Determination of parameters of plastic deformation of elliptic membranes

Abstract

Introduction. Thin-walled structural elements, combining lightness with high strength, are widely used in all industries. Widespread round design elements. However, based on the functional purpose, thin-walled structural elements of various shapes in plan are becoming more and more common. Methods. A technique has been developed for the study of thin elliptic membranes for the case of plastic deformation under the action of uniform pressure. The deflections of the membranes in the experiment are more than ten thicknesses. In this regard, to solve the problem, the following are used: geometric nonlinear relations for the deformations of the middle surface (according to Kh.M. Mushtari and K. Z. Galimov), relations for finite displacements and deformations for curvature expressions (according to K.Z. Galimov), physical relations (according to the theory of plasticity A.A. Ilyushin). Due to the smallness of the membrane thickness, only tensile membrane strains and forces are taken into account. The problem is solved by the Bubnov - Galerkin method and reduced to solving a nonlinear system of three algebraic equations. The “shooting” algorithm for solving the resulting system of equations is described. Results. The work on the assessment of the reliability of the results. To estimate the error, the comparison of the calculation results with the experimental results of G.D. Golovlev was also performed. An example of the calculation of an elliptical membrane is considered.

Keywords

Введение1 Тонкостенные элементы конструкций, сочетающие легкость с высокой прочностью, находят широкое применение во всех отраслях [1; 2]. Широкое распространение получили тонкостенные круглые конструктивные элементы. Разработаны различные методы расчета таких элементов, в частности можно отметить [3; 4] и др. 1© Галимов Н.К., Якупов С.Н., 2018 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License Однако, исходя из функционального назначения, все большее распространение получают тонкостенные элементы конструкций различной формы в плане. Среди них - эллиптические в плане мембраны. Для обеспечения безаварийной работы тонкостенных конструкций необходимо достоверно оценивать их прочность и жесткость, грамотно проектировать и диагностировать состояние элементов конструкций [5; 6]. В работах [7-9] описан двумерный экспериментально-теоретический метод исследования механических характеристик пленок и мембран, ко- 90 ANALYSIS AND DESIGN OF BUILDING STRUCTURES Галимов Н.К., Якупов С.Н. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 90-95 торый позволяет оценивать жесткостные свойства, модуль упругости и условный модуль упругости тонкослойных образцов. Вопросы расчета эллиптических мембран в упругой постановке рассмотрены в [10]. Вопросы Выражения для кривизн деформированной мембраны для случая конечных перемещений и деформаций запишем по формулам [13]: (1 + e )E + e E + ω E K = 11 11 12 12 1 13 , λ I пластического деформирования круглых мембран 11 2 1 рассмотрены, в частности, в [8; 11]. В [8] предложена методика расчетного определения параметров круглых мембран, исходя из данных эксперимента. (1 + e ) E + e E + ω E K = 22 22 21 21 2 23 , 22 λ 2 I 2 В настоящем исследовании проводится развиe E + (1 + e ) E · ω E тие метода [8] применительно к эллиптическим K12 = K 21 = 21 11 22 22 2 23 , мембранам для случая их пластического деформирования. λ1 λ 2 I 1. Экспериментально-теоретический 1 1 2 2 λ1 = (1 + 2ε1 ) , λ 2 = (1 + 2ε 2 ) , (3) метод расчета Пусть эллиптическая в плане тонкая мембрана защемлена по контуру и нагружена односто- E 11 = ¶ E 1 , ¶ x E12 = ¶E1 , ¶ y E 22 = ¶ E 2 , ¶ y ронним равномерным давлением p, под действием которого она деформируется и приобретает форму сегмента эллипсоида. Ввиду малости толщины мембраны учитываются только растягива- E 21 = ¶ E 2 , ¶ x E13 = ¶ E 3 , ¶ x E 23 = ¶ E 3 , ¶ y ющие мембранные деформации и усилия. Запишем уравнения равновесия мембраны [12]: E1 = e12ω2 - (1+ e22 )ω1 , E2 = e21ω1 - (1 + e11 )ω2 , ¶T11 + ¶х ¶T12 ¶у = 0, ¶T12 ¶х + ¶T22 ¶у = 0, E3 = (1 + e11 )(1 + e22 ) - e12 e21 , K11T11 + 2T12 K12 + K22T22 = p, (1) I = 1 + 2P 1 +4P2 , 2 1 2 12 P = ε ε - ε 2 . P1 = ε 1 +ε2 , где T11, T12, T22 - мембранные усилия; K11, K12, K22 - кривизны деформированной мембраны. Нелинейные соотношения для компонент деформаций срединной поверхности по осям х, у запишем согласно Х.М. Муштари и К.З. Галимову в виде [12]: 1 11 11 12 1 ε = e + 0, 5(e2 + e2 + ω2 ), Учитывая, что прогибы мембраны в эксперименте составляют от десяти и более толщин, и ее материал находится в пластическом состоянии, при решении задачи будем применять соотношения теории пластичности А.А. Ильюшина, а коэффициент Пуассона примем равным 0,5 [14]: 4Ahe(k -1) (ε + 0, 5ε ) 2 22 22 21 2 ε = e + 0, 5(e2 + e2 + ω2 ), (2) T11 = i 1 2 , 3 2ε12 = e12 + e21 + 0, 5(e21e11 + e22 e12 + ω1ω 2 ), 4Ahe(k -1) (ε + 0, 5ε ) ¶ u e11 = , ¶ u e12 = , ¶ v e22 = , T22 = i 2 1 , 3 (k -1) ¶ x ¶ y ¶ y ¶v ¶ w ¶ w T12 2 Ahe = i 3 ε12 , (4) e21 = , ¶x ω 1 = ¶ x , ω 2 = ¶ y , где А - постоянная материала; k - показатель упрочнения; h - толщина мембраны; si - интенгде u и v - перемещения по осям x и y соответственно; w - прогиб. сивность напряжений; ei - интенсивность деформаций. РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ 91 Galimov N.K., Yakupov S.N. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 90-95 σi = 1 2 1 2 12 σ2 +σ2 -σ σ + 3σ2 , pрас 8 A hJ = ср , 3 pπ (8) i e = 2 ε2 + ε2 + ε ε + 0, 25ε2 , вытекающей из (7), и сравниваем с нагрузкой p 3 1 2 1 2 12 из эксперимента. Процесс «пристрелки» повторяется до тех пор, o = Ae k . (5) i i Задачу будем решать методом Бубнова - Галеркина в первом приближении, задавая перемещения в виде u ( x1 , y1 ) = F ( x1 , y1 ) ab0 x1 , пока не будет достигнута требуемая погрешность, например 5 %. Таким образом, определяются параметры A и k. 2. Оценка достоверности результатов Отметим, что дополнительно для оценки получаемых величин по предложенной методике по известному алгоритму [8] были выполнены исv( x1 , y1 ) = F ( x1 , y1 )bc0 y1 , (6) следования круглых полимерных мембран толщиной 0,07 мм. При k = 0,3 определены значения w = F ( x1 , y1 ) a 0 a , параметра A для мембран с диаметром 22 и 80 мм, которые составили 154,09 и 156,69 кг/см2 соответственно (или среднее значение A = 155,4 кг/см2). ( ) 2 2 F x1 , y1 = 1- x1 - y1 , -1 £ x £ 1, 3. Пример расчета -1 £ y £ 1, x = x / a , y = y / b, мембраны эллиптической формы 1 1 где a0, b0, c0 - безразмерные искомые величины; x1, y1 - безразмерные координаты; a и b - большая и малая полуоси мембраны соответственно. Внося выражения (6) в уравнения равновесия (1), после ряда преобразований получаем нелинейную систему трех уравнений относительно параметров a0, b0, c0 (ввиду ее громоздкости - здесь не приводится). Задавая параметр a0 (взятый из эксперимента) из первых двух уравнений (1), определяем параметры b0 и c0. Третье уравнение (1) после интегрирования принимает вид Исследована эллиптическая мембрана, изготовленная из полимерной пленки толщиной 0,07 мм с полуосями a = 2,5 см, b = 1,5 см (из того же материала, что и круглая мембрана, рассмотренная выше). Результаты исследования приведены в табл. 1, где w0 = w(x = 0, y = 0). Таблица 1 Результаты исследования эллиптической мембраны [Table 1. The results of investigation of an elliptical membrane] или π F J - p 2 = 0 , F = 3 p π p, кг/см2 [kg/cm2] w0 , мм [mm] a0 b0 c0 A, кг/см2 [kg/cm2] 0,10 4,15 0,1660 0,0255 0,0575 103,5 0,15 4,47 0,1788 0,0297 0,0668 140,6 0,20 5,01 0,2004 0,0375 0,0845 157,9 0,25 5,70 0,2280 0,0489 0,1100 163,5 0,30 6,07 0,2428 0,0557 0,1257 178,9 0,35 6,75 0,2700 0,0695 0,1570 178,9 0,40 7,55 0,3020 0,0881 0,1990 178,2 0,45 8,10 0,3240 0,1020 0,2310 173,5 0,50 9,11 0,3544 0,1320 0,2990 160,1 0,55 9,70 0,3880 0,1510 0,3450 159,0 0,60 10,56 0,4224 0,1840 0,4190 150,4 4 Ah , 3 A = , 8 hJ 1 1 J = . ò-1 ò-1 (K11T11 + 2T12 K12 + K22T22 )F (x1 , y1 )dx1dy1 F (7) Из уравнения (7) при фиксированном параметре k и известном из эксперимента давлении p находим A. Аналогично поступаем для всех значений p и a0. Далее для рассмотренных значений давлений p находим среднее значение Aср. Затем для каждой ступени нагружения находим расчетное значение pрас по формуле Среднее значение Aср = 158,6 кг/см2 отличается от среднего значения для круглой мембраны (155,4 кг/см2) на 2 %. Также, для оценки погрешности разработанного подхода были выполнены сравнения результатов расчета по данной методике с экспериментальными результатами [15]. В этой работе при- 92 ANALYSIS AND DESIGN OF BUILDING STRUCTURES Галимов Н.К., Якупов С.Н. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 90-95 ведены экспериментальные данные исследования деформирования эллиптических и круглых мембран, изготовленных из стали О8КП толщиной 0,82 мм, подверженных равномерному давлению. Параметр упрочнения k = 0,28. В [15] параметр удлиненности мембраны l = b/a = 0,375; 0,5; 0,75. Радиус круглых мембран R = 100 мм. Большая полуось эллиптических мембран a = 100 мм, а малые полуоси b = la мм. Данные эксперимента для мембран приведены в табл. 2. В последнем столбце приведены величины погрешности e (в %) расчетных данных от экспериментальных значений параметра А. Для круглых мембран по разработанной методике параметр Aср = 5834,2 кг/см2, что отличается от справочного значения 6000 кг/см2, приведенного в [15], на 2,7 %. Из табл. 2 видно, что для умеренных значений l (0,5-0,75) погрешность не выше 5 %. Отметим, что для случая l = 0,5 и p = 72 кг/см2 получается завышенное значение e, что можно объяснить большим шагом по нагрузке p. Таблица 2 Данные эксперимента и расчета [Table 2. Experiment and calculation data] l = b/a p, кг/см2 [kg/cm2] H, см [cm] A, кг/см2 [kg/cm2] e, % 0,375 70 2,04 5237 12,7 82 2,56 5050 15,8 90 - - - 0,5 50 2,22 5702 5,0 60 2,64 5713 4,8 72 3,89 4836 19,4 0,75 35 2,73 6092 1,6 42 3,22 6033 0,6 56 4,26 6147 2,4 1,0 20 2,4 5930 1,1 30 3,35 5887 1,8 35 3,85 5913 1,5 40 4,35 6042 7,0 47,5 7,10 5398 10,0 Заключение Разработана методика исследования тонких мембран эллиптической формы для случая пластического деформирования под действием равномерного давления. Описан алгоритм «пристрелки» для решения полученной системы уравнений. Выполнена работа по оценке достоверности результатов. Для оценки погрешности проведены сравнения результатов расчета с экспериментальными результатами. Рассмотрен пример расчета мембраны эллиптической формы.

Nail K Galimov

Institute of Mechanics and Engineering - subdivision of the Federal State Budgetary Institution of Science “Kazan Scientific Center of the Russian Academy of Sciences”

Author for correspondence.
Email: tamas_86@mail.ru
PO Box 261, 2/31 Lobachevsky St., Kazan, 420111, Tatarstan, Russian Federation

PhD in Physical and Mathematical Sciences, leading researcher, Institute of Mechanics and Engineering - subdivision of the Federal State Budgetary Institution of Science “Kazan Scientific Center of the Russian Academy of Sciences”. Research interests: mechanics of thin-walled structures, mechanics of films and membranes, composite structures

Samat N Yakupov

Kazan State University of Architecture and Engineering

Email: tamas_86@mail.ru
SPIN-code: 7382-4759
1 Zelenaya St., Kazan, 420043, Tatarstan, Russian Federation

PhD in Technical Sciences, senior researcher, Kazan State University of Architecture and Engineering. Research interests: structures of buildings and structures, mechanics of thin-walled structures, mechanics of films and membranes, composite structures, adhesion

• Yakupov N.М., Yakupov S.N. (2009). Plenki neodnorodnoj struktury [Films of heterogeneous structure]. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, (1), 60-70. (In Russ.)
• Yakupov S.N., Yakupov N.М. (2017). Tonkoslojnye pokrytiya [Thin coatings]. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, (1), 6-14. (In Russ.)
• Smirnov-Alyaev G.А. (1939). Issledovanie plasticheskogo progiba tonkih plastinok (membran), zhestko zadelannykh po krugovomu konturu pod dejstviem gidrostaticheskogo davleniya [Investigation of plastic deflection of thin plates (membranes), rigidly set on a circular contour under the action of hydrostatic pressure]. Research on the theory of plasticity, (III), 28-52. (In Russ.)
• McPherson A.E., Ramberg W., Lery S. (1942). Normal pressure test of circular plates with clamped edges. NASA Report, (744), 269-285.
• ANALYSIS AND DESIGN OF BUILDING STRUCTURES Галимов Н.К., Якупов С.Н. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 90-95
• Mahutov N.Ah. (2008). Strength and safety. Fundamental and applied research. Novosibirsk: Nauka Publ., 523. (In Russ.)
• Yakupov N.M. (2015). Mekhanika “lecheniya” konstrukcii [Mechanics of “treatment” of construction]. XI All-Russian Congress on Fundamental Problems of Theoretical and Applied Mechanics (Kazan, 20-24 August 2015), 4320-4322. (In Russ.)
• Yakupov N.M., Nurgaliyev A.R., Yakupov S.N. (2008). Metodika ispytaniya plenok i membran v usloviyah ravnomernogo raspredelennogo poverhnostnogo davleniya [The technique of test of films and membranes in the conditions of the uniform distributed superficial pressure]. Industrial laboratory. Diagnostics of materials, 74(11), 54-56. (In Russ.)
• Yakupov N.M. Galimov N.K., Leontiev A.A. (2000). Eksperimental'no-teoreticheskij metod issledovaniya prochnosti polimernyh plenok [Experimental-theoretical method for the study of the strength of polymer films]. Mechanics of composite materials and structures, 6(2), 238-243. (In Russ.)
• Galimov N.K., Yakupov N.M., Yakupov S.N. (2011). Eksperimental'no-teoreticheskij metod opredeleniya mekhanicheskih harakteristik sfericheskih plenok i membran so slozhnoj strukturoj [Experimentally-theoretical method for determining mechanical characteristics of spherical films and membranes with difficult structure]. Solid mechanics, (3), 58 (In Russ.)
• Weil N.A., Newmark N.M. (March, 1956). Large Deflections of elliptical Plates. Applied Mechanics, 23(1), 21-26.
• Gleyzal A. (1948). Plastic Deformation of a Circular Diaphragm under Pressure. J. of Applied Mechanics, Trans Asme, 70, 288-296.
• Mushtari Kh.M., Galimov K.Z. (1961). Nonlinear Theory of Thin Elastic Shells. 374.
• Galimov K.Z. (1951). K obshchej teorii plastin i obolochek pri konechnyh peremeshcheniyah i deformaciyah [On the general theory of plates and shells under finite displacements and deformations]. PMM, XV(6), 723-742. (In Russ.)
• Ilyushin A.A. (1948). Plastichnost' [Plasticity]. Moscow: Gostekhizdat Publ., 376. (In Russ.)
• Golovlev V.D. (1962). O sposobnosti metalla k glubokoj vytyazhke [On the ability of metal to deep drawing]. New processes of metal forming. Moscow: USSR Academy of Sciences, 135-143. (In Russ.)

Views

Abstract - 111

PDF (Russian) - 88

PlumX

Copyright (c) 2019 Galimov N.K., Yakupov S.N.