Моделирование неполной алгебраической проблемы собственных значений и векторов методом частотно-динамической конденсации на основе МКЭ в форме классического смешанного метода

Полный текст

Введение Динамический анализ сложных конструкций с помощью различных численных методов строительной механики приводит к решению алгебраической проблемы собственных значений (СЗ) и соответствующих им собственных векторов (СВ) достаточно высокого порядка. Решение этой задачи для плотных матриц небольшого размера не представляет сложности, но для матриц высоких порядков она оказывается далеко не тривиальной, и выбор эффективного метода ее решения совсем не прост. Во втором случае используются методы, основанные на использовании физических моделей редуцирования: метод суперэлементов (подконструкций) [1-4], интерполяционные методы (метод разреженных сеток, сплайн-методы) [5-6], метод покомпонентногоо синтеза форм (модального синтеза) [7-20] и их математическое моделирование на последовательности сгущающихся конечно-элементных сеток или узлов конденсации. Одним из наиболее эффективных, применяемых для решения неполной проблемы СЗ и СВ высокого порядка является метод последовательной частотно-динамической конденсации (ЧДК), изложенный в [21-25 и др.] и получивший развитие и применение в ряде публикаций. Он принадлежит к большой группе редукционных методов и основан на выделении в конструкции главных (оставляемых) и второстепенных (исключаемых) степеней свободы с последующим исключением последних. В отличие от метода статической конденсации [26], в котором полностью пренебрегают динамическими свойствами второстепенных степеней свободы, при ЧДК выполняется частичный учет динамических свойств конструкции во второстепенных степенях свободы. Это позволяет получить более точные результаты по сравнению со статической конденсацией. Во всех упомянутых выше работах частотнодинамическая конденсация используется для редуцирования частотных уравнений, полученных на основе метода конечных элементов (МКЭ) в форме метода перемещений или метода сил. Далее представлен алгоритм ЧДК для частотного уравнения, полученного на основе МКЭ в форме классического смешанного метода (КСМ МКЭ) [27], позволяющий получить не только спектр низших частот колебаний, но и соответствующие им формы колебаний, а также напряженно-деформированное состояние конструкции. Предварительная статическая конденсация Учитывая, что согласованная матрица масс не имеет преимуществ по сравнению с несогласованной матрицей масс в отношении точности результатов расчета [28], частотное уравнение КСФ МКЭ может быть записано в виде Dст mдинq0, (1) rk k, r%k f,  где Dст δ% f k, δ f f,  - статическая матрица mk 0  откликов; mдин  0 m f  - диагональная  qk матрица масс;  q   - вектор основных  q% f неизвестных (кинематических и силовых); k  1, 2,K, ;n f  n 1, n  2,K, n  m . Представим уравнение (1) в виде системы матричных уравнений rk k,  λmk qk  r q% %k f, f  0,  (2) δ% f k, qk δ f f,  λm f q% f  0. Как показано в некоторых исследованиях [29], влияние объемных масс, полученных сведением к ним распределенных по площади масс конечных элементов, незначительно. Поэтому им можно пренебречь, то есть задать m f 0 . Тогда второе уравнение в (2) принимает вид δ% f k, qk  δ f , f q% f  0. (3) Из него следует q% f δ δf f1, % f k, qk . (4) Подставив (4) в первое уравнение в (2), получим частотное уравнение вида Dст( )k  λ mk qk 0, (5) где Dст( )k rk k,  r%k f, δf f1, δ% f k,  - преобразованная с помощью статической конденсации матрица откликов Dст из (1). Последовательная частотно-динамическая конденсация Выделим теперь из n узлов конечно-элементной сетки с расположенными в них точечными массами mk N узлов конденсации, в которые должны быть приведены эти массы. Тогда уравнение (5) можно представить в виде rb b,  λmb qb r qb s, s  0,  (6) r qs b b, rs s,  λms qs  0, где b 1, 2,K, N - основные степени свободы, s  N 1, N  2,K, n - второстепенные степени свободы. Выполнив вновь статическую конденсацию к основным степеням свободы, получим новое редуцированное частотное уравнение: Dст( )b  λ mb qb 0, (7) где Dст( )b rb b,  rb s, rs s,1 rs b,  . Разделим все массы, не находящиеся в узлах конденсации, называемых второстепенными, на отдельные группы, включающие M i степеней свободы, по степени их близости к узлам конденсации. Для каждой из этой групп составляется парциальная система вида rb b,  λmb qb r qb s, s  0,  (8) r qs b, b rs s,  λm s qs  0, где b 1, 2,K, N N, 1, N  2,K, N  M i , s  N M i 1, N  M i  2,K, n . Для каждой парциальной системы выполним статическую конденсацию и получим расширенное редуцированное частотное уравнение: Dст(b )  λ mb qb  0, (9) где Dст(b ) rb b, r r rb s, s s,1 s b, . Решив это уравнение, определим для этой парциальной системы соответствующие СЗ и СВ. Возвращаясь снова к частотному уравнению (7), найдем такую матрицу масс mb , при которой все N собственных значений и собственных векторов этого уравнения совпадали бы с N низших собственных частот и форм колебаний, установленных для уравнения (9). Для этого, исходя из физического смысла задачи, заменим матрицу mb в (7) матрицей m m mb  b b i , (10) где mb i - конденсационные добавки к имеющимся в узлах b массам от i-ой группы второстепенных масс, обеспечивающие равенство N собственных частот и форм колебаний уравнений (7) и (9). Подставив в (7) вместо mb матрицу mb и найденные для (9) N собственных значений λ ki , k1, 2,K, N и собственных векторов v jki , получим следующее уравнение: Dст( )b λ ki mb   v i 0, (11) λ1 i    i  где λ ki  λ2  - диаго-  O    i   λN  нальная матрица из N собственных значений уравнения (9); v1,i1   i v1,2 i v 2,1  i v 2,2 L L vNi,1  vN i,2        i  L L L L  v    i  i  i  - матрица v1, j v2, j L vN j,   L L L L    i  i  i  v1,N v2,N L vN N,  из N соответствующих собственных векторов. Решая уравнение (11), находим: mb i    λ ki 1 Dст( )b . (12) Матрица конденсационных добавок от i-ой группы второстепенных масс m m mb i  b i  b . (13) Суммируя добавки для всех парциальных систем, получим конденсированную к выбранным N узлам b редуцированную матрицу масс рассматриваемой конструкции: T  mbред   mb  mb i , (14) i1 где T - число парциальных систем. Подставив в (11) вместо mb матрицу масс mbред по (14), решим полученное редуцированное частотное уравнение: Dст( )b λk mbред qb0 . (15) В результате найдем редуцированный к выбранным узлам конденсации b спектр собственных значений СЗ и собственных векторов СВ, то есть λk , vj,k , где k 1, 2,K, N , j 1, 2,K, N . Результаты вычислительного эксперимента Выполним расчет прямоугольной жестко защемленной по контуру пластинки размером 8×12 м, толщиной h = 0,6 м, несущей равномерно распределенную массу m = 1 кг/см2 (см. рисунок). В таблице приведены результаты нескольких вариантов расчета при разбиении пластинки КЭ-сеткой 8×12: с использованием полной системы уравнений, использованием статической конденсации (СК), двух вариантов частотно-динамической конденсации (ЧДК). а б Рисунок. Узлы конденсации для прямоугольной жестко защемленной по контуру пластинки: а - 4 подсистемы; б - 6 подсистем [Figure. Condensation units for a rectangular plate rigidly clamped along the contour: а - 4 subsystems; б - 6 subsystems] Таблица Результаты расчета пластинки при разбиении КЭ-сеткой 8×12 [Table. The results of the analysis of the plate when splitting FE-grid 8×12] СЗ КЭ-сетка 8×12, n = 231 СК, n = 15 Δ, % ЧДК, t = 4 Δ, % ЧДК, t = 6 Δ, % 1 2,512 2,66 6 2,372 -5 2,370 -5 2 1,030 1,49 30 1,060 -2 1,051 -2 3 0,423 0,479 13 0,426 0,7 0,429 1 4 0,412 0,432 4,5 0,395 4 0,398 4 5 0,306 0,390 27,4 0,295 -3 0,291 -4 6 0,190 0,212 11,6 0,192 1 0,188 -1 7 0,182 0,197 8,2 0,178 -2 0,174 -4 8 0,116 0,181 56,0 0,109 -6 0,112 -3 9 0,110 0,154 40,0 0,104 -6 0,101 -8 10 0,101 0,132 20,8 0,101 0 0,093 -8 11 0,087 0,119 34,2 0,081 -7 0,085 -2,6 12 0,080 0,103 26,3 0,074 -7 0,081 -1 13 0,062 0,089 43,5 0,058 -7 0,058 -7 14 0,058 0,081 40,0 0,046 -20 0,045 -21 15 0,045 0,063 40,0 0,031 -32 0,029 -34 Выводы По сравнению с методом статической конденсации, обеспечивающим получение приемлемого результата только для минимальной собственной частоты, метод частотно-динамической конденсации позволяет получить результаты близкие к точным (с абсолютной погрешностью не более 7 %) для 13-ти первых собственных частот. Выполненное исследование при различных соотношениях числа основных и второстепенных степеней свободы, числа степеней свободы парциальной системы, позволило выявить их оптимальные границы для получения редуцированного спектра частот с заданной степенью точности.

Об авторах

Александр Владимирович Игнатьев

Волгоградский государственный технический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: alignat@gmail.com
SPIN-код: 9405-9800

кандидат технических наук, доцент кафедры программного обеспечения автоматизированных систем

Российская Федерация, 400005, Волгоград, пр-т имени В.И. Ленина, 28

Артем Владимирович Чумаков

Волгоградский государственный технический университет

Email: chumakovtema@gmail.com

магистрант кафедры программного обеспечения автоматизированных систем

Российская Федерация, 400005, Волгоград, пр-т имени В.И. Ленина, 28

Вадим Викторович Гилка

Волгоградский государственный технический университет

Email: gilka_vv@mail.ru

магистрант кафедры программного обеспечения автоматизированных систем

Российская Федерация, 400005, Волгоград, пр-т имени В.И. Ленина, 28

Список литературы