Выделение согласованных уравнений классической теории оболочек из трехмерных уравнений теории упругости

Полный текст

Введение1 Классическая линейная теория оболочек, основана на следующих предположениях: заменены равнодействующими усилиями и моментами. Последнее предположение обычно не формулируют отдельным пунктом, предполагая воз- - толщина оболочки 2h* мала по сравнению можность такой замены очевидной. с характерным радиусом кривизны R срединной поверхности; · компоненты тензора напряжения, нормальные к срединной поверхности оболочки, малы по сравнению с другими компонентами; · нормали к недеформированной поверхности оболочки остаются нормалями к деформированной поверхности и не деформируются; · тангенциальные напряжения в уравнениях равновесия и соотношениях упругости могут быть 1© Зверяев E.M., 2019 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License Построение теории оболочек, как правило, выполняется на основе выведенных ранее теорий изгиба стержня и пластины. Сначала Коши и Пуассон для сведения трехмерной задачи к двумерной предложили метод степенных рядов при рассмотрении статики и динамики плоских и искривленных по цилиндрической поверхности пластин. Сен-Венан отдавал предпочтение методам составления основной системы уравнений теории пластин с помощью гипотезы прямой и недеформируемой нормали, называемой также гипотезой Кирхгофа. Гипотеза Кирхгофа была впоследствии распространена Лявом на теорию оболочек [1]. В работе [2] произведена попытка оценки погреш- ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 135 Zveryaev E.M. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 135-148 ности, вносимой в уравнения теории оболочек мерными. Примем, что сплошное упругое тело в гипотезами Кирхгофа. Было показано, что эта направлении α3 ограничено двумя равноотстояпогрешность имеет порядок ε = h* R , где h* - щими на величину друг от друга лицевыми поверхтолщина оболочки; R - некоторый характерный ностями, образуя оболочку постоянной толщины, радиус срединной поверхности оболочки. Однако которую обозначим 2h* . Координаты α1, α2 яввлияние данной работы на улучшение теории оказалось неконструктивным. Койтер [3] подтвердил эти оценки и ввел понятие о согласованной теории, когда все члены уравнений имеют одинаковый порядок. В теориях оболочек типа ляются криволинейными ортогональными координатами срединной поверхности оболочки и представляют собой линии главных кривизн срединной поверхности. Первая квадратичная форма 2 *2 2 *2 2 Лява [4-9] принимается условие, что отношение поверхности имеет вид ds = H1 dα1 + H2 dα2 , γ R ( γ - размерная координата, отсчитываемая где коэффициенты 1 2 H *, H * представляют собой по нормали к срединной поверхности оболочки) мало по сравнению с единицей в выражениях для функции координат α1, α2 и являются размерными напряжений и деформаций. Некоторые из авторов коэффициентами Ламе1. Координата α3 отмеряет 2 2 расстояние по нормали к срединной поверхности учитывают члены порядка γ R , другие в той до рассматриваемой точки. В квадратичной форили иной степени отказываются от гипотезы не- 2 *2 2 *2 2 *2 2 деформируемости нормали. При этом считается, ме ds = H1 dα1 + H2 dα2 + H3 dα3 коэффицичто различие отдельных подходов заключено именент H 3 * для всех точек тела имеет постоянное но в формулировке зависимостей между напряжениями и деформациями. Оценки [2] были дополнены оценками погрешностей в соотношенизначение. Два других коэффициента выражаются через параметры срединной поверхности и рас- * ях упругости [10; 11]. Однако вопрос о погрешстояние H3 α3 по нормали от срединной поверхностях гипотез типа Кирхгофа и соотношениях упругости не нашел исчерпывающего ответа. В свою очередь, вопрос о количестве краевых условий в ности до рассматриваемой точки: * H * = A* æ1+ H3 α3 ö (1, 2), (1) теории оболочек и пластин не имеет удовлетворительного объяснения и продолжает привлекать R 1 1 ç * ÷ è 1 ø внимание [12]. где A1 = A1 (α1 , α2 ) (1, 2) - коэффициенты первой Классическая теория оболочек определяет кинематику на краю оболочки через четыре обоб- * * квадратичной формы срединной поверхности, от- * * щенных перемещения и четыре обобщенных синесенной к линиям главных кривизн; R1 , R2 - лы. Граничные условия на лицевых поверхностях не выполняются и нетангенциальные напряжения не определяются. Деформированное состояние оболочки, построенное путем осреднения уравнений теории упругости, не удовлетворяет закону парности касательных напряжений. В результате получается шестое уравнение равновесия, смысл которого не удается объяснить, и его отбрасывают. В настоящем исследовании на основе метода радиусы главных кривизн. Символы (1, 2) , стоящие после определенных уравнений, указывают, что уравнений подобного вида должно быть два: второе получается круговой заменой указанных символов. Уравнения равновесия в принятой системе координат имеют вид [1; 4] [13] в развитии работ [14; 15] разыскивается медленно меняющаяся составляющая общего решения уравнений пространственной теории упруго- ¶H * ¶ * * * ¶ * * * ¶ * * * H H σ + H ¶α 2 3 11 ¶α 1 2 + ¶α3 1 H3 σ12 ¶H * H1 H2 σ13 сти, удовлетворяющая граничным условиям на ли- -H * 2 σ* o H * 3 σ* + 3 22 2 33 цевых поверхностях. 1. Исходные трехмерные уравнения теории упругости +H * ¶α1 1 ¶H * ¶α σ* + H * ¶α1 1 ¶H * σ* ¶α = 0 (1, 2); Положение точки тела определяется тремя криволинейными ортогональными координатами αi , (i = 1, 2, 3) , которые будем считать безраз- 3 12 2 13 2 3 1 Здесь и далее звездочкой отмечены те размерные величины, которые будут приведены к безразмерному виду. 136 THEORY OF ELASTICITY Зверяев E.M. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 135-148 ¶ H *H *σ* + ¶ H * H *σ* + ¶ H * H *σ* - ¶H1 = ε A1 , ¶H2 = ε A2 . 1 2 33 3 2 13 3 1 23 ¶α3 ¶α1 ¶α2 ¶z R1 ¶z R2 -H * ¶H1 σ* - H * ¶H2 σ* + Имея в виду, как это принято в литературе, * * 2 11 1 22 выделение двумерных уравнений из трехмерных ¶α3 ¶α3 с точностью порядка ε по сравнению с величи- * * нами порядка единицы, отбросим в формулах (4) +H * ¶H3 σ* + H * ¶H3 σ* = 0, (2) вторые члены в скобках и будем считать H = A , 2 13 1 23 1 1 ¶α1 ¶α2 H2 = A2 . ij где σ* , (i, j = 1, 2, 3) - напряжения. Размерное перемещение некоторой точки, имеющей до деформации координаты αi , (i = 1, 2, 3) , С учетом последних соотношений уравнения (2), (3) приводятся к безразмерным уравнениям следующего вида: - уравнения равновесия: определяется проекциями i u*, (i = 1, 2, 3) на кри- ¶ ¶ ¶ волинейные оси координат. Компоненты дефор- ε ¶α A2σ1 + ε ¶α A1σ12 + ¶z A1 A2σ13 мации через перемещения определяются форму1 2 лами: -ε ¶A2 σ § ε ¶A1 σ § ε A1 A2 σ = 0; 2 12 13 * * * ¶α1 ¶α2 R1 e = 1 ¶u1 + 1 ¶H1 u* + 1 ¶ A σ + ε ¶ A σ + ¶ ¶α2 1 2 ¶α1 2 12 ¶z ¶H1 u* (1, 2); 1 H* ¶α H*H* ¶α 2 H*H* ¶α 3 1 1 1 2 2 1 3 3 ε * * * A1 A2σ23 e = 1 ¶u3 + 1 ¶H3 u* + 1 ¶H3 u*; ¶A ¶A A A 3 H * ¶α H * H * ¶α 1 H * H * ¶α 2 -ε 1 σ + ε 2 σ + ε 1 2 σ = 0; 3 3 3 1 1 3 2 2 1 12 23 ¶α2 * * ¶α1 R2 e = H1 ¶ 1 u* + H2 ¶ 1 u*; ¶ ¶ 12 H * ¶α H * 1 H * ¶α H * 2 AA σ + ε A σ + 2 2 1 1 1 2 * * * * ¶z 1 2 3 ¶α1 2 13 e = H3 ¶ u3 + H1 ¶ u1 (1, 2). (3) +ε ¶ A σ § ε A1 A2 σ o ε A1 A2 σ = 0 ; (5) 13 H * ¶α H * H * ¶α H ¶α 1 32 R 1 R 2 1 1 3 3 3 1 Введем безразмерные коэффициенты H1 = 2 1 2 - формулы деформации-перемещения: = H * / R (1, 2) , A = A* / R (1, 2) , в которых под 1 1 1 e = ε 1 ¶u1 + ε 1 ¶A1 u § ε 1 w; величиной R как единицей измерения понимается 1 A ¶α A A ¶α 2 R 1 1 1 2 2 1 некоторый характерный радиус срединной поверх- 1 ¶u 1 ¶A 1 ности, безразмерные перемещения u = u* / h* (1, 2) , e = ε 2 + ε 2 u + ε w; 1 1 2 A ¶α A A ¶α 1 R * * w = u3 / h вдоль осей αi , (i = 1, 2, 3) соответ- 2 2 1 2 1 2 A ¶ u A ¶ u ¶w ственно, безразмерные напряжения σ = σ* / E , e = ε 1 1 + ε 2 2 , e = , (6) i ii 12 A ¶α A A ¶α A 3 ¶z ij ij σ = σ* / E , (i, j = 1¸ 3, i ¹ j ) , безразмерные 2 2 1 1 1 2 и сдвигов в нормальных плоскостях: радиусы главных кривизн R = R* / R (1, 2) , и 1 1 1 ¶w ¶ u положим 3 H * = h* , α3 = z. Подставив эти велиe13 = ε A ¶α + A 1 ; 1 ¶z A чины в соотношение (1), запишем 1 1 1 e = ε 1 ¶w + A ¶ u2 . (7) æ z ö æ z ö 13 A ¶α 2 ¶z A H1 = A1 ç1+ ε R ÷, H2 = A2 ç1+ ε R ÷ , (4) 2 2 2 è 1 ø è 2 ø откуда получаем для производных по z Уравнения должны быть дополнены соотношениями упругости, которые в любой системе ортогональных координат имеют один и тот же ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 137 Zveryaev E.M. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 135-148 вид и в принятой здесь безразмерной записи выглядят так: ¶ A A σ ¶z 1 2 3 = -ε ¶ ¶α A2σ13 - ε ¶ ¶α A1σ23 + 1 2 σi = λ(e1 + e2 + e3 ) + 2μei (i = 1, 2, 3); AA e § νe AA e § νe +ε 1 2 1 2 + ε 1 2 2 1 . σij = μeij (i ¹ j = 1, 2, 3), R1 1- ν R2 1- ν 2 2 где λ, μ - безразмерные коэффициенты Ламе, Видно, что σ3 соизмерима с εσ13 или полученные делением размерных на E . Три первых соотношения упругости, оставив ε(e1 + νe2 ) . Но в левой части первого уравнения формулы для сдвигов неименными, путем тождеможно отбросить член с σ13 как малый следуюственных преобразований можно свести к такой записи: щего порядка малости по сравнению с главным и член с σ3 как величину второго порядка малости, упростив его: o = e1 + νe2 + 1 1- ν2 ν 1- ν σ3 ; σ2 = e2 + νe1 + 1- ν2 ν 1- ν σ3 ; ¶ AA σ = -ε ¶ A æ e1 + νe2 ö + 1 2 13 2 ç 2 ÷ σij = 1 2(1+ ν) eij (i ¹ j = 1, 2, 3); ¶z 2 1 2 ¶A æ e + νe ¶α1 ö è æ ¶ 1- ν ø ¶A ö +ε ç ÷ - εç A σ + 1 σ ÷ (1,2). ¶α è 1- ν2 ø ¶α 1 12 ¶α 12 e =- ν (e + e ) + (1+ ν)(1- 2ν) σ , 1 (8) è 2 2 ø 3 1- ν 1 2 1- ν 3 Более того, учитывая полученные оценки можно упростить первые три соотношения упрупозволяющей организовать последовательный процесс вычисления неизвестных. Для этого перепишем систему уравнений в следующем виде: гости (8), отбросив в них члены с напряжением σ3 как малые более высокого порядка и получить такие соотношения упругости ¶ AA σ § ε A1 A2 σ e1 + νe2 e2 + νe1 ν 1 ¶z 1 2 13 R 13 σ1 = 1- ν2 ; σ2 = 1- ν2 ; e3 = - 1- ν (e1 + e2 ). (9) - ν ε æ - ¶ A σ + ¶A2 σ ö = Для дальнейших вычислений запишем урав- ç 2 3 3 ÷ 1- ν è ¶α1 ¶α1 ø нения в следующей последовательности: - два соотношения для сдвигов (7), в кото- = -ε ¶ A æ e1 + νe2 ö + ε ¶A2 æ e2 + νe1 ö рых e13 , e23 выражены через σ13 , σ23 : ¶α 2 ç 1- ν2 ÷ ¶α ç 1- ν2 ÷ 1 è ø 1 è ø ¶ u1 = -ε 1 ¶w + 2 1+ ν 1 σ 1, 2 ; (10) -εæ ¶ A σ § ¶A1 σ ö (1, 2); ¶z A A2 ¶α ( ) 13 ( ) A ç 1 12 12 ÷ 1 1 1 1 è ¶α2 ¶α2 ø - формулы деформации-перемещения для ¶ AA σ - ε ν AA σ æ 1 + 1 ö = компонент тангенциальной деформации: 1 2 3 1 2 3 ç ÷ ¶z 1- ν è R1 R2 ø e = ε 1 ¶u1 + ε 1 ¶A1 u + 1 ¶A1 w (1, 2); 1 2 A1 ¶α1 A1 A2 ¶α2 A1 ¶z ¶ ¶ A ¶ u A ¶ u = -ε ¶α A2σ13 - ε ¶α A2σ23 + e = ε A ¶α § ε ; A A ¶α A (11) 1 2 +ε A1 A2 e1 + νe2 + ε A1 A2 e2 + νe1 . 1 1 2 2 12 2 2 1 1 1 2 - три тангенциальных соотношения упругости: R 1- ν2 R 1- ν2 1 2 o = e1 + νe2 ; σ = e2 + νe1 ; σ = e12 , (12) В левой части третьего уравнения можно от- 1 1- ν2 2 1- ν2 12 2(1+ ν) бросить одноименный с главным член жителем ε и переписать его так: σ3 с мно- в которых два первых взяты упрощенными из (9); 138 THEORY OF ELASTICITY Зверяев E.M. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 135-148 - два первых уравнения равновесия, в которых известные в первой итерации и т.д. Однако здесь отброшены члены с главными: εσ13 как малые по сравнению ограничимся вычислением только нулевой итерации, обеспечивающей асимптотическую точность ε , т.к. уравнения (9)-(15) записаны с такой же точ- ¶ ¶ ¶ ностью. A A σ = -ε ¶z 1 2 13 ¶α A2σ1 - ε ¶α A1σ12 + Величины начального приближения выберем 1 2 такими: +ε ¶A2 σ ¶α1 o ε ¶A1 σ 2 2 ¶α 12 (1, 2); (13) w = w(0) = w0 (α1 ,α2 ); - третье уравнение равновесия, в котором на- σ13(0) = τ13(0) (α1 ,α2 ); пряжения σ1, σ2 определены из соотношений (9) σ23(0) = τ230(0) (α1 ,α2 ), (16) и напряжение σ3 отброшено как малое по сравнению с одноименным главным: ¶ ¶ ¶ считая поперечное перемещение и касательные напряжения в нулевом приближении не зависящими от поперечной координаты. Для удобства A A σ = -ε ¶z 1 2 3 ¶α A2σ13 - ε ¶α A1σ23 + процедуру вычислений разделим в силу линейно- +ε A1 A2 σ 1 2 · ε A1 A2 σ ; (14) сти задачи на два элементарных процесса: w и τ [13-15]. В w -процессе задаются величины началь- R R 1 2 1 2 ного приближения: - формулы для поперечной деформации растяжения (сжатия) и перемещения w w(0) = w0 , σ13(0) = σ23(0) = 0, (17) e =- ν (e + e ); ¶w = e . (15) совпадающие с известными гипотезами Кирхгоффа и рассматриваемые в настоящей работе как 3 1- ν 1 2 ¶z 3 величины начального приближения. Погрешность записанной системы уравнений оценивается в ε по сравнению с единицей. Решение системы уравнений (9)-(15) будем искать методом простых итераций. Предполо- Для сведения трехмерных формул, связывающих деформации и перемещения, к двумерным В.З. Власов использует гипотезы прямой и недеформируемой нормали: жим, что в (10) перемещение w и касательные e = 0; e = e = 0 . (18) напряжения σ13 , σ23 известны. В этом случае 3 13 23 Тогда из уравнений (6) и (7) следует: тангенциальные перемещения u1 , u2 вычисляются путем прямого интегрирования по z . Подставив их и предположенное известным нормаль- 0 1 2 w* = w* (α , α ); 1 ¶w* * * ное перемещение w в (11), вычисляем тангенциu1 = -ε * 1 1 A ¶α z + u10 ; альные деформации e1 , e2 , e12 . Уравнения (12) * позволяют определить тангенциальные напряжения σ1, σ2 , σ12 . Уравнения (13) дают возможность 2 A * u* = -ε 1 2 ¶w ¶α2 20 z + u* , путем интегрирования по z вычислить неизвестные нетангенциальные напряжения сдвига σ13 , σ23 , где u , u * * 10 20 o тангенциальные перемещения точа уравнение (14) - нетангенциальное нормальное ки срединной поверхности. Затем он подставляет это в выражения (3) и, напряжение σ3 , которое в классической теории используя для коэффициентов формулы (1) и расоболочек не вычисляется. Последние два соотношения (15) позволяют найти также отсутствукладывая деформации e1 , e2 , e12 в ряды по степе- * ющие в классической теории поперечную деням поперечной координаты γ = H3 z до второй формацию и перемещение. На этом нулевую итерацию можно считать законченной. степени, получает выражения для тангенциальных и нетангенциальных компонент деформации 2 Если теперь найденные w, σ13 , σ23 подставить оболочки с точностью до ε . Здесь будут полув выражения (10), можно вычислить искомые нечены формулы для деформаций с точностью ε , т.к. в формулах (4) отбрасывается второй член в ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 139 Zveryaev E.M. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 135-148 скобках, внося погрешность порядка ε во все дальнейшие вычисления. В настоящем исследовании гипотезы (18) можно рассматривать как величины начального приближения w-процесса, заданные выражениями (17). Вычислять неизвестные будем в следующем порядке. Исходя из величин начального o = ε m z + εt ; 2 1(0) 1(0) 1(0) o = ε m z + εt ; 2 2(0) 2(0) 2(0) o = ε h z + εs , 2 12(0) (0) (0) в которых (22) приближения, из уравнений ¶ u1 = -ε 1 ¶w0 , 1 1 1 1 t1(0) = 2 (ε1(0) + νε2(0) ); ¶z A A2 ¶α 1- ν ¶ u1 = -ε 1 ¶w0 , ¶ u2 = -ε 1 ¶w0 , полу1 1 1 1 2 2 2 2(0) 2 ( 2(0) 1(0) ) ¶z A A2 ¶α ¶z A A2 ¶α t = ε 1- ν § νε ; чаем выражения для перемещений u1(0) , u2(0) : s = 1 ω ; u = -ε 1 ¶w0 z + u ; (0) 2 (1+ ν) (0) 1(0) A ¶α 10 1 1 m = 1 κ § νκ ; 1 u2(0) = -ε A ¶w0 z + u . ¶α 20 (19) 1(0) 1- ν2 ( 1(0) 2(0) ) 2 2 m = 1 κ § νκ ; Подставив их в правые части формул деформации-перемещения (11), получим: 1(0) 1(0) 1(0) e = ε2 κ z + εε (1, 2); 2(0) h(0) = 1- ν2 ( 1 2 (1+ ν) 2(0) τ(0). 1(0) ) e = ε τ z + εω . 2 12(0) (0) (0) Здесь использованы компоненты: Полученные напряжения подставим в уравнения (13), что даст следующие выражения для касательных напряжений: - нетангенциальной деформации: o = ε 1 é- ¶ æ A ε2m z2 ö § εt z - 13(1) AA ê ¶α 2 ç 1(0) 2 1(0) ÷ 1 2 ë 1 è ø κ =- 1 ¶ 1 ¶w0(0) 1 - ¶A1 1 ¶w0(0) (1, 2); 2 ¶ æ 2 z 2 ö ¶A2 æ 2 z ö 1(0) A ¶α A ¶α A A ¶α A ¶α - A1 çε h(0) +εs(0) z÷+ çε m2(0) +εt2(0) z÷- 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ¶α 2 ¶α 2 2 è ø 1 è ø ¶ æ 2 öù τ =- A1 ¶ 1 ¶w0(0) A ¶ - 2 1 ¶w0(0) ; (20) A1 2 § çε h z + εs z ÷ú + τ 1 « 2 . (23) (0) A ¶α A2 ¶α A ¶α A2 ¶α ¶α è (0) 2 (0) øû 130 ( ) 2 2 1 1 1 1 2 2 - и тангенциальной деформации: 2 Здесь τ130 = τ130 (α1, α2 ), τ230 = τ230 (α1, α2 ) - ( ) ε = 1 ¶u + 1 ¶A u § 1 w 1, 2 ; произволы интегрирования, определяющие постоянные по толщине составляющие напряжений. 10 1 ( ) 1 0 A ¶α A A ¶α 20 R 0 Подставляя эти напряжения вместе с нормаль- 1 1 1 2 2 1 ными тангенциальными напряжениями в третье уравнение системы (14), вычисляем нормальное ω(0) = A1 ¶ A ¶α u10 + A2 ¶ A A ¶α u20 . A (21) нетангенциальное напряжение σ3(1) в первом при- 2 2 1 1 1 2 ближении: Величина w0 является решением уравнения z æ z ö 4 3 1 ì ¶ é 1 ¶ 3 2 ¶w σ3(1) = AA í-¶α ê- A ¶α A2 çε m1(0) 6 +ε t1(0) 2 ÷e3 = ¶z = 0 . С помощью первых двух соотноше- 1 2 î 1 ë 1 1 è ø 3 2 1 ¶ æ 4 z 3 z ö ний упругости (12) вычисляем, учитывая послед- - A ¶α A1 çε h(0) 6 + ε s(0) 2 ÷ + нее равенство в (19), тангенциальные напряжения: 1 2 è ø 140 THEORY OF ELASTICITY Зверяев E.M. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 135-148 - ¶ é- 1 ¶ æ A ε4m z + ε3t z ö ющих m1 , m2 и крутящего h моментов и парамет- 3 2 ¶α ê A ¶α 1 ç 2(0) 6 2(0) 2 ÷ ры тангенциальных напряжений t1 , t2 , s . Также 2 ë 2 2 è ø 3 2 вычислены поперечное нормальное σ3 , касатель- - 1 ¶ æ A ε4h z + ε3s z ö + A ¶α 2 ç (0) 6 (0) 2 ÷ ные σ13 , σ23 напряжения и установлена зависи- 2 1 è ø мость поперечного перемещения w от координа- + 1 ¶A1 æε4m z + ε3t z ö ты z , которыми в классической теории прене- 3 2 A ¶α ç 1(0) 6 1(0) 2 ÷ брегают. Видно, что напряжение σ3 имеет поря- 1 2 è ø 3 2 док ε4 относительно m1(0) , тогда как тангенци- 1 ¶A2 æε4h z ε3s z öù - ç A ¶α (0) 6 + (0) 2 ÷ú + альное напряжение - порядок ε2 относительно 2 1 è øû той же величины. Это оправдывает пренебрежение o A1 A2 æε4m z + ε3t z ö + величиной σ3 в первых двух формулах в (9) и при 3 2 R ç 1(0) 6 1(0) 2 ÷ выборе величин начального приближения (19). 1 è ø Отметим, что в схеме последовательного вы- A1 A2 æε4m z ε3t z öüï числения неизвестных 3 2 o R ç 2(0) 6 + 2(0) 2 ÷ý - 2 è øïþ -ε 1 ¶ A τ z - (w(0) , σ13(0) , σ23(0) )Þ (u1(0) , u2(0) )Þ A1 A2 ¶α1 2 130 (e1(0) , e2(0) , e12(0) , ε1(0) , ε2(0) , ω(0) , κ1(0) , κ2(0) , -ε 1 ¶ A τ z + σ . (24) τ(0) )Þ (σ1(0) , σ2(0) , σ12(0) )Þ A1 A2 ¶α2 1 230 30 (σ13(1) , σ23(1) ,σ3(1) , w(1) )ÞL (26) Здесь σ30 = σ30 (α1, α2 ) § произвол интегрирования, определяющий постоянную по толщине составляющую напряжения. С помощью последнего уравнения из (15) находим поперечное перемещение в первом приближении: w = w(0) + w(1) = можно любую совокупность величин выбрать в качестве величин нулевого приближения и продолжить процесс вычисления остальных. 1. Выполнение граничных условий на лицевых поверхностях оболочки ë = w - ν é 2 ε κ +κ 2 2 z +ε ε +ε ù z .(25) На лицевых поверхностях оболочки надо выполнить граничные условия, соответствующие 0 1- ν ê ( 1(0) 2(0) ) ( 1(0) 2(0) ) ú û условиям нагружения. В безразмерном виде эти условия записываются так: Поскольку поправка w(1) является величиной σ3 = Z+ ; σ13 = X1+ ; σ23 = X 2+ при z = 1; ε по сравнению с w0 , она может быть отброшена, и поперечное перемещение будет состоять только из прогиба срединной поверхности. Соотношения (19)-(25) дают выражения всех σ3 = Z- ; σ13 = X1- ; σ23 = X 2при z = -1, (27) девяти неизвестных трехмерной задачи теории упгде безразмерные нагрузки получены путем деления размерных на модуль упругости E . ругости u1 , u2 , σ1 , σ2 , σ12 , σ13 , σ23 , σ3 , w при на- Посмотрим, можно ли выполнить эти грачальном выборе нетангенциальных касательных напряжений, отсутствующих в нулевом приближении, через 15 неизвестных теории оболочек: пеничные условия величинами (22) и (23), считая, что они аппроксимируют искомые величины в первом приближении с достаточной точностью: ремещения срединной поверхности u1 , u2 , w , не- 2 тангенциальные деформации κ1 , κ2 , τ , тангенциo = ε3 1 Ew z o ε2 1t 1 Ew z + τ (1, 2); альные деформации ε1 , ε2 , ω , параметры изгиба- A A 2 13 1m 1 2 A1 A2 130 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 141 Zveryaev E.M. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 135-148 o = -ε 1 ¶ B ´ 2 æ ¶ ¶ ¶A2 ¶A1 ö 3 ε 2ç- At s + t s ÷ = A1 A2 ¶α1 ¶α 2 1(0) ¶α (0) ¶α 2(0) ¶α (0) è 1 2 1 1 2 ø æ § ε3 1 Ew z · ε2 1 Ew z + τ z ö - 1 2 ( 1+ 1- ) 3 2 = AA X - X ; ç AA 1m 6 AA 1t 2 130(0) ÷ æ ¶ ¶ ö è 1 2 1 2 ø -ε 4 1 ç A τ + A τ ÷ + -ε 1 ¶ A´ 3 A1 A2 è ¶α1 2 130(0) ¶α2 1 230(0) ø A1 A2 ¶α2 2 æ t1(0) t2(0) ö 1 1 R +ε 2 çç 3 2 è 1 R + ÷÷ = Z+ - Z- + ε 2 ø ´ 3 A1 A2 æ · ε3 1 Ew z · ε2 1 Ew z + τ z ö + ç AA 2m 6 AA 2t 2 230(0) ÷ è 1 2 1 2 ø ´é ¶ A ( X + X ) + ¶ A ( X + X )ù ; æ m m ö z2 æ t t ö ê ë¶α1 1- 2 1+ ¶α2 1 2+ 2- ú û ç +ε3 ç 1(0) + ÷ ç 2(0) ÷ + ε2 ç 1(0) + 2(0) ÷÷ z + σ30. (28) è R1 R2 ø 2 è R1 R2 ø ¶ ¶ ¶A ¶A ε3 æ- Am - Ah + 2 m ö - 1 h + ç ¶α 2 1(0) ¶α 1 (0) ¶α 2(0) ¶α (0) ÷ Здесь введены обозначения: è 1 2 1 2 ø w ¶ ¶ +2 A1 A2 τ130 = A1 A2 ( X1+ + X1- ) (1, 2). (31) E1m =- α A2m1(0) - α A1h(0) + А также шестое уравнение: ¶ 1 ¶ 2 ¶A ¶A + 2 m ( ) - 1 h( ) (1, 2); - 1 ¶ ε3 1 w - 1 ¶ ε3 1 w + ¶α 2 0 ¶α 0 AB ¶α A E1t A B ¶α A E2t 1 2 w ¶ ¶ 1 2 1 1 1 2 2 2 E1t =- A2t1(0) - A2 s(0) + 3 æ m10 m20 ö ¶α1 ¶α2 +ε ç R + R ÷ + 2σ30 = Z+ + Z- , t - + ¶A2 ( ) ( ) ( ¶A1 s 1, 2). (29) è 1 2 ø ¶α 2 0 ¶α 0 1 2 Подчинение напряжений граничным условиям (27) дает пять уравнений с шестью неизвестныw w w w сводящееся к уравнению, определяющему = σ30 (α1,α2 ) : σ30 = ми E1t , E1m , τ130 , E2t , E2m , τ230 : 2σ = Z + Z + ε3 1 é ¶ A ( X - X ) + 30 + - 2 AA ê¶α 2 1+ 1- ε2 2Ew = A A ( X - X ) (1, 2); 1 2 ë 1 1t 1 2 1+ 1- ¶ ù æ m m ö A1 ( X 2+ - X 2- ç )ú - ε3 ç 1(0) + ÷ 2(0) ÷. ε4 1 1 æ ¶ 1 w ¶ 1 w ö ¶α2 û è R1 R2 ø 1 2 è 1 o 3 A A ç ¶α E1m + A1 ¶α2 E2m ÷ - A2 ø Напряжениям σ13 и σ3 из (28) можно придать -2ε 1 æ ¶ A τ + ¶ A τ ö + более простой вид, преобразовав их с помощью AA ç ¶α 2 130(0) ¶α 1 230(0) ÷ уравнений (30): 1 2 è 1 2 ø æ tw tw ö +ε2 2 1(0) + 2(0) = Z - Z o = ( X 2 + X ) z + 1 ( X o X ) z + ç ç R1 ÷ + - R2 ÷ 13 1+ 1- 2 2 1+ 1- è ø +τ130 (1- z2 ) (1, 2); ε3 Ew · 2 A A τ = A A ( X + X ) (1, 2). 1 (30) 1m 1 2 130 1 2 1+ 1- σ3 = - (Z+ + Z- ) - Или с учетом обозначений (29) и последних двух уравнений равновесия - с неизвестными ε 1 2 é ¶ A ( X + X ) + ¶ A (Y 3 + Y )ù z + ê ú m1(0) , t1(0) , h(0) , s(0) , τ130 (1, 2) : A1 A2 2 ë¶α1 + - 1 ¶α2 + - û 6 142 THEORY OF ELASTICITY Зверяев E.M. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 135-148 +ε 1 1 é ¶ A X - X + ¶ A X - X ù´ N * = h σ* dγ (1, 2); 1 2 ë 1 2 A A ê¶α 2 ( 1+ 1- ) 1 ( 2+ ¶α2 2- )ú û 1 ò 13 -h 1- z2 1 æ ¶ ¶ ö h ç ´ - ε ç 2 AA ¶α A2 τ130(0) + ¶α A1τ230(0) ÷´ M1 = ò σ1 γdγ (1, 2); * * 1 2 è 1 2 ø -h æ z3 ö æ t t ö h ç M z + = ò ´ç z - ÷ + ε2 ç 1(0) + 2(0) ÷÷ 12 12 o σ* γdγ. (33) è 3 ø è R1 R2 ø -h ε2 ç 1(0) + 2(0) z + ε3 ç 1(0) + 2(0) . æ t t ö æ m m ö z2 -1 + ç R R ÷÷ ç R R ÷÷ (32) Введенные таким образом величины должны удовлетворять уравнениям равновесия [6]: è 1 2 ø è 1 2 ø 2 - ¶ A*T * - ¶ ¶A* A*S * + 2 T * - Отсюда хорошо виден закон распределения ¶α 2 1 ¶α 1 2 ¶α 2 нетангенциальных напряжений по толщине обо- 1 2 1 лочки. Легко проверить, что напряжения удовлетворяют условиям нагружения на лицевых по- 1 ¶A* o S o A A N * 1 = A A X (1, 2); верхностях. ¶α2 * * * * * * R 1 1 2 * 1 2 1 1 * * 4. Сравнение T1 + T2 - 1 æ ¶ A* N * + ¶ A* N * ö = * * * * ç 2 1 1 2 ÷ с уравнениями классической теории R1 R2 A1 A2 è ¶α1 ¶α2 ø В классической теории оболочек в качестве неизвестных вводятся усилия и моменты, опре- + - = Z * - Z *; A* деляемые через соответствующие им напряжения - ¶ A*M * - ¶ A*M * + ¶ 2 M * - 2 1 1 12 2 интегралами следующего вида: ¶α1 ¶α2 ¶α1 T * = 1 h B σ* H *dγ 1, 2 ; ¶A* - 1 M * - A* A* N * = 0 (1, 2). (34) 1 * ò 1 2 ( ) -h h ¶α2 12 1 2 1 S * = 1 σ* H *dγ; B * ò 12 2 -h h Усилия и моменты связаны с деформациями соотношениями упругости: * N * = 1 σ* H *dγ 1, 2 ; T * = 2Eh (ε +n ε ) (1, 2); B 1 * ò -h 13 2 ( ) 1 1- ν2 1 2 * 2Eh* h M * = 1 σ* H *γdγ 1, 2 ; S = ω; ( ) B 1 * ò 1 2 ( ) -h h 2 1+ ν 2Eh*3 M1 = (κ1 + νκ2 ) (1, 2); M * = 1 σ* H *γdγ. * * * 3(1- ν2 ) B 12 * ò -h 12 2 * * 3Eh*3 Учитывая, что в настоящей работе все вычис- M12 = τ . 3(1+ ν) (35) ления ведутся с точностью ε , последние определения можно переписать так: Компоненты деформации определяются выражениями: h * * * * * ε = 1 ¶u + 1 ¶u + w 1, 2 ; ( ) T1 = ò σ1 dγ (1, 2); 1 2 1 * * * * -h A1 h ¶α1 A1 A2 ¶α2 R1 * * A* ¶ u* A* ¶ u* S = ò σ12dγ; ω = 1 1 + 2 2 ; * * * * -h A2 ¶α2 A1 A1 ¶α1 A2 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 143 Zveryaev E.M. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 135-148 κ* = 1 ¶ 1 ¶w* 1 + * ¶A1 ¶w* ниями. Соответствие соотношений упругости (22) и (35) устанавливается с помощью (36) тем же пу- 1 A* ¶α A* ¶α A* A*2 ¶α ¶α 1 1 1 1 1 2 2 2 тем. Таким образом, выведенные в настоящей рабоu1 ¶ 1 - u2 ¶ 1 + w (1, 2); те в результате применения w -процесса выраже- * * * A* ¶α R* A* ¶α R* R*2 ния искомых неизвестных в первом приближении 1 1 1 2 1 1 1 и выполнения ими граничных условий на лицевых 1 æ ¶2w* τ* =- ç 1 ¶A* ¶w* - 1 - 1 ¶A* ¶w* ö 2 ÷ + поверхностях оболочки дают уравнения классической теории с точностью до величин порядка ε * * * * A1 A2 è ¶α1¶α2 A1 ¶α2 ¶α1 A2 ¶α1 ¶α2 ø по сравнению с единицей. * * * * Приведем сводку уравнений и формулы для + 1 æ 1 - 1 öæ A1 ¶ u1 o A2 ¶ u2 ö напряжений и перемещений, выведенной здесь тео- ç * * ÷ç * * * * ÷ 2 è R1 R2 øè A2 ¶α2 A1 A1 ¶α1 B ø рии, опустив указывающие на процесс и приближение индексы: либо несущественно отличающимися от этих. Общепризнанно, что тангенциальные переме- § уравнения равновесия: щения в формулах для нетангенциальных дефор- æ ¶ ¶ ¶A ¶A ö 2 2 1 маций могут быть отброшены. ε 2 ç - ¶α A2t1 - ¶α A1s + ¶α t2 - ¶α s ÷ = Поскольку выведенные в работе уравнения имеют точность ε и записаны в безразмерном виде, приведем уравнения классической теории к безразмерному виду и такой же точности, выразив размер- è 1 2 1 2 ø = A1 A2 ( X1+ - X1- ) (1, 2); 4 1 æ ¶ ¶ ö ные усилия и моменты через безразмерные пара- -ε ç 3 AA ¶α A2 τ13 + ¶α A1τ23 ÷ + метры. Умножим напряжения (22) и (32) на модуль упругости E , сделав их размерными, и под- 1 2 è 1 2 ø ставим в (33). После интегрирования получаем +ε2 2æ t1 + t2 ö = Z - Z + ε 1 1 ´ ç ÷ + связь между размерными усилиями и моментами и безразмерными параметрами усилий и моментов, ´é ¶ è R1 R2 ø + + ¶ 3 A1 A2 ù + являющимися коэффициентами в законах распределения напряжений (22)-(24): ê¶α A2 ( X1+ X1- ) A1 ( X 2+ ¶α X 2- )ú , * * * T = 2Eh εt1(0) (1, 2); S * = 2Eh εs(0); ë 1 2 û 1 3 æ ¶ ¶ ¶A ¶A ö 2 1 * 2 *2 2 ε ç - ¶ A2m1 - ¶ A1h + ¶ m2 - ¶ h ÷ + M = Eh 3 ε m ( ) (1, 2); è α1 α2 α1 α2 ø 1 1 0 +2 A1 A2 τ13 = A1 A2 ( X1+ + X1- ) (1, 2); (37) * 2 *2 2 M = Eh 3 ε h( ) (1, 2); § соотношения упругости: 12 0 N * = 2 Eh* ( X + X ) + 4 Eh*τ . (36) 1 1 1 3 + - 3 130 t1 = 2 (ε1 + νε2 ) (1, 2); 1- ν s = ω; 2 (1+ ν) Если заменить безразмерные параметры в уравнениях (31) в соответствии с этими выражениями, получим расхождение только в первых двух уравm1 = 1 1- ν 2 (κ1 + νκ2 ) (1, 2); h = 1 τ; 2 (1+ ν) нениях равновесия в силу наличия в классических - компоненты тангенциальной деформации: уравнениях (34) членов A* A* N * R* , A* A* N * R* , 1 2 1 1 1 2 2 2 которые являются малыми порядка ε по сравне- ε = 1 ¶u1 + 1 ¶A1 u + 1 w (1, 2); 1 2 нию с остальными. При использовании уравне- A1 ¶α1 A1 A2 ¶α2 R1 ний теории оболочек их принято отбрасывать, A ¶ u A ¶ u т.к. в расчетах они всегда являются пренебрежимо малыми. Легко проверить совпадение приведенных к ω = 1 1 + A2 ¶α2 A1 2 2 ; A1 ¶α1 A2 размерным величинам формул для компонент де- - компоненты нетангенциальной деформации: формации (20), (21) с формулами (36), где в фор- 1 ¶ 1 ¶w 1 1 ¶A 1 ¶w мулах компонент нетангенциальной деформации κ1 =- - (1, 2); отброшены члены с тангенциальными перемеще- A1 ¶α1 A1 ¶α1 A1 A2 ¶α2 A2 ¶α2 144 THEORY OF ELASTICITY Зверяев E.M. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 135-148 τ =- A1 ¶ 1 ¶w - A2 ¶ 1 ¶w ; здесь определены все искомые неизвестные исход- A ¶α A2 ¶α A ¶α A2 ¶α ной задачи в напряжениях и перемещениях, без вве- 2 2 1 1 1 1 2 2 - формулы для перемещений: дения понятия об осредненных по толщине усилиях и моментах. Однако известно, что для выполнения граничных условий на торцевых поверхностях, необходимо дополнительно учитывать поu = -ε 1 ¶w z + u 1, 2 ; правку на сдвиг [7; 8; 13-22]. 1 10 ( ) A1 ¶α1 u =- ν é ε2 (κ +κ 2 ) z + ε (ε +ε ) zù + w ; Заключение 3 1- ν ê 1 2 2 1 2 ú 0 Выведенные уравнения теории оболочек поз- ë û - тангенциальные напряжения: 2 ( ) 2 воляют оценить погрешность классической теории. Для этого в записанных в безразмерной форме уравнениях выделен малый параметр, характеризующий относительную толщину оболочки и позволивший σ1 = ε m1 z + εt1 1, 2 ; σ12 = ε hz + εs; отбросить малые по сравнению с главными величины в исходных уравнениях трехмерной теории - нетангенциальные касательные напряжения: z2 σ13 = ( X1+ + X1- ) + 2 упругости. В выводимых ранее теориях в силу использования размерных уравнений такая возможность представляется сомнительной. Классические уравнения содержат в первых двух уравнениях равновесия перерезывающие усилия, а в фор- + 1 ( X 2 1+ - X1- ) z + τ13 (1- z2 ) (1, 2); (38) мулах - компоненты нетангенциальной деформации-перемещения и члены с тангенциальными перемещениями, которые в практических задачах - нетангенциальное нормальное напряжение: и учебниках отбрасываются как малые, что объясняется или отсутствием влияния на расчеты, или 1 æ ¶ ¶ öæ z3 ö пологой оболочкой. Подобное имеет место по при- σ3 = -ε ç AA ¶α A2 τ13 + ¶α A1τ23 ÷ç z - 3 ÷ + чине различной степени точности написания урав- 1 2 è 1 2 øè ø 2 нений классической теории. Рассматривая схему вычисления (26) как про- +ε2 æ t1 · t2 ö æ m m ö z -1 z + ε3 1 + 2 цесс, в котором слева вначале задается величина ç ÷ ç ÷ нулевого приближения, а справа вычисляется по- è R1 R2 ø è R1 R1 ø 2 правка к нему в виде величины первого приближе- - 1 (Z 2 + + Z- ) - ε 1 ´ A1 A2 ния, можно заметить, что последняя имеет множитель ε2 , т.е. поправка мала и убывает асимптотически вместе с малым параметром. Однако уста- 2 1+ 1- ê ´é ¶ A ( X + X ) + ¶ z ù 3 A1 ( X 2+ + X 2- )ú + новить однозначно вид асимптотических разложений искомых неизвестных не представляется воз- ë¶α1 +ε 1 1 é ¶ A X ¶α2 o X · ¶ A X û 6 ù o X ´ можным без априорных соображений об изменяемости искомого НДС. Легко заметить, что классические гипотезы ис- 1 2 ë 1 2 A A ê¶α 1- z2 ´ . 2 2 ( 1+ 1- ) 1 ( 2+ ¶α2 2- )ú û пользуются при выборе величин начального приближения (17), и дальше к ним вычисляется поправка. Она, как правило, мала. Однако сам вывод методом простых итераций требует кроме начального приближения о недеформируемости норма- Эти уравнения соответствуют классическим гипотезам Кирхгоффа при выборе величин начального приближения и выделены из общих уравнений теории упругости путем отбрасывания величин порядка ε по сравнению с главными и выполнения граничных условий на лицевых поверхностях оболочки. В отличие от классической теории ли (чему соответствует w -процесс) задания начальной величины сдвига, соответствующего дополнению по Тимошенко - Рейсснеру. Трактовка классических гипотез и поправок Тимошенко - Рейсснера в качестве величин начального приближения (16) позволяет процесс вычислений неизвестных отнести к полуобратному методу Сен-Венана, ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 145 Zveryaev E.M. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 135-148 модифицируя его до итерационного, и опереться на принцип сжатых отображений Банаха. Отказ от использования классической гипотезы осреднения и вывод уравнений на основе принципа сжатых отображений приводят в случае сведения двумерной задачи к одномерной для полосы и трехмерной задачи к двумерной для пластины из композиционного материала к другим по сравнению с традиционными эффективным коэффициентам жесткости [21; 22]. Таким образом, в результате применения модифицированного полуобратного метода Сен-Венана - Пикара - Банаха дано приближенное решение пространственной задачи теории упругости путем сведения к двумерным разрешающим уравнениям для медленно меняющихся переменных, совпадающее с уравнениями равновесия классической теории оболочек.

Об авторах

Евгений Михайлович Зверяев

Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН; Московский авиационный институт

Автор, ответственный за переписку.
Email: zveriaev@mail.ru

доктор технических наук, профессор, Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН, Московский авиационный институт.

Российская Федерация, 125047, Москва, Миусская пл., 4; Российская Федерация, 125993, Москва, Волоколамское шоссе, 4

Список литературы