Simulation of an incomplete algebraic problem of eigenvalues and vectors by the method of frequency-dynamic condensation based on FEM in the form of the classical mixed method

Cover Page

Abstract


Relevance . Dynamic analysis of complex structures using numerical methods leads to the solution of the algebraic problem of eigenvalues and the corresponding eigenvectors of high orders. The solution of this problem for high order matrices is performed using reduction methods. One of the most effective methods is the method of sequential frequency-dynamic condensation, which allows partial consideration of the dynamic properties of the structure in the minor degrees of freedom. This allows for more accurate results compared to static condensation. Frequency-dynamic condensation is traditionally used to reduce frequency equations derived from the finite element method in the form of the displacement method or the force method. Methods. The authors have developed an algorithm for the frequency-dynamic condensation method for the frequency equation obtained on the basis of the FEM in the form of the classical mixed method. That allows to obtain not only the spectrum of the lower vibration frequencies, but also the corresponding vibration modes and the stress-strain state of the structure. Results . This article describes the algorithm and its practical implementation in the problem of dynamic analysis of a rectangular plate. The results of the numerical analysis of the problem are presented. An assessment of the accuracy of the method and recommendations for its use are given.


Введение Динамический анализ сложных конструкций с помощью различных численных методов строительной механики приводит к решению алгебраической проблемы собственных значений (СЗ) и соответствующих им собственных векторов (СВ) достаточно высокого порядка. Решение этой задачи для плотных матриц небольшого размера не представляет сложности, но для матриц высоких порядков она оказывается далеко не тривиальной, и выбор эффективного метода ее решения совсем не прост. Во втором случае используются методы, основанные на использовании физических моделей редуцирования: метод суперэлементов (подконструкций) [1-4], интерполяционные методы (метод разреженных сеток, сплайн-методы) [5-6], метод покомпонентногоо синтеза форм (модального синтеза) [7-20] и их математическое моделирование на последовательности сгущающихся конечно-элементных сеток или узлов конденсации. Одним из наиболее эффективных, применяемых для решения неполной проблемы СЗ и СВ высокого порядка является метод последовательной частотно-динамической конденсации (ЧДК), изложенный в [21-25 и др.] и получивший развитие и применение в ряде публикаций. Он принадлежит к большой группе редукционных методов и основан на выделении в конструкции главных (оставляемых) и второстепенных (исключаемых) степеней свободы с последующим исключением последних. В отличие от метода статической конденсации [26], в котором полностью пренебрегают динамическими свойствами второстепенных степеней свободы, при ЧДК выполняется частичный учет динамических свойств конструкции во второстепенных степенях свободы. Это позволяет получить более точные результаты по сравнению со статической конденсацией. Во всех упомянутых выше работах частотнодинамическая конденсация используется для редуцирования частотных уравнений, полученных на основе метода конечных элементов (МКЭ) в форме метода перемещений или метода сил. Далее представлен алгоритм ЧДК для частотного уравнения, полученного на основе МКЭ в форме классического смешанного метода (КСМ МКЭ) [27], позволяющий получить не только спектр низших частот колебаний, но и соответствующие им формы колебаний, а также напряженно-деформированное состояние конструкции. Предварительная статическая конденсация Учитывая, что согласованная матрица масс не имеет преимуществ по сравнению с несогласованной матрицей масс в отношении точности результатов расчета [28], частотное уравнение КСФ МКЭ может быть записано в виде Dст mдинq0, (1) rk k, r%k f,  где Dст δ% f k, δ f f,  - статическая матрица mk 0  откликов; mдин  0 m f  - диагональная  qk матрица масс;  q   - вектор основных  q% f неизвестных (кинематических и силовых); k  1, 2,K, ;n f  n 1, n  2,K, n  m . Представим уравнение (1) в виде системы матричных уравнений rk k,  λmk qk  r q% %k f, f  0,  (2) δ% f k, qk δ f f,  λm f q% f  0. Как показано в некоторых исследованиях [29], влияние объемных масс, полученных сведением к ним распределенных по площади масс конечных элементов, незначительно. Поэтому им можно пренебречь, то есть задать m f 0 . Тогда второе уравнение в (2) принимает вид δ% f k, qk  δ f , f q% f  0. (3) Из него следует q% f δ δf f1, % f k, qk . (4) Подставив (4) в первое уравнение в (2), получим частотное уравнение вида Dст( )k  λ mk qk 0, (5) где Dст( )k rk k,  r%k f, δf f1, δ% f k,  - преобразованная с помощью статической конденсации матрица откликов Dст из (1). Последовательная частотно-динамическая конденсация Выделим теперь из n узлов конечно-элементной сетки с расположенными в них точечными массами mk N узлов конденсации, в которые должны быть приведены эти массы. Тогда уравнение (5) можно представить в виде rb b,  λmb qb r qb s, s  0,  (6) r qs b b, rs s,  λms qs  0, где b 1, 2,K, N - основные степени свободы, s  N 1, N  2,K, n - второстепенные степени свободы. Выполнив вновь статическую конденсацию к основным степеням свободы, получим новое редуцированное частотное уравнение: Dст( )b  λ mb qb 0, (7) где Dст( )b rb b,  rb s, rs s,1 rs b,  . Разделим все массы, не находящиеся в узлах конденсации, называемых второстепенными, на отдельные группы, включающие M i степеней свободы, по степени их близости к узлам конденсации. Для каждой из этой групп составляется парциальная система вида rb b,  λmb qb r qb s, s  0,  (8) r qs b, b rs s,  λm s qs  0, где b 1, 2,K, N N, 1, N  2,K, N  M i , s  N M i 1, N  M i  2,K, n . Для каждой парциальной системы выполним статическую конденсацию и получим расширенное редуцированное частотное уравнение: Dст(b )  λ mb qb  0, (9) где Dст(b ) rb b, r r rb s, s s,1 s b, . Решив это уравнение, определим для этой парциальной системы соответствующие СЗ и СВ. Возвращаясь снова к частотному уравнению (7), найдем такую матрицу масс mb , при которой все N собственных значений и собственных векторов этого уравнения совпадали бы с N низших собственных частот и форм колебаний, установленных для уравнения (9). Для этого, исходя из физического смысла задачи, заменим матрицу mb в (7) матрицей m m mb  b b i , (10) где mb i - конденсационные добавки к имеющимся в узлах b массам от i-ой группы второстепенных масс, обеспечивающие равенство N собственных частот и форм колебаний уравнений (7) и (9). Подставив в (7) вместо mb матрицу mb и найденные для (9) N собственных значений λ ki , k1, 2,K, N и собственных векторов v jki , получим следующее уравнение: Dст( )b λ ki mb   v i 0, (11) λ1 i    i  где λ ki  λ2  - диаго-  O    i   λN  нальная матрица из N собственных значений уравнения (9); v1,i1   i v1,2 i v 2,1  i v 2,2 L L vNi,1  vN i,2        i  L L L L  v    i  i  i  - матрица v1, j v2, j L vN j,   L L L L    i  i  i  v1,N v2,N L vN N,  из N соответствующих собственных векторов. Решая уравнение (11), находим: mb i    λ ki 1 Dст( )b . (12) Матрица конденсационных добавок от i-ой группы второстепенных масс m m mb i  b i  b . (13) Суммируя добавки для всех парциальных систем, получим конденсированную к выбранным N узлам b редуцированную матрицу масс рассматриваемой конструкции: T  mbред   mb  mb i , (14) i1 где T - число парциальных систем. Подставив в (11) вместо mb матрицу масс mbред по (14), решим полученное редуцированное частотное уравнение: Dст( )b λk mbред qb0 . (15) В результате найдем редуцированный к выбранным узлам конденсации b спектр собственных значений СЗ и собственных векторов СВ, то есть λk , vj,k , где k 1, 2,K, N , j 1, 2,K, N . Результаты вычислительного эксперимента Выполним расчет прямоугольной жестко защемленной по контуру пластинки размером 8×12 м, толщиной h = 0,6 м, несущей равномерно распределенную массу m = 1 кг/см2 (см. рисунок). В таблице приведены результаты нескольких вариантов расчета при разбиении пластинки КЭ-сеткой 8×12: с использованием полной системы уравнений, использованием статической конденсации (СК), двух вариантов частотно-динамической конденсации (ЧДК). а б Рисунок. Узлы конденсации для прямоугольной жестко защемленной по контуру пластинки: а - 4 подсистемы; б - 6 подсистем [Figure. Condensation units for a rectangular plate rigidly clamped along the contour: а - 4 subsystems; б - 6 subsystems] Таблица Результаты расчета пластинки при разбиении КЭ-сеткой 8×12 [Table. The results of the analysis of the plate when splitting FE-grid 8×12] СЗ КЭ-сетка 8×12, n = 231 СК, n = 15 Δ, % ЧДК, t = 4 Δ, % ЧДК, t = 6 Δ, % 1 2,512 2,66 6 2,372 -5 2,370 -5 2 1,030 1,49 30 1,060 -2 1,051 -2 3 0,423 0,479 13 0,426 0,7 0,429 1 4 0,412 0,432 4,5 0,395 4 0,398 4 5 0,306 0,390 27,4 0,295 -3 0,291 -4 6 0,190 0,212 11,6 0,192 1 0,188 -1 7 0,182 0,197 8,2 0,178 -2 0,174 -4 8 0,116 0,181 56,0 0,109 -6 0,112 -3 9 0,110 0,154 40,0 0,104 -6 0,101 -8 10 0,101 0,132 20,8 0,101 0 0,093 -8 11 0,087 0,119 34,2 0,081 -7 0,085 -2,6 12 0,080 0,103 26,3 0,074 -7 0,081 -1 13 0,062 0,089 43,5 0,058 -7 0,058 -7 14 0,058 0,081 40,0 0,046 -20 0,045 -21 15 0,045 0,063 40,0 0,031 -32 0,029 -34 Выводы По сравнению с методом статической конденсации, обеспечивающим получение приемлемого результата только для минимальной собственной частоты, метод частотно-динамической конденсации позволяет получить результаты близкие к точным (с абсолютной погрешностью не более 7 %) для 13-ти первых собственных частот. Выполненное исследование при различных соотношениях числа основных и второстепенных степеней свободы, числа степеней свободы парциальной системы, позволило выявить их оптимальные границы для получения редуцированного спектра частот с заданной степенью точности.

Alexander V Ignatyev

Volgograd State Technical University

Author for correspondence.
Email: alignat@gmail.com
SPIN-code: 9405-9800
28 Lenin Ave., Volgograd, 400005, Russian Federation

PhD in Technical Sciences, Associate Professor, Department of Automated Systems Software

Artem V Chumakov

Volgograd State Technical University

Email: chumakovtema@gmail.com
28 Lenin Ave., Volgograd, 400005, Russian Federation

master student of the Department of Software of Automated Systems

Vadim V Gilka

Volgograd State Technical University

Email: gilka_vv@mail.ru
28 Lenin Ave., Volgograd, 400005, Russian Federation

master student of the Department of Software of Automated Systems

  • Choi J.H., Kim H., Cho M. (2008). Iterative method for dynamic condensation combined with substructuring scheme. Journal of Sound and Vibration, 317(1), 199–218.
  • Vol'mir A.S., Terskih V.N. (1979). Issledovanie dinamiki konstrukcij iz kompozitnyh materialov na osnove metoda superehlementov [The investigation of the dynamics of structures made of composite materials based on the super-elements method]. Mekhanika kompozitnyh materialov [Mechanics of composite materials], (4), 652– 655. (In Russ.)
  • Vol'mir A.S., Kuranov B.A., Turbaivskij A.T. (1989). Statika i dinamika slozhnyh struktur: prikladnye mnogourovnevye metody issledovanij [Statics and dynamics of complex structures: Applied multilevel research methods]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 248. (In Russ.)
  • Tyuhanov V.V. (2011). Metod resheniya zadach dinamiki plastinok slozhnoj formy [The method of solving problems of dynamics of plates of complex shape] // Izvestiya Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennye nauki [Natural sciences. Journal of fundamental and applied researches], (1), 138–144. (In Russ.)
  • Ignat'ev V.A., Romashkin V.N. (2014). Opredelenie reducirovannogo spektra chastot i form svobodnyh kolebanij sistem s bol'shim chislom stepenej svobody na osnove splajn-kollokacionnoj kondensacii [Determination of the reduced frequency spectrum and forms of free vibrations of systems with a large number of degrees of freedom based on spline-collocation condensation]. Bulletin of Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering. Series: Construction and Architecture, 35(54), 140–152. (In Russ.)
  • Karpov D.V. (2002). Razvitie metoda reducirovannyh ehlementov dlya rascheta regulyarnyh sterzhnevyh sistem i analiza ploskih temperaturnyh polej (dis.. kand. tekhn. nauk) [Development of the reduced elements method for regular core systems and plane temperature fields analysis (PhD thesis)]. Vladivostok, 209. (In Russ.)
  • Hurty W.C. (1965). Dynamic analysis of structural systems using component modes. AIAA Journal, 3(4), 678–685.
  • Craig R., Bampton M. (1968). Coupling of Substructures for Dynamic Analysis. Am. Inst. Aero. Astro. J., 6(7), 1313–1319.
  • Craig R.R. (1995). Substructure method in vibration. J. Vib. Acoust., 117(B), 207–213.
  • Papadimiriou C., Papadioti D.C. (2013). Component mode synthesis technique for finite element model updating. Comput. Struct., (126), 15–28.
  • Hou G., Maroju V. (1995). Component mode synthesis-based design optimization method for local structural modification. Struct. Optim., (10), 128–136.
  • Lall S., Marsden J. E., Glavaski S. (2002). A subspace approach to balanced truncation for model reduction of nonlinear control system. Int. J. Robust. Nonlinear Control., 12(6), 519–535.
  • Bourquin F. (1990). Analysis and comparison of several component mode synthesis methods on one dimensional domains. Numer. Math., 58(1), 11–33.
  • Kim J.G., Lee P.S. (2015). A posteriori error estimation method for the flexibility-based component mode synthesis. AIAA J., 53(10), 2828–2837.
  • Bennighof J.K., Lehoucq R.B. (2004). An automated multi-level substructuring method for eigenspace computation in linear elastodynamics. SIAM J. Sci. Comput., 25(6). 2084–2106.
  • Kim J.G., Lee P.S. (2015). An enhanced Craig – Bampton method. Intl. J. Numer. Methods Eng., (103), 79–93.
  • Kim J.G., Boo S.H., Lee P.S. (2015). An enhanced AMLS method and its performance. Comput. Methods Appl. Mech. Eng., (287), 90–111.
  • Rabczuk T., Belytschko T. (2005). Adaptivity for structured meshfree particle methods in 2D and 3D. Intl. J. Numer. Methods Eng., 63(11), 1559–1582.
  • Belostockij A.M., Dubinskij S.I., Potapenko A.L. (2006). Metody dinamicheskogo sinteza podkonstrukcij v zadachah modelirovaniya slozhnyh inzhenernyh system [Dynamic synthesis Methods of substructures in the problems of modeling complex engineering systems]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzhenij [Structural Mechanics and Analysis of Constructions], (10), 99–110. (In Russ.)
  • Belostockij A.M., Potapenko A.L. (2011). Submodeling and dynamic synthesis of substructures methods realizations in multipurposes and objectoriented program packages. Int. Jorn. for Computational Civil and Structural Engineering, 7(1), 76–83. (In Russ.)
  • Ignatyev V.A. (1992). Redukcionnye metody rascheta v statike i dinamike plastinchatyh sistem [Reduction analysis methods in statics and dynamics of plate systems]. Saratov: SGU Publ., 142. (In Russ.)
  • Ignatyev V.A., Romashkin V.N. (2010). Posledovatel'naya chastotno-dinamicheskaya kondensaciya. Materialy nauch.-tekhn. internet-konferencii [Sequential frequencydynamic condensation. Materials of scientific and technical Internet conference]. Volgograd: VolgGASU Publ., 63–87. (In Russ.)
  • Ignatyev V.A. (2011). Modificirovannyj metod posledovatel'noj chastotno-dinamicheskoj kondensacii [Modified method of sequential frequency-dynamic condensation]. Academia. Arhitektura i stroitel'stvo, (2), 100–103. (In Russ.)
  • Ignatyev V.A., Chanturidze A.U. (2011). Metod chastotno-dinamicheskoj kondensacii [Modified method of sequential frequency-dynamic condensation]. Vestnik VolgGASU, 24(43), 46–53. (In Russ.)
  • Romashkin V.N. (2013). Superehlementnaya formulirovka metoda chastotno-dinamicheskoj kondensacii. Internet-vestnik VolgGASU. Seria Multitematiceskaa, 1(25). http://vestnik.vgasu.ru/attachments/Romashkin-2013_1(25).pdf (In Russ.)
  • Guyan R. J. (1965). Reduction of Stiffness and Mass Matrices. AIAA Journal, 3(2), 380.
  • Ignatyev V.A., Ignatyev A.V., Zhidelev A.V. (2006). Smeshannaya forma metoda konechnyh ehlementov v zadachah stroitel'noj mekhaniki [Mixed form of the finite element method in problems of structural mechanics]. Volgograd: VolgGASU Publ., 171. (In Russ.)
  • Gabova V.V. (2011). Primenenie smeshannoj formy MKEH k raschetam sterzhnevyh sistem (Dis. …kand. tekhn. nauk) [Application of the mixed form of the FEM to analysis of truss structures (PhD thesis)]. Institute of Architecture and Civil Engineering of Volgograd State Technical University. (In Russ.)
  • Ignatyev V.A. (1973). Raschet regulyarnyh sterzhnevyh system [Design of regular truss systems]. Saratov: Rotaprint SVVU Publ., 433. (In Russ.)

Views

Abstract - 187

PDF (Russian) - 150

PlumX


Copyright (c) 2019 Ignatyev A.V., Chumakov A.V., Gilka V.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.