НЕЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СИНУСОИДАЛЬНОЙ ВЕЛАРОИДАЛЬНОЙ ОБОЛОЧКИ

Полный текст

Наибольшое количество исследований посвящено линейному анализу на- пряженно-деформированного состояния (НДС) оболочек классической формы: цилиндрической, сферической, полусферической, конической и некоторых других. Однако НДС тонких оболочек сложной геометрии исследовано недостаточно. Понятие оболочек сложной геометрии возникает тогда, когда коэффициенты первой и второй квадратичных форм их срединных поверхностей являются довольно сложными функциями их неортогональных криволинейных координат. Классические поверхности в большинстве случаев задаются, в основном, криволинейными поверхностными координатами в линиях кривизн. Энциклопедия [1] содержит сведения по аналитической и дифференциальной геометрии более 500 регулярных поверхностей, нашедших применение в различных отраслях науки и техники, в том числе в ней описываются параболические, синусоидальные и эллиптические велароиды. Велароидальной называется поверхность переноса на плоском прямоугольном плане с образующей кривой переменной кривизны [1]. Таким образом, поверхность ограничена четырьмя взаим- но ортогональными контурными прямыми (kx = ky = 0), лежащими в одной плоскости. Иногда эти поверхности в зарубежной литературе называют фуникулярными поверхностями [2]. Велароидальные поверхности в России в отличие от стран Западной Евро- пы и Америки [3, 4] широкого применения не нашли, за исключением параболического велароида, форма которого была использована в покрытии «Дарба- зи» [5]. В работе [6], по-видимому, впервые предложили использовать велароиды на круговом плане. В отличие от велароидов на прямоугольном плане, вела- роиды на круговом плане будем называть, соответственно, круговыми и кольцевыми велароидами [7]. В монографии [8] нелинейный анализ представляется как метод проектирования высокотехнологичных современных конструкций, а так же, как способ исследования остаточной прочности и жесткости элементов, имеющих начальные повреждения. В механике деформированного твердого тела существует несколько принципов классификации нелинейностей [9]. Однако в отечественной научной школе принято рассматривать три основных их вида: геометрическую, физическую и конструктивную. Особенности расчета большепролетных конструкций с учетом нелинейных эффектов приводятся, например, в статьях [10, 11]. Стоит отметить, что алгоритм нелинейного расчета реализуется с помощью различных итерационных методов, в виду чего высокая точность расчета связана с большим количеством итераций. Впервые пример использования поверхности кольцевого синусоидального велароида для проектируемого сооружения был предложен в работе [12]. Для дальнейшего анализа НДС возьмем кольцевой велароид с внутренним радиусом r0 = 1 м, наружным радиусом R = 20 м и числом волн n = 8 (рис. 1). Предположим, что исследуемая оболочка изготовлена из железобетона. Конечноэлементный анализ оболочки выполнялся в сертифицированных программных комплексах LIRA-SAPR 2013 и STARK ES 2015. Расчет производился в линейной и нелинейной постановках. Конечно-элементная модель оболочки (рис. 2) состоит из 6400 элементов и 3280 узлов, общее число узловых неизвестных - 18991. Для моделирования поверхности использовались плоские оболочечные элементы, имеющие шесть степеней свободы в узле. Граничные условия соответствовали шарнирному опиранию по наружному и внутреннему контурам. Расчет на устойчивость проводился при различных толщинах оболочки (10, 15 и 20 см). В линейном расчете рассматривалась упругая работа материала (бетона) в соответствии с графиком, показанным на рис. 3. При этом не учитывалось перераспределение усилий и возможность образования трещины в оболочке. Линейный расчет проводился при следующих параметрах материала (бетона): начальный модуль упругости Е = 30000 МПа; коэффициент Пуассона ? = 0,18; плотность ? = 2,5 т/м3. Особый интерес представляет работа рассматриваемой оболочки с учетом неупругих свойств материала. В этой связи был проведен нелинейный расчет оболочки на основе модифицированного метода Ньютона - Рафсона. Для того чтобы учесть реальные свойства материала использовались нелинейные законы деформирования бетона и арматурной стали (рис. 4). а б Рис. 4. Законы деформирования: а - для бетона; б - для арматуры (диаграмма Прандтля) Закон деформирования бетона описывался функцией напряжений: . (1) Циклы нелинейного расчета выполнялись для различной толщины оболочки (10, 15 и 20 см) с разным процентом армирования (р = 2%, р = 3%). На каж- дом цикле исследовались усилия, перемещения и коэффициенты устойчивости. В расчете принимались следующие параметры материала: Rb - расчетное сопротивление бетона сжатию (бетон B30, Rb = 22,4 МПa); Rbt - расчетное сопротивление бетона растяжению (бетон B30, Rbt = 1,84 МПa); ?ub - предельная относительная деформация сжатия (?ub = 0,002); ?ubt - предельная относительная деформация растяжения (?ubt = 0,0002); Rs - предел текучести арматурной стали (Rs = 355 МПa); ?s - деформации арматуры, соответствующие пределу текучести, стали Rs Расчеты проводились на основное сочетание нагрузок: q = g + S [т/м2]; (2) где g - собственный вес оболочки с учетом коэффициента надежности по на- грузке ?f = 1,1; S - снеговая нагрузка с учетом коэффициента надежности по нагрузке ?f = 1,4 (S = 0,252 т/м2). Основные результаты расчетов представлены в табл. 1. Таблица 1 Результаты расчета Толщина оболочки h, см Тип расчета Линейный Нелинейный p=2% p=3% Максимальное перемещение w, мм 10 79,10 - 379,48 15 48,80 260,31 189,13 20 34,40 204,03 152,55 Коэффициент устойчивости КS Форма 1 10 12,136 - 2,530 15 32,219 6,040 8,313 20 63,156 10,652 14,247 Форма 2 10 12,170 - 2,537 15 32,330 6,061 8,341 20 64,459 10,876 14,546 Форма 3 10 12,186 - 2,540 15 32,363 6,067 8,350 20 64,535 10,893 14,569 На рис. 5 показаны изополя вертикальных перемещений, соответствующие толщинам оболочки 10 см и 15 см. а h = 10 см б h = 15см Рис. 5. Изополя вертикальных перемещений: а - при толщине оболочки h = 10 см (w = 379,48 мм), б - при толщине оболочки h = 15см (w = 189,13 мм) На рис. 6, 7 показаны формы потери устойчивости для оболочек с толщи- ной 20 см и 15 см и процентом армирования р = 3%. а Форма 1 (KS=14,247) б Форма 2 (KS=14,546) Рис. 6. Формы потери устойчивости при h = 20 см и p = 3%: a - форма 1, б- форма 2 а Форма 1 (KS=8,313) б Форма 2 (KS=8,341) Рис. 7. Формы потери устойчивости при h = 15 см и p = 3%: a - форма 1, б - форма 2 Основные выводы В результате проведенного исследования были выявлены определенные недостатки линейной постановки задачи, а именно, заниженные значения вертикальных перемещений и, как следствие, завышенные коэффициенты устойчивости. Так, перемещения, полученные в нелинейном расчете, в среднем, в 4 раза превышают соответствующие перемещения линейного расчета. Таким образом, коэффициент устойчивости для оболочки толщиной 20 см по первой форме, равный 63,156 (линейный расчет) уменьшился до 14,247 (нелинейный расчет, p = 3%). В виду этого, неправильная интерпретация результатов расчета может давать ложное представление об избыточной надежности конструкции

Об авторах

МАТЬЕ ЖИЛЬ-УЛБЕ

Российский университет дружбы народов, Москва, Россия

Автор, ответственный за переписку.
Email: gil-oulbem@hotmail.com

Кандидат технических наук, доцент департамента архитектуры и строительства инженерной академии, Российский университет дружбы народов, Москва. Научные интересы: теория тонких упругих оболочек, нелинейная устойчивость оболочек, компьютерное моделирование.

Россия 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.6

АЛЕКСЕЙ СЕМЕНОВИЧ МАРКОВИЧ

Российский университет дружбы народов, Москва, Россия

Email: markovich.rudn@gmail.com

кандидат технических наук, доцент департамента архитектуры и строительства инженерной академии, Российский университет дружбы народов, Москва. Научные интересы: строительная механика, численные методы расчета сооружений, компьютерное моделирование

Россия 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.6

ТЬЕКОЛО ДАУ

Российский университет дружбы народов, Москва, Россия

Email: daout88@gmail.com

кандидат технических наук, старший преподаватель департамента архитектуры и строительства инженерной академии, Российский университет дружбы народов, Москва. Научные интересы: строительная механика, численные методы расчета сооружений, компьютерное моделирование.

117198, Россия, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.6

Список литературы