СВОБОДНОЕ КОЛЕБАНИЕ НЕОДНОРОДНОГО РАЗНОМОДУЛЬНОГО СТЕРЖНЯ, ЛЕЖАЩЕГО НА ДВУХКОНСТАНТНОМ ОСНОВАНИИ

Полный текст

В работе исследуется задача свободного поперечного колебания стержня прямоугольного поперечного сечения, изготовленного из разномодульного не- однородного материала, лежащего на двухконстантном основании Пастернака [1]. Решение задачи осуществляется путем применения метода разделения пе- ременных Бубнова- Галеркина. В первом приближении найдена формула для определения значения круговой частоты. При конкретных значениях характер- ных параметров проведен численный анализ, и результаты представлены в виде таблиц и графиков. Как известно, в строительстве современных инженерных сооружений, в машиностроении и во многих других отраслях широко используются конструк- ции из неоднородного разномодульного материала. Сюда можно отнести, в ос- новном, композитные неоднородные материалы, наполненные полимерами [1, 6]. Предполагается, что модуль упругости соответственно при растяжении и сжатии и плотность являются непрерывными функциями координат длины х и высоты z: (1) Здесь соответствуют однородному изотропному материалу, со своими производными до второго порядка и являются непре- рывными функциями. Отметим, что специфическим фактором в данном случае является то, что граница растянутых и сжатых областей существенным образом зависит от функции Распределение напряжений по сечению определяется с использованием следующих соотношений: (2) Предполагается, что уравнение нейтральной линии определяется следую- щим соотношениям: , (3) где и значения деформации и кривизны центральной лини, граница нейтральной линии. Сюда необходимо добавить условие отсутствия и уравнение момента: , (4) . (5) Здесь и размеры растянутых и сжатых зон. Учитывая формулы (1) и (4), получим , ; отсюда находим: . (6) Теперь определим изгибающий момент: , (7) или же . Подставляя сюда выражение (6), получим: , где, как уже указывалось ранее, и размеры по высоте растянутых и сжа- тых зон. С учетом (7) и сопротивления двухконстантного основания уравнение движения записывается в следующем виде: . (8) Здесь и характеристики основания, определяемые с помощью экс- периментов. Приняты следующие обозначения: Уравнение (8) можно записать в следующем виде: . (9) Как видно, уравнение (9) является сложным и поэтому при решении сле- дует применить приближенные аналитические методы. В данном случае будут использованы методы, которые являются эффективными и апробированными, а именно, метод разделения переменных и метод Бубнова - Галеркина. В первом случае решение будем искать в следующем виде: , (10) где должно удовлетворять краевым условиям, круговая частота. Под- ставляя (10) в (9), получим: ( 11) Решение уравнения (11) будем искать с помощью метода Бубнова- Галер- кина, а функцию примем в следующем виде: . (12) Здесь неизвестные постоянные и каждый член ряда должен удовлетворять соответствующим краевым условиям. Функция ошибки в данном случае записывается в следующем виде: . (13) Условие ортогонализации в данном случае имеет вид: (14) В произвольном приближении определяется из системы уравнений (14). Эта система относительно является линейно однородным уравнением. Для существования нетривиального решения главный определитель данной системы должен обращаться в нуль: . (15) При раскрытии (15) получается алгебраическое уравнение п-ой степени относительно . Хотя при помощи современной компьютерной техники опре- деление при любом приближении не вызывает особого труда, будем опреде- лять основной тон частоты. Это соответствует первому приближению: , (16) . (17) Отсюда находим: . (18) В случае если стержень является неоднородным только по модулю упруго- сти и формула (18) принимает следующий вид: . (19) Из выражений (18) и (19) получим следующие соотношения: . (20) Для анализа рассмотрим случай: . (21) Здесь С учетом (21) формула (20) принимает следующий вид: (22) Для простоты анализа примем следующие обозначения: тогда формула (22) записывается в следующем виде: . Отсюда получим: т.е: Продолжая анализ результата, примем что сопротивление внешней среды отсутствует. Тогда формула (18) принимает следующий вид: . (23) Из формул (18) и (23) можно получить следующее соотношение: . (24) Учитывая (21), получим: , . (25) Расчет можно провести и для случаев: . (26) Результаты проведенных численных расчетов, представлены в виде таблиц и графика: Таблица 1 Таблица 2 ? b1 b2 ? ; 0 0,5 0,25 0,8 0,25 0,445 0,219 0,25 0,802 0,50 0,402 0,196 0,50 0,804 0,75 0,367 0,177 0,75 0,805 Рис. 1. График зависимости безразмерной частоты от параметра неоднородности

Об авторах

НАТИК САМАНДАР РЗАЕВ

Институт Математики и Механики НАН Азербайджана

Email: natiq.rzayev.1984@list.ru
ул. Б Вагабзаде 9, Баку, AZ 1141, Азербайджан

Список литературы