ЭПИ-ГИПОЦИКЛОИДЫ И ЭПИ-ГИПОЦИКЛОИДАЛЬНЫЕ КАНАЛОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Полный текст

При качении окружности радиуса а по неподвижной окружности радиуса b точка, связанная с подвижной окружностью, описывает эпициклоиду, если подвижная окружность катится с внешней стороны неподвижной окружности, и гипоциклоиду при качении с внутренней стороны [1-3]. Обычно в литературе приводятся отдельно уравнения эпициклоид и гипоциклоид [1] с образующей точкой, находящейся на подвижной окружности. В монографии [3] показана взаимосвязь уравнений эпии гипоциклоид и получено их обобщенное уравнение. Ниже приведено уравнение эпигипоциклоид при произвольном положении образующей точки в плоскости подвижной окружности (рис. 1). Пусть образующие точки 1, 2 находится на расстоянии а от центра подвижной окружности радиуса а. После качения подвижных окружностей до точки касания с неподвижной окружностью с образующие точки переходят в положение 1’, 2’. Положение точек 1’, 2’ определяется суммированием векторов (рис. 1, б): ос  bh u ; оd  aT   u nu ; d1  aR   u nu ; d2  aR   unu , где h u  icosu  jsinu ; nuisinu  jsinu - единичные ортогональные вектора в горизонтальной плоскости; T u μsinλu , R u  1 μcosλu . Следовательно, обобщенное векторное уравнение эпи-гипоциклоид получаем в виде r u  ah u  T    u n u  pR   u h u , =b/a, (1) где р - единичный параметр: при р = 1 получаем уравнение эпициклоиды; при р = -1 получаем уравнение гипоциклоиды. Эпии гипоциклоиды, полученные качением окружностей одинакового радиуса а, точками, расположенными на одинаковом расстоянии µа от центра, будем далее называть идентичными эпии гипоциклоидами. Из рис. 1, б видно, что точки эпициклоиды и гипоциклоиды при качении подвижных окружностей одинакового радиуса находятся на одинаковом расстоянии - аR u от касательной к неподвижному кругу. Кривая rc u  ah u Tu  n u  (2) является срединной линией однотипных эпии гипоциклоид. Рис. 1. Образование эпи-гипоциклоид [Fig. 1. Formation of epi-hypocycloid] Эпии гипоциклоиды относятся к классу классических кривых, которым посвящено много работ, содержащих рисунки и описания особенностей этих кривых при изменении параметров. Поэтому далее будем рассматривать циклические поверхности на основе идентичных эпи-гипоциклоид. Учитывая равноудаленность точек эпи-гипоциклоид от срединной линии (2) и принимая срединную линию за линию центров циклической поверхности (2), получаем уравнение эпи-гипоциклоидальной циклической поверхности с переменным радиусом aR(u) ρu v, rc u aR u   e u v,  aλhu T u    n u R u  e u v, , (3) где eu v, hucosvksinv - уравнение окружности единичного радиуса в вертикальной плоскости с начальным направляющим вектором h(u). Отметим некоторые частные случаи. Если образующие точки совпадают с центром подвижных окружностей ( = 0), то эпии гипоциклоиды являются окружностями радиуса b + a для эпициклоиды и b - a для гипоциклоиды, а циклической поверхностью будет тор. Если радиус подвижной окружности равен радиусу неподвижной окружности λ = 1, то внутренняя окружность не перемещается (не катится) и гипоциклоида вырождается в точку. Циклическая поверхность образуется вращением переменного радиуса вокруг касательной, проходящей через точку (вырожденную гипоциклоиду). Получаемая циклическая поверхность относится к классу каналовых поверхностей Иоахимсталя - циклических поверхностей с окружностями, являющимися линиями главных кривизн поверхности и лежащих в плоскостях пучка. Радиус точки диаметра образующей окружности, перпендику- Ivanov V.N. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2018, 14(3), 242-247 лярной оси вращения, описывает эпитрохоидальную кривую и циклическая поверхность называется эпитрохоидальной каналовой поверхностью [5; 6]. На рис. 2 приведены виды эпитрохоидальных поверхностей с различным положением образующей точки  = 1; 0,75; 2,75. В нижнем ряду показаны эпитрохоиды, неподвижная окружность и срединная кривая - линия центров окружностей циклической поверхности. Для эпитрохоидальных поверхностей срединная линия аналогична по форме эпитрохоиде. При  > 1 (образующая точка расположена с внешней стороны подвижной окружности) эпициклоида описывает самопересекающуюся кривую (аналогично и срединную кривую). Циклические поверхности образуются двумя отсеками циклических поверхностей - внешней и внутренней, соприкасающихся на оси вращения образующих. На рисунке показаны половины отсеков в интервале изменения углового параметра 0  v  π. а  = 1 б  = 0,75 в  = 2,75 Рис. 2. Эпитрохоидальные кривые и поверхности λ = 1 [Fig. 2. Epitrochoidal curves and surfaces λ = 1] При радиусе подвижной окружности, равном половине радиуса неподвижной окружности λ = 2, и положении образующей точки на подвижной окружности μ = 1 гипоциклоида вырождается в отрезок прямой - диаметр неподвижной окружности. При μ ≠ 1 гипоциклоида описывает овальную кривую. Срединная кривая при μ ≤ 1 отклоняется от неподвижной окружности на небольшие расстояния, при μ > 1 - образуется самопересекающаяся кривая сложной формы. На рис. 3 представлены эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности и кривые с образующей точкой в пределах подвижной окружности. На рис. 4 показан рисунок эпи-гипоциклоидальной поверхности с образующей точкой вне пределов подвижной окружности μ = 2,75 и кривые: б - эпициклоида с гипоциклоидой, в - гипоциклоида, г - срединная кривая. Рисунки кривых показаны совместно с неподвижной окружностью.  = 1  = 0,75 Рис. 3. Эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности λ = 2 [Fig. 3. Epi-hypocycloidal cyclic surfaces λ = 2] Рис. 4. Эпи-гипоциклоидальная циклическая поверхность λ = 2 с образующей точкой вне пределов подвижной окружности μ = 2,75 [Fig. 4. Epi-hypocycloidal cyclic surface λ = 2 with a generating point out of the limits of the moving circle μ = 2.75] На рис. 5. представлены эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности с целочисленным отношением радиусов подвижной и неподвижной окружностей с образующей точкой на подвижной окружности. В нижнем ряду показаны совместные рисунки эпициклоиды, гипоциклоиды неподвижной окружности и срединной кривой. Отличие срединной кривой от окружности при λ > 3 на рисунке масштабно незаметно, но это различные кривые. λ = 3 λ = 4 λ = 5 Рис. 5. Эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности с образующей точкой на подвижной окружности [Fig. 5. Epi-hypocycloidal cyclic surfaces with a generating point on a moving circle] На рис. 6 изображены эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности с образующей точкой внутри подвижной окружности μ = 0,65. В нижнем ряду рисунка - эпициклоиды, гипоциклоиды неподвижной окружности и срединной кривой. λ = 3 λ = 4 λ = 5 Рис. 6. Эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности с образующей точкой внутри подвижной окружности μ = 0,65 [Fig. 6. Epi-hypocycloidal cyclic surfaces with a generating point inside the moving circle μ = 0.65] λ = 3 Рис. 7. Эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности с образующей точкой вне подвижной окружности μ = 2,65 [Fig. 7. Epi-hypocycloidal cyclic surfaces with a generating point outside the moving circle μ = 2.65] Из приведенных рисунков видно, что эпигипоциклоидальные циклические поверхности с целочисленным отношением радиусов неподвижной и подвижной окружностей( λ = b/a = n) формируются из n однотипных отсеков с угловым диапазоном 2π/n. При μ = 1 (образующая точка на подвижной окружности) отсеки соприкасаются в крайних конических точках отсеков. При μ < 1 (образующая точка внутри подвижной окружности) отсеки сопрягаются в сечениях с минимальным радиусом R = b (1 - μ). Как отмечалось выше, при μ = 0 эпи-гипоциклоидальная циклическая поверхность является тором радиуса R = b. При μ > 1 (образующая точка вне подвижной окружности) эпии гипоциклоиды имеют зоны пересечения, где отсеки эпициклоид оказываются внутри неподвижной окружности, а отсеки гипоциклоид - вне подвижной окружности. Отсеки эпигипоциклоидальных циклических поверхностей в этих зонах взаимно пересекаются и разделяются на отсеки внешней и внутренней поверхностей (рис. 7). Очевидно, зона перехода внутреннего отсека поверхности во внешний определяется точками пресечения эпии гипоциклоиды. Приравнивая уравнения (1) эпи(р = 1) и гипоциклоиды (р = -1), получаем формулу для определения углового параметра up точек пересечения: R u p = 1μcosλup  0 , upk  ± u k0  , 1  1 k = 0...λ. u0  arccos  λ  μ Таким образом, 1-й внутренний отсек поверхности определяется координатным диапазоном u = (-u0, u0), для внешнего отсека u = (u0, π/λ - u0). На рис. 8. представлены внутренний (а) и внешний (б) отсеки поверхности, а также показаны отрезки эпии гипоциклоид, срединной кривой и неподвижной окружности в соответствующих диапазонах параметра u. Рис. 8. Отсеки эпи-гипоциклоидальных циклических оболочек μ = 2,65 [Fig. 8. Compartments of epi-hypocycloidal cyclic shells μ = 2.65] Как видно из рисунков, форма внешнего отсека аналогична отсекам при μ = 1. Форма внутреннего отсека отличается от формы внешних отсеков. Выше рассмотрены эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности с целочисленным отношением λ радиусов неподвижной и подвижной окружностей. Уравнение поверхностей (3) пригодно для поверхностей с произвольным параметром λ. Из геометрии эпии гипоциклоид с дробным параметром λ известно, что эти кривые являются сложными взаимно пересекающимися кривыми [3, 4]. В данной работе ограничимся Ivanov V.N. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2018, 14(3), 242-247 рассмотрением эпи-гипоциклоидальные циклических поверхностей с целочисленным параметром λ. Выше было отмечено, что при λ = 1 поверхности относятся к классу каналовых поверхностей Иоахимсталя. Чтобы выяснить к какому классу относятся эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности общего типа, получим коэффициенты квадратичных форм. Предварительно рассмотрим свойства функциональных параметров уравнения поверхности (3). Частные производные функций и векторов будем обозначать соответствующим индексом. hu isinu  jcosu  n ; nu icosu  jsinu h; eu ncosu ; ev hsinvk cosv gu v,  ; gu nsinu ; gv hcosvk sinv e ; h e cosvgsinv ; Ru λμsinλu λT ; Tu λμcosu ; Tu R . (4) Учитываем также ортогональность единичных векторов: h, n, k и e, n, g. Учитывая соотношения (4), получим: ρu  a T hRλ cosv nλTe; ρv  aRg; ρuu  a T  Rλ  cosv hT 1 2 λcosv  λ2 n λTe; ρuv  a R sinvnλТg; ρvv aRe. (5) Коэффициенты квадратичных форм: E a 2 1 2λcosvλ2T2 R2 λcosv2;  F a RT2 sin ;v G = a2R2.  EG F 2 a R2 λcosvσ; σ T2 R2  12μcosλ μu 2; 1 1 m ρ ρu  v  ReTn.  σ L mρuu a 2 2   R1 cosvλ  R1cosv T 1 2λcosv  λ  ; σ M mρuvаTRsin ;v N  mρvv    аR2. (6) σ σ Из формул видно, что выполняется равенство MGNF или MGNF  0. Это является условием, что система координат u = const (система окружностей) является системой линий кривизны поверхности [3; 7; 8], и, следовательно, эпи-гипоциклоидальные циклические поверхности относятся к классу каналовых поверхностей.

Об авторах

Вячеслав Николаевич Иванов

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: i.v.ivn@mail.ru

доктор технических наук, профессор департамента архитектуры и строительства Инженерной академии, Российский университет дружбы народов. Область научных интересов: геометрия, формообразование поверхностей и методы расчета тонкостенных конструкций сложных форм

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Российская Федерация, 117198

Список литературы