будем считать, что выполнено Условие 2.2. μn-1(K ∩ ∂Q) = 0, где μn-1(·) - мера Лебега в Rn-1. Обозначим через Γp компоненты связности открытого (в индуцированной на ∂Q топологии) множества ∂Q \ K. Лемма 2.5. Если при некотором h ∈ M, то либо Γp+h ⊂ Q, либо существует Γr ⊂ ∂Q\K такое, что Γp+h = Γr. В силу леммы 2.5 мы можем следующим образом разбить множество {Γp + h : Γp + h ⊂ Q, p = 1,2,..., h ∈ M} на классы. Множества Γp1 + h1 и Γp2 + h2 принадлежат одному и тому же классу, если 1. существует h ∈ M такое, что Γp1 + h1 = Γp2 + h2 + h, 2. в случае Γp1+h1, Γp2+h2 ⊂ ∂Q, направления внутренних нормалей к ∂Q в точках x ∈ Γp1+h1 и x - h ∈ Γp2 + h2 совпадают. Очевидно, множество Γp ⊂ ∂Q может принадлежать только одному классу, а множество Γp + h ⊂ Q - не более, чем двум классам. Будем обозначать множества Γp + h через Γrj, где r = 1,2,... - номер класса, j - номер элемента в данном классе . Не ограничивая общности, будем считать, что . Лемма 2.6. Для любого Γrj ⊂ ∂Q существует подобласть Qsl такая, что Γrj ⊂ ∂Qsl, и при этом Γrj ∩ ∂Qs1l1 = ∅, если . Лемма 2.7. Для любого r = 1,2,... существует единственное s = s(r) такое, что N(s) = J(r), и при этом подобласти s-го класса Qsl можно перенумеровать так, что Γrl ⊂ ∂Qsl (l = 1,...,N(s)). Лемма 2.8. Для любого Γrj ⊂ Q существуют подобласти Qs1l1 и Qs2l2 такие, что и при этом Γrj ∩ ∂Qs3l3 = ∅, если . Пример 2.1. Рассмотрим случай прямоугольника Q = (0,2) × (0,1), M = {(1,0)}. Разобьем прямоугольник Q на подобласти. В этом примере разбиение R состоит из одного класса подобластей Q1 = Q11 = (0,1) × (0,1), Q2 = Q12 = (1,2) × (0,1) (см. рис. 1). Легко видеть, что K = {(0,0);(1,0);(2,0);(0,1);(1,1);(2,1)}. РИС. 1. Область Q и ее разбиения, рассмотренные в примере 2.1. Элементы множества K выделены точками. Пример 2.2. Пусть область Q ⊂ R2 вне окружностей S1/3((1/3,1/3)), S1/3((1,1)) совпадает с границами квадрата (0,4/3) × (0,4/3), а множество M = {(1,1)}. Тогда разбиение R, состоящее из двух классов, классы границ и множество K = {(1/3,0),(4/3,1),(0,1/3),(1,4/3)} изображены на рис. 2. Пример 2.3. Рассмотрим случай, когда множество Q представляет собой единичный круг Q = {x ∈ R2 : |x| < 1}, M = {(1,0)}. Тогда множество K состоит из семи точек: K = {(0,0), (1,0), (-1,0), (-1/2,-√3/2), (-1/2,√3/2), (1/2,-√3/2), (1/2,√3/2)}. Разбиение R области Q и классы границ, а также множество K представлены на рис. 3. 3. РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Введенные по формуле (1.3), разностные операторы Rij действуют во всем Rn, чтобы рассмотреть их в области Q, введем линейные операторы IQ, PQ, RijQ. Оператор IQ : L2(Q) → L2(Rn) является оператором продолжения функции из L2(Q) нулем в Rn \ Q, оператор PQ : L2(Rn) → L2(Q) - оператор сужения функции из L2(Rn) на Q, операторы RijQ : L2(Q) → L2(Q) определены по формулам RijQ = PQRijIQ, соответственно. Лемма 3.1. Операторы Rij : L2(Rn) → L2(Rn) и RijQ : L2(Q) → L2(Q) являются ограниченными. РИС. 2. Область Q и ее разбиения, рассмотренные в примере 2.2. Элементы множества K выделены точками. РИС. 3. Область Q и ее разбиения, рассмотренные в примере 2.3. Элементы множества K выделены точками. Далее мы рассмотрим некоторые свойства разностных операторов RijQ в пространстве L2(Q). Оказывается, эти свойства тесно связаны со свойствами конечного числа матриц, состоящих из коэффициентов разностного оператора и нулей. Обозначим через подпространство функций в L2(Q), равных нулю вне , а через - оператор ортогонального проектирования функций из L2(Q) на ). Так как μn(∂Qsl) = 0, из абсолютной непрерывности интеграла Лебега следует, что , (3.1) где μn(·) - мера Лебега в Rn. Лемма 3.2. - инвариантное подпространство операторов RijQ. Введем изометрический изоморфизм гильбертовых пространств , (3.2) определив вектор-функцию (Usu)(x) равенством (Usu)l(x) = u(x + hsl) (x ∈ Qs1), (3.3) где l = 1,...,N = N(s), hsl таково, что . Введем матрицы Rijs порядка N(s) × N(s) с элементами , если h = hsl - hsk ∈ M, kl 0, если h = hsl - hsk ∈ M/ , (3.4) Лемма 3.3. Операторы , определенные по формуле RijQs = UsRijQUs-1, (3.5) являются операторами умножения на квадратные матрицы Rijs соответственно. Замечание 3.1. Поскольку область Q является ограниченной, а матрицы Rijs состоят из конечного множества чисел aijh и нулей, то множество различных матриц конечно (см. [31]). Введем блочную матрицу Rs вида . Условие 3.1. Будем говорить, что дифференциально-разностное уравнение (1.1) удовлетворяет условию (SE), если матрицы положительно определены. Здесь матрица Rs∗ является сопряженной к Rs. Поэтому если уравнение (1.1) удовлетворяет условию (SE), то существует константа c > 0 такая, что для всех s = 1,2,... и всех Y ∈ CnN(s) Re(, где (·,·) - скалярное произведение в CnN(s). Всюду далее мы будем считать, что дифференциально-разностное уравнение (1.1) удовлетворяет условию сильной эллиптичности. Определение 3.1. Краевую задачу (1.1)-(1.2) будем называть второй краевой задачей для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения, если σ(x) ≡ 0 (x ∈ ∂Q), и третьей краевой задачей, если Обозначим через пространство Соболева комплекснозначных функций, состоящее из функций, принадлежащих L2(Q) и имеющих все обобщенные производные до k-го порядка из L2(Q). В пространстве вводится скалярное произведение по формуле где α = (α1,...,αn) - вектор с неотрицательными целочисленными координатами, . Обозначим через замыкание пространства C˙ ∞(Q) финитных бесконечно дифференцируемых функций в пространстве . Обозначим) пространство комплекснозначных функций, состоящее из функций, принадлежащих и имеющих все обобщенные производные до k-го порядка из , где Q - произвольная внутренняя подобласть области Q, т. е. Лемма 3.4. Операторы RijQ непрерывно отображают пространство в пространство. Если, то . Введем полуторалинейную форму aR[u,v] в L2(Q) с областью определения D(aR) = W21(Q) по формуле , (3.6) где (σu,v)L2(∂Q) = ((σu)|∂Q,v|∂Q)L2(∂Q). Всюду далее через (f,g)L2(∂Q) будем обозначать скалярное произведение следов функций f,g, т. е. (f,g)L2(∂Q) = (f|∂Q,g|∂Q)L2(∂Q). Из [8, лемма 1, §13, гл. II] получим следующий результат. Лемма 3.5. Пусть выполнено условие (SE). Тогда существуют постоянные c1,c2 > 0 такие, что , (3.7) Re, (3.8) где (3.9) задает квадрат полунормы функции u ∈ W21(Q). Данная полунорма в случае третьей краевой задачи |u|2W21(Q) является эквивалентной нормой функции u ∈ W21(Q). Из неравенств (3.7)-(3.9) и [9, теорема 1.11, §1, гл. VI] следует, что форма aR[u,v] (u,v ∈ W21(Q)) является плотно определенной, замкнутой, секториальной полуторалинейной формой в L2(Q). Поэтому в силу [9, теорема 2.1, §2, гл. VI] существует m-секториальный оператор AR : L2(Q) ⊂ D(AR) → L2(Q) такой, что D(AR) ⊂ D(aR) = W21(Q) и aR[u,v] = (ARu,v)L2(Q) (u ∈ D(AR),v ∈ D(aR)). (3.10) Отсюда и из леммы 3.5 вытекает Лемма 3.6. Пусть выполнено условие (SE). Тогда в случае второй краевой задачи для любого c3 > 0 существует c4 > 0 такое, что Re(, (3.11) а в случае третьей краевой задачи существует c5 > 0 такое, что Re(. (3.12) 4. ОБОБЩЕННЫЕ И КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ Введем пространство Ck(Q) как множество непрерывных и k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q с нормой . (4.1) Определение 4.1. Функцию u будем называть обобщенным решением краевой задачи (1.1)(1.2), если u ∈ W21(Q) и для всех v ∈ W21(Q) aR[u,v] = (f,v)L2(Q). (4.2) Используя методы, изложенные в [10, гл. IV, §1] можно доказать следующее утверждение. Теорема 4.1. Пусть уравнение (1.1) удовлетворяет условию сильной эллиптичности. Тогда вторая краевая задача для эллиптического дифференциально-разностного уравнения разрешима тогда и только тогда, когда . (4.3) При этом существует единственное обобщенное решение u(x) такое, что . Всякое другое решение имеет вид u˜(x) = u(x) + c, где c - некоторая константа. Обобщенное решение третьей краевой задачи существует и единственно для любой f ∈ L2(Q). Приведенная теорема доказана в [23]. Определение 4.2. Функцию назовем классическим решением краевой задачи (1.1)-(1.2), если RijQuxj ∈ C1(Q) (i,j = 1,...,n) и u(x) удовлетворяет уравнению (1.1) для всех x ∈ Q и краевому условию (1.2) на ∂Q. Из определений 4.1 и 4.2 следует Теорема 4.2. Пусть u(x) - классическое решение задачи (1.1)-(1.2), и пусть u ∈ C1(Q) и RijQuxj ∈ C1(Q). Тогда u(x) является обобщенным решением задачи (1.1)-(1.2). 5. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦ ПОДОБЛАСТЕЙ В ШКАЛЕ ПРОСТРАНСТВ В данном разделе мы изучим гладкость обобщенных решений второй и третьей краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений внутри подобластей Qsl и вблизи их границ. Данный результат приблизит нас к ответу на вопрос об условиях существования классического решения краевой задачи (1.1)-(1.2). Всюду в дальнейшем при рассмотрении второй краевой задачи условие ее разрешимости (4.3) будем считать выполненным. Ниже приведем некоторые результаты, которые понадобятся нам для доказательства теоремы о гладкости. Теорема 5.1. Пусть u(x) - обобщенное решение краевой задачи (1.1)-(1.2) и ее правая часть . Тогда. Доказательство содержится в [31, с. 347]. Следствие 5.1. Пусть выполнены условия теоремы 5.1. Тогда почти всюду в Qsl (s = p,q; l = 1,...,N(s)) обобщенное решение u(x) удовлетворяет уравнению (1.1). См. доказательство в [23, с. 1769]. В дальнейшем при исследовании гладкости обобщенных решений краевой задачи (1.1)-(1.2) вблизи границ подобластей Qsl важную роль играет ε-окрестность множества K, определенного в (2.1): Kε = {x ∈ Rn : ρ(x,K) < ε}, где ε > 0. Лемма 5.1. Для любой функции u ∈ W21(Q) имеет место неравенство . См. доказательство в [10, §5, гл. III]. Теорема 5.2. Пусть u(x) - обобщенное решение краевой задачи (1.1)-(1.2), σ ∈ C1(∂Q) и f ∈ L2(Q). Тогда u ∈ W22(Qsl \ Kε) для каждого ε > 0 (s = 1,2...; l = 1,...,N(s)). Доказательство содержится в [8, теорема 2, §11]. Рассмотрим вопрос о гладкости обобщенных решений вблизи границ подобластей Qsl (s = 1,2...; l = 1,...,N(s)) для случая. Теорема 5.3. Пусть для уравнения (1.1) выполнено условие (SE). Пусть u(x) - обобщенное решение краевой задачи . Тогда для каждого ε > 0 (s = 1,2...; l = 1,...,N(s)). Доказательство. В силу теоремы 5.1 достаточно показать, что для любой точки y ∈ ∂Qpi \ K существует шар Ba(y) такой, что, где Ba(y) - шар радиуса a с центром в точке y. Доказательство этого утверждения основано на известном методе аппроксимации оператора дифференцирования конечноразностным оператором. Однако, в отличие от эллиптических дифференциальных уравнений, эллиптические дифференциально-разностные уравнения являются нелокальными. Поэтому, изучая гладкость решения в окрестности точки y ∈ ∂Qsl\K, мы одновременно должны рассматривать соответствующие окрестности всех точек y + h ∈ Q, где h ∈ M. Методы доказательства являются дальнейшим развитием техники, разработанной в [25, теорема 3, с. 1143], [32, теорема 11.3, §11, Гл. II]. 1. Зафиксируем некоторый класс подобластей s = p и точку y ∈ ∂Qpi \ K. Пусть hpl - вектор, удовлетворяющий условию Qpl = Qp1 + hpl (l = 1,...,N(p)), hp1 = 0. Введем точки y1,...,yN(p) так, что yl = yi - hpi + hpl, где yi = y. Из определения множеств Γsl следует, что существует единственное r такое, что , и после перенумерации множеств Qpl и Γrl имеем • yl ∈ Γrl ⊂ ∂Qpl (l = 1,...,N(p)); • Γrl ⊂ Q (l = 1,...,J0 = J0(r)); • Γrl ⊂ ∂Q (l = J0 + 1,...,J(r)). Существует единственная подобласть такая, что Γr1 ⊂ ∂Qqm. Перенумеруем подобласти q-го класса так, чтобы Γrl ⊂ ∂Qql (l = 1,...,J0). РИС. 4. Область Q и ее разбиение после перенумерации множеств Qpl и Γrl. Здесь q = 1, p = 2, N(q) = 3, N(p) = 2, r = 2, J(r) = r, J0(r) = J0 = 2. Введем точки zl ∈ Q (l = 1,...,N(q)), так, что zl = y1 + hql (l = 1,...,N(q)). По построению yl = zl ∈ Q (l = 1,...,J0), zl ∈ ∂Qql \ K, (l = J0 + 1,...,N(q)). В силу леммы 2.8 существует единственная подобласть. Перенумеруем подобласти q-го класса так, что Γrl ⊂ ∂Qql (l = 1,...,J0). Введем точки z1,...,zN ∈ Q так, что. По построению zl = yl ∈ Q (l = 1,...,J0); zl ∈ ∂Qql\K (l = J0 + 1,...,N(q)). Кроме того, по лемме 2.6 . Рассмотрим шары B4δ(xsl) (s = p,q;l = 1,...,N(s)), где xpl = yl, xql = zl. В силу условия и лемм 2.3, 2.4 мы можем выбрать δ > 0 настолько малым, чтобы выполнялись следующие условия: ; • множества - связные и принадлежат классу C∞ (l = 1,...,N(s);s = p,q); ); . 2. Не ограничивая общности, будем считать, что y1 = 0, а уравнение поверхности имеет вид xn = 0. В противном случае можно применить стандартную процедуру распрямления границы (см., например, [10, теорема 4, §2, гл. 4]). Пусть , где ), . Введем пространство функций , где В интегральном тождестве (4.2) положим v = ξv0, где . Так как операторы RijQ коммутируют с операторами умножения на ξ(x), ξxi(x) (i = 1,...,n), легко видеть, что (5.1) и, следовательно, , (5.2) где . В формуле (5.2) положим, а оператор δ-r t определен по формулам где - . Отметим также, что для финитных в Rn \ Q функций v и w, продолженных нулем, справедливы следующие формулы: , δtr(vw) = vδtrw + wtrδtrv. По построению. Из (3.6) получим где . С другой стороны, подставляя равенство (5.2) в (5.3), имеем aR[δtrw,v1] = a1(v1) + a2(v1) + a3(v1), (5.4) где , По теореме о конечных разностях [10, теорема 4, §3, гл. III] получим следующие оценки слагаемых a1(v1), a2(v1), a3(v1): , (5.5) | (5.6) Используя предположение о гладкости σ(x) и лемму 5.1, получим a3(v1) = 0, если σ(x) ≡ 0 (x ∈ ∂Q), (5.7) , если Из соотношений (5.4)-(5.7) получим , если σ(x) ≡ 0 (x ∈ ∂Q), (5.9) , если 3. Положим Очевидно, что. В силу леммы 3.5 Re, если σ(x) ≡ 0 (x ∈ ∂Q), (5.11) Re, если. (5.12) Из оценок (5.9), (5.11) и (5.10), (5.12) получим , если σ(x) ≡ 0 (x ∈ ∂Q), (5.13) , если. (5.14) Используя теорему об аппроксимации обобщенных производных конечно-разностными отношениями (см. [10, теорема 4, §3, гл. III]), мы имеем wxixr ∈ L2(Q) (i + r < 2n), т. е. . 4. Докажем теперь, что . Используя изоморфизм , введенный выше, получим, что (UpPpu)xixj ∈ , где i + j < 2n. Согласно следствию 5.1 функция удовлетворяет уравнению (5.15) где . В виду сильной эллиптичности задачи (1.1)-(1.2), матрица Rnnp имеет обратную. Таким образом, , т. е. Таким образом, теорема 5.3 для k = 0 доказана. 5. Пусть k ∈ N - любое. В силу доказанного выше нам достаточно установить, что для произвольной фиксированной точки границы y ∈ ∂Qpi \ K существует шар Bδ(y) такой, что , а точнее . Из предыдущих рассуждений нам известно, что и выполнено равенство (5.4). Покажем, что для любого m = 1,2,...,k выполнено , и что будет справедливо равенство , (5.4m) где . Здесьλ, β | - 3 Докажем это утверждение при m = 1. Для этого запишем a1(v1) из равенства (5.4) следующим образом: - и перейдем к пределу при t → 0 в равенстве (5.4), тогда . Положим. Тогда, используя (5.3), получим , (5.41) где . Используя теорему о конечных разностях и учитывая гладкость σ(x), получим, аналогично предыдущим оценкам, следующие: , (5.51) (5.61) , если σ(x) ≡ 0 (x ∈ ∂Q), (5.71) , если Из (5.41)-(5.71) получим , если σ(x) ≡ 0 (x ∈ ∂Q) (5.91) , если Полагая), из (5.91), (5.101) в силу (5.11)-(5.14) получим . Отсюда, используя теорему об аппроксимации обобщенных производных конечно-разностными операторами, имеем wxrxgxi ∈ L2(Q) (i = 1,...,n; g,r = 1,...,n - 1), т. е. . Для оценки остальных производных третьего порядка uxgxnxn (g = 1,...,n - 1) продифференцируем равенство (5.15) по xg (g = 1,...,n - 1). Тогда в силу невырожденности матрицы Rnnp мы получим . Отсюда, дифференцируя (5.15) по xn, имеем . Таким образом, и имеет место равенство (5.41). Повторяя этот процесс m раз (), получим, что и имеет место равенство (5.4m). Таким образом, используя результат теоремы 5.1 о внутренней гладкости и итерационную схему, описанную выше, мы доказали теорему. Из теоремы 5.3 и теоремы вложения Соболева вытекает утверждение о принадлежности обобщенного решения пространству непрерывно-дифференцируемых функций внутри подобластей Qsl \ Kε области Q. Следствие 5.2. Пусть уравнение (1.1) - сильно эллиптическое. Пусть u(x) - обобщенное решение краевой задачи . Тогда u ∈ Ck+1-[n2](Qsl \ Kε) для каждого ε > 0 (s = 1,2...;l = 1,...,N(s)).

About the authors

D. A. Neverova

Author for correspondence.
Email: dneverova@gmail.com
Moscow, Russia

References

Supplementary files