Investigation of the distribution of elastic waves in the composite cylinder with the initial torch

Cover Page

Abstract


The aim of work. The work is devoted to the study of the propagation of axisymmetric longitudinal waves in a compound cylinder with initial torsion. Solution technique. The initial stresses in the cylinder are determined using the classical linear theory of elasticity. Methods for solving corresponding problems of intrinsic significance are proposed. Numerical results are given and their analysis is carried out. Results. It was found that the presence of initial torsion in cylinders does not exclude the appearance of an axisymmetric longitudinal and axisymmetric waves in a compound cylinder separately. It is found that, in the absence of initial torsion in the compound cylinder, there are intersection points between the dispersion curves corresponding to the modes of axially symmetric longitudinal and torsional waves. It is shown that in the case when initial torsion takes place on at least one cylinder, the axisymmetric longitudinal and torsional waves can not propagate separately, i.e. there is an interference between these two types of axisymmetric waves in a composite cylinder. Methods for solving the problem are developed and corresponding dispersion equations for a compound cylinder are obtained. Dispersion equations are solved and dispersion curves are obtained, an algorithm is developed for constructing these curves.


Введение Задачи, относящиеся к области теории распространения упругих волн, имеют место во всех областях естествознания и современной техники. Этим и объясняется повышенное внимание к такого рода исследованиям со стороны представителей различных научных направлений фундаментального и прикладного характера. Одной из интересных и актуальных проблем, которые относятся к нелинейным динамическим эффектам, является теория распространения упругих волн в телах с начальными напряжениями. Круг прикладных аспектов задач, относящихся к этой проблеме, весьма широк. К числу этих аспектов можно отнести такие научные направления, как механика материалов и элементов конструкций, геофизика, механика композитных материалов, механика горных пород, биомеханика, неразрушающие методы определения напряжений и др. Существует ряд явлений, относящихся к влиянию начальных напряжений на распространение упругих волн, к исследованию которых можно подойти в рамках линеаризованной теории распространения упругих волн в телах с начальными напряжениями. Указанная теория строится в результате последовательной линеаризации нелинейной теории. Применение вышеизложенных линеаризованных уравнений проводится в рамках приближенных и точных подходов. Под приближенным подходом полиндр имеет постоянную кручения J(k ) (k = 1, 2) на нимается использование нелинейных уравнений единицу длины. Вместе с тем в случае J(1) = J(2) в рамках различных упрощающих гипотез геометрического и физического характера. Эти гипотезы позволяют упрощать математические решения задач. Вместе с тем приближенные подходы, основывающиеся на этой гипотезе, имеют определенные ограничения. Например, с применением приближенных подходов невозможно исследовать приисследование, проведенное ниже, правомочно и для тех случаев, когда составной цилиндр скручивается после их соединения. В этих случаях начальное напряженно-деформированное состояние в цилиндрах определяем в рамках классической линейной теории упругости. При этом получаем, что на каждом цилиндре имеется только напряжение поверхностные динамические явления, распро- (k ),0 (k ) (k ) странение волн в массивных телах с начальными sz q = m J r , которое отлично от нуля, где напряжениями и т.п. Изложенное вызывает необходимость применения точного трехмерного линеаризованного подхода, т.е. подхода в рамках так называемой трехмерной линеаризованной теории распространения упругих волн в телах с начальными напряжениями (ТЛТРУВТНН). Исследования в рамках ТЛТРУВТНН приведены статьях [1-7]. В данной работе исследуется задача о распространении продольных осесимметричных волн в составном цилиндре с начальными кручениями. Постановка задачи Рассмотрим составной цилиндр с круговыми поперечными сечениями, схематически показанный на рис. 1. С цилиндрами свяжем цилиндрическую систеm(k ) - модуль сдвига материала k -го цилиндра, r - радиальная координат. Материалы цилиндров принимаем однородными, изотропными и линейно упругими. му координат Or θ z и положения точек цилин- Рис. 1. Геометрия составного цилиндра [Figure 1. Compound cylinder geometry] дров определим лагранжевыми координатами в этой системе. Величины, относящиеся к внутреннему сплошному цилиндру с радиусом R , отметим верхним индексом (2), а величины, относящиеся к внешнему полому цилиндру с толщиной h , верхним индексом (1). Примем, что до компоновки цилиндров они отдельно скручены, причем k -ый ци- Таким образом, в рамках, изложенных выше, исследуем распространение осесимметричной продольной волны в составном цилиндре с начальными кручениями. При этом линеаризованные уравнения движения имеют следующий вид: (n) (n) (n) 2 (n) ¶srr · ¶szr + 1 (s(n) - s(n) ) - s(n) ,0 2 ¶uq = r(n) ¶ ur , ¶r (n) ¶z r rr qq (n) zq r (n) ¶z 2 (n) ¶ t 2 ¶srq + 2 s(n) + ¶szq + 2 s(n)0 ¶ ur = r(n) ¶ uq , (1) ¶r r qq ¶z r z q (n) ¶z (n) ¶ t 2 2 (n) ¶srz + 1 s(n) + ¶szz r(n) ¶ uz , n = 1,2. Запишем соотношения упругости: ¶r r rz ¶z ¶ t 2 (n) (n) ( (n) (n) (n) ) 2 (n) (n) (n) (n) ( (n) (n) (n) ) 2 (n) (n) srr = l err + eqq · ezz + m err , sqq = l err + eqq · ezz + m eqq , (n) (n) ( (n) (n) (n) ) 2 (n) (n) (n) 2 (n) (n) szz = l err + eqq + ezz + m ezz , srq = m erq , (2) (n) 2 (n) (n) (n) 2 (n) (n) srz = m erz , srq = m ezq , а также геометрические соотношения: (n) (n) (n) (n) (n) e(n) = ¶ur , e(n) = ur , e(n) = ¶uz , e(n) = 1 æ ¶uq - uq ö , rr ¶r qq r zz ¶z rq 2 çç ¶r r ÷÷ (n) (n) è ø (n) e(n) = 1 æ ¶uz + ¶ur ö , e(n) = 1 æ ¶uq ö . (3) rz 2 çç ¶r ¶z ÷÷ zq 2 çç ¶z ÷÷ è ø è ø В уравнениях (1) - (3) использованы общеизвестные обозначения. Будем предполагать, что на имеет место условие идеального контакта. Это условие в рассматриваемом случае можно запиповерхности контакта цилиндров, т. е. при r = R, сать в следующем виде: (2) (1) s(2) = s(1) ¶u ¶u æ ö , s(2) - s(2),0 r æ ö = s(1) - s(1),0 r , rr r = R rr r = R çç rq zq ¶z ÷÷ çç rq zq ¶z ÷÷ è ø r =R (2) è ø r = R (1) u æ ö s(2) - s(2),0 q u æ ö = s(1) - s(1),0 q , (4) çç rz zq r ÷÷ çç rz zq r ÷÷ è ø r =R è ø r =R u(2) = u(1) , u(2) = u(1) , u(2) = u(1) . r r =R r r = R q r =R q r =R z r =R z r =R Кроме того, на свободной поверхности внешнего цилиндра, т. е. при дующие условия: r = R + h , выполняются сле- (2) (1) s(1) = 0, ¶u u æ ö s(1) - s(1),0 r æ ö = 0, s(1) - s(1),0 q = 0. (5) rr r =R+h çç rq zq ¶r ÷÷ çç rz zq 1. ÷÷ è ø r = R+h è ø r =R+h Таким образом, исследование дисперсии осесимметричной продольной волны в составном {J(1) ¹ 0; J(2) = 0} или {J(1) ¹ 0; J(2) = 0}, цилиндре с начальными кручениями сводится к (1) J = 0; J(2) ¹ 0 , осесимметричные продольрешению задач о собственном значении, заключающем в себе уравнения движения (1), механические (2) и геометрические (3) соотношения с контактными (4) и граничными (5) условиями. Отметим, что указанные уравнения и соотношения также являются уравнениями и соотношениями ТЛТУВТНН. Однако эти уравнения и соотношение получаются в случае, когда начальные деформации являются малыми. Причем напряженно-деформированные состояния, относящиеся к начальному состоянию, определяются в рамках классической линейной теории упругости. Отметим, что в случае, когда начальные кручения в цилиндрах отсутствуют, т.е. при { } ная и крутильная волны не могут распространяться в отдельности, т. е. имеет место взаимовлияние между этими двумя типами осесимметричных волн в составном цилиндре. Метод решения Начнем с представления перемещений. Согласно предположению о том, что волны двигаются вдоль цилиндров, т. е. вдоль оси OZ , эти представления можем записать в следующем виде: u(n) = U (n) (r )cos (k z - wt ), J(1) = J(2) = 0, изложенная выше постановка заr (n) (n) дачи переходит к постановке соответствующих заuq = V (r ) cos (k z - wt ), дач в рамках классической линейной теории эла- (n) (n) ( ) sin ( ) стодинамики. Как известно, в классическом случае осесимметричная продольная и осесимметuz = W r k z -wt . (6) ричная крутильная волны распространяются в составном цилиндре отдельно, т.е. без взаимосвязи. Подставляя (6) в соотношения (3), из (2), (1) получаем следующее уравнение для неизвестных Однако, как будет показано ниже, в случае, когда функций U (n) (r), V (n)(r) и W (n) (r): 2 (n) n ö ù dW (n) 2 (2 + a(n) )é d U § d æ U +(1+ a(n) ) -U (n) - u(n) 2V (n) = - c U (n) , ê 2 ç ÷ ú 2 ë d r1 dr1 è r1 ø û dr1 2 (c(n) ) (n) (n) (n) (n) 2 V c d é dV V ù 2 é dV - + ù - -V (n) - u(n) U (n) = - V (n) , ê ú ê ú 2 dr1 ë d r1 r1 û r1 ë d r1 r1 û 2 (c(n) ) n d é dW (n) ( ) ù 1 -U + n é dW (n) ( ) ù -U , ê ú ê ú dr1 ë d r1 û r1 ë d r1 û (n) (n) 2 a(n) é dU - U +W (n) ù - 2W (n) = - c W (n) , (7) ê ú n d r1 r1 (c( ) ) 2 ë û 2 где r = kr, a(n) = l (n) . (8) 1 m(n) 0 1 J1 ( n c r1 ) - функции Бесселя стоянные Ламе частного решения уравнения (7) примем в следующем виде: первого рода нулевого и первого порядка соответственно. Подставляя частные решения (9) в U (n) (r ) = A(n) J 1 1 ( X (n)r ), уравнение (7), получаем следующие уравнения V (n) = B(n) J 1 1 ( X (n)r ), относительно неизвестных постоянных A(n), 0 W (n )(r )= C (n ) J 1 (X (n )r ), (9) B(n) и C (n): A(n) é (2 + a(n) )(-c(n) )2 +( (s(n) )2 -1) ù + C(n) (1+ a(n) )(-c(n) )- B(n)u(n) 2 = 0, ëê úû ( ) - A(n)u(n) + B(n) é- c(n) êë 2 2 + (s(n) ) ú -1ù = 0 , û (10) êë - A(n) (1+ a(n) )c(n) + C(n) é-(c(n) ) 2 2 - a(n) + (s(n) ) ú - 2ù = 0. û Из условия существования нетривиального решения получаем следующее уравнение для определения значения параметра c(n): 3 2 ( (n) ) ( (n) ) (n) (n) (n) (n) где c1 + c1 a4 + c1 a2 · a0 = 0, (11) 2 (n) (n) (n) (n) c(n) = (c(n) ) , a(n) = e4 + f4 , a(n) = e2 + f2 , 1 4 e(n) 2 e(n) 6 6 (n) (n) 0 a(n) = e0 · f0 e (n) 6 6 , e(n) = -(2 + a(n) ), (n) ( 2 (n) ) (( (n) ) ) ( (n) )( (n) 2 ( (n) ) ) e4 = 3 + a s -1 + 2 + a -a + s - 2 , (n) 2 ( ( (n) ) ) é ( 2 (n) ) ( (n) )( (n) 2 ( (n) ) )ù e2 =- s -1 êë s -1+ 3 + a -a + s - 2 úû , (n) 2 ( ( (n) ) )( (n) 2 ( (n) ) 2 ) (n) ( (n) ) e0 = s -1 -a + s - 2 , f4 = 1+ a , (12) (n) ( 2 (n) ) ( ( 2 (n) ) ) 2 ( (n) ) f2 =- 1+ a s -1 + 2 u1 , (n) 2 ( (n) ) ( (n) 2 ( (n) ) ) (n) (n) (n) (n) f0 = -2 u1 -a + s - 2 , 1. = c / c2 , u1 = u R. Из (11), применяя известные формулы Кардана для решения кубического алгебраического уравнения, получаем: (n) j(n) (n) ( (n) ) (n) (n) ( n ( (n) )) c11 = j(n) 2 -P / 3 cos j / 3 - a4 / 3, j = arctan 2 -D / -Q , (n) j(n) (n) ( ( (n) ) ( (n) )) (n) c12 = j(n) (n) -P / 3 -cos j / 3 - 3 sin j / 3 - a4 / 3, (n) j (n) ( ( (n) ) ( (n) )) (n) c13 = j(n) -P / 3 -cos j / 3 + 3 sin j / 3 - a4 / 3, (13) 2 3 (n) ( (n) ) (n) (n) ( (n) ) (n) (n) P =- a4 / 3 + a2 , Q = 2 a4 / 27 - a4 / 3 + a0 , D(n) = (Q(n) ) 2 3 / 4 + (P(n) ) / 27. Будем рассматривать случаи, когда c = 0 (n) 1i соответствуют недисперсионному c ) ( > 0 (n) 2 1i или c ) ( (n) 2 1i < 0. (14) моду, для простоты изложения решения, соответствующие этому случаю, также не будут рассмотрены. Таким образом, частные Отметим, что случаи, когда c(n) является решения уравнения (7) (обозначим их через 1i U (2), V (2),W (2) для внутреннего цилиндра и чеi i i комплексным числом, реальная часть которого (1) (1) (1) (1) (1) (1) отлична от нуля, не будут рассмотрены в нарез Ui1 , Ui 2 , Vi1 , Vi 2 , Wi1 , Wi 2 для внешнестоящей работе. Кроме того, поскольку случаи го цилиндра) получаем в следующем виде. Случай, когда 1i 2 (c(n) ) > 0 . U (2) = J ( c(2) r ), V (2) = J ( c(2) r ), W (2) = J ( c(2) r ) ü i 1 1i 1 i 1 1i 1 i 0 1i 1 ï ïï U (1) = J ( c(1) r ), V (1) = J ( c(1) r ), W (1) = J ( c(1) r ) (15) i1 1 1i 1 i1 1 1i 1 i1 0 1i 1 ý ï U (1) = Y ( c(1) r ), V (1) = Y ( c(1) r ), W (1) = Y ( c(1) r ) ï i 2 1 1i 1 i 2 1 1i 1 i 2 0 1i 1 ïþ Случай, когда 1i 2 (c(n) ) < 0. U (2) = I æ c(2) r ö, V (2) = I æ c(2) r ö, W (2) = I æ c(2) r ö ü i 1 ç 1i 1 ÷ i 1 ç 1i 1 ÷ i 0 ç 1i 1 ÷ ï è ø è ø è ø ï U (1) = I æ c(1) r ö, V (1) = I æ c(1) r ö, W (1) = I æ c(1) r ö ï (16) i1 1 ç 1i 1 ÷ i1 1 ç 1i 1 ÷ i1 0 ç 1i 1 ÷ ý è ø è ø è ø ï U (1) = K æ c(1) r ö, V (1) = K æ c(1) r ö, W (1) = K æ c(1) r öï i 2 1 ç 1i 1 ÷ i 2 1 ç 1i 1 ÷ i 2 0 ç 1i 1 ÷ï è ø è ø è øþ 0 1i 1 1 ( 1 1 ) c c K r и K r ç ÷ ç ÷ c n Y i r · функции Бес- æ (n) ö æ 0 1i 1 1 (n) ö 1i 1 · функции è ø è ø селя второго рода нулевого и первого порядка Макдональда нулевого и первого порядка сосоответственно; I æ c(n) r ö и I æ c(n) r ö - ответственно. Отметим, что при математиче- 0 ç 1i 1 ÷ 1 ç 1i 1 ÷ è ø è ø функции Бесселя чисто мнимого аргумента нулевого и первого порядка соответственно; ских преобразованиях, проведенных выше, использованы известные рекуррентные соотношения типа p J0¢ ( x) = -J1 ( x), Jr¢ ( x) + p Jr ( x) = J p-1 ( x); x I0¢ ( x) = I1 ( x), Ir¢ ( x) + Ir ( x) = -Ip-1 ( x); x p K0¢ ( x) = -K1 ( x), Kr¢ ( x) + p Kr ( x) = Kp-1 ( x); x Y0¢( x) = -Y1 ( x), Y ¢( x) + Y ( x) = Yp 1 ( x). (17) r x r - Таким образом, общее решение уравнения (7) можем записать в следующем виде: 3 3 3 U (2) = å i=1 i i A(2) U (2) , V (2)= å i=1 i i B(2) V 2 , W (2) = å i=1 i i C(2) W (2) , 3 3 U (1) = ( A(1) U (1) + A(1)U (1) ), V (1)= (B(1) V (1) + B(1) V (1) ), å i=1 i1 i1 i 2 i 2 3 å i=1 i1 i1 i 2 i 2 W (1) = (C(1) W (1) + C(1) W (1) ). (18) å i1 i1 i=1 i 2 i 2 Подставляя (18) в уравнение (7) получаем следующие соотношения между неизвестными постоянными A(2) , B(2) , C (2) , A(1) , A(1) , B(1) , B(1) , C (1) и (1) i i i i1 i 2 i1 2 i 2 i1 Ci 2 . 1i Для случая, когда (c(n) ) > 0, n = 1, 2: i C(2) = 1i c(2) (1+ a(2) ) A(2); ( ) u ( ) (2) i i i B 2 = 1 A 2 ; 1i 2 -c(2) - a(2) + (s(2) ) - 2 1i 2 -c(2) + (s(2) ) -1 (19) ik C(1) = 1i c(1) (1+ a(1) ) A(1) ; ( ) u ( ) (1) ik B 1 = 1 A 1 . 1i 2 -c(1) - a(1) + (s(1) ) - 2 2 ik ik 1i -c(1) + (s(1) ) -1 1i 2 Для случая, когда (c(n) ) < 0, n = 1, 2: i C (2) = 1i c(2) (1 + a(2) ) A(2); ( ) u ( ) (2) i i i B 2 = 1 A 2 ; 1i 2 c(2) - a(2) + (s(2) ) - 2 1i 2 c(2) + (s(2) ) - 1 ik C(1) = 1i c(1) (1+ a(1) ) A(1) ; ( ) u ( ) (1) ik B 1 = 1 A 1 . (20) 1i 2 c(1) - a(1) + (s(1) ) - 2 2 i ik 1i c(1) + (s(1) ) -1 Таким образом, полностью определяем решения поставленной задачи о распространении волн с начальными кручениями в составном цилиндре. Подставляя решение (18) в соотношение (6), го решения системы приравниваем к нулю детерминант этой системы. Получаем дисперсионное уравнение в следующем виде: проведя соответствующие математические выкладки, из (3), (2) и (6) получаем выражение для напряжений и перемещений через неизвестные постоянные, входящие в общее решение (18). Даdet ai j (S (1) ,S (2) ,kR, J(1) ,J(2) ) = 0 i; j = 1,2,3,4,5,...,9. (21) лее, удовлетворяя контактные (4) и граничные (5) Следует отметить, что при J(2) = J(1) = 0 условия, получаем систему однородных алгебраических уравнений для этих неизвестных постоянных. Из условия существования нетривиальнодисперсионные уравнения (21) можно представить в следующим виде: где ( det a1ij (s(n) ,kR ) )(det n a2l (s(n) , kR ) ( (1) (2) ) = 0, i; j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ) l; n = 1, 2, 3, (22) det a1ij s ,s ,kR = 0 (23) и ( (1) (2) ) det a2ln s ,s ,kR = 0 (24) являются дисперсионными уравнениями для продольной и крутильной осесимметричных волн в Дисперсионные кривые, полученные при J1 = 0,0, приведены на рис. 2 для случая, когда составном цилиндре соответственно. Численные результаты и их анализ Численные результаты получаются для составного цилиндра из решения дисперсионного E( f ) / E(m) = 5,0. На рисунке приведены дисперсионные кривые, соответствующие первой дисперсионной моде крутильной волны (кривая обозначена через TW), первой дисперсионной моде продольной волны (кривая обозначена через LW) уравнения (20) (для случая, когда J= 0 ). При и первой недисперсионной моде, относящейся одновременно к обоим типам волн. Кроме того, обсуждении численных результатов верхние индексы (2) и (1) будем менять с верхними индексами ( f ) и (m) соответственно. Кроме того, будем на рисунке отмечена точка пересечения кривых, соответствующих первой дисперсионной моде крутильных волн и первой дисперсионной моде предполагать, что n( f ) = v(m) = 0,3, r( f ) = r(m) , продольных волн. E( f ) / E(m) = 5,0, h / R = 0,5. При этом в основ- Как видно из рис. 2, для мод продольных и крутильных волн скорость распространения ном будем рассматривать случай, когда J( f ) = волн получает конечно-предельное значение при = J(m) = 0,05. = J( f ) . Введем обозначения J= J(m) = kR ® 0 . Для нахождения этих предельных значений в работах [3; 4] заданы аналитические формулы. Кроме того, при kR ® ¥ скорость распростране- Эти кривые обозначены на рис. 3. Кривые ния волн по поверхности внешнего цилиндра, J 2 и J 3 показывают крутильные волны первой соответствующая скорости волны Рэлея R (C(m) ) , моды, а кривая J1 показывает продольные волны и скорость распространения крутильной волны первой моды. Как видно из рис. 3, кривые в отприближаются к скорости распространения поличие от состояния u¹ 0. Для kR существуют 2 перечной волны (C (m ) ). разрывные значения и при условии kR ® 0 отсутствует конечное предельное значение скорости распространения волны. Кроме того, дисперсионные кривые J1 и J 2 нигде не пересекаются. Заключение Как видно из полученных математических результатов, действие начального кручения в цилиндре на величину распространения волны в цилиндре носит не только количественный, но и качественный характер. © Гулиев М.С., Сейфуллаев А.И., Абдуллаева Дж.Н., 2018 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License Рис. 2. Дисперсионные кривые ( f ) ( m ) для составного цилиндра при C C » 2,236 2 2 и при отсутствии начального кручения: intersection point - точка пересечения [Figure 2. Dispersion curves for a compound cylinder for with and without initial torsion] Теперь рассмотрим дисперсионные кривые, полученные из решения уравнения (21) при u= 0,05. Рис. 3. Дисперсионные кривые [Figure 3. Dispersion curves]

Mugan S Guliyev

Ganja State University

Author for correspondence.
Email: a.seyfullayev@yahoo.com
187 Sh.I. Xatai Avenue, Ganja, AZ2000, Republic of Azerbaijan

Dr Sci. (Phys.-Math.), Professor, Faculty of General Technical Disciplines, Department of Physics

Alizade I Seyfullayev

Institute of Mathematics and Mechanics of the Azerbaijan National Academy of Sciences

Email: a.seyfullayev@yahoo.com
9 B. Vahabzade, Baku, AZ1143, Republic of Azerbaijan

Cand. Sci. (Phys.Math.), Chief Research Fellow, Professor Assistant, Department of Wave Dynamics, Institute of Mathematics and Mechanics

Jamile N Abdullayeva

Azerbaijan State Pedagogical University

Email: a.seyfullayev@yahoo.com
68 Uzeyir Hacibeyli, Baku, AZ1000, Republic of Azerbaijan

Lecturer, Department of Methodology for Mathematics

  • Guz A.N. (2004). Uprugiye volni v telakh s nachalnimi (ostatochnimi) napryajeniyami [Elastic waves in bodies with initial (residual) stresses]. Kiev, A.S.K. Publ., 672. (In Russ.)
  • Akbarov S.D. (2007). Resent investigations on the dynamical problems of the elastic body with initial (residual) stresses (review). Int. Appl. Mechanics, 43(12), 3–27.
  • Akbarov S.D., Guliev M.S. (2009). Axisymmetric longitudinal wave propagation in a finite pre-strained compound circular made from compressible materials. CMES – Computer Modeling in Engineering and Sciences, 39(2), 155–177, doi.org/10.1007/s10778-010-0255-y.
  • Akbarov S.D., Guliev M.S. (2008). Propagation of axisymmetric longitudinal waves in afinitely pre-strained circular cylinder embedded in a finitely pre-strained infinite elastic body. Mechanics of Composite Materials, 44(5), 465–478, doi.org/10.1007/s11029-008-9045-6.
  • Demiray H., Suhubi E.S. (1970). Small torsional oscilattion in initially twisted circular rubber cylinder. International Jounal of Engineering Sciences, 8, 19–30.
  • Ozturk A., Akbarov S.D. (2009). Torsional wave propagation in a pre-stressed circular cylinder embedde in a pre-stressed elastic medium. Applied Mathematical Modelling, 33, 3636–3649.
  • Seyfullayev A.I., Guliyev M.S. (2010). On the axisymmetric wave propagation in a finite restrained compound circular cylinder made from compressible materials. International Journal of Nanosystems, 2(2), 33–42.

Views

Abstract - 101

PDF (Russian) - 34


Copyright (c) 2018 Guliyev M.S., Seyfullayev A.I., Abdullayeva J.N.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.