ON FREE VIBRATION OF A NONHOMOGENEOUS ORTHOTROPIC RECTANGULAR PLATE ON A NONHOMOGENEOUS VISCO-ELASTIC FOUNDATION

Cover Page

Abstract


In the paper, by using approximate analytic methods, the study a problem of vibrations of a nonhomogeneous rectilinear plate and a visco - elastic foundation, the boundary conditions are homogeneous. It is assumed that the modules of elasticity and density of the plate are characteristic functions of three space coordinates, the Poisson ratios are accepted to be constant [1]. The numerical calculation is carried out under specific values of characteristic functions, characterizing the properties of the plate and foundation, and the results are represented in the form of tables and dependence graphs


В последние годы при сооружении крупных инженерных комплексов и многих отраслей машиностроении широко используются пластинки различных конфигураций, изготовленные из естественных и искусственных непрерывно неоднородных материалов. Среди них наиболее распространенными является прямоугольные пластинки. Как известно, причиной появления неоднородности материала может являться технология изготовления, термическая и механическая обработка, неоднородности составов, облучения и.т.п. В результате выше- указанных причин упругие характеристики и плотность пластинки одновременно может, является функциями трех пространственных координат [1-4]. В настоящее время, от инженеров проектировщиков и расчетчиков требует- ся учет реального свойства материала элемента конструкции, режима эксплуатации и влияние внешней среды с которыми они находится в контакте [5-8]. Очевидно, что учет указанных специфических свойств гораздо осложняет математическое ращение задач и анализа полученных результатов, а неучет может привести к существенных погрешностям. В данной работе с применением приближенно аналитических методов исследуется задача свободного колебания неоднородно ортотропной прямоугольной пластинки (краевые условия являются однородными), лежащей на вязко- упругом основании. Реакция основания и прогиб связаны следующим соотношением [4,7,8,9]: . (1) Здесь K1(x,y) и K2(x,y) - характеристики основания, которые определяются с помощью экспериментов, - время. Координатная система выбрана следующим образом. Оси и находят- ся в срединной плоскости, a ось Z - перпендикулярна к ним. Предполагается, что модули упругости (E1, E2), сдвига G и плотность ? за- висят от пространственных координат x, y, z, а коэффициенты Пуассона явля- ются постоянными величинами [1,3]: (2) Здесь со своими производными до второго порядка является не- прерывной функцией. Связь между напряжениями и деформацией в произвольном слое пластинки записывается в следующем виде [1,9]: (3) Здесь соответствуют однородной ортотропной пла- стинке. Принимается, что и для непрерывно неоднородно ортотропной пластинки гипотеза Кирхофа - Лява остаются в силе и имеет место: (4) где - малые деформации - кривизны и кручение срединной поверхности, компоненты вектора перемещений связаны следующим образом: (5) Так как в плоскости пластинки внешние силы отсутствуют, то естественно предположить, что результирующие силы всюду равны нулю: (6) Подставляя значение в (6) с учетом (4) находим: (7) Здесь (8) Нетрудно установить, что изгибающие моменты с прогибом связаны сле- дующими соотношениями: (9) Здесь соответствуют однородному ортотропному случаю. Уравнение движения в данном случае записывается в следующем виде: (10) Здесь принято: ; - жесткости однородной ортотропной пластинки при изгибе. Подставляя значения и из (9) в уравнение (10) получим следующее уравнение: (11) где Как видно, уравнение движения (12) является сложным и нахождение точ- ного решения затруднительно или же при произвольных значениях функции и не возможен. Поэтому учитывая, что уравнение (10) является линейным, можно использовать комбинированный способ приближенно аналитического метода решения: в первом этапе метод разделения переменных, во втором этапе метод ортогонализации Бубнов Галеркина. В первом этапе решение (10) будем искать в виде: (13) Здесь должно удовлетворять однородным краевым условиям, - частота. Поставляя (13) в уравнение (12) получим: (14) Уравнение (14) будем решать с использованием метода Бубнова - Галерки- на [10], причем представим в виде: (15) где - неизвестные постоянные и каждый должны удовлетворять соответствующим краевым условиям. Функция ошибки записывается в следующим образом. (16) Условия ортогонализации имеют следующий вид: (17) Значения определяется из системы линейных однородных алгебраических уравнений (17). Для существования нетривиального решения главный определитель системы, составленный из коэффициентов должен равняться нулю: (18) Уравнения (18) является нелинейным алгебраическим уравнением и нахождение не вызывает особого труда. Однако в инженерной практике ограничиваются первым приближением. В этом случае определяется из следующего уравнения: (19) (20) Для простаты анализа рассмотрим случай цилиндрической формы колебания, который возможен в случае длинной пластинки . В этом случае имеет место: (21) В качестве примера рассмотрим случай шарнирного закрепления и функцию аппроксимации примем в виде: Анализ приведем для следующих значений характерных функций: (22) Для первого случая, после элементарных преобразований получим: (23) где Здесь и - характеристики однородного вязко - упругого основания. Результаты расчета для случаев 1 и 2 представлены в виде графиков зависимостей между частотами и характерными параметрами. Таблица 1 Таблица 2 0 1 1 0.3 0.87 0.665 0.5 0.8 0.544 0.7 0.741 0.46 0.9 0.69 0.399 Таблица 3 0 1 1 0.25 0.889 0.705 0.5 0.8 0.544 0.75 0.727 0.443 1 0.667 0.374 Как видно из таблиц и рисунков 1-3, неоднородность, ортотропность пластинки и основания существенно влияет на величину частоты.

VAGIF OGLY HACIYEV

Institute Mathematics and Mechanics of NASA, Baku, Azerbaijan

Author for correspondence.
Email: vagif.haciyev.imm@gmail.com
9, г. Баку, Азербайджан, АZ1143

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department, Department of Theory of Elasticity and Plasticity

GULNAR ROVSHAN MIRZAYEVA

Institute Mathematics and Mechanics of NASA, Baku, Azerbaijan

Email: vagif.haciyev.imm@gmail.com
9, г. Баку, Азербайджан, АZ1143

PhD of mechanic, Senior Researcher

AZIZ INTIZAR SHIRIEV

Institute Mathematics and Mechanics of NASA, Baku, Azerbaijan

Email: vagif.haciyev.imm@gmail.com
9, г. Баку, Азербайджан, АZ1143

  • Lomakin, V.A. (1977). Theory of Elasticity of Inhomogeneous Bodies. Moscow: MSU. 376 (in Russian).
  • Kravchuk, A.S., Mayboroda,, V.P., Urjumtzev, Yu.S. (1985). Mechanics of Polymer and Compo-site Materials. Moscow: MSU. 303 (in Russian).
  • Kolchin, A.S., Favarion, E.A. (1977). Theory of Elasticity of Inhomogeneous Bodies. Chisinau. 146 (in Russian).
  • Gadjiev, V.C., Agamalyev, N.C., Mirzoeva, B.D. (2009). Stability of continuously nonhomoge-neous orthotropic rectangular plate under in plane compressions. International Simposium on Engi-neering and Architectural Sciences of Balkan, Caucasus and Turk Republics, 2009, Turkey. 74—78.
  • Carnet, H., Lielly, A. (1969). Free vibrations of reinforced elastic shells. Journal of Applied Me-chanics, vol. 36, № 4, pp. 835-844, doi: 101115/ 1.3564.779.
  • Sofiyev, A.H., Schack, E., Haciyev, V.C., Kurdoglu, N. Effect of the two-parameter elastic foundation on the critical parameters of nonhomogeneous orthotropic shells. International Journal of Structural Stability and Dynamics, Vol.12, №5 (2012), 1250041 (24 p.)
  • Bajenov V.A. (1975). The benching of the Cylindrical Shells in Elastic Medium. Kiev, Visha shkola, 168 p. (in Russian).
  • Rzhanitsyn, A.R. (1982). Structural Mechanics [Stroitel’naya Mehanika]. Moscow. 399 (in Russian).
  • Lekhnitsky, S.G. (1977). The Theory of Anisotropic Plates [Teoriya Anizotropnyh Plastin]. Moscow, 445 p. (in Russian).
  • Svirskiy I.V. (1966). Methods of Bubnov - Galerkin Type and Successive Approximations. Moscow: Nauka, 199 p. (in Russian).

Views

Abstract - 1183

PDF (Russian) - 72


Copyright (c) 2017 HACIYEV V.O., MIRZAYEVA G.R., SHIRIEV A.I.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.