Extraction of consistent shell theory equations from 3D theory of elasticity

Cover Page

Abstract


Aims of research. Derivation of consistent equations of the theory of thin elastic shells without hypotheses and stress averaging over the shell thickness. Methods. Using the iterative method of Saint-Venant - Picard - Banach, the three-dimensional problem of the theory of elasticity is solved without any hypotheses. By the principle of compressed mappings, the solution converges asymptotically, regardless of the choice of the values of the initial approximation. Results. A method has been developed for integrating the spatial equations of the theory of elasticity in curvilinear coordinates for a thin shell. The presence of a small parameter allows the integration of the system of equations in such a way that the output data of the first operator is input to the next operator, etc., dividing the original complex operator into a sequence of simple integrable Picard type operators. Each equation contains terms of only one asymptotic order.


Введение1 Классическая линейная теория оболочек, основана на следующих предположениях: заменены равнодействующими усилиями и моментами. Последнее предположение обычно не формулируют отдельным пунктом, предполагая воз- - толщина оболочки 2h* мала по сравнению можность такой замены очевидной. с характерным радиусом кривизны R срединной поверхности; · компоненты тензора напряжения, нормальные к срединной поверхности оболочки, малы по сравнению с другими компонентами; · нормали к недеформированной поверхности оболочки остаются нормалями к деформированной поверхности и не деформируются; · тангенциальные напряжения в уравнениях равновесия и соотношениях упругости могут быть 1© Зверяев E.M., 2019 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License Построение теории оболочек, как правило, выполняется на основе выведенных ранее теорий изгиба стержня и пластины. Сначала Коши и Пуассон для сведения трехмерной задачи к двумерной предложили метод степенных рядов при рассмотрении статики и динамики плоских и искривленных по цилиндрической поверхности пластин. Сен-Венан отдавал предпочтение методам составления основной системы уравнений теории пластин с помощью гипотезы прямой и недеформируемой нормали, называемой также гипотезой Кирхгофа. Гипотеза Кирхгофа была впоследствии распространена Лявом на теорию оболочек [1]. В работе [2] произведена попытка оценки погреш- ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 135 Zveryaev E.M. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 135-148 ности, вносимой в уравнения теории оболочек мерными. Примем, что сплошное упругое тело в гипотезами Кирхгофа. Было показано, что эта направлении α3 ограничено двумя равноотстояпогрешность имеет порядок ε = h* R , где h* - щими на величину друг от друга лицевыми поверхтолщина оболочки; R - некоторый характерный ностями, образуя оболочку постоянной толщины, радиус срединной поверхности оболочки. Однако которую обозначим 2h* . Координаты α1, α2 яввлияние данной работы на улучшение теории оказалось неконструктивным. Койтер [3] подтвердил эти оценки и ввел понятие о согласованной теории, когда все члены уравнений имеют одинаковый порядок. В теориях оболочек типа ляются криволинейными ортогональными координатами срединной поверхности оболочки и представляют собой линии главных кривизн срединной поверхности. Первая квадратичная форма 2 *2 2 *2 2 Лява [4-9] принимается условие, что отношение поверхности имеет вид ds = H1 dα1 + H2 dα2 , γ R ( γ - размерная координата, отсчитываемая где коэффициенты 1 2 H *, H * представляют собой по нормали к срединной поверхности оболочки) мало по сравнению с единицей в выражениях для функции координат α1, α2 и являются размерными напряжений и деформаций. Некоторые из авторов коэффициентами Ламе1. Координата α3 отмеряет 2 2 расстояние по нормали к срединной поверхности учитывают члены порядка γ R , другие в той до рассматриваемой точки. В квадратичной форили иной степени отказываются от гипотезы не- 2 *2 2 *2 2 *2 2 деформируемости нормали. При этом считается, ме ds = H1 dα1 + H2 dα2 + H3 dα3 коэффицичто различие отдельных подходов заключено именент H 3 * для всех точек тела имеет постоянное но в формулировке зависимостей между напряжениями и деформациями. Оценки [2] были дополнены оценками погрешностей в соотношенизначение. Два других коэффициента выражаются через параметры срединной поверхности и рас- * ях упругости [10; 11]. Однако вопрос о погрешстояние H3 α3 по нормали от срединной поверхностях гипотез типа Кирхгофа и соотношениях упругости не нашел исчерпывающего ответа. В свою очередь, вопрос о количестве краевых условий в ности до рассматриваемой точки: * H * = A* æ1+ H3 α3 ö (1, 2), (1) теории оболочек и пластин не имеет удовлетворительного объяснения и продолжает привлекать R 1 1 ç * ÷ è 1 ø внимание [12]. где A1 = A1 (α1 , α2 ) (1, 2) - коэффициенты первой Классическая теория оболочек определяет кинематику на краю оболочки через четыре обоб- * * квадратичной формы срединной поверхности, от- * * щенных перемещения и четыре обобщенных синесенной к линиям главных кривизн; R1 , R2 - лы. Граничные условия на лицевых поверхностях не выполняются и нетангенциальные напряжения не определяются. Деформированное состояние оболочки, построенное путем осреднения уравнений теории упругости, не удовлетворяет закону парности касательных напряжений. В результате получается шестое уравнение равновесия, смысл которого не удается объяснить, и его отбрасывают. В настоящем исследовании на основе метода радиусы главных кривизн. Символы (1, 2) , стоящие после определенных уравнений, указывают, что уравнений подобного вида должно быть два: второе получается круговой заменой указанных символов. Уравнения равновесия в принятой системе координат имеют вид [1; 4] [13] в развитии работ [14; 15] разыскивается медленно меняющаяся составляющая общего решения уравнений пространственной теории упруго- ¶H * ¶ * * * ¶ * * * ¶ * * * H H σ + H ¶α 2 3 11 ¶α 1 2 + ¶α3 1 H3 σ12 ¶H * H1 H2 σ13 сти, удовлетворяющая граничным условиям на ли- -H * 2 σ* o H * 3 σ* + 3 22 2 33 цевых поверхностях. 1. Исходные трехмерные уравнения теории упругости +H * ¶α1 1 ¶H * ¶α σ* + H * ¶α1 1 ¶H * σ* ¶α = 0 (1, 2); Положение точки тела определяется тремя криволинейными ортогональными координатами αi , (i = 1, 2, 3) , которые будем считать безраз- 3 12 2 13 2 3 1 Здесь и далее звездочкой отмечены те размерные величины, которые будут приведены к безразмерному виду. 136 THEORY OF ELASTICITY Зверяев E.M. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 135-148 ¶ H *H *σ* + ¶ H * H *σ* + ¶ H * H *σ* - ¶H1 = ε A1 , ¶H2 = ε A2 . 1 2 33 3 2 13 3 1 23 ¶α3 ¶α1 ¶α2 ¶z R1 ¶z R2 -H * ¶H1 σ* - H * ¶H2 σ* + Имея в виду, как это принято в литературе, * * 2 11 1 22 выделение двумерных уравнений из трехмерных ¶α3 ¶α3 с точностью порядка ε по сравнению с величи- * * нами порядка единицы, отбросим в формулах (4) +H * ¶H3 σ* + H * ¶H3 σ* = 0, (2) вторые члены в скобках и будем считать H = A , 2 13 1 23 1 1 ¶α1 ¶α2 H2 = A2 . ij где σ* , (i, j = 1, 2, 3) - напряжения. Размерное перемещение некоторой точки, имеющей до деформации координаты αi , (i = 1, 2, 3) , С учетом последних соотношений уравнения (2), (3) приводятся к безразмерным уравнениям следующего вида: - уравнения равновесия: определяется проекциями i u*, (i = 1, 2, 3) на кри- ¶ ¶ ¶ волинейные оси координат. Компоненты дефор- ε ¶α A2σ1 + ε ¶α A1σ12 + ¶z A1 A2σ13 мации через перемещения определяются форму1 2 лами: -ε ¶A2 σ § ε ¶A1 σ § ε A1 A2 σ = 0; 2 12 13 * * * ¶α1 ¶α2 R1 e = 1 ¶u1 + 1 ¶H1 u* + 1 ¶ A σ + ε ¶ A σ + ¶ ¶α2 1 2 ¶α1 2 12 ¶z ¶H1 u* (1, 2); 1 H* ¶α H*H* ¶α 2 H*H* ¶α 3 1 1 1 2 2 1 3 3 ε * * * A1 A2σ23 e = 1 ¶u3 + 1 ¶H3 u* + 1 ¶H3 u*; ¶A ¶A A A 3 H * ¶α H * H * ¶α 1 H * H * ¶α 2 -ε 1 σ + ε 2 σ + ε 1 2 σ = 0; 3 3 3 1 1 3 2 2 1 12 23 ¶α2 * * ¶α1 R2 e = H1 ¶ 1 u* + H2 ¶ 1 u*; ¶ ¶ 12 H * ¶α H * 1 H * ¶α H * 2 AA σ + ε A σ + 2 2 1 1 1 2 * * * * ¶z 1 2 3 ¶α1 2 13 e = H3 ¶ u3 + H1 ¶ u1 (1, 2). (3) +ε ¶ A σ § ε A1 A2 σ o ε A1 A2 σ = 0 ; (5) 13 H * ¶α H * H * ¶α H ¶α 1 32 R 1 R 2 1 1 3 3 3 1 Введем безразмерные коэффициенты H1 = 2 1 2 - формулы деформации-перемещения: = H * / R (1, 2) , A = A* / R (1, 2) , в которых под 1 1 1 e = ε 1 ¶u1 + ε 1 ¶A1 u § ε 1 w; величиной R как единицей измерения понимается 1 A ¶α A A ¶α 2 R 1 1 1 2 2 1 некоторый характерный радиус срединной поверх- 1 ¶u 1 ¶A 1 ности, безразмерные перемещения u = u* / h* (1, 2) , e = ε 2 + ε 2 u + ε w; 1 1 2 A ¶α A A ¶α 1 R * * w = u3 / h вдоль осей αi , (i = 1, 2, 3) соответ- 2 2 1 2 1 2 A ¶ u A ¶ u ¶w ственно, безразмерные напряжения σ = σ* / E , e = ε 1 1 + ε 2 2 , e = , (6) i ii 12 A ¶α A A ¶α A 3 ¶z ij ij σ = σ* / E , (i, j = 1¸ 3, i ¹ j ) , безразмерные 2 2 1 1 1 2 и сдвигов в нормальных плоскостях: радиусы главных кривизн R = R* / R (1, 2) , и 1 1 1 ¶w ¶ u положим 3 H * = h* , α3 = z. Подставив эти велиe13 = ε A ¶α + A 1 ; 1 ¶z A чины в соотношение (1), запишем 1 1 1 e = ε 1 ¶w + A ¶ u2 . (7) æ z ö æ z ö 13 A ¶α 2 ¶z A H1 = A1 ç1+ ε R ÷, H2 = A2 ç1+ ε R ÷ , (4) 2 2 2 è 1 ø è 2 ø откуда получаем для производных по z Уравнения должны быть дополнены соотношениями упругости, которые в любой системе ортогональных координат имеют один и тот же ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 137 Zveryaev E.M. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 135-148 вид и в принятой здесь безразмерной записи выглядят так: ¶ A A σ ¶z 1 2 3 = -ε ¶ ¶α A2σ13 - ε ¶ ¶α A1σ23 + 1 2 σi = λ(e1 + e2 + e3 ) + 2μei (i = 1, 2, 3); AA e § νe AA e § νe +ε 1 2 1 2 + ε 1 2 2 1 . σij = μeij (i ¹ j = 1, 2, 3), R1 1- ν R2 1- ν 2 2 где λ, μ - безразмерные коэффициенты Ламе, Видно, что σ3 соизмерима с εσ13 или полученные делением размерных на E . Три первых соотношения упругости, оставив ε(e1 + νe2 ) . Но в левой части первого уравнения формулы для сдвигов неименными, путем тождеможно отбросить член с σ13 как малый следуюственных преобразований можно свести к такой записи: щего порядка малости по сравнению с главным и член с σ3 как величину второго порядка малости, упростив его: o = e1 + νe2 + 1 1- ν2 ν 1- ν σ3 ; σ2 = e2 + νe1 + 1- ν2 ν 1- ν σ3 ; ¶ AA σ = -ε ¶ A æ e1 + νe2 ö + 1 2 13 2 ç 2 ÷ σij = 1 2(1+ ν) eij (i ¹ j = 1, 2, 3); ¶z 2 1 2 ¶A æ e + νe ¶α1 ö è æ ¶ 1- ν ø ¶A ö +ε ç ÷ - εç A σ + 1 σ ÷ (1,2). ¶α è 1- ν2 ø ¶α 1 12 ¶α 12 e =- ν (e + e ) + (1+ ν)(1- 2ν) σ , 1 (8) è 2 2 ø 3 1- ν 1 2 1- ν 3 Более того, учитывая полученные оценки можно упростить первые три соотношения упрупозволяющей организовать последовательный процесс вычисления неизвестных. Для этого перепишем систему уравнений в следующем виде: гости (8), отбросив в них члены с напряжением σ3 как малые более высокого порядка и получить такие соотношения упругости ¶ AA σ § ε A1 A2 σ e1 + νe2 e2 + νe1 ν 1 ¶z 1 2 13 R 13 σ1 = 1- ν2 ; σ2 = 1- ν2 ; e3 = - 1- ν (e1 + e2 ). (9) - ν ε æ - ¶ A σ + ¶A2 σ ö = Для дальнейших вычислений запишем урав- ç 2 3 3 ÷ 1- ν è ¶α1 ¶α1 ø нения в следующей последовательности: - два соотношения для сдвигов (7), в кото- = -ε ¶ A æ e1 + νe2 ö + ε ¶A2 æ e2 + νe1 ö рых e13 , e23 выражены через σ13 , σ23 : ¶α 2 ç 1- ν2 ÷ ¶α ç 1- ν2 ÷ 1 è ø 1 è ø ¶ u1 = -ε 1 ¶w + 2 1+ ν 1 σ 1, 2 ; (10) -εæ ¶ A σ § ¶A1 σ ö (1, 2); ¶z A A2 ¶α ( ) 13 ( ) A ç 1 12 12 ÷ 1 1 1 1 è ¶α2 ¶α2 ø - формулы деформации-перемещения для ¶ AA σ - ε ν AA σ æ 1 + 1 ö = компонент тангенциальной деформации: 1 2 3 1 2 3 ç ÷ ¶z 1- ν è R1 R2 ø e = ε 1 ¶u1 + ε 1 ¶A1 u + 1 ¶A1 w (1, 2); 1 2 A1 ¶α1 A1 A2 ¶α2 A1 ¶z ¶ ¶ A ¶ u A ¶ u = -ε ¶α A2σ13 - ε ¶α A2σ23 + e = ε A ¶α § ε ; A A ¶α A (11) 1 2 +ε A1 A2 e1 + νe2 + ε A1 A2 e2 + νe1 . 1 1 2 2 12 2 2 1 1 1 2 - три тангенциальных соотношения упругости: R 1- ν2 R 1- ν2 1 2 o = e1 + νe2 ; σ = e2 + νe1 ; σ = e12 , (12) В левой части третьего уравнения можно от- 1 1- ν2 2 1- ν2 12 2(1+ ν) бросить одноименный с главным член жителем ε и переписать его так: σ3 с мно- в которых два первых взяты упрощенными из (9); 138 THEORY OF ELASTICITY Зверяев E.M. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 135-148 - два первых уравнения равновесия, в которых известные в первой итерации и т.д. Однако здесь отброшены члены с главными: εσ13 как малые по сравнению ограничимся вычислением только нулевой итерации, обеспечивающей асимптотическую точность ε , т.к. уравнения (9)-(15) записаны с такой же точ- ¶ ¶ ¶ ностью. A A σ = -ε ¶z 1 2 13 ¶α A2σ1 - ε ¶α A1σ12 + Величины начального приближения выберем 1 2 такими: +ε ¶A2 σ ¶α1 o ε ¶A1 σ 2 2 ¶α 12 (1, 2); (13) w = w(0) = w0 (α1 ,α2 ); - третье уравнение равновесия, в котором на- σ13(0) = τ13(0) (α1 ,α2 ); пряжения σ1, σ2 определены из соотношений (9) σ23(0) = τ230(0) (α1 ,α2 ), (16) и напряжение σ3 отброшено как малое по сравнению с одноименным главным: ¶ ¶ ¶ считая поперечное перемещение и касательные напряжения в нулевом приближении не зависящими от поперечной координаты. Для удобства A A σ = -ε ¶z 1 2 3 ¶α A2σ13 - ε ¶α A1σ23 + процедуру вычислений разделим в силу линейно- +ε A1 A2 σ 1 2 · ε A1 A2 σ ; (14) сти задачи на два элементарных процесса: w и τ [13-15]. В w -процессе задаются величины началь- R R 1 2 1 2 ного приближения: - формулы для поперечной деформации растяжения (сжатия) и перемещения w w(0) = w0 , σ13(0) = σ23(0) = 0, (17) e =- ν (e + e ); ¶w = e . (15) совпадающие с известными гипотезами Кирхгоффа и рассматриваемые в настоящей работе как 3 1- ν 1 2 ¶z 3 величины начального приближения. Погрешность записанной системы уравнений оценивается в ε по сравнению с единицей. Решение системы уравнений (9)-(15) будем искать методом простых итераций. Предполо- Для сведения трехмерных формул, связывающих деформации и перемещения, к двумерным В.З. Власов использует гипотезы прямой и недеформируемой нормали: жим, что в (10) перемещение w и касательные e = 0; e = e = 0 . (18) напряжения σ13 , σ23 известны. В этом случае 3 13 23 Тогда из уравнений (6) и (7) следует: тангенциальные перемещения u1 , u2 вычисляются путем прямого интегрирования по z . Подставив их и предположенное известным нормаль- 0 1 2 w* = w* (α , α ); 1 ¶w* * * ное перемещение w в (11), вычисляем тангенциu1 = -ε * 1 1 A ¶α z + u10 ; альные деформации e1 , e2 , e12 . Уравнения (12) * позволяют определить тангенциальные напряжения σ1, σ2 , σ12 . Уравнения (13) дают возможность 2 A * u* = -ε 1 2 ¶w ¶α2 20 z + u* , путем интегрирования по z вычислить неизвестные нетангенциальные напряжения сдвига σ13 , σ23 , где u , u * * 10 20 o тангенциальные перемещения точа уравнение (14) - нетангенциальное нормальное ки срединной поверхности. Затем он подставляет это в выражения (3) и, напряжение σ3 , которое в классической теории используя для коэффициентов формулы (1) и расоболочек не вычисляется. Последние два соотношения (15) позволяют найти также отсутствукладывая деформации e1 , e2 , e12 в ряды по степе- * ющие в классической теории поперечную деням поперечной координаты γ = H3 z до второй формацию и перемещение. На этом нулевую итерацию можно считать законченной. степени, получает выражения для тангенциальных и нетангенциальных компонент деформации 2 Если теперь найденные w, σ13 , σ23 подставить оболочки с точностью до ε . Здесь будут полув выражения (10), можно вычислить искомые нечены формулы для деформаций с точностью ε , т.к. в формулах (4) отбрасывается второй член в ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 139 Zveryaev E.M. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 135-148 скобках, внося погрешность порядка ε во все дальнейшие вычисления. В настоящем исследовании гипотезы (18) можно рассматривать как величины начального приближения w-процесса, заданные выражениями (17). Вычислять неизвестные будем в следующем порядке. Исходя из величин начального o = ε m z + εt ; 2 1(0) 1(0) 1(0) o = ε m z + εt ; 2 2(0) 2(0) 2(0) o = ε h z + εs , 2 12(0) (0) (0) в которых (22) приближения, из уравнений ¶ u1 = -ε 1 ¶w0 , 1 1 1 1 t1(0) = 2 (ε1(0) + νε2(0) ); ¶z A A2 ¶α 1- ν ¶ u1 = -ε 1 ¶w0 , ¶ u2 = -ε 1 ¶w0 , полу1 1 1 1 2 2 2 2(0) 2 ( 2(0) 1(0) ) ¶z A A2 ¶α ¶z A A2 ¶α t = ε 1- ν § νε ; чаем выражения для перемещений u1(0) , u2(0) : s = 1 ω ; u = -ε 1 ¶w0 z + u ; (0) 2 (1+ ν) (0) 1(0) A ¶α 10 1 1 m = 1 κ § νκ ; 1 u2(0) = -ε A ¶w0 z + u . ¶α 20 (19) 1(0) 1- ν2 ( 1(0) 2(0) ) 2 2 m = 1 κ § νκ ; Подставив их в правые части формул деформации-перемещения (11), получим: 1(0) 1(0) 1(0) e = ε2 κ z + εε (1, 2); 2(0) h(0) = 1- ν2 ( 1 2 (1+ ν) 2(0) τ(0). 1(0) ) e = ε τ z + εω . 2 12(0) (0) (0) Здесь использованы компоненты: Полученные напряжения подставим в уравнения (13), что даст следующие выражения для касательных напряжений: - нетангенциальной деформации: o = ε 1 é- ¶ æ A ε2m z2 ö § εt z - 13(1) AA ê ¶α 2 ç 1(0) 2 1(0) ÷ 1 2 ë 1 è ø κ =- 1 ¶ 1 ¶w0(0) 1 - ¶A1 1 ¶w0(0) (1, 2); 2 ¶ æ 2 z 2 ö ¶A2 æ 2 z ö 1(0) A ¶α A ¶α A A ¶α A ¶α - A1 çε h(0) +εs(0) z÷+ çε m2(0) +εt2(0) z÷- 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ¶α 2 ¶α 2 2 è ø 1 è ø ¶ æ 2 öù τ =- A1 ¶ 1 ¶w0(0) A ¶ - 2 1 ¶w0(0) ; (20) A1 2 § çε h z + εs z ÷ú + τ 1 « 2 . (23) (0) A ¶α A2 ¶α A ¶α A2 ¶α ¶α è (0) 2 (0) øû 130 ( ) 2 2 1 1 1 1 2 2 - и тангенциальной деформации: 2 Здесь τ130 = τ130 (α1, α2 ), τ230 = τ230 (α1, α2 ) - ( ) ε = 1 ¶u + 1 ¶A u § 1 w 1, 2 ; произволы интегрирования, определяющие постоянные по толщине составляющие напряжений. 10 1 ( ) 1 0 A ¶α A A ¶α 20 R 0 Подставляя эти напряжения вместе с нормаль- 1 1 1 2 2 1 ными тангенциальными напряжениями в третье уравнение системы (14), вычисляем нормальное ω(0) = A1 ¶ A ¶α u10 + A2 ¶ A A ¶α u20 . A (21) нетангенциальное напряжение σ3(1) в первом при- 2 2 1 1 1 2 ближении: Величина w0 является решением уравнения z æ z ö 4 3 1 ì ¶ é 1 ¶ 3 2 ¶w σ3(1) = AA í-¶α ê- A ¶α A2 çε m1(0) 6 +ε t1(0) 2 ÷e3 = ¶z = 0 . С помощью первых двух соотноше- 1 2 î 1 ë 1 1 è ø 3 2 1 ¶ æ 4 z 3 z ö ний упругости (12) вычисляем, учитывая послед- - A ¶α A1 çε h(0) 6 + ε s(0) 2 ÷ + нее равенство в (19), тангенциальные напряжения: 1 2 è ø 140 THEORY OF ELASTICITY Зверяев E.M. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 135-148 - ¶ é- 1 ¶ æ A ε4m z + ε3t z ö ющих m1 , m2 и крутящего h моментов и парамет- 3 2 ¶α ê A ¶α 1 ç 2(0) 6 2(0) 2 ÷ ры тангенциальных напряжений t1 , t2 , s . Также 2 ë 2 2 è ø 3 2 вычислены поперечное нормальное σ3 , касатель- - 1 ¶ æ A ε4h z + ε3s z ö + A ¶α 2 ç (0) 6 (0) 2 ÷ ные σ13 , σ23 напряжения и установлена зависи- 2 1 è ø мость поперечного перемещения w от координа- + 1 ¶A1 æε4m z + ε3t z ö ты z , которыми в классической теории прене- 3 2 A ¶α ç 1(0) 6 1(0) 2 ÷ брегают. Видно, что напряжение σ3 имеет поря- 1 2 è ø 3 2 док ε4 относительно m1(0) , тогда как тангенци- 1 ¶A2 æε4h z ε3s z öù - ç A ¶α (0) 6 + (0) 2 ÷ú + альное напряжение - порядок ε2 относительно 2 1 è øû той же величины. Это оправдывает пренебрежение o A1 A2 æε4m z + ε3t z ö + величиной σ3 в первых двух формулах в (9) и при 3 2 R ç 1(0) 6 1(0) 2 ÷ выборе величин начального приближения (19). 1 è ø Отметим, что в схеме последовательного вы- A1 A2 æε4m z ε3t z öüï числения неизвестных 3 2 o R ç 2(0) 6 + 2(0) 2 ÷ý - 2 è øïþ -ε 1 ¶ A τ z - (w(0) , σ13(0) , σ23(0) )Þ (u1(0) , u2(0) )Þ A1 A2 ¶α1 2 130 (e1(0) , e2(0) , e12(0) , ε1(0) , ε2(0) , ω(0) , κ1(0) , κ2(0) , -ε 1 ¶ A τ z + σ . (24) τ(0) )Þ (σ1(0) , σ2(0) , σ12(0) )Þ A1 A2 ¶α2 1 230 30 (σ13(1) , σ23(1) ,σ3(1) , w(1) )ÞL (26) Здесь σ30 = σ30 (α1, α2 ) § произвол интегрирования, определяющий постоянную по толщине составляющую напряжения. С помощью последнего уравнения из (15) находим поперечное перемещение в первом приближении: w = w(0) + w(1) = можно любую совокупность величин выбрать в качестве величин нулевого приближения и продолжить процесс вычисления остальных. 1. Выполнение граничных условий на лицевых поверхностях оболочки ë = w - ν é 2 ε κ +κ 2 2 z +ε ε +ε ù z .(25) На лицевых поверхностях оболочки надо выполнить граничные условия, соответствующие 0 1- ν ê ( 1(0) 2(0) ) ( 1(0) 2(0) ) ú û условиям нагружения. В безразмерном виде эти условия записываются так: Поскольку поправка w(1) является величиной σ3 = Z+ ; σ13 = X1+ ; σ23 = X 2+ при z = 1; ε по сравнению с w0 , она может быть отброшена, и поперечное перемещение будет состоять только из прогиба срединной поверхности. Соотношения (19)-(25) дают выражения всех σ3 = Z- ; σ13 = X1- ; σ23 = X 2при z = -1, (27) девяти неизвестных трехмерной задачи теории упгде безразмерные нагрузки получены путем деления размерных на модуль упругости E . ругости u1 , u2 , σ1 , σ2 , σ12 , σ13 , σ23 , σ3 , w при на- Посмотрим, можно ли выполнить эти грачальном выборе нетангенциальных касательных напряжений, отсутствующих в нулевом приближении, через 15 неизвестных теории оболочек: пеничные условия величинами (22) и (23), считая, что они аппроксимируют искомые величины в первом приближении с достаточной точностью: ремещения срединной поверхности u1 , u2 , w , не- 2 тангенциальные деформации κ1 , κ2 , τ , тангенциo = ε3 1 Ew z o ε2 1t 1 Ew z + τ (1, 2); альные деформации ε1 , ε2 , ω , параметры изгиба- A A 2 13 1m 1 2 A1 A2 130 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 141 Zveryaev E.M. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 135-148 o = -ε 1 ¶ B ´ 2 æ ¶ ¶ ¶A2 ¶A1 ö 3 ε 2ç- At s + t s ÷ = A1 A2 ¶α1 ¶α 2 1(0) ¶α (0) ¶α 2(0) ¶α (0) è 1 2 1 1 2 ø æ § ε3 1 Ew z · ε2 1 Ew z + τ z ö - 1 2 ( 1+ 1- ) 3 2 = AA X - X ; ç AA 1m 6 AA 1t 2 130(0) ÷ æ ¶ ¶ ö è 1 2 1 2 ø -ε 4 1 ç A τ + A τ ÷ + -ε 1 ¶ A´ 3 A1 A2 è ¶α1 2 130(0) ¶α2 1 230(0) ø A1 A2 ¶α2 2 æ t1(0) t2(0) ö 1 1 R +ε 2 çç 3 2 è 1 R + ÷÷ = Z+ - Z- + ε 2 ø ´ 3 A1 A2 æ · ε3 1 Ew z · ε2 1 Ew z + τ z ö + ç AA 2m 6 AA 2t 2 230(0) ÷ è 1 2 1 2 ø ´é ¶ A ( X + X ) + ¶ A ( X + X )ù ; æ m m ö z2 æ t t ö ê ë¶α1 1- 2 1+ ¶α2 1 2+ 2- ú û ç +ε3 ç 1(0) + ÷ ç 2(0) ÷ + ε2 ç 1(0) + 2(0) ÷÷ z + σ30. (28) è R1 R2 ø 2 è R1 R2 ø ¶ ¶ ¶A ¶A ε3 æ- Am - Ah + 2 m ö - 1 h + ç ¶α 2 1(0) ¶α 1 (0) ¶α 2(0) ¶α (0) ÷ Здесь введены обозначения: è 1 2 1 2 ø w ¶ ¶ +2 A1 A2 τ130 = A1 A2 ( X1+ + X1- ) (1, 2). (31) E1m =- α A2m1(0) - α A1h(0) + А также шестое уравнение: ¶ 1 ¶ 2 ¶A ¶A + 2 m ( ) - 1 h( ) (1, 2); - 1 ¶ ε3 1 w - 1 ¶ ε3 1 w + ¶α 2 0 ¶α 0 AB ¶α A E1t A B ¶α A E2t 1 2 w ¶ ¶ 1 2 1 1 1 2 2 2 E1t =- A2t1(0) - A2 s(0) + 3 æ m10 m20 ö ¶α1 ¶α2 +ε ç R + R ÷ + 2σ30 = Z+ + Z- , t - + ¶A2 ( ) ( ) ( ¶A1 s 1, 2). (29) è 1 2 ø ¶α 2 0 ¶α 0 1 2 Подчинение напряжений граничным условиям (27) дает пять уравнений с шестью неизвестныw w w w сводящееся к уравнению, определяющему = σ30 (α1,α2 ) : σ30 = ми E1t , E1m , τ130 , E2t , E2m , τ230 : 2σ = Z + Z + ε3 1 é ¶ A ( X - X ) + 30 + - 2 AA ê¶α 2 1+ 1- ε2 2Ew = A A ( X - X ) (1, 2); 1 2 ë 1 1t 1 2 1+ 1- ¶ ù æ m m ö A1 ( X 2+ - X 2- ç )ú - ε3 ç 1(0) + ÷ 2(0) ÷. ε4 1 1 æ ¶ 1 w ¶ 1 w ö ¶α2 û è R1 R2 ø 1 2 è 1 o 3 A A ç ¶α E1m + A1 ¶α2 E2m ÷ - A2 ø Напряжениям σ13 и σ3 из (28) можно придать -2ε 1 æ ¶ A τ + ¶ A τ ö + более простой вид, преобразовав их с помощью AA ç ¶α 2 130(0) ¶α 1 230(0) ÷ уравнений (30): 1 2 è 1 2 ø æ tw tw ö +ε2 2 1(0) + 2(0) = Z - Z o = ( X 2 + X ) z + 1 ( X o X ) z + ç ç R1 ÷ + - R2 ÷ 13 1+ 1- 2 2 1+ 1- è ø +τ130 (1- z2 ) (1, 2); ε3 Ew · 2 A A τ = A A ( X + X ) (1, 2). 1 (30) 1m 1 2 130 1 2 1+ 1- σ3 = - (Z+ + Z- ) - Или с учетом обозначений (29) и последних двух уравнений равновесия - с неизвестными ε 1 2 é ¶ A ( X + X ) + ¶ A (Y 3 + Y )ù z + ê ú m1(0) , t1(0) , h(0) , s(0) , τ130 (1, 2) : A1 A2 2 ë¶α1 + - 1 ¶α2 + - û 6 142 THEORY OF ELASTICITY Зверяев E.M. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 135-148 +ε 1 1 é ¶ A X - X + ¶ A X - X ù´ N * = h σ* dγ (1, 2); 1 2 ë 1 2 A A ê¶α 2 ( 1+ 1- ) 1 ( 2+ ¶α2 2- )ú û 1 ò 13 -h 1- z2 1 æ ¶ ¶ ö h ç ´ - ε ç 2 AA ¶α A2 τ130(0) + ¶α A1τ230(0) ÷´ M1 = ò σ1 γdγ (1, 2); * * 1 2 è 1 2 ø -h æ z3 ö æ t t ö h ç M z + = ò ´ç z - ÷ + ε2 ç 1(0) + 2(0) ÷÷ 12 12 o σ* γdγ. (33) è 3 ø è R1 R2 ø -h ε2 ç 1(0) + 2(0) z + ε3 ç 1(0) + 2(0) . æ t t ö æ m m ö z2 -1 + ç R R ÷÷ ç R R ÷÷ (32) Введенные таким образом величины должны удовлетворять уравнениям равновесия [6]: è 1 2 ø è 1 2 ø 2 - ¶ A*T * - ¶ ¶A* A*S * + 2 T * - Отсюда хорошо виден закон распределения ¶α 2 1 ¶α 1 2 ¶α 2 нетангенциальных напряжений по толщине обо- 1 2 1 лочки. Легко проверить, что напряжения удовлетворяют условиям нагружения на лицевых по- 1 ¶A* o S o A A N * 1 = A A X (1, 2); верхностях. ¶α2 * * * * * * R 1 1 2 * 1 2 1 1 * * 4. Сравнение T1 + T2 - 1 æ ¶ A* N * + ¶ A* N * ö = * * * * ç 2 1 1 2 ÷ с уравнениями классической теории R1 R2 A1 A2 è ¶α1 ¶α2 ø В классической теории оболочек в качестве неизвестных вводятся усилия и моменты, опре- + - = Z * - Z *; A* деляемые через соответствующие им напряжения - ¶ A*M * - ¶ A*M * + ¶ 2 M * - 2 1 1 12 2 интегралами следующего вида: ¶α1 ¶α2 ¶α1 T * = 1 h B σ* H *dγ 1, 2 ; ¶A* - 1 M * - A* A* N * = 0 (1, 2). (34) 1 * ò 1 2 ( ) -h h ¶α2 12 1 2 1 S * = 1 σ* H *dγ; B * ò 12 2 -h h Усилия и моменты связаны с деформациями соотношениями упругости: * N * = 1 σ* H *dγ 1, 2 ; T * = 2Eh (ε +n ε ) (1, 2); B 1 * ò -h 13 2 ( ) 1 1- ν2 1 2 * 2Eh* h M * = 1 σ* H *γdγ 1, 2 ; S = ω; ( ) B 1 * ò 1 2 ( ) -h h 2 1+ ν 2Eh*3 M1 = (κ1 + νκ2 ) (1, 2); M * = 1 σ* H *γdγ. * * * 3(1- ν2 ) B 12 * ò -h 12 2 * * 3Eh*3 Учитывая, что в настоящей работе все вычис- M12 = τ . 3(1+ ν) (35) ления ведутся с точностью ε , последние определения можно переписать так: Компоненты деформации определяются выражениями: h * * * * * ε = 1 ¶u + 1 ¶u + w 1, 2 ; ( ) T1 = ò σ1 dγ (1, 2); 1 2 1 * * * * -h A1 h ¶α1 A1 A2 ¶α2 R1 * * A* ¶ u* A* ¶ u* S = ò σ12dγ; ω = 1 1 + 2 2 ; * * * * -h A2 ¶α2 A1 A1 ¶α1 A2 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 143 Zveryaev E.M. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 135-148 κ* = 1 ¶ 1 ¶w* 1 + * ¶A1 ¶w* ниями. Соответствие соотношений упругости (22) и (35) устанавливается с помощью (36) тем же пу- 1 A* ¶α A* ¶α A* A*2 ¶α ¶α 1 1 1 1 1 2 2 2 тем. Таким образом, выведенные в настоящей рабоu1 ¶ 1 - u2 ¶ 1 + w (1, 2); те в результате применения w -процесса выраже- * * * A* ¶α R* A* ¶α R* R*2 ния искомых неизвестных в первом приближении 1 1 1 2 1 1 1 и выполнения ими граничных условий на лицевых 1 æ ¶2w* τ* =- ç 1 ¶A* ¶w* - 1 - 1 ¶A* ¶w* ö 2 ÷ + поверхностях оболочки дают уравнения классической теории с точностью до величин порядка ε * * * * A1 A2 è ¶α1¶α2 A1 ¶α2 ¶α1 A2 ¶α1 ¶α2 ø по сравнению с единицей. * * * * Приведем сводку уравнений и формулы для + 1 æ 1 - 1 öæ A1 ¶ u1 o A2 ¶ u2 ö напряжений и перемещений, выведенной здесь тео- ç * * ÷ç * * * * ÷ 2 è R1 R2 øè A2 ¶α2 A1 A1 ¶α1 B ø рии, опустив указывающие на процесс и приближение индексы: либо несущественно отличающимися от этих. Общепризнанно, что тангенциальные переме- § уравнения равновесия: щения в формулах для нетангенциальных дефор- æ ¶ ¶ ¶A ¶A ö 2 2 1 маций могут быть отброшены. ε 2 ç - ¶α A2t1 - ¶α A1s + ¶α t2 - ¶α s ÷ = Поскольку выведенные в работе уравнения имеют точность ε и записаны в безразмерном виде, приведем уравнения классической теории к безразмерному виду и такой же точности, выразив размер- è 1 2 1 2 ø = A1 A2 ( X1+ - X1- ) (1, 2); 4 1 æ ¶ ¶ ö ные усилия и моменты через безразмерные пара- -ε ç 3 AA ¶α A2 τ13 + ¶α A1τ23 ÷ + метры. Умножим напряжения (22) и (32) на модуль упругости E , сделав их размерными, и под- 1 2 è 1 2 ø ставим в (33). После интегрирования получаем +ε2 2æ t1 + t2 ö = Z - Z + ε 1 1 ´ ç ÷ + связь между размерными усилиями и моментами и безразмерными параметрами усилий и моментов, ´é ¶ è R1 R2 ø + + ¶ 3 A1 A2 ù + являющимися коэффициентами в законах распределения напряжений (22)-(24): ê¶α A2 ( X1+ X1- ) A1 ( X 2+ ¶α X 2- )ú , * * * T = 2Eh εt1(0) (1, 2); S * = 2Eh εs(0); ë 1 2 û 1 3 æ ¶ ¶ ¶A ¶A ö 2 1 * 2 *2 2 ε ç - ¶ A2m1 - ¶ A1h + ¶ m2 - ¶ h ÷ + M = Eh 3 ε m ( ) (1, 2); è α1 α2 α1 α2 ø 1 1 0 +2 A1 A2 τ13 = A1 A2 ( X1+ + X1- ) (1, 2); (37) * 2 *2 2 M = Eh 3 ε h( ) (1, 2); § соотношения упругости: 12 0 N * = 2 Eh* ( X + X ) + 4 Eh*τ . (36) 1 1 1 3 + - 3 130 t1 = 2 (ε1 + νε2 ) (1, 2); 1- ν s = ω; 2 (1+ ν) Если заменить безразмерные параметры в уравнениях (31) в соответствии с этими выражениями, получим расхождение только в первых двух уравm1 = 1 1- ν 2 (κ1 + νκ2 ) (1, 2); h = 1 τ; 2 (1+ ν) нениях равновесия в силу наличия в классических - компоненты тангенциальной деформации: уравнениях (34) членов A* A* N * R* , A* A* N * R* , 1 2 1 1 1 2 2 2 которые являются малыми порядка ε по сравне- ε = 1 ¶u1 + 1 ¶A1 u + 1 w (1, 2); 1 2 нию с остальными. При использовании уравне- A1 ¶α1 A1 A2 ¶α2 R1 ний теории оболочек их принято отбрасывать, A ¶ u A ¶ u т.к. в расчетах они всегда являются пренебрежимо малыми. Легко проверить совпадение приведенных к ω = 1 1 + A2 ¶α2 A1 2 2 ; A1 ¶α1 A2 размерным величинам формул для компонент де- - компоненты нетангенциальной деформации: формации (20), (21) с формулами (36), где в фор- 1 ¶ 1 ¶w 1 1 ¶A 1 ¶w мулах компонент нетангенциальной деформации κ1 =- - (1, 2); отброшены члены с тангенциальными перемеще- A1 ¶α1 A1 ¶α1 A1 A2 ¶α2 A2 ¶α2 144 THEORY OF ELASTICITY Зверяев E.M. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 135-148 τ =- A1 ¶ 1 ¶w - A2 ¶ 1 ¶w ; здесь определены все искомые неизвестные исход- A ¶α A2 ¶α A ¶α A2 ¶α ной задачи в напряжениях и перемещениях, без вве- 2 2 1 1 1 1 2 2 - формулы для перемещений: дения понятия об осредненных по толщине усилиях и моментах. Однако известно, что для выполнения граничных условий на торцевых поверхностях, необходимо дополнительно учитывать поu = -ε 1 ¶w z + u 1, 2 ; правку на сдвиг [7; 8; 13-22]. 1 10 ( ) A1 ¶α1 u =- ν é ε2 (κ +κ 2 ) z + ε (ε +ε ) zù + w ; Заключение 3 1- ν ê 1 2 2 1 2 ú 0 Выведенные уравнения теории оболочек поз- ë û - тангенциальные напряжения: 2 ( ) 2 воляют оценить погрешность классической теории. Для этого в записанных в безразмерной форме уравнениях выделен малый параметр, характеризующий относительную толщину оболочки и позволивший σ1 = ε m1 z + εt1 1, 2 ; σ12 = ε hz + εs; отбросить малые по сравнению с главными величины в исходных уравнениях трехмерной теории - нетангенциальные касательные напряжения: z2 σ13 = ( X1+ + X1- ) + 2 упругости. В выводимых ранее теориях в силу использования размерных уравнений такая возможность представляется сомнительной. Классические уравнения содержат в первых двух уравнениях равновесия перерезывающие усилия, а в фор- + 1 ( X 2 1+ - X1- ) z + τ13 (1- z2 ) (1, 2); (38) мулах - компоненты нетангенциальной деформации-перемещения и члены с тангенциальными перемещениями, которые в практических задачах - нетангенциальное нормальное напряжение: и учебниках отбрасываются как малые, что объясняется или отсутствием влияния на расчеты, или 1 æ ¶ ¶ öæ z3 ö пологой оболочкой. Подобное имеет место по при- σ3 = -ε ç AA ¶α A2 τ13 + ¶α A1τ23 ÷ç z - 3 ÷ + чине различной степени точности написания урав- 1 2 è 1 2 øè ø 2 нений классической теории. Рассматривая схему вычисления (26) как про- +ε2 æ t1 · t2 ö æ m m ö z -1 z + ε3 1 + 2 цесс, в котором слева вначале задается величина ç ÷ ç ÷ нулевого приближения, а справа вычисляется по- è R1 R2 ø è R1 R1 ø 2 правка к нему в виде величины первого приближе- - 1 (Z 2 + + Z- ) - ε 1 ´ A1 A2 ния, можно заметить, что последняя имеет множитель ε2 , т.е. поправка мала и убывает асимптотически вместе с малым параметром. Однако уста- 2 1+ 1- ê ´é ¶ A ( X + X ) + ¶ z ù 3 A1 ( X 2+ + X 2- )ú + новить однозначно вид асимптотических разложений искомых неизвестных не представляется воз- ë¶α1 +ε 1 1 é ¶ A X ¶α2 o X · ¶ A X û 6 ù o X ´ можным без априорных соображений об изменяемости искомого НДС. Легко заметить, что классические гипотезы ис- 1 2 ë 1 2 A A ê¶α 1- z2 ´ . 2 2 ( 1+ 1- ) 1 ( 2+ ¶α2 2- )ú û пользуются при выборе величин начального приближения (17), и дальше к ним вычисляется поправка. Она, как правило, мала. Однако сам вывод методом простых итераций требует кроме начального приближения о недеформируемости норма- Эти уравнения соответствуют классическим гипотезам Кирхгоффа при выборе величин начального приближения и выделены из общих уравнений теории упругости путем отбрасывания величин порядка ε по сравнению с главными и выполнения граничных условий на лицевых поверхностях оболочки. В отличие от классической теории ли (чему соответствует w -процесс) задания начальной величины сдвига, соответствующего дополнению по Тимошенко - Рейсснеру. Трактовка классических гипотез и поправок Тимошенко - Рейсснера в качестве величин начального приближения (16) позволяет процесс вычислений неизвестных отнести к полуобратному методу Сен-Венана, ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 145 Zveryaev E.M. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 135-148 модифицируя его до итерационного, и опереться на принцип сжатых отображений Банаха. Отказ от использования классической гипотезы осреднения и вывод уравнений на основе принципа сжатых отображений приводят в случае сведения двумерной задачи к одномерной для полосы и трехмерной задачи к двумерной для пластины из композиционного материала к другим по сравнению с традиционными эффективным коэффициентам жесткости [21; 22]. Таким образом, в результате применения модифицированного полуобратного метода Сен-Венана - Пикара - Банаха дано приближенное решение пространственной задачи теории упругости путем сведения к двумерным разрешающим уравнениям для медленно меняющихся переменных, совпадающее с уравнениями равновесия классической теории оболочек.

Evgeny M Zveryaev

Keldysh Institute of Applied Mathematics; Moscow Aviation Institute (National Research University)

Author for correspondence.
Email: zveriaev@mail.ru
4 Miusskaya Sq., Moscow, 125047, Russian Federation; 4 Volokolamskoe Shosse, Moscow, 125993, Russian Federation

Doctor of Technical Sciences, Professor, Keldysh Institute of Applied Mathematics, Moscow Aviation Institute (National Research University).

  • Love A.E.H. (1927). A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. Cambridge: Univ. Press., 674.
  • Novozhilov V.V., Finkel'shtejn R.M. (1943). O pogreshnosti gipotez Kirhgofa - Lyava v teorii obolochek [On the error of Kirchhoff - Love hypotheses in the theory of shells]. PMM, 7(5), 323-330. (In Russ.)
  • Koiter W.T. (1960). A consistent first approximation in the general theory of thin elastic shells. Proc. IUTAM Symp. On the theory of thin elastic shells (Delft. 1959). Amsterdam, North-Holland Publishing Company, 12-33.
  • Vlasov V.Z. (1949). Obshchaya teoriya obolochek i ee prilozheniya v tekhnike [The General Shells Theory and its Application in Technology]. Moscow: Gostekhizdat Publ., 784. (In Russ.)
  • Lur'e A.I. (1947). Statika tonkostennyh uprugih obolochek [Statics of thin-walled elastic shells]. Moscow: Gostekhizdat Publ., 252. (In Russ.)
  • Novozhilov V.V. (1964). Thin shell theory. 2nd ed. The Netherlands, 432.
  • Gol'denvejzer A.L. (1976). Teoriya tonkih uprugih obolochek [Theory of Elastic Thin Shells]. Moscow: Nauka Publ., 512.
  • Reissner E. (1971). On consistent first approximations in the general linear theory of thin elastic shells. Ing. arch, 40(6), 402-419. doi.org/10.1007/BF00533975
  • Başar Y., Krätzig W.B. (2001). Theory of shell structures. 2nd ed. Düsseldorf: VDI Verlag.
  • Zveriaev E.M. (1970). On elasticity relationships in the linear theory of thin elastic shells. Prikl. Mat. Mekh., 34(6), 1136-1138.
  • Rogachova N.N. (1974). On the Reissner - Naghdi elasticity relationship. Prikl. Mat. Mekh., 38(6), 1063-1071.
  • Vasil'ev V.V. (2012). O preobrazovaniyah Tomsona - Tehta v klassicheskoj teorii plastin [Kirchhoff and Thomson - Tait Transformations in the Classical Theory of Plates]. MTT, (5), 98-107. (In Russ.)
  • Zveryaev E.M. (2018). Metod Sen-Venana - Pikara - Banaha integrirovaniya uravnenij v chastnyh proizvodnyh s malym parametrom [The Saint-Venant - Picard - Banach method of integrating equations in partial derivatives with a small parameter]. Preprinty IPM imeni M.V. Keldysha, (83), 19. doi: 10.20948/prepr-2018. (In Russ.)
  • Zveryaev Ye.M. (2016). Neprotivorechivaya teoriya obolochek [A consistent theory of thin elastic shells]. Prikl. Mat. Mekh., 80(5), 580-596. (In Russ.)
  • Zveryaev E.M. (2016). Konstruktivnaya teoriya tonkih uprugih obolochek [Constructive theory of thin elastic shell]. Preprinty IPM imeni M.V. Keldysha, (33), 25. doi: 10.20948/prepr-2016-33. (In Russ.)
  • Zveryayev Ye.M. (2008). Analiz gipotez, ispol'zuemykh pri postroenii teorii balok i plit [Analysis of hypotheses used when constricting the theory of beams and plates]. Prikl. Mat. Mekh., 67(3), 472-481. (In Russ.)
  • Zveryayev Ye.M., Makarov G.I. (2008). Obshchii metod postroeniya teorii tipa Timoshenko [A general method for constructing Timoshenko-type theories]. Prikl. Mat. Mekh., 72(2) 308-321. (In Russ.)
  • Zveryaev E.M. (2014). Vydelenie uravnenij tipa Timoshenko iz prostranstvennyh uravnenij teorii uprugosti dlya plastiny na osnove principa szhatyh otobrazhenij [Isolation of type Timoshenko equations from spatial theory elasticity plate equations on the base contraction mapping principle]. Trudy MAI, (78), 1-22. http://www.mai. ru/upload/iblock/8b4/8b4dff2e41bb50a03dfe08744877a2c f.pdf. (In Russ.)
  • Friedrichs K.O. (1950). Kirchhoff’s boundary conditions and the edge effect for elastic plates. Poc. Symp. Appl. Math., (3), 117-124.
  • Friedrichs K.O., Dressler R.F. (1961). A boundarylayer theory for elastic plates. Comm. Pure Appl. Math., (14), 1-33.
  • Zveryaev E.M., Olekhova L.V. (2015). Iteracionnaya traktovka poluobratnogo metoda Sen-Venana pri postroenii uravnenij tonkostennyh ehlementov konstrukcij iz kompozicionnogo materiala [Iterative interpretation of Saint-Venant semi-inverse method for construction of composite material thin-walled structural elements equations]. Trudy MAI, (79), 1-27. http://www.mai.ru/upload/iblock/ 876/8767af08970b8e67ef0a1b71d2763cd0.pdf. (In Russ.)
  • Zveryaev E.M., Olekhova L.V. (2014). Svedenie trekhmernyh uravnenij NDS plastiny iz kompozicionnogo materiala k dvumernym na baze principa szhatyh otobrazhenij [Reduction 3D equations of composite plate to 2D equations on base of mapping contraction principle]. Preprinty IPM imeni M.V. Keldysha, (95), 29. http://keldysh.ru/ papers/2014/prep2014_95.pdf. (In Russ.)

Views

Abstract - 122

PDF (Russian) - 132

PlumX


Copyright (c) 2019 Zveryaev E.M.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.