EPI-HYPOCYCLOIDS AND EPI-HYPOCYCLOIDAL CANAL SURFACES

Cover Page

Abstract


In the article are regarded the curves - epiand hypocycloids, which are formed by the moving of the generating points, linked with the circles of the same radius and which are at the same time outside and inside of the unmoving circle. There is shown the relation of those curves. The moving of the circles with constant angle to the plane of the unmoving circle is also regarded. At full rotation of the moving circle the generating point linked with moving circle described a circle around the tangent of the unmoving circle. And the initial point laying in horizontal plane on epicycloid moving to the point on hypocycloid when the moving circle rotates on around the tangent of the unmoving circle. When the circle made a full rotation around the unmoving circle with full rotation around the tangent to the unmoving circle the epi-hypocycloidal cyclic surfaces are formed. In the article is proofed that the circles of the epi-hypocycloidal cyclic surfaces are the coordinate lines of the main curvatures of the surface and so the surfaces belongs to the class of canal surfaces. The drawings of the epi-hypocycloidal canal surfaces with different parameters - relation of the radius of the moving and unmoving circles λ, the position of the generating point μ - are shown.


При качении окружности радиуса а по неподвижной окружности радиуса b точка, связанная с подвижной окружностью, описывает эпициклоиду, если подвижная окружность катится с внешней стороны неподвижной окружности, и гипоциклоиду при качении с внутренней стороны [1-3]. Обычно в литературе приводятся отдельно уравнения эпициклоид и гипоциклоид [1] с образующей точкой, находящейся на подвижной окружности. В монографии [3] показана взаимосвязь уравнений эпии гипоциклоид и получено их обобщенное уравнение. Ниже приведено уравнение эпигипоциклоид при произвольном положении образующей точки в плоскости подвижной окружности (рис. 1). Пусть образующие точки 1, 2 находится на расстоянии а от центра подвижной окружности радиуса а. После качения подвижных окружностей до точки касания с неподвижной окружностью с образующие точки переходят в положение 1’, 2’. Положение точек 1’, 2’ определяется суммированием векторов (рис. 1, б): ос  bh u ; оd  aT   u nu ; d1  aR   u nu ; d2  aR   unu , где h u  icosu  jsinu ; nuisinu  jsinu - единичные ортогональные вектора в горизонтальной плоскости; T u μsinλu , R u  1 μcosλu . Следовательно, обобщенное векторное уравнение эпи-гипоциклоид получаем в виде r u  ah u  T    u n u  pR   u h u , =b/a, (1) где р - единичный параметр: при р = 1 получаем уравнение эпициклоиды; при р = -1 получаем уравнение гипоциклоиды. Эпии гипоциклоиды, полученные качением окружностей одинакового радиуса а, точками, расположенными на одинаковом расстоянии µа от центра, будем далее называть идентичными эпии гипоциклоидами. Из рис. 1, б видно, что точки эпициклоиды и гипоциклоиды при качении подвижных окружностей одинакового радиуса находятся на одинаковом расстоянии - аR u от касательной к неподвижному кругу. Кривая rc u  ah u Tu  n u  (2) является срединной линией однотипных эпии гипоциклоид. Рис. 1. Образование эпи-гипоциклоид [Fig. 1. Formation of epi-hypocycloid] Эпии гипоциклоиды относятся к классу классических кривых, которым посвящено много работ, содержащих рисунки и описания особенностей этих кривых при изменении параметров. Поэтому далее будем рассматривать циклические поверхности на основе идентичных эпи-гипоциклоид. Учитывая равноудаленность точек эпи-гипоциклоид от срединной линии (2) и принимая срединную линию за линию центров циклической поверхности (2), получаем уравнение эпи-гипоциклоидальной циклической поверхности с переменным радиусом aR(u) ρu v, rc u aR u   e u v,  aλhu T u    n u R u  e u v, , (3) где eu v, hucosvksinv - уравнение окружности единичного радиуса в вертикальной плоскости с начальным направляющим вектором h(u). Отметим некоторые частные случаи. Если образующие точки совпадают с центром подвижных окружностей ( = 0), то эпии гипоциклоиды являются окружностями радиуса b + a для эпициклоиды и b - a для гипоциклоиды, а циклической поверхностью будет тор. Если радиус подвижной окружности равен радиусу неподвижной окружности λ = 1, то внутренняя окружность не перемещается (не катится) и гипоциклоида вырождается в точку. Циклическая поверхность образуется вращением переменного радиуса вокруг касательной, проходящей через точку (вырожденную гипоциклоиду). Получаемая циклическая поверхность относится к классу каналовых поверхностей Иоахимсталя - циклических поверхностей с окружностями, являющимися линиями главных кривизн поверхности и лежащих в плоскостях пучка. Радиус точки диаметра образующей окружности, перпендику- Ivanov V.N. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2018, 14(3), 242-247 лярной оси вращения, описывает эпитрохоидальную кривую и циклическая поверхность называется эпитрохоидальной каналовой поверхностью [5; 6]. На рис. 2 приведены виды эпитрохоидальных поверхностей с различным положением образующей точки  = 1; 0,75; 2,75. В нижнем ряду показаны эпитрохоиды, неподвижная окружность и срединная кривая - линия центров окружностей циклической поверхности. Для эпитрохоидальных поверхностей срединная линия аналогична по форме эпитрохоиде. При  > 1 (образующая точка расположена с внешней стороны подвижной окружности) эпициклоида описывает самопересекающуюся кривую (аналогично и срединную кривую). Циклические поверхности образуются двумя отсеками циклических поверхностей - внешней и внутренней, соприкасающихся на оси вращения образующих. На рисунке показаны половины отсеков в интервале изменения углового параметра 0  v  π. а  = 1 б  = 0,75 в  = 2,75 Рис. 2. Эпитрохоидальные кривые и поверхности λ = 1 [Fig. 2. Epitrochoidal curves and surfaces λ = 1] При радиусе подвижной окружности, равном половине радиуса неподвижной окружности λ = 2, и положении образующей точки на подвижной окружности μ = 1 гипоциклоида вырождается в отрезок прямой - диаметр неподвижной окружности. При μ ≠ 1 гипоциклоида описывает овальную кривую. Срединная кривая при μ ≤ 1 отклоняется от неподвижной окружности на небольшие расстояния, при μ > 1 - образуется самопересекающаяся кривая сложной формы. На рис. 3 представлены эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности и кривые с образующей точкой в пределах подвижной окружности. На рис. 4 показан рисунок эпи-гипоциклоидальной поверхности с образующей точкой вне пределов подвижной окружности μ = 2,75 и кривые: б - эпициклоида с гипоциклоидой, в - гипоциклоида, г - срединная кривая. Рисунки кривых показаны совместно с неподвижной окружностью.  = 1  = 0,75 Рис. 3. Эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности λ = 2 [Fig. 3. Epi-hypocycloidal cyclic surfaces λ = 2] Рис. 4. Эпи-гипоциклоидальная циклическая поверхность λ = 2 с образующей точкой вне пределов подвижной окружности μ = 2,75 [Fig. 4. Epi-hypocycloidal cyclic surface λ = 2 with a generating point out of the limits of the moving circle μ = 2.75] На рис. 5. представлены эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности с целочисленным отношением радиусов подвижной и неподвижной окружностей с образующей точкой на подвижной окружности. В нижнем ряду показаны совместные рисунки эпициклоиды, гипоциклоиды неподвижной окружности и срединной кривой. Отличие срединной кривой от окружности при λ > 3 на рисунке масштабно незаметно, но это различные кривые. λ = 3 λ = 4 λ = 5 Рис. 5. Эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности с образующей точкой на подвижной окружности [Fig. 5. Epi-hypocycloidal cyclic surfaces with a generating point on a moving circle] На рис. 6 изображены эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности с образующей точкой внутри подвижной окружности μ = 0,65. В нижнем ряду рисунка - эпициклоиды, гипоциклоиды неподвижной окружности и срединной кривой. λ = 3 λ = 4 λ = 5 Рис. 6. Эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности с образующей точкой внутри подвижной окружности μ = 0,65 [Fig. 6. Epi-hypocycloidal cyclic surfaces with a generating point inside the moving circle μ = 0.65] λ = 3 Рис. 7. Эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности с образующей точкой вне подвижной окружности μ = 2,65 [Fig. 7. Epi-hypocycloidal cyclic surfaces with a generating point outside the moving circle μ = 2.65] Из приведенных рисунков видно, что эпигипоциклоидальные циклические поверхности с целочисленным отношением радиусов неподвижной и подвижной окружностей( λ = b/a = n) формируются из n однотипных отсеков с угловым диапазоном 2π/n. При μ = 1 (образующая точка на подвижной окружности) отсеки соприкасаются в крайних конических точках отсеков. При μ < 1 (образующая точка внутри подвижной окружности) отсеки сопрягаются в сечениях с минимальным радиусом R = b (1 - μ). Как отмечалось выше, при μ = 0 эпи-гипоциклоидальная циклическая поверхность является тором радиуса R = b. При μ > 1 (образующая точка вне подвижной окружности) эпии гипоциклоиды имеют зоны пересечения, где отсеки эпициклоид оказываются внутри неподвижной окружности, а отсеки гипоциклоид - вне подвижной окружности. Отсеки эпигипоциклоидальных циклических поверхностей в этих зонах взаимно пересекаются и разделяются на отсеки внешней и внутренней поверхностей (рис. 7). Очевидно, зона перехода внутреннего отсека поверхности во внешний определяется точками пресечения эпии гипоциклоиды. Приравнивая уравнения (1) эпи(р = 1) и гипоциклоиды (р = -1), получаем формулу для определения углового параметра up точек пересечения: R u p = 1μcosλup  0 , upk  ± u k0  , 1  1 k = 0...λ. u0  arccos  λ  μ Таким образом, 1-й внутренний отсек поверхности определяется координатным диапазоном u = (-u0, u0), для внешнего отсека u = (u0, π/λ - u0). На рис. 8. представлены внутренний (а) и внешний (б) отсеки поверхности, а также показаны отрезки эпии гипоциклоид, срединной кривой и неподвижной окружности в соответствующих диапазонах параметра u. Рис. 8. Отсеки эпи-гипоциклоидальных циклических оболочек μ = 2,65 [Fig. 8. Compartments of epi-hypocycloidal cyclic shells μ = 2.65] Как видно из рисунков, форма внешнего отсека аналогична отсекам при μ = 1. Форма внутреннего отсека отличается от формы внешних отсеков. Выше рассмотрены эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности с целочисленным отношением λ радиусов неподвижной и подвижной окружностей. Уравнение поверхностей (3) пригодно для поверхностей с произвольным параметром λ. Из геометрии эпии гипоциклоид с дробным параметром λ известно, что эти кривые являются сложными взаимно пересекающимися кривыми [3, 4]. В данной работе ограничимся Ivanov V.N. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2018, 14(3), 242-247 рассмотрением эпи-гипоциклоидальные циклических поверхностей с целочисленным параметром λ. Выше было отмечено, что при λ = 1 поверхности относятся к классу каналовых поверхностей Иоахимсталя. Чтобы выяснить к какому классу относятся эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности общего типа, получим коэффициенты квадратичных форм. Предварительно рассмотрим свойства функциональных параметров уравнения поверхности (3). Частные производные функций и векторов будем обозначать соответствующим индексом. hu isinu  jcosu  n ; nu icosu  jsinu h; eu ncosu ; ev hsinvk cosv gu v,  ; gu nsinu ; gv hcosvk sinv e ; h e cosvgsinv ; Ru λμsinλu λT ; Tu λμcosu ; Tu R . (4) Учитываем также ортогональность единичных векторов: h, n, k и e, n, g. Учитывая соотношения (4), получим: ρu  a T hRλ cosv nλTe; ρv  aRg; ρuu  a T  Rλ  cosv hT 1 2 λcosv  λ2 n λTe; ρuv  a R sinvnλТg; ρvv aRe. (5) Коэффициенты квадратичных форм: E a 2 1 2λcosvλ2T2 R2 λcosv2;  F a RT2 sin ;v G = a2R2.  EG F 2 a R2 λcosvσ; σ T2 R2  12μcosλ μu 2; 1 1 m ρ ρu  v  ReTn.  σ L mρuu a 2 2   R1 cosvλ  R1cosv T 1 2λcosv  λ  ; σ M mρuvаTRsin ;v N  mρvv    аR2. (6) σ σ Из формул видно, что выполняется равенство MGNF или MGNF  0. Это является условием, что система координат u = const (система окружностей) является системой линий кривизны поверхности [3; 7; 8], и, следовательно, эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности относятся к классу каналовых поверхностей.

Vyacheslav N Ivanov

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Author for correspondence.
Email: i.v.ivn@mail.ru
6 Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russia

Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Architecture and Civil Engineering, Engineering Academy, Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University). Scientific interests: geometry, surface shaping and methods for calculating thin-walled structures of complex shapes

  • Bronshtain I.N., Semendyaev K.A. (1962). Spravochnik po matematike [Reference book of higher mathematics]. For engineers and students of the VTUZes. Мoscow, GIFizMatlit Publ., 608. (In Russ.)
  • Smirnov V.I. (1965). Kurs vysshei matematiki [Course of higher mathematics]. Мoscow, Nauka Publ., 1, 480. (In Russ.)
  • Ivanov V.N., Romanova V.A. (2016). Konstruktsionnye formy prostranstvennykh konstruktsii. Vizualizatsiya poverkhnostei v sistemakh MathCad, AutoCad [Constructive forms of the space constructions. Visualization of the surfaces in the systems of MathCad and UutuCad]. Monograph. Moscow, FSV Publ., 412. (In Russ.)
  • Lawrence J. Dennis. (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications, 161, 168–170, 175.
  • Krivoshapko S.N., Ivanov V.N. (2015). Encyclopedia of Analytical Surfaces. Switzerland: Springer International Publishing, 752.
  • Ivanov V.N., Mahmud H.S. (1990). Koordinatnaya set' linii krivizny epitro-khoidal'noi poverkhnosti [Coordinate system of the curvature lines of the epitrochoidal surface]. Investigation of structural mechanics of the space systems. Moscow, UDN Publ., 38–44. (In Russ.)
  • Shulikovskiy V.I. (1963). Klassicheskaya differrentsial'naya geometriya [Classic differential geometry]. Мoscow, GIFML Publ., 540. (In Russ.)
  • Ivanov V.N., Krivoshapko S.N. (2010). Analiticheskie metody rascheta obolochek nekanonicheskoi formy [Analitycal methods of analyses of the shells of noncanonical form]. Moscow, RUDN Publ., 540. (In Russ.)

Views

Abstract - 184

PDF (Russian) - 104

PlumX


Copyright (c) 2018 Ivanov V.N.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.