О СВОБОДНОМ КОЛЕБАНИИ НЕПРЕРЫВНО НЕОДНОРОДНО ОРТОТРОПНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ, ЛЕЖАЩЕЙ НА НЕОДНОРОДНО ВЯЗКОУПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Полный текст

В последние годы при сооружении крупных инженерных комплексов и многих отраслей машиностроении широко используются пластинки различных конфигураций, изготовленные из естественных и искусственных непрерывно неоднородных материалов. Среди них наиболее распространенными является прямоугольные пластинки. Как известно, причиной появления неоднородности материала может являться технология изготовления, термическая и механическая обработка, неоднородности составов, облучения и.т.п. В результате выше- указанных причин упругие характеристики и плотность пластинки одновременно может, является функциями трех пространственных координат [1-4]. В настоящее время, от инженеров проектировщиков и расчетчиков требует- ся учет реального свойства материала элемента конструкции, режима эксплуатации и влияние внешней среды с которыми они находится в контакте [5-8]. Очевидно, что учет указанных специфических свойств гораздо осложняет математическое ращение задач и анализа полученных результатов, а неучет может привести к существенных погрешностям. В данной работе с применением приближенно аналитических методов исследуется задача свободного колебания неоднородно ортотропной прямоугольной пластинки (краевые условия являются однородными), лежащей на вязко- упругом основании. Реакция основания и прогиб связаны следующим соотношением [4, 7, 8, 9]: . (1) Здесь K1(x,y) и K2(x,y) - характеристики основания, которые определяются с помощью экспериментов, - время. Координатная система выбрана следующим образом. Оси и находят- ся в срединной плоскости, a ось Z - перпендикулярна к ним. Предполагается, что модули упругости (E1, E2), сдвига G и плотность ? за- висят от пространственных координат x, y, z, а коэффициенты Пуассона явля- ются постоянными величинами [1, 3]: (2) Здесь со своими производными до второго порядка является не- прерывной функцией. Связь между напряжениями и деформацией в произвольном слое пластинки записывается в следующем виде [1, 9]: (3) Здесь соответствуют однородной ортотропной пла- стинке. Принимается, что и для непрерывно неоднородно ортотропной пластинки гипотеза Кирхофа - Лява остаются в силе и имеет место: (4) где - малые деформации - кривизны и кручение срединной поверхности, компоненты вектора перемещений связаны следующим образом: (5) Так как в плоскости пластинки внешние силы отсутствуют, то естественно предположить, что результирующие силы всюду равны нулю: (6) Подставляя значение в (6) с учетом (4) находим: (7) Здесь (8) Нетрудно установить, что изгибающие моменты с прогибом связаны сле- дующими соотношениями: (9) Здесь соответствуют однородному ортотропному случаю. Уравнение движения в данном случае записывается в следующем виде: (10) Здесь принято: ; - жесткости однородной ортотропной пластинки при изгибе. Подставляя значения и из (9) в уравнение (10) получим следующее уравнение: (11) где Как видно, уравнение движения (12) является сложным и нахождение точ- ного решения затруднительно или же при произвольных значениях функции и не возможен. Поэтому учитывая, что уравнение (10) является линейным, можно использовать комбинированный способ приближенно аналитического метода решения: в первом этапе метод разделения переменных, во втором этапе метод ортогонализации Бубнов Галеркина. В первом этапе решение (10) будем искать в виде: (13) Здесь должно удовлетворять однородным краевым условиям, - частота. Поставляя (13) в уравнение (12) получим: (14) Уравнение (14) будем решать с использованием метода Бубнова - Галерки- на [10], причем представим в виде: (15) где - неизвестные постоянные и каждый должны удовлетворять соответствующим краевым условиям. Функция ошибки записывается в следующим образом. (16) Условия ортогонализации имеют следующий вид: (17) Значения определяется из системы линейных однородных алгебраических уравнений (17). Для существования нетривиального решения главный определитель системы, составленный из коэффициентов должен равняться нулю: (18) Уравнения (18) является нелинейным алгебраическим уравнением и нахождение не вызывает особого труда. Однако в инженерной практике ограничиваются первым приближением. В этом случае определяется из следующего уравнения: (19) (20) Для простаты анализа рассмотрим случай цилиндрической формы колебания, который возможен в случае длинной пластинки . В этом случае имеет место: (21) В качестве примера рассмотрим случай шарнирного закрепления и функцию аппроксимации примем в виде: Анализ приведем для следующих значений характерных функций: (22) Для первого случая, после элементарных преобразований получим: (23) где Здесь и - характеристики однородного вязко - упругого основания. Результаты расчета для случаев 1 и 2 представлены в виде графиков зависимостей между частотами и характерными параметрами. Таблица 1 Таблица 2 0 1 1 0.3 0.87 0.665 0.5 0.8 0.544 0.7 0.741 0.46 0.9 0.69 0.399 Таблица 3 0 1 1 0.25 0.889 0.705 0.5 0.8 0.544 0.75 0.727 0.443 1 0.667 0.374 Как видно из таблиц и рисунков 1-3, неоднородность, ортотропность пластинки и основания существенно влияет на величину частоты.

Об авторах

ВАГИФ ОГЛЫ ГАДЖИЕВ

Институт математики и механики, Национальная академия наук Азербайджана

Автор, ответственный за переписку.
Email: vagif.haciyev.imm@gmail.com

ГАДЖИЕВ ВАГИФ ДЖАМАЛ ОГЛЫ - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом, Отдел теории упругости и пластичности, Институт математики и механики, Национальная академия наук Азербайджана. Научные интересы: теория упругости и пластичности.

9, г. Баку, Азербайджан, АZ1143

ГЛЮНАР КЫЗЫ МИРЗОЕВА

Институт математики и механики, Национальная академия наук Азербайджана

Email: vagif.haciyev.imm@gmail.com

доктор философии по механике, старший научный сотрудник, Отдел теории упругости и пластичности, Институт математики и механики, Национальная академия наук Азербайджана. Научные интересы: теория упругости и пластичности.

9, г. Баку, Азербайджан, АZ1143

АЗИЗ ОГЛЫ ШИРИЕВ

Институт математики и механики, Национальная академия наук Азербайджана

Email: vagif.haciyev.imm@gmail.com
9, г. Баку, Азербайджан, АZ1143

Список литературы