OSCILLATION OF A HOMOGENEOUS DIFFERENT MODULUS BAR LYING ON TWO CONSTANT FOUNDATION

Cover Page

Abstract


In the paper, a problem of natural vibration of a bar inhomogeneous in thickness and length made of different modulus material and lying on two Pasternak -type foundation is considered. The equation of motion is the fourth order complex partial differential equation. The solu- tion of the problem is constructed by means of method of operation of variables and of the Bubnov - Galerkin orthogonalization method. At specific values of characteristic parameters, the calculation in conducted and the results are represented in the form of tables and graphs of dependence between annular frequency and inhomogeneity parameters The results of calcula- tions show that account of inhomogeneity of elasticity modulus density and also mediums resistance essentially influences' on the value of annular frequency.

В работе исследуется задача свободного поперечного колебания стержня прямоугольного поперечного сечения, изготовленного из разномодульного не- однородного материала, лежащего на двухконстантном основании Пастернака [1]. Решение задачи осуществляется путем применения метода разделения пе- ременных Бубнова- Галеркина. В первом приближении найдена формула для определения значения круговой частоты. При конкретных значениях характер- ных параметров проведен численный анализ, и результаты представлены в виде таблиц и графиков. Как известно, в строительстве современных инженерных сооружений, в машиностроении и во многих других отраслях широко используются конструк- ции из неоднородного разномодульного материала. Сюда можно отнести, в ос- новном, композитные неоднородные материалы, наполненные полимерами [1,6]. Предполагается, что модуль упругости соответственно при растяжении и сжатии и плотность являются непрерывными функциями координат длины х и высоты z: (1) Здесь соответствуют однородному изотропному материалу, со своими производными до второго порядка и являются непре- рывными функциями. Отметим, что специфическим фактором в данном случае является то, что граница растянутых и сжатых областей существенным образом зависит от функции Распределение напряжений по сечению определяется с использованием следующих соотношений: (2) Предполагается, что уравнение нейтральной линии определяется следую- щим соотношениям: , (3) где и значения деформации и кривизны центральной лини, граница нейтральной линии. Сюда необходимо добавить условие отсутствия и уравнение момента: , (4) . (5) Здесь и размеры растянутых и сжатых зон. Учитывая формулы (1) и (4), получим , ; отсюда находим: . (6) Теперь определим изгибающий момент: , (7) или же . Подставляя сюда выражение (6), получим: , где, как уже указывалось ранее, и размеры по высоте растянутых и сжа- тых зон. С учетом (7) и сопротивления двухконстантного основания уравнение движения записывается в следующем виде: . (8) Здесь и характеристики основания, определяемые с помощью экс- периментов. Приняты следующие обозначения: Уравнение (8) можно записать в следующем виде: . (9) Как видно, уравнение (9) является сложным и поэтому при решении сле- дует применить приближенные аналитические методы. В данном случае будут использованы методы, которые являются эффективными и апробированными, а именно, метод разделения переменных и метод Бубнова - Галеркина. В первом случае решение будем искать в следующем виде: , (10) где должно удовлетворять краевым условиям, круговая частота. Под- ставляя (10) в (9), получим: ( 11) Решение уравнения (11) будем искать с помощью метода Бубнова- Галер- кина, а функцию примем в следующем виде: . (12) Здесь неизвестные постоянные и каждый член ряда должен удовлетворять соответствующим краевым условиям. Функция ошибки в данном случае записывается в следующем виде: . (13) Условие ортогонализации в данном случае имеет вид: (14) В произвольном приближении определяется из системы уравнений (14). Эта система относительно является линейно однородным уравнением. Для существования нетривиального решения главный определитель данной системы должен обращаться в нуль: . (15) При раскрытии (15) получается алгебраическое уравнение п-ой степени относительно . Хотя при помощи современной компьютерной техники опре- деление при любом приближении не вызывает особого труда, будем опреде- лять основной тон частоты. Это соответствует первому приближению: , (16) . (17) Отсюда находим: . (18) В случае если стержень является неоднородным только по модулю упруго- сти и формула (18) принимает следующий вид: . (19) Из выражений (18) и (19) получим следующие соотношения: . (20) Для анализа рассмотрим случай: . (21) Здесь С учетом (21) формула (20) принимает следующий вид: (22) Для простоты анализа примем следующие обозначения: тогда формула (22) записывается в следующем виде: . Отсюда получим: т.е: Продолжая анализ результата, примем что сопротивление внешней среды отсутствует. Тогда формула (18) принимает следующий вид: . (23) Из формул (18) и (23) можно получить следующее соотношение: . (24) Учитывая (21), получим: , . (25) Расчет можно провести и для случаев: . (26) Результаты проведенных численных расчетов, представлены в виде таблиц и графика: Таблица 1 Таблица 2 ? b1 b2 ? ; 0 0,5 0,25 0,8 0,25 0,445 0,219 0,25 0,802 0,50 0,402 0,196 0,50 0,804 0,75 0,367 0,177 0,75 0,805 Рис. 1. График зависимости безразмерной частоты от параметра неоднородности

Natig S Rzayev

Institute of Mathematics and Mechanics of NAS of Azerbaijan

Email: natiq.rzayev.1984@list.ru
AZ1141, 9, B. Vahabzade str., Baku, Azerbaijan

Views

Abstract - 1046

PDF (Russian) - 30


Copyright (c) 2016 РЗАЕВ Н.С.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.