# Abstract

The matter of control planning by variables is essentially the inverse problem of interval estimation. Therefore, when determining control plans (“n” is the sample size, “k” is the eligibility criterion), the results of interval estimation are used. The algorithm of interval estimation, proposed by L.N. Bolshev and E.A. Loginov, presupposes finding the upper and lower bounds of the operational characteristic of quality control, which in turn represents the probability of acceptance of the batch with a quality level not exceeding the consumer risk. In this case, the probability of batch rejection is not more than the manufacturer risk. In this article, an attempt is made to find the extreme values of the operating characteristic in an explicit form. As a result, operative characteristics formulas were obtained in an explicit form, which made it possible to significantly simplify the determination of control plans with bilateral tolerance for the controlled parameter that characterizes a specific product. In construction industry, any sign on which the reliability of the construction product is characterized is implied as a controlled parameter.

# Full Text

При решении задач контроля качества строительных изделий по количественному признаку [1; 8] возникает проблема нахождения экстремальных значений функции Zn,k(m, 8), представляющей собой оперативную характеристику контроля [7; 9]. Известно [2], что она имеет вид Zn,k(m, 8) = 1 (u1+u2) = B f0 2k 1n-2е -n 1]2 2 {Ф[-(и2 + 1k)√n]Ф[(и1 + 1k)√n]}d1 ≡ l(81, 82), (1) где B = n-1 2 n 2 2 ; Г n-1 2 Г(х) - гамма-функция; 2 8i = Ф(иi); i = 1,2; Xn-m m-Xb 1 x -t и1 = 2 ; и = 8 ; Ф(х) = f е 8 √2тr -00 2 dt; η - случайная величина, распределенная по закону; Хи - квадрат с (n 1) степенью свободы; m - математическое ожидание; 82 - дисперсия; (n, k) - план контроля [2]. Как важное обстоятельство отметим [10], что характеристика Zn,k(m, 8) зависит от параметров m и 8 через функции и1 и и2, которые входят в формулу (1) не в виде комбинации Ф(и1) + Ф(и2) = q. Поэтому в случае двухстороннего ограничения на контролируемый параметр оперативная характеристика Zn,k(m, 8) не однозначно определяется долей q негодных изделий в партии, а зависит еще от параметров распределения m и 82. В качестве контролируемого параметра в строительной индустрии подразумевается любой признак, по которому характеризуется надежность строительного изделия. Если бы в технических условиях на параметр Х было наложено одностороннее ограничение, например Х > ХН, то Zn,k(q) однозначно определялось бы заданием q. В самом деле, полагая в формуле (1) ХЬ = ∞, получим и2 = -∞, 82 = Ф(-∞) = 0, q = 81 = Ф(и1), и1 = иq и 00 n 2 0 Zn,k(m, 8) = B f 1n-2е-21] Ф[-(иq + 1k)√n] d1 = Zn,k(q). Так как при двухстороннем ограничении на параметр вероятность приемки партии с уровнем качества q зависит от параметров распределения m и 8, то при определении плана контроля (n, k) необходимо вместо Zn,k(q) использовать нижнюю и верхнюю границы Здесь Zn,k(q) = min (m,8)EQ Zn,k(q) = max (m,8)EQ ХН m Zn,k(m, 8), Zn,k(m, 8). m ХЬ = m, 8 0: Ф 8 + Ф 8 = q . В настоящей статье сделана попытка найти в явном виде экстремальные значении функции l(81, 82). Итак, перейдем к исследованию функции l(81, 82) на экстремум. Заметим, что Zn,k(q) = min (81+82)=8 l(81, 82), Zn,k(q) = max (81+82)=8 l(81, 82), 8 = {(81, 82): 0 ::; 8i ::; , i = 1,2, 81 + 82 = q}. Нахождение экстремумов функции l(81, 82) проведем по общепринятой классической схеме. Заменим переменную 82 через 81. Тогда получим Z = min 0 81 q l(81,q 81),Z = max 0 81 q l(81,q 81). Используя очевидные соотношения 2 2 dи1 = √2тr еu1 , dи2 = -√2тr еu2 , 2 d81 после ряда преобразований находим 2 d81 sign dl(81,q 81) d81 -1 2 = signфn(и1, и2), -nx2( 1 1 ) (u1+u2) фn(и1, и2) = хn-2е 2 0 k2 n-1 х (n-1) nх )2 (n-1) nх )2 х [е- 2 (u2+n-1 е- 2 (u1+n-1 ] dх. (2) Нетрудно проверить, что -фn(и1, и2) = фn(и1, и2) и фn(и1, и2) = 0 (3) при и1 = и2. В силу формулы (3) достаточно исследовать знак функции фn(и1, и2) при и1 < и2 для определения signфn(и1, и2) на всем диапазоне изменения и1 и и2. Рассмотрим отдельный случай n = 2. Тогда формула (2) может быть записана так: где G2(х) = е(1-k 1 -2)x2 2 1 2 0 2 2 1 2 ф (и , и ) = fА G (х)H (х, и , и )dх, (4) ; H2(х, и1, и2) = h2(х, и2) h2(х, и1); 2 i 2 h (х, и ) = е(2x+ui)2 ; i = 1,2; А = 1 2 (и1+ и2). Оценить знак функции ф2 позволяет следующая лемма. Лемма Ӏ. Пусть функции f и g заданы на интервале [а, Ь],f 0 и с Ь тогда fа fdх = fс с fdх ,С Е]а, Ь[, (5) Ь fа gfdх > fс если q - строго убывающая функция. gfdх, (6) Доказательство непосредственно следует из теоремы о среднем. Действительно, с с gfdх = g(х1) fdх , х1Е]а, С[, а а Ь Ь fdх = g(х2) fdх , х2Е]а, Ь[. с с Поскольку g(х1) > g(х2), то из условия (5) следует неравенство (6). Следствие Ӏ. Если в условиях леммы Ӏ функция g строго возрастающая, то вместо неравенства (6) будет справедливо противоположное неравенство: с Ь gfdх < gfdх. а с В справедливости этого замечания можно убедиться, умножив неравенство (6) на (-Ӏ) и заменив функцию g на -g. Применим лемму Ӏ для оценки функции ф2. Заметим вначале, что при и1 < и2 А H2(х, и1, и2) = (> 0, х < , 2 А = 0, х = , 2 А l< 0, х > 2 , и А 2 А тr и2 и1 А h2(х, и2)dх = h2(х, и1)dх = 2 [Ф Ф(и2)], 2 0 2 А 2 А тr и1 и2 А h2(х, и1)dх = h2(х, и2)dх = 2 [Ф Ф(и1)]. 2 0 2 Вычитая из первого уравнения второе, получаем А 2 А H2 dх = H2 dх. А А 2 А Положим в Лемме Ӏ а = 0, С = 2 ,Ь = А,g = G2 и А f(х) = H2(х),х ::; 2 , А -H2(х),х > 2 . Очевидно, введенные функции удовлетворяют условиям Леммы Ӏ. Следовательно, А А 2 ф2 = G2 H2dх + G2 H2dх > 0, А 0 2 если G2 - строго убывающая функция, а это возможно, лишь когда k < 1. Если G2 - строго возрастающая функция (k > 1), то в силу следствия Ӏ ф2(и1, и2) < 0. При k = 1 функция G2 = 1, а значит ф2 = 0. Таким образом, при n = 2 и и1 < и2 dl(81,q 81) > 0, k < 1, = 0, k = 1, d81 < 0, k > 1. Тем самым установлено, что оперативная характеристика контроля при k < 1 имеет минимум и максимум соответственно в точках (81 = 0, 82 = q) и 1 2 (8 = 8 = q). При (k > 1) отмеченные точки минимума и максимума меняются 2 местами. Запишем выражение оперативной характеристики в этих экстремальных точках. Полагая в формуле (1) n = 2, (81 = 0, 82 = q), т.е. и1 = -∞, и2 = иq, получаем 2 00 2 Zn,k(q) = е-1] Ф[-(иq + k1)√2]d1. √тr 0 q 1 2 При n = 2, 81 = 82 = 2, т.е. и1 = и2 = иq формула (1) принимает вид Итак, 1 2 -ku Zn,k(q) = √тr 2 q е-1]2 0 1 2Ф [иq + k1] √2 d1. 2 Z2,k(q) = 2 √тr -1u f е-1] 00 2 0 Ф[-(иq q + k1)√2]d1, k ::; 1, (7) 0 1 2Ф [ иq + k1 √2] d1, k 1. 2 k √тr f2 е-1]2 2 Верхняя граница Z2,k(q) записывается формулой (7), только условия k ::;1 и k 1 необходимо поменять местами. Поскольку при k = 1 функция ф2 = 0, то имеют место следующие тождества: (u1+u2) -1 2 2 е-(2 {Ф[-(и + ()√2] Ф[(и1 + ()√2]d(} = 0 00 q = е-(2 Ф[-(и + ()√2]d( = 0 2 q = е-(2 1 2Ф [ иq + ( √2] d(, где 0 2 q = Ф(и1) + Ф(и2). Рассмотрим теперь случай n > 2. Докажем следующее утверждение. Теорема Ӏ. При и1 < и2 фn(и1, и2) > 0 для всех k < k∗, где -1 2 k∗ = n + 1 . (n 2) [1 (и +и )] 1. 1 2 1 2 Доказательство. Очевидно, А ф2(и1, и2) = Gn (х)Hn(х, и1, и2)dх, 0 2 где Gn(х) = хn-2е-yx ; Hn(х, и1, и2) = hn(х, и2) hn(х, и1); 1 nx )2 n 1 1 hn(х, иi) = ехр [2 (n 1)(иi + n-1 ] ; i = 1,2; у = 2 . k2 n-1 Нетрудно проверить, что при и1 < и2 > 0, 0 ::; < n-1 А, n n-1 Hn(х) l а n-1 n А = 0, х = < 0, х > А, n n-1 А; n А (8) hn (х, и2)dх = hn (х, и1)dх, n-2 n А n-1 n А n-1 n А А hn (х, и1)dх = hn (х, и2)dх. n-2 n А n-1 n А Из последующих двух уравнений получаем, что n-1 n А А Hn dх = Hn dх. n-2 n А n-1 n А Исследуем теперь функцию Gn. Заметим вначале, что у > 0 ∀kЕ[0, k∗]. Функция Gn строго возрастает на интервале ]0, Х∗[ и убывает на интервале 1 ]Х∗, ∞[. Х∗ = [(n-2)]2. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что 2y Х∗ < (n-2) А ∀kЕ[0, k∗]. Следовательно, на интервале [n-1 А, А] функция G n n n строго возрастает. В силу формулы (8) имеем А фп(и1, и2) > fn-2 n А GпНп dх. (9) Оценим знак интервала в неравенстве (9) с помощью леммы Ӏ. Положим п 2 ɑ = п и А, с = п 1 п А, Ь = А, g = Gп п 1 f(х) = Нп(х),х � -Нп(х),х > l А, п п 1 А. п Введение функций f и g удовлетворяет условию следствия Ӏ. Поэтому фп > 0. Доказательство окончено. Из теоремы Ӏ получаем следующий результат. Следствие ІӀ. При п > 2 n 2 о Zп,k(q) = B f (п-2е2 q Ф[-(иq + k(}√п]d(, (10) 1 2 пcf2 Zп,k(q) = B-ku (п-2е2 о {1 2Ф [(иq + k() √пj} d(, 2 q для всех kE[0, k∗ ], где ∗ п 2 1 1 -2 kq = ( (п 2) иq + 2 ) . п 1 Доказательство непосредственно следует из теоремы Ӏ и того факта, что функция (и1 + и2)2 достигает минимального значения на множестве {и1, и2: Ф(и1) + Ф(и2) = q} в точке и1 = и2 = иq. 2 Заключение. Таким образом, формулы (10) позволяют значительно упростить вычисления планов контроля (п, k) при двухстороннем допуске контролируемого параметра, характерного для конкретного строительного изделия.

Moscow State University of Civil Engineering (National Research University)

Author for correspondence.
Email: chiganovanm.mgsu@gmail.com
26 Yaroslavskoye Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Applied Mathematics, National Research Moscow State University of Civil Engineering (NRU MGSU). Research interests: quality assessment and the reliability of products, test planning, interval estimation of parameters of reliability of building products

# References

1. Kramer G. (1975). Matematicheskie metody statistiki [Mathematical methods of statistics]. Moscow: Mir Publ. 648. (In Russ.)
2. Kartashov G.D., Chiganova N.M. (1980). K obosnovaniyu planov kontrolya po kolichestvennomu priznaku pri dvuhstoronnem dopuske [A justification of sampling plans by variables in bilateral tolerance, Statistical Methods collection] // Statisticheskie metody, Perm': Izdatel'stvo Permskogo gosudarstvennogo universiteta, 66–81. (In Russ.)
3. Chiganova N.M. (2015). Logarifmicheskaya vypuklost' po parametru nekotoryh raspredeleniya [Logarithmic convexity in the parameter of certain distributions, Natural and technical sciences]. Estestvennye i tehnicheskie nauki, Vol. 6, 14–17. (In Russ.)
4. Medvedev V., Pustovgar A. (2015). Influence of Chemical Additives on Radiation Stability of Concrete – Theoretical Basis and Evaluation Method, Applied Mechanics and Materials, Vol. 725–726, 377–382.
5. Chiganova N. (2016). Reliability theory application for building structures reliability determination, MATEC Web of Conferences, Vol. 86. URL: https://doi.org/10.1051/matecconf/ 20168602009 (Accessed 12.09.2017).
6. Kir'yanova L.V., Usmanov A.R. (2012). Assessment of spectral density of the aerodynamic factor of front resistance. Vestnik MGSU, No 10, 88–94. (In Russ.)
7. Bolshev L.N., Loginov E.A. (1966). Interval estimates in the presence of interfering parameters. Theory of Probability and its applications, 11 (1), 94–107. (In Russ.)
8. Gnedenko B.G., Belyaev Yu.K., Slov’ev A.D. (2010). Mathematical methods in the reliability theory. Moscow: Nauka Publ., Vol. 2, 582. (In Russ.)
9. Kobzar A.I. (2006). Applied mathematical statistics (For engineers and scientists). Moscow: Fizmatgiz, Vol. 1, 816. (In Russ.)
10. Tarasov D.V., Tarasov R.V., Makarova L.V., Ermishina Ya.A. (2015). Improvement of quality control of construction products. Modern problems of science and education, No 1–1. URL: https://www.science-education.ru/ru/article/view?id=17591 (Accessed 12.09.2017). (In Russ.)

# Statistics

#### Views

Abstract - 329

PDF (Russian) - 95