TWO TYPES OF GOVERNING EQUATIONS FOR SHELLS WITH THE MIDDLE SURFACES GIVEN IN ARBITRARY CURVILINEAR COORDINATES

Cover Page

Abstract


Having taken curvilinear coordinates on the middle surface of shells in the lines of principle curvatures, we can determine the simplest system of 17 governing equations of the linear theory of shells. But sometimes, the problem of analytical determination of the equation of the middle surface in lines of principle curvatures is very difficult task and that is why it is necessary to use the system of 20 governing equations, derived by A.L. Goldenweiser for an arbitrary system of curvilinear coordinates with taking into account the condition of decomposition of the vectors of internal forces and moments and external surface load along the axes of the basic non-orthogonal moving trihedral. Later, the system of 20 governing equations, derived by the author, was published. These equations contain internal force factors and external surface load decomposed along the axes of the basic orthogonal moving trihedral. His paper shows that these both systems of governing equation can transform one into other with the help of the equations of translation, i.e. the both systems of governing equations are equivalent.


Введение Приступая к расчету конструкции типа оболочки, первое, с чем приходится сталкиваться, - это выбор системы координат. Среди множества произвольных криволинейных координат u, v имеются некоторые, обладающие важными свойствами. К их числу относятся сети сопряженных линий (М = 0), сети орто- гональных линий (F = 0), сеть линий главных кривизн (F = 0, М = 0). Естествен- но, что уравнения теории оболочек получаются наиболее простыми, если в ка- честве координатных линий на срединной поверхности принята сеть линий главных кривизн, однако аналитически не всегда легко бывает найти линии кривизны данной поверхности. Гипотезы линейной теории тонких оболочек позволяют свести трехмерную задачу теории упругости к двумерной. Под расчетными уравнениями моментной теории тонких оболочек будем подразумевать полную систему уравнений теории оболочек, которая включает в себя дифференциальные уравнения равновесия, геометрические уравнения (формулы «деформации - смещения») и физические уравнения (уравнения за- кона Гука, или уравнения состояния). В 1953 году А.Л. Гольденвейзер в своей монографии [1] привел расчетные уравнения для тонких оболочек, срединная поверхность которых задана в про- извольной системе криволинейных координат u, v. Его 20 расчетных уравнений включают в себя 6 уравнений равновесия: (1) 6 геометрических уравнений [1, 2] и восемь формул (физические уравнения), связывающих между собой «псевдоусилия» ( ), «псев- домоменты» ( ) и компоненты тангенциальной и изгибной деформаций ( ): (2) В уравнениях равновесия (1) и в геометрических уравнениях [1] содержатся символы Кристоффеля . Векторы внутренних усилий и моментов, а также внешних поверхностных сил X*, Y*, Z* раскладываются по осям основного три- едра ru /A, rv /B, n поверхности r = r(u,v). Положительные направления усилий и моментов показаны на рис. 1. В уравнениях равновесия (1) встречаются также обозначения: (3) ? - угол между координатными линиями u, v, для определения которого имеем формулу: ; (4) где - радиусы кривизны нормальных сечений поверхности, проведенных вдоль соответствующих координатных линий. Таким образом А.Л. Гольденвейзер [1] ввел в обращение 20 расчетных уравнений для определения 19 двумерных параметров: и uu, uv, uz - компоненты смещения. В 1977 году С.Н. Кривошапко [2, 3] предложил другой вариант составле- ния системы расчетных уравнений для расчета тонких оболочек, заданных в произвольных криволинейных координатах ( ): 6 уравнений равновесия (рис. 2): (5) 6 геометрических уравнений [1, 2] и восемь формул (физические уравнения), связывающих между собой внутренние усилия (Nu, Nv, Su, Sv, Qu, Qv,), моменты (Mu, Mv, Muv, Mvu) и компоненты тангенциальной и изгибной деформаций ( ): , Mvu = (?vu - ?ucos?), Muv = (?vu - ?vcos?), (6) Получилось 20 расчетных уравнений для определения 19 двумерных пара- метров. Дифференциальные уравнения равновесия (5) отличаются от уравнений равновесия А.Л. Гольденвейзера (1), так как уравнения (1) включают в себя «псевдоусилия» (рис. 1, векторы со звездочками) вместо усилий, общепринятых в инженерной практике (рис. 2, векторы без звездочек). Преобразованные уравнения равновесия А.Л. Гольденвейзера, не содер- жащие символы Кристоффеля Подставим значения символов Кристоффеля , взятые из монографии [1], в уравнения равновесия (1). После некоторых преобразований получим: (7) Уравнения равновесия (1), записанные в форме (7), более привычны для восприятия инженером. Формулы, связывающие внутренние усилия и моменты с внутренними «псевдоусилиями» и «псевдомоментами» Между силовыми факторами, входящими в формулы (5) и «псевдоусилия- ми», входящими в формулы (7), существуют отношения (рис. 3): В формулах (5): и так как а в уравнениях (1) и (7), согласно физическим уравнениям (2), имеем даже если Переход от уравнений равновесия (5) к уравнениям равновесия (7) Подставляя значения усилий и моментов (8), общепринятые в инженерной практике, а также Z = -Z* в уравнения равновесия (5), после довольно сложных преобразований получаем: (9) Сравнивая системы уравнений (7) и (9), замечаем, что в первом уравнении системы (9) отсутствует слагаемое ABQv/Ruv, во втором уравнении системы (9) отсутствует слагаемое ABQu/Ruv. Если используется сопряженная система кри- волинейных координат, то М = 0, следовательно, 1/Ruv = 0, и это различие не играет роли. Кроме того в четвертом уравнении равновесия системы (9) перед поперечной силой стоит знак (-), а в соответствующем уравнении А.Л. Голь- денвейзера (7) стоит знак (+). Второе уравнение равновесия системы (9) получено сложением 2-го урав- нения равновесия системы (5) после подстановки в него значений (8) и умноже- ния его на sin? c 1-ым уравнением равновесия системы (9) после умножения последнего на cos?. Аналогично, пятое уравнение равновесия системы (9) получено сложением 5-го уравнения равновесия системы (5) после подстановки в него значений (8) и умножения его на sin? c 4-м уравнением равновесия системы (9) после умно- жения последнего на cos?. И наконец, последнее уравнение системы (9) отличается от аналогичного уравнения системы (7) отсутствием слагаемого . Если использу- ется сопряженная система криволинейных координат, то М = 0, следовательно, 1/Ruv = 0, и это различие не играет роли. Геометрические уравнения Геометрические уравнения для оболочки в произвольной криволинейной системе координат u, v были получены А.Л. Гольденвейзером [1]. Их можно применять в обоих рассмотренных случаях (рис. 1, 2). Только необходимо пом- нить, что перемещения uz направлено в сторону, обратную единичному вектору n, т.е. применяется следующее разложение: После подстановки значений символов Кристоффеля в первую тройку гео- метрических уравнений, они принимают вид: (10) Далее необходимо подставить символы Кристоффеля в оставшиеся три уравнения для определения изменения кривизн ?u и ?v и кручения ?uv. Например, для пологих оболочек эти формулы принимают вид: (11) Для непологих оболочек формулы для ?u, ?v, ?uv будут намного сложнее. Заключение Если требуется рассчитать тонкую оболочку со срединной поверхностью, заданной в косоугольных криволинейных сопряженных координатах, то можно использовать систему 20 расчетных уравнений А.Л. Гольденвейзера, включаю- щих в себя уравнения (7), (10) и (2) или систему 20 расчетных уравнений, пред- ложенных автором, включающих в себя уравнения (5), (10) и (6). Отметим также, что уравнения (1), (10) и (2) были применены для расчета прямых длинных геликоидов [4], а уравнения (5), (10), (6) - для расчета длин- ных торсов-геликоидов [5]. Помимо рассмотренных двух вариантов представления расчетных уравне- ний линейной теории тонких оболочек, в литературе представлены нелинейные уравнения теории тонких оболочек в косоугольных координатах [6]. Статиче- ская задача теории упругости в криволинейной неортогональной системе координат изучается в работе [7]. А Р.А. Римский [8] исследовал напряжен- но-деформированное состояние поперечно нагруженной пластинки в форме па- раллелограмма, отнесенной к косоугольной системе координат.

S N Krivoshapko

RUDN University, Moscow, Russia

Author for correspondence.
Email: sn_krivoshapko@mail.ru
117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

д.т.н., профессор

  • Goldenweiser, A.L. (1953). Theory of Elastic Thin Shells, Мoscow: GTTI. 544 p. (in Russian).
  • Ivanov, V.N., Krivoshapko, S.N. (2010). Analytical Methods of Analysis of Shells of Complex Form: Monograph, Moscow: Izd-vo RUDN. 542 p. (in Russian).
  • Rekach, V.G., Krivoshapko, S.N. (1977). On the problem of analysis of elastic thin shells given in non-orthogonal curvilinear coordinates. Raschet Obolochek Stroitel’nyh Konstruktziy: Sb. statey, Moscow: UDN. P. 3—14 (in Russian).
  • Rynkovskaya, M.I. (2015). On the problem of strength analysis of thin ruled helical shells. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. № 6. P. 13—15(in Russian).
  • Bajoriya, G.Ch. (1985). An analysis of a long developable open helicoid with using of a moment theory in displacements. Stroitel’naya Mechanika i Raschet Soorujeniy. № 3. P. 22—24 (in Russian).
  • Shevelev, L.P., Isaev, B.V. (1988). Non-linear equations of a theory of thin shells given in arbitrary coordinates, Zavod VTUZ pti PO turbostr. Leningrad. metal. z-da, 25 p., Dep. v VINITI 24.10.88. № 7604-В88 (in Russian).
  • Konovalov, A.N. (1995). Numerical methods in static problems of theory of elasticity. Siberian Mathematical Journal. 36: 3. 491—505 (in Russian).
  • Rimskiy, R.A. (1970). Issledovaniya Kosougol’nyh Plastin Metodom Kantorovicha – Vlasova. Issledovaniya po Teorii Soorujeniy. Moscow: Stroyizdat. 64—68 (in Russian).

Views

Abstract - 104

PDF (Russian) - 187


Copyright (c) 2017 КРИВОШАПКО С.Н.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.