NONLINEAR STABILITY OF SINUSOIDAL VELAROIDAL SHELL

Cover Page

Abstract


The nonlinear analysis of thin-walled shells is not a rarity, particularly the nonlinear strength one. Many works are devoted to linear and nonlinear analyses of shells of classical form: cylindrical, spherical, hemispherical, shallow, conical. The concept of shells of complex geometry appears when the coefficients of the first and second quadratic forms of their middle surfaces are functions of the curvilinear coordinates. Concerning nonlinearity, it is generally accepted that four different sources of nonlinearity exist in solid mechanics: the geometric nonlinearity, the material nonlinearity and the kinetic nonlinearity. The above theoretical aspect of the nonlinearity, applied to a sinusoidal velaroidal shell with the inner radius r0=1m, the outer radius R=20m and the number of waves n= 8, will give rise to the investigation of its nonlinear buckling resistance. The building material is a concrete. The investigation emphasizes more on the material and the geometric nonlinearities, which are more closed to the reality. Finite element model of the shell consists of 6400 elements and 3280 nodes, the total number of nodal unknown - 18991. For surface modelling was used flat shell elements with six degrees of freedom in the node. The boundary conditions cor- respond to hinged bearing on the outer and inner contours. The result of the investigation is the buckling force of the shell under self-weight and uniformly vertically distributed load on its area, the corresponding numerical values of displacements and the buckling mode


Наибольшое количество исследований посвящено линейному анализу на- пряженно-деформированного состояния (НДС) оболочек классической формы: цилиндрической, сферической, полусферической, конической и некоторых других. Однако НДС тонких оболочек сложной геометрии исследовано недостаточно. Понятие оболочек сложной геометрии возникает тогда, когда коэффициенты первой и второй квадратичных форм их срединных поверхностей являются довольно сложными функциями их неортогональных криволинейных координат. Классические поверхности в большинстве случаев задаются, в основном, криволинейными поверхностными координатами в линиях кривизн. Энциклопедия [1] содержит сведения по аналитической и дифференциальной геометрии более 500 регулярных поверхностей, нашедших применение в различных отраслях науки и техники, в том числе в ней описываются параболические, синусоидальные и эллиптические велароиды. Велароидальной называется поверхность переноса на плоском прямоугольном плане с образующей кривой переменной кривизны [1]. Таким образом, поверхность ограничена четырьмя взаим- но ортогональными контурными прямыми (kx = ky = 0), лежащими в одной плоскости. Иногда эти поверхности в зарубежной литературе называют фуникулярными поверхностями [2]. Велароидальные поверхности в России в отличие от стран Западной Евро- пы и Америки [3, 4] широкого применения не нашли, за исключением параболического велароида, форма которого была использована в покрытии «Дарба- зи» [5]. В работе [6], по-видимому, впервые предложили использовать велароиды на круговом плане. В отличие от велароидов на прямоугольном плане, вела- роиды на круговом плане будем называть, соответственно, круговыми и кольцевыми велароидами [7]. В монографии [8] нелинейный анализ представляется как метод проектирования высокотехнологичных современных конструкций, а так же, как способ исследования остаточной прочности и жесткости элементов, имеющих начальные повреждения. В механике деформированного твердого тела существует несколько принципов классификации нелинейностей [9]. Однако в отечественной научной школе принято рассматривать три основных их вида: геометрическую, физическую и конструктивную. Особенности расчета большепролетных конструкций с учетом нелинейных эффектов приводятся, например, в статьях [10, 11]. Стоит отметить, что алгоритм нелинейного расчета реализуется с помощью различных итерационных методов, в виду чего высокая точность расчета связана с большим количеством итераций. Впервые пример использования поверхности кольцевого синусоидального велароида для проектируемого сооружения был предложен в работе [12]. Для дальнейшего анализа НДС возьмем кольцевой велароид с внутренним радиусом r0 = 1 м, наружным радиусом R = 20 м и числом волн n = 8 (рис. 1). Предположим, что исследуемая оболочка изготовлена из железобетона. Конечноэлементный анализ оболочки выполнялся в сертифицированных программных комплексах LIRA-SAPR 2013 и STARK ES 2015. Расчет производился в линейной и нелинейной постановках. Конечно-элементная модель оболочки (рис. 2) состоит из 6400 элементов и 3280 узлов, общее число узловых неизвестных - 18991. Для моделирования поверхности использовались плоские оболочечные элементы, имеющие шесть степеней свободы в узле. Граничные условия соответствовали шарнирному опиранию по наружному и внутреннему контурам. Расчет на устойчивость проводился при различных толщинах оболочки (10, 15 и 20 см). В линейном расчете рассматривалась упругая работа материала (бетона) в соответствии с графиком, показанным на рис. 3. При этом не учитывалось перераспределение усилий и возможность образования трещины в оболочке. Линейный расчет проводился при следующих параметрах материала (бетона): начальный модуль упругости Е = 30000 МПа; коэффициент Пуассона ? = 0,18; плотность ? = 2,5 т/м3. Особый интерес представляет работа рассматриваемой оболочки с учетом неупругих свойств материала. В этой связи был проведен нелинейный расчет оболочки на основе модифицированного метода Ньютона - Рафсона. Для того чтобы учесть реальные свойства материала использовались нелинейные законы деформирования бетона и арматурной стали (рис. 4). а б Рис. 4. Законы деформирования: а - для бетона; б - для арматуры (диаграмма Прандтля) Закон деформирования бетона описывался функцией напряжений: . (1) Циклы нелинейного расчета выполнялись для различной толщины оболочки (10, 15 и 20 см) с разным процентом армирования (р = 2%, р = 3%). На каж- дом цикле исследовались усилия, перемещения и коэффициенты устойчивости. В расчете принимались следующие параметры материала: Rb - расчетное сопротивление бетона сжатию (бетон B30, Rb = 22,4 МПa); Rbt - расчетное сопротивление бетона растяжению (бетон B30, Rbt = 1,84 МПa); ?ub - предельная относительная деформация сжатия (?ub = 0,002); ?ubt - предельная относительная деформация растяжения (?ubt = 0,0002); Rs - предел текучести арматурной стали (Rs = 355 МПa); ?s - деформации арматуры, соответствующие пределу текучести, стали Rs Расчеты проводились на основное сочетание нагрузок: q = g + S [т/м2]; (2) где g - собственный вес оболочки с учетом коэффициента надежности по на- грузке ?f = 1,1; S - снеговая нагрузка с учетом коэффициента надежности по нагрузке ?f = 1,4 (S = 0,252 т/м2). Основные результаты расчетов представлены в табл. 1. Таблица 1 Результаты расчета Толщина оболочки h, см Тип расчета Линейный Нелинейный p=2% p=3% Максимальное перемещение w, мм 10 79,10 - 379,48 15 48,80 260,31 189,13 20 34,40 204,03 152,55 Коэффициент устойчивости КS Форма 1 10 12,136 - 2,530 15 32,219 6,040 8,313 20 63,156 10,652 14,247 Форма 2 10 12,170 - 2,537 15 32,330 6,061 8,341 20 64,459 10,876 14,546 Форма 3 10 12,186 - 2,540 15 32,363 6,067 8,350 20 64,535 10,893 14,569 На рис. 5 показаны изополя вертикальных перемещений, соответствующие толщинам оболочки 10 см и 15 см. а h = 10 см б h = 15см Рис. 5. Изополя вертикальных перемещений: а - при толщине оболочки h = 10 см (w = 379,48 мм), б - при толщине оболочки h = 15см (w = 189,13 мм) На рис. 6, 7 показаны формы потери устойчивости для оболочек с толщи- ной 20 см и 15 см и процентом армирования р = 3%. а Форма 1 (KS=14,247) б Форма 2 (KS=14,546) Рис. 6. Формы потери устойчивости при h = 20 см и p = 3%: a - форма 1, б- форма 2 а Форма 1 (KS=8,313) б Форма 2 (KS=8,341) Рис. 7. Формы потери устойчивости при h = 15 см и p = 3%: a - форма 1, б - форма 2 Основные выводы В результате проведенного исследования были выявлены определенные недостатки линейной постановки задачи, а именно, заниженные значения вертикальных перемещений и, как следствие, завышенные коэффициенты устойчивости. Так, перемещения, полученные в нелинейном расчете, в среднем, в 4 раза превышают соответствующие перемещения линейного расчета. Таким образом, коэффициент устойчивости для оболочки толщиной 20 см по первой форме, равный 63,156 (линейный расчет) уменьшился до 14,247 (нелинейный расчет, p = 3%). В виду этого, неправильная интерпретация результатов расчета может давать ложное представление об избыточной надежности конструкции

MATHIEU GIL-OULBE

Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University), Moscow, Russian Federation

Author for correspondence.
Email: gil-oulbem@hotmail.com
6 Miklukho-Maklaya Street, Moscow, 117198, Russian Federation

Candidate of Technical Science, Associate Professor, Department of architecture and civil engineering, Engineering Academy, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow. Scientific interests: theory of thin elastic shells, nonlinear stability of shells of complex geometry, computer modelin

ALEXEY S MARKOVICH

Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University), Moscow, Russian Federation

Email: markovich.rudn@gmail.com
6 Miklukho-Maklaya Street, Moscow, 117198, Russian Federation

Candidate of Technical Science, Associate Professor, Department of architecture and civil engineering, Engineering Academy, RUDN University, Moscow. Scientific interests: construction mechanics, numerical methods for calculating structures, computer modeling

TIEKOLO DAOU

Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University), Moscow, Russian Federation

Email: daout88@gmail.com
6 Miklukho-Maklaya Street, Moscow, 117198, Russian Federation

Candidate of Technical Science, Assistant Professor, Department of architecture and civil engineering, Engineering Academy, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow. Scientific interests: reinforced concrete and stone structures, organization, planning and management of construction, project management, computer technology in project management

  • Krivoshapko, S.N., Ivanov, V.N. (2015). Encyclopedia of Analytical Surfaces. Cham: Springer In-ternational Publishing Switzerland. 752.
  • Friaa Ahmed, Zenzri Hatem. (1996). On funicular shapes in structural analysis and applications. Eur. J. Mech. A., 15(5), 901—914.
  • Mihailescu, M., Horvath, I. (1977). Velaroidal shells for covering universal industrial halls. Acta Techn. Acad. Sci. Hung., 85(1-2), 135—145.
  • Krivoshapko, S.N., Gil-Oulbe, M. (2013). Geometry and strength of a shell of velaroidal type on annulus plan with two families of sinusoids. International Journal of Soft Computing and Engi-neering (IJSCE), 3(3), 71—73.
  • Gogoberidze, Ya.A. (1950). Perekrytiya “Darbazi” [Covering “Darbazi”]. Tbilisi: Tehnika da Shroma publ. 278 p. (In Russ.).
  • Krivoshapko, S.N., Shambina, S.L. (2009). Investigation of surfaces of velaroidal type with two families of sinusoids on annular plan. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, (4), 9—12.
  • Krivoshapko, S.N., Shambina, S.L. (2012). Forming of velaroidal surfaces on ring plan with two families of sinusoids. In. 16th Scientific-Professional Colloquium on Geometry and Graphics. Baška, September 9-13, 2012, 19.
  • Reddy, J.N. (2004). An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis. Toronto: Oxford Uni-versity Press- Canada. 463.
  • Nam-Ho Kim (2015). Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis. Springer New York Heidelberg Dordrecht London. Springer Science + Business 2015. doi: 10.1007/978-1-4419-1746-1.
  • Agapov, V.P., Aydemirov, K.R. (2016). An analysis of trusses by a FEM with taking into account geometric nonlinearity. Industrial and Civil Engineering, (11), 4—7. (In Russ.).
  • Trushin, S.I., Zhavoronok, S.I. (2002). Nonlinear analysis of multilayered composite shells using finite difference energy method. Proc. of the Fifth International Conference on Space Structures, the University of Surrey, Guildford, UK. 1527—1533.
  • Shambina, S.L., Neporada, V.I. (2012). Velaroidal surfaces and their application in building and architecture. Prazi TDATU, 53(4), 168—173. (In Russ.).

Views

Abstract - 128

PDF (Russian) - 114


Copyright (c) 2018 GIL-OULBE M., MARKOVICH A.S., DAOU T.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.