Исследование распространения упругих волн в составном цилиндре с начальным кручением

Полный текст

Введение Задачи, относящиеся к области теории распространения упругих волн, имеют место во всех областях естествознания и современной техники. Этим и объясняется повышенное внимание к такого рода исследованиям со стороны представителей различных научных направлений фундаментального и прикладного характера. Одной из интересных и актуальных проблем, которые относятся к нелинейным динамическим эффектам, является теория распространения упругих волн в телах с начальными напряжениями. Круг прикладных аспектов задач, относящихся к этой проблеме, весьма широк. К числу этих аспектов можно отнести такие научные направления, как механика материалов и элементов конструкций, геофизика, механика композитных материалов, механика горных пород, биомеханика, неразрушающие методы определения напряжений и др. Существует ряд явлений, относящихся к влиянию начальных напряжений на распространение упругих волн, к исследованию которых можно подойти в рамках линеаризованной теории распространения упругих волн в телах с начальными напряжениями. Указанная теория строится в результате последовательной линеаризации нелинейной теории. Применение вышеизложенных линеаризованных уравнений проводится в рамках приближенных и точных подходов. Под приближенным подходом полиндр имеет постоянную кручения J(k ) (k = 1, 2) на нимается использование нелинейных уравнений единицу длины. Вместе с тем в случае J(1) = J(2) в рамках различных упрощающих гипотез геометрического и физического характера. Эти гипотезы позволяют упрощать математические решения задач. Вместе с тем приближенные подходы, основывающиеся на этой гипотезе, имеют определенные ограничения. Например, с применением приближенных подходов невозможно исследовать приисследование, проведенное ниже, правомочно и для тех случаев, когда составной цилиндр скручивается после их соединения. В этих случаях начальное напряженно-деформированное состояние в цилиндрах определяем в рамках классической линейной теории упругости. При этом получаем, что на каждом цилиндре имеется только напряжение поверхностные динамические явления, распро- (k ),0 (k ) (k ) странение волн в массивных телах с начальными sz q = m J r , которое отлично от нуля, где напряжениями и т.п. Изложенное вызывает необходимость применения точного трехмерного линеаризованного подхода, т.е. подхода в рамках так называемой трехмерной линеаризованной теории распространения упругих волн в телах с начальными напряжениями (ТЛТРУВТНН). Исследования в рамках ТЛТРУВТНН приведены статьях [1-7]. В данной работе исследуется задача о распространении продольных осесимметричных волн в составном цилиндре с начальными кручениями. Постановка задачи Рассмотрим составной цилиндр с круговыми поперечными сечениями, схематически показанный на рис. 1. С цилиндрами свяжем цилиндрическую систеm(k ) - модуль сдвига материала k -го цилиндра, r - радиальная координат. Материалы цилиндров принимаем однородными, изотропными и линейно упругими. му координат Or θ z и положения точек цилин- Рис. 1. Геометрия составного цилиндра [Figure 1. Compound cylinder geometry] дров определим лагранжевыми координатами в этой системе. Величины, относящиеся к внутреннему сплошному цилиндру с радиусом R , отметим верхним индексом (2), а величины, относящиеся к внешнему полому цилиндру с толщиной h , верхним индексом (1). Примем, что до компоновки цилиндров они отдельно скручены, причем k -ый ци- Таким образом, в рамках, изложенных выше, исследуем распространение осесимметричной продольной волны в составном цилиндре с начальными кручениями. При этом линеаризованные уравнения движения имеют следующий вид: (n) (n) (n) 2 (n) ¶srr · ¶szr + 1 (s(n) - s(n) ) - s(n) ,0 2 ¶uq = r(n) ¶ ur , ¶r (n) ¶z r rr qq (n) zq r (n) ¶z 2 (n) ¶ t 2 ¶srq + 2 s(n) + ¶szq + 2 s(n)0 ¶ ur = r(n) ¶ uq , (1) ¶r r qq ¶z r z q (n) ¶z (n) ¶ t 2 2 (n) ¶srz + 1 s(n) + ¶szz r(n) ¶ uz , n = 1,2. Запишем соотношения упругости: ¶r r rz ¶z ¶ t 2 (n) (n) ( (n) (n) (n) ) 2 (n) (n) (n) (n) ( (n) (n) (n) ) 2 (n) (n) srr = l err + eqq · ezz + m err , sqq = l err + eqq · ezz + m eqq , (n) (n) ( (n) (n) (n) ) 2 (n) (n) (n) 2 (n) (n) szz = l err + eqq + ezz + m ezz , srq = m erq , (2) (n) 2 (n) (n) (n) 2 (n) (n) srz = m erz , srq = m ezq , а также геометрические соотношения: (n) (n) (n) (n) (n) e(n) = ¶ur , e(n) = ur , e(n) = ¶uz , e(n) = 1 æ ¶uq - uq ö , rr ¶r qq r zz ¶z rq 2 çç ¶r r ÷÷ (n) (n) è ø (n) e(n) = 1 æ ¶uz + ¶ur ö , e(n) = 1 æ ¶uq ö . (3) rz 2 çç ¶r ¶z ÷÷ zq 2 çç ¶z ÷÷ è ø è ø В уравнениях (1) - (3) использованы общеизвестные обозначения. Будем предполагать, что на имеет место условие идеального контакта. Это условие в рассматриваемом случае можно запиповерхности контакта цилиндров, т. е. при r = R, сать в следующем виде: (2) (1) s(2) = s(1) ¶u ¶u æ ö , s(2) - s(2),0 r æ ö = s(1) - s(1),0 r , rr r = R rr r = R çç rq zq ¶z ÷÷ çç rq zq ¶z ÷÷ è ø r =R (2) è ø r = R (1) u æ ö s(2) - s(2),0 q u æ ö = s(1) - s(1),0 q , (4) çç rz zq r ÷÷ çç rz zq r ÷÷ è ø r =R è ø r =R u(2) = u(1) , u(2) = u(1) , u(2) = u(1) . r r =R r r = R q r =R q r =R z r =R z r =R Кроме того, на свободной поверхности внешнего цилиндра, т. е. при дующие условия: r = R + h , выполняются сле- (2) (1) s(1) = 0, ¶u u æ ö s(1) - s(1),0 r æ ö = 0, s(1) - s(1),0 q = 0. (5) rr r =R+h çç rq zq ¶r ÷÷ çç rz zq 1. ÷÷ è ø r = R+h è ø r =R+h Таким образом, исследование дисперсии осесимметричной продольной волны в составном {J(1) ¹ 0; J(2) = 0} или {J(1) ¹ 0; J(2) = 0}, цилиндре с начальными кручениями сводится к (1) J = 0; J(2) ¹ 0 , осесимметричные продольрешению задач о собственном значении, заключающем в себе уравнения движения (1), механические (2) и геометрические (3) соотношения с контактными (4) и граничными (5) условиями. Отметим, что указанные уравнения и соотношения также являются уравнениями и соотношениями ТЛТУВТНН. Однако эти уравнения и соотношение получаются в случае, когда начальные деформации являются малыми. Причем напряженно-деформированные состояния, относящиеся к начальному состоянию, определяются в рамках классической линейной теории упругости. Отметим, что в случае, когда начальные кручения в цилиндрах отсутствуют, т.е. при { } ная и крутильная волны не могут распространяться в отдельности, т. е. имеет место взаимовлияние между этими двумя типами осесимметричных волн в составном цилиндре. Метод решения Начнем с представления перемещений. Согласно предположению о том, что волны двигаются вдоль цилиндров, т. е. вдоль оси OZ , эти представления можем записать в следующем виде: u(n) = U (n) (r )cos (k z - wt ), J(1) = J(2) = 0, изложенная выше постановка заr (n) (n) дачи переходит к постановке соответствующих заuq = V (r ) cos (k z - wt ), дач в рамках классической линейной теории эла- (n) (n) ( ) sin ( ) стодинамики. Как известно, в классическом случае осесимметричная продольная и осесимметuz = W r k z -wt . (6) ричная крутильная волны распространяются в составном цилиндре отдельно, т.е. без взаимосвязи. Подставляя (6) в соотношения (3), из (2), (1) получаем следующее уравнение для неизвестных Однако, как будет показано ниже, в случае, когда функций U (n) (r), V (n)(r) и W (n) (r): 2 (n) n ö ù dW (n) 2 (2 + a(n) )é d U § d æ U +(1+ a(n) ) -U (n) - u(n) 2V (n) = - c U (n) , ê 2 ç ÷ ú 2 ë d r1 dr1 è r1 ø û dr1 2 (c(n) ) (n) (n) (n) (n) 2 V c d é dV V ù 2 é dV - + ù - -V (n) - u(n) U (n) = - V (n) , ê ú ê ú 2 dr1 ë d r1 r1 û r1 ë d r1 r1 û 2 (c(n) ) n d é dW (n) ( ) ù 1 -U + n é dW (n) ( ) ù -U , ê ú ê ú dr1 ë d r1 û r1 ë d r1 û (n) (n) 2 a(n) é dU - U +W (n) ù - 2W (n) = - c W (n) , (7) ê ú n d r1 r1 (c( ) ) 2 ë û 2 где r = kr, a(n) = l (n) . (8) 1 m(n) 0 1 J1 ( n c r1 ) - функции Бесселя стоянные Ламе частного решения уравнения (7) примем в следующем виде: первого рода нулевого и первого порядка соответственно. Подставляя частные решения (9) в U (n) (r ) = A(n) J 1 1 ( X (n)r ), уравнение (7), получаем следующие уравнения V (n) = B(n) J 1 1 ( X (n)r ), относительно неизвестных постоянных A(n), 0 W (n )(r )= C (n ) J 1 (X (n )r ), (9) B(n) и C (n): A(n) é (2 + a(n) )(-c(n) )2 +( (s(n) )2 -1) ù + C(n) (1+ a(n) )(-c(n) )- B(n)u(n) 2 = 0, ëê úû ( ) - A(n)u(n) + B(n) é- c(n) êë 2 2 + (s(n) ) ú -1ù = 0 , û (10) êë - A(n) (1+ a(n) )c(n) + C(n) é-(c(n) ) 2 2 - a(n) + (s(n) ) ú - 2ù = 0. û Из условия существования нетривиального решения получаем следующее уравнение для определения значения параметра c(n): 3 2 ( (n) ) ( (n) ) (n) (n) (n) (n) где c1 + c1 a4 + c1 a2 · a0 = 0, (11) 2 (n) (n) (n) (n) c(n) = (c(n) ) , a(n) = e4 + f4 , a(n) = e2 + f2 , 1 4 e(n) 2 e(n) 6 6 (n) (n) 0 a(n) = e0 · f0 e (n) 6 6 , e(n) = -(2 + a(n) ), (n) ( 2 (n) ) (( (n) ) ) ( (n) )( (n) 2 ( (n) ) ) e4 = 3 + a s -1 + 2 + a -a + s - 2 , (n) 2 ( ( (n) ) ) é ( 2 (n) ) ( (n) )( (n) 2 ( (n) ) )ù e2 =- s -1 êë s -1+ 3 + a -a + s - 2 úû , (n) 2 ( ( (n) ) )( (n) 2 ( (n) ) 2 ) (n) ( (n) ) e0 = s -1 -a + s - 2 , f4 = 1+ a , (12) (n) ( 2 (n) ) ( ( 2 (n) ) ) 2 ( (n) ) f2 =- 1+ a s -1 + 2 u1 , (n) 2 ( (n) ) ( (n) 2 ( (n) ) ) (n) (n) (n) (n) f0 = -2 u1 -a + s - 2 , 1. = c / c2 , u1 = u R. Из (11), применяя известные формулы Кардана для решения кубического алгебраического уравнения, получаем: (n) j(n) (n) ( (n) ) (n) (n) ( n ( (n) )) c11 = j(n) 2 -P / 3 cos j / 3 - a4 / 3, j = arctan 2 -D / -Q , (n) j(n) (n) ( ( (n) ) ( (n) )) (n) c12 = j(n) (n) -P / 3 -cos j / 3 - 3 sin j / 3 - a4 / 3, (n) j (n) ( ( (n) ) ( (n) )) (n) c13 = j(n) -P / 3 -cos j / 3 + 3 sin j / 3 - a4 / 3, (13) 2 3 (n) ( (n) ) (n) (n) ( (n) ) (n) (n) P =- a4 / 3 + a2 , Q = 2 a4 / 27 - a4 / 3 + a0 , D(n) = (Q(n) ) 2 3 / 4 + (P(n) ) / 27. Будем рассматривать случаи, когда c = 0 (n) 1i соответствуют недисперсионному c ) ( > 0 (n) 2 1i или c ) ( (n) 2 1i < 0. (14) моду, для простоты изложения решения, соответствующие этому случаю, также не будут рассмотрены. Таким образом, частные Отметим, что случаи, когда c(n) является решения уравнения (7) (обозначим их через 1i U (2), V (2),W (2) для внутреннего цилиндра и чеi i i комплексным числом, реальная часть которого (1) (1) (1) (1) (1) (1) отлична от нуля, не будут рассмотрены в нарез Ui1 , Ui 2 , Vi1 , Vi 2 , Wi1 , Wi 2 для внешнестоящей работе. Кроме того, поскольку случаи го цилиндра) получаем в следующем виде. Случай, когда 1i 2 (c(n) ) > 0 . U (2) = J ( c(2) r ), V (2) = J ( c(2) r ), W (2) = J ( c(2) r ) ü i 1 1i 1 i 1 1i 1 i 0 1i 1 ï ïï U (1) = J ( c(1) r ), V (1) = J ( c(1) r ), W (1) = J ( c(1) r ) (15) i1 1 1i 1 i1 1 1i 1 i1 0 1i 1 ý ï U (1) = Y ( c(1) r ), V (1) = Y ( c(1) r ), W (1) = Y ( c(1) r ) ï i 2 1 1i 1 i 2 1 1i 1 i 2 0 1i 1 ïþ Случай, когда 1i 2 (c(n) ) < 0. U (2) = I æ c(2) r ö, V (2) = I æ c(2) r ö, W (2) = I æ c(2) r ö ü i 1 ç 1i 1 ÷ i 1 ç 1i 1 ÷ i 0 ç 1i 1 ÷ ï è ø è ø è ø ï U (1) = I æ c(1) r ö, V (1) = I æ c(1) r ö, W (1) = I æ c(1) r ö ï (16) i1 1 ç 1i 1 ÷ i1 1 ç 1i 1 ÷ i1 0 ç 1i 1 ÷ ý è ø è ø è ø ï U (1) = K æ c(1) r ö, V (1) = K æ c(1) r ö, W (1) = K æ c(1) r öï i 2 1 ç 1i 1 ÷ i 2 1 ç 1i 1 ÷ i 2 0 ç 1i 1 ÷ï è ø è ø è øþ 0 1i 1 1 ( 1 1 ) c c K r и K r ç ÷ ç ÷ c n Y i r · функции Бес- æ (n) ö æ 0 1i 1 1 (n) ö 1i 1 · функции è ø è ø селя второго рода нулевого и первого порядка Макдональда нулевого и первого порядка сосоответственно; I æ c(n) r ö и I æ c(n) r ö - ответственно. Отметим, что при математиче- 0 ç 1i 1 ÷ 1 ç 1i 1 ÷ è ø è ø функции Бесселя чисто мнимого аргумента нулевого и первого порядка соответственно; ских преобразованиях, проведенных выше, использованы известные рекуррентные соотношения типа p J0¢ ( x) = -J1 ( x), Jr¢ ( x) + p Jr ( x) = J p-1 ( x); x I0¢ ( x) = I1 ( x), Ir¢ ( x) + Ir ( x) = -Ip-1 ( x); x p K0¢ ( x) = -K1 ( x), Kr¢ ( x) + p Kr ( x) = Kp-1 ( x); x Y0¢( x) = -Y1 ( x), Y ¢( x) + Y ( x) = Yp 1 ( x). (17) r x r - Таким образом, общее решение уравнения (7) можем записать в следующем виде: 3 3 3 U (2) = å i=1 i i A(2) U (2) , V (2)= å i=1 i i B(2) V 2 , W (2) = å i=1 i i C(2) W (2) , 3 3 U (1) = ( A(1) U (1) + A(1)U (1) ), V (1)= (B(1) V (1) + B(1) V (1) ), å i=1 i1 i1 i 2 i 2 3 å i=1 i1 i1 i 2 i 2 W (1) = (C(1) W (1) + C(1) W (1) ). (18) å i1 i1 i=1 i 2 i 2 Подставляя (18) в уравнение (7) получаем следующие соотношения между неизвестными постоянными A(2) , B(2) , C (2) , A(1) , A(1) , B(1) , B(1) , C (1) и (1) i i i i1 i 2 i1 2 i 2 i1 Ci 2 . 1i Для случая, когда (c(n) ) > 0, n = 1, 2: i C(2) = 1i c(2) (1+ a(2) ) A(2); ( ) u ( ) (2) i i i B 2 = 1 A 2 ; 1i 2 -c(2) - a(2) + (s(2) ) - 2 1i 2 -c(2) + (s(2) ) -1 (19) ik C(1) = 1i c(1) (1+ a(1) ) A(1) ; ( ) u ( ) (1) ik B 1 = 1 A 1 . 1i 2 -c(1) - a(1) + (s(1) ) - 2 2 ik ik 1i -c(1) + (s(1) ) -1 1i 2 Для случая, когда (c(n) ) < 0, n = 1, 2: i C (2) = 1i c(2) (1 + a(2) ) A(2); ( ) u ( ) (2) i i i B 2 = 1 A 2 ; 1i 2 c(2) - a(2) + (s(2) ) - 2 1i 2 c(2) + (s(2) ) - 1 ik C(1) = 1i c(1) (1+ a(1) ) A(1) ; ( ) u ( ) (1) ik B 1 = 1 A 1 . (20) 1i 2 c(1) - a(1) + (s(1) ) - 2 2 i ik 1i c(1) + (s(1) ) -1 Таким образом, полностью определяем решения поставленной задачи о распространении волн с начальными кручениями в составном цилиндре. Подставляя решение (18) в соотношение (6), го решения системы приравниваем к нулю детерминант этой системы. Получаем дисперсионное уравнение в следующем виде: проведя соответствующие математические выкладки, из (3), (2) и (6) получаем выражение для напряжений и перемещений через неизвестные постоянные, входящие в общее решение (18). Даdet ai j (S (1) ,S (2) ,kR, J(1) ,J(2) ) = 0 i; j = 1,2,3,4,5,...,9. (21) лее, удовлетворяя контактные (4) и граничные (5) Следует отметить, что при J(2) = J(1) = 0 условия, получаем систему однородных алгебраических уравнений для этих неизвестных постоянных. Из условия существования нетривиальнодисперсионные уравнения (21) можно представить в следующим виде: где ( det a1ij (s(n) ,kR ) )(det n a2l (s(n) , kR ) ( (1) (2) ) = 0, i; j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ) l; n = 1, 2, 3, (22) det a1ij s ,s ,kR = 0 (23) и ( (1) (2) ) det a2ln s ,s ,kR = 0 (24) являются дисперсионными уравнениями для продольной и крутильной осесимметричных волн в Дисперсионные кривые, полученные при J1 = 0,0, приведены на рис. 2 для случая, когда составном цилиндре соответственно. Численные результаты и их анализ Численные результаты получаются для составного цилиндра из решения дисперсионного E( f ) / E(m) = 5,0. На рисунке приведены дисперсионные кривые, соответствующие первой дисперсионной моде крутильной волны (кривая обозначена через TW), первой дисперсионной моде продольной волны (кривая обозначена через LW) уравнения (20) (для случая, когда J= 0 ). При и первой недисперсионной моде, относящейся одновременно к обоим типам волн. Кроме того, обсуждении численных результатов верхние индексы (2) и (1) будем менять с верхними индексами ( f ) и (m) соответственно. Кроме того, будем на рисунке отмечена точка пересечения кривых, соответствующих первой дисперсионной моде крутильных волн и первой дисперсионной моде предполагать, что n( f ) = v(m) = 0,3, r( f ) = r(m) , продольных волн. E( f ) / E(m) = 5,0, h / R = 0,5. При этом в основ- Как видно из рис. 2, для мод продольных и крутильных волн скорость распространения ном будем рассматривать случай, когда J( f ) = волн получает конечно-предельное значение при = J(m) = 0,05. = J( f ) . Введем обозначения J= J(m) = kR ® 0 . Для нахождения этих предельных значений в работах [3; 4] заданы аналитические формулы. Кроме того, при kR ® ¥ скорость распростране- Эти кривые обозначены на рис. 3. Кривые ния волн по поверхности внешнего цилиндра, J 2 и J 3 показывают крутильные волны первой соответствующая скорости волны Рэлея R (C(m) ) , моды, а кривая J1 показывает продольные волны и скорость распространения крутильной волны первой моды. Как видно из рис. 3, кривые в отприближаются к скорости распространения поличие от состояния u¹ 0. Для kR существуют 2 перечной волны (C (m ) ). разрывные значения и при условии kR ® 0 отсутствует конечное предельное значение скорости распространения волны. Кроме того, дисперсионные кривые J1 и J 2 нигде не пересекаются. Заключение Как видно из полученных математических результатов, действие начального кручения в цилиндре на величину распространения волны в цилиндре носит не только количественный, но и качественный характер. © Гулиев М.С., Сейфуллаев А.И., Абдуллаева Дж.Н., 2018 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License Рис. 2. Дисперсионные кривые ( f ) ( m ) для составного цилиндра при C C » 2,236 2 2 и при отсутствии начального кручения: intersection point - точка пересечения [Figure 2. Dispersion curves for a compound cylinder for with and without initial torsion] Теперь рассмотрим дисперсионные кривые, полученные из решения уравнения (21) при u= 0,05. Рис. 3. Дисперсионные кривые [Figure 3. Dispersion curves]

Об авторах

Муган оглу Гулиев

Гянджинский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: a.seyfullayev@yahoo.com

доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики

проспект Ш.И. Хатаи, 187, Гянджа, Азербайджанская Республика, AZ2000

Ализаде Имамали Сейфуллаев

Институт математики и механики, Национальная академия наук Азербайджана

Email: a.seyfullayev@yahoo.com

кандидат физико-математических наук, доцент, главный научный сотрудник отдела волновой динамики, Институт математики и механики

ул. Вахабзаде, 9, Баку, Азербайджанская Республика, АZ1143

Джамиля Новруз Абдуллаева

Азербайджанский государственный педагогический университет

Email: a.seyfullayev@yahoo.com

доцент, преподаватель кафедры методики математики

ул. Узеира Гаджибейли, 68, Баку, Азербайджанская Республика, AZ1000

Список литературы