CALCULATION OF REINFORCED CONCRETE BEAM RELIABILITY ON THE CRACK LENGTH CRITERION

Cover Page

Abstract


The article describes the methods of calculation of reinforced concrete beams reliability at operation stage by the concrete crack length criterion. The offered methods differ in the fullness of statistical data about controlling parameters in mathematical design model. The numerical examples of reliability calculation are given. The article also illustrates the applica- tion of evidence theory for evaluation of mathematical expected value of reliability in the presence of statistical information in the form of a subset of intervals.

Железобетонные балки являются несущими элементами конструкций мно- гих зданий и сооружений в виде балок покрытия, перекрытия, подкрановых ба- лок и т.д. Безопасная эксплуатация несущих конструкций, в том числе железо- бетонных балок, должна отвечать требованиям новых стандартов РФ, постро- енных на основе Закона №384-ФЗ «Технический регламент о безопасности зда- ний и сооружений», вступившему в силу с 2010 г. Закон предписывает устанав- ливать количественную оценку механической (конструкционной) безопасности строительных конструкций. Одним из важнейших параметров механической (конструкционной) безопасности является надежность. По Межгосударствен- ному стандарту ГОСТ 27751-2014 «Надежность строительных конструкций и оснований» под термином «надежность» понимается свойство строительного объекта выполнять требуемые функции в течение расчетного срока эксплуата- ции. В качестве меры надежности принята вероятность безотказной работы не- сущего элемента или системы элементов (в понятиях теории надежности) по тому или иному критерию работоспособности. При расчетах надежности стан- дартом ГОСТ 27751-2014 рекомендовано применять вероятностно- статистиче- ские методы, при наличии достаточного количества данных об изменчивости контролируемых параметров в случае, если количество (длина ряда) данных позволяет производить их статистический анализ. Однако не всегда удается по- лучить достаточное количество статистических данных для выявления функций распределения и их параметров для описания случайных величин, поэтому в теории надежности в последнее время получили развитие новые подходы к рас- четам надежности и несущей способности [1, 2, 3, 4 и др.]. Повышенное внима- ние к разработке нормативных документов и развитию методов расчета надеж- ности строительных конструкций вызвано строительством объектов повышен- ной ответственности и участившимися авариями и разрушениями, вызванными различными причинами. Так в [5] приведена информация о том, что по данным статистической отчетности Минстроя России на 2013 г., в целом по стране средний срок службы существующих строительных конструкций превышает нормативный срок более чем в 2 раза, а также указано на отсутствие методов определения остаточной несущей способности для многих видов несущих кон- струкций. В.Д. Райзер в работе [6] приводит недостатки существующих методов расчета по предельным состояниям. Пирадов К.А. и Савицкий Н.В. в работе [7], а ранее Зайцев Ю.В. в [8], также указали на ряд недостатков в методах расчетов по предельным состояниям и обоснованный переход к расчетам методами тео- рии механики разрушения строительных конструкций. Действительно, в железобетонных конструкциях под нагрузкой нередко возникают трещины, которые приводят к снижению несущей способности по всем критериям работоспособности и надежности. Нормативные документы по расчету железобетонных конструкций, в частности СП 63.13330.2012 «Бетон- ные и железобетонные конструкции», учитывают влияние трещин на работо- способность несущих элементов, ограничивая ширину раскрытия трещин. Од- нако, даже при небольшой ширине раскрытия трещины, признаком опасного состояния железобетонной конструкции может является длина трещины [7, 8, 9]. Трещины уменьшают высоту сжатой зоны бетона балки, что приводит к уве- личению напряжения в бетоне сжатой зоны балки, к возрастанию усилий в ар- матуре, к снижению несущей способности в целом, и даже к разрушению балки. В качестве критерия несущей способности, и тем более надежности, ограниче- ния на длину трещины в СП 63.13330.2012 не предусмотрено. В СП 63.13330.2012 отмечено, что «расчет бетонных и железобетонных конструкций можно производить по заданному значению надежности на основе полного ве- роятностного расчета при наличии достаточных данных об изменчивости ос- новных факторов, входящих в расчетные зависимости». Оценка надежности железобетонной балки по критерию длины трещины с использованием методов механики разрушения рассмотрена в работе [4], где расчет надежности построен на использовании функций распределения случай- ных величин, полученных на основе неравенства Чебышева [10], с параметра- ми функций распределения в виде средних значений и средних квадратических отклонений. Для нахождения этих параметров, а также обоснования выбранно- го распределения, требуется провести сравнительно большое число испытаний, что связано с определенными затратами времени и денежных средств, а в неко- торых случаях невозможно проведения необходимого числа испытаний по тех- ническим причинами и по причине безопасности. Методы определения надеж- ности железобетонных элементов при наличии нормальных и наклонных тре- щин предложены в работах [11, 12]. Однако в этих работах в качестве контро- лируемого параметра принята ширина раскрытия трещин. В данной статье предлагается рассмотреть метод расчета надежности желе- зобетонной балки в зависимости от длины трещины. Надежность железобетон- ной балки с трещиной или системой трещин в растянутой зоне бетона балки будем определять, используя математическую расчетную модель предельного состояния вида: (1) где - обобщенная эксплуатационная нагрузка на балке, включая собствен- ный вес, в виде эквивалентной по воздействию сосредоточенной силы. Напри- мер, для однопролетной балки с шарнирным опиранием и равномерно распре- деленной нагрузкой для середины пролета имеем . Пре- дельная нагрузка , определенная по условию ограничения длины трещи- ны, находится через , значение которого определяется либо теоретически, либо экспериментально-теоретическими методами по [13] при отсутствии тре- щин. В работах [14, 15, 16] приводятся методы определения Fэкс на стадии экс- плуатации конструкций. Определение для железобетонных балок с уче- том длины трещины на стадии эксплуатации балки представляет определенные методические и практические проблемы. В связи с этим рассмотрим решение этой проблемы, используя наработки в теории механики разрушений. Из меха- ники разрушения [2, 3, 10 и др.] известно, что при длине трещины, равной кри- тической происходит спонтанное разрушение конструкции, и следова- тельно при такой длине трещины . По [17] критическая длина трещины в железобетонных балках (при одной или нескольких трещинах) принимается равной 0,3h0, где h0 - рабочая высота сечения балки. При такой длине развитие трещины сменяется с поперечного на продольное с выколом части бетона бал- ки, что приводит к резкому снижению несущей способности и разрушению балки. В дальнейшем значение длины трещины, равной 0,3h0, будем считать критической длиной трещины , а предельную нагрузку, соответст- вующую этой длине трещины считать равной нулю . При отсутствии трещин в бетоне балки ( ), значение предельной нагрузки по крите- рию наименьшей прочности бетона или арматуры балки можно определить ме- тодами, описанными авторами в работе [13]. Нами установлено, что зависи- мость между предельной нагрузкой и длиной трещины графически изображается выпуклой кривой, как показано на рис. 1. Рис. 1. Зависимость от длины трещины на стадии эксплуатации В запас безопасности (надежности) примем зависимость от пря- молинейной, как показано на рис. 1, с уравнением (прямой в отрезках) вида: (2) где - предельная нагрузка на балку при наличии в ней трещин длиной ; - предельная нагрузка на балку без трещин. Отсюда предельная нагрузка на балку при наличии трещин с максимальной длиной определяется по формуле: (3) Рис. 2. Зависимость от длины трещины на стадии эксплуатации Если значения находят по [13] в виде интервала , где , - нижнее (пессимистическое) и верхнее значения предельной нагрузки, то будет определяться интервалом, как показано на рис. 2. В этом случае имеем два уравнения для : , (4) Рассмотрим расчет надежности железобетонной балки по первому вариан- ту (рис. 1) с учетом (1) и (3). Математическая модель предельного состояния с учетом изменчивости контролируемых параметров будет иметь вид: (5) где - детерминированная величина, если для балки (без трещин) находится теоретическими методами строительной механики. Если опре- деляют испытаниями балки (без трещин), то будет случайной величиной (отмечено волнистой линией) в интервале . Имея по результатам ис- пытаний [13] интервал предельной нагрузки , рекомендуется при по- вышенных требованиях к безопасности конструкции принимать нижнее значе- ние предельной нагрузки (пессимистический вариант) , полученное с обеспеченностью 0,997, и вести расчет надежности по математической модели предельного состояния вида (5). Рассмотрим вариант, в котором - детерминированная величина. Рабо- чую высоту сечения балки также примем детерминированной величиной в силу малой изменчивости результатов ее измерений. Длину трещины на стадии эксплуатации определяем многократными измерениями [16]. Если число измерений достаточно для выявления функции распределения и определе- ния ее параметров, то принимаем для описания вероятностные законы рас- пределения. Для по результатам измерений в одних и тех же условиях и од- ним методом можно принять [18] нормальное (гауссовское) распределение с плотностью вероятности: (6) где - математическое ожидание длины трещины ; - дисперсия Если Fэкс определяется сбором нагрузок на балку (с учетом собственного веса), то в этом случае Fэкс можно принять детерминированной величиной. Ес- ли Fэкс определяют испытаниями (взвешиванием), то в этом случае она являет- ся случайной величиной. Значение Fэкс можно выявить из проектной докумен- тации, если не было никаких изменений эксплуатационной нагрузки. Рассмотрим наиболее простой вариант расчета надежности железобетон- ной балки, в котором Fэкс и Fпр - детерминированные величины (см. рис. 1), а - случайная величина, с большим числом измерений для вероятностно- статистического анализа и применения функции плотности вероятности вида (6). Представим (5) в виде: или , где . Тогда вероятность безотказной работы (надежность) найдем по [6, 19] из формулы: где - среднее значение случайной величины , - среднее квадратиче- ское отклонение . Рассмотрим пример. Пусть известны = 0,2 м; = 0,1 м; = 0,05 м. Используя таблицы функций Лапласа найдем Надежность (вероятность безотказной работы) равна 0,9772. Рассмотрим вариант, в котором число измерений длины трещины ограни- чено и вероятностные методы не применимы. Пусть имеем = 0,2 м; = {0,11; 0,14; 0,17; 0,19} м. Для расчета надежности используем метод [1, 2, 3] на основе теории возможностей. Функцию распределения возможностей примем по [1, 2, 3] в виде: (7) где м; где - уровень среза (риска), которым за- даются [20]. Примем = 0,1, тогда м. Т.к. м, то возможность безотказной работы балки R=1, а возможность отказа Необходимость безотказной работы N = 1-Q = 0,94. Надежность балки характеризуется интервалом [N=0,94; R=1] или в вероятностном выражении . Рассмотрим вариант, по которому в (5) имеем две нечеткие переменные (в терминах теории возможностей): и - нечеткие переменные (малое чис- ло измерений). Представим (5) в виде: (8) Для расчета надежности по (8) нужно сложить две функции распределения возможностей нечетких переменных и , или использовать прин- цип обобщения Л.Заде из теории нечетких множеств [2, 21]. Рассмотрим пер- вый вариант. Введем для сокращения записей обозначения , , На рис. 3 показано сложение функций и при одинаковых уровнях среза ?. В результате имеем Zmin = Xmin + Ymin, Zmax = Xmax + Ymax, az = ax + ay, Рис. 3. Иллюстрация суммы нечетких переменных X+Y В этом случае расчет надежности с использованием функции распределе- ния возможностей не отличается от предыдущего расчета с одной нечеткой переменной и функцией распределения (7). Если по (8) окажется , то R = 1. Затем вычисляют где и находят значение N = 1 - Q. Надежность будет характеризоваться интервалом [N; R]. Пример. Пусть известны X = {1,2; 1,3; 1,1} кН; Y = {0,9; 1,0; 0,8} кН; = 2,3 кН. Zmin=1,1 + 0,8 = 1,9 кН; Zmax = 1,3 + 1,0 = 2,3 кН; az = 1,2 + 0,9 = 2,1; , при a = 0,1. Т.к. az< , то R = 1. , тогда N = 1 - 0,094 = 0,906. Надежность балки характери- зуется интервалом [0,906; 1]. Рассмотрим следующий вариант, в котором обозначим и будем рассматривать как нечеткую переменную, а - примем слу- чайной величиной. Пусть Y изменяется по нормальному закону распределения с функцией (6). На рис. 4 показаны условно графики функций и . Рис. 4. Графики функций и при В [1, 2] рассмотрены различные варианты расчетных математических мо- делей с вероятностными и возможностными случайными величинами и их ис- пользования в комбинированных методах расчетов надежности. Рассмотрим расчетную модель предельного состояния вида , в кото- рой X характеризуется функцией распределения возможностей вида и Y изменяется по закону распределения с плотностью веро- ятности вида (7). По [2] имеем нижнюю и верхнюю вероятность безотказной работы железо- бетонной балки по критерию (1) в общем виде: (9) где в функциях обозначено x = y , т.к. они общей физической природы [19]. Применительно к описанной выше математической модели предельного состояния будем иметь: Рассмотрим пример. Пусть известны ax = 1,3 кН; bx= 0,15 кН; my= 1,6 кН; Sy= 0,2 кН. Тогда: Интервал, характеризующий надежность, запишется как [0,852; 0,980]. Ис- тинное значение надежности (вероятности безотказной работы) будет нахо- диться внутри этого интервала. Для железобетонных балок, к которым предъявлен высокий уровень экс- плуатационной безопасности, требуется производить несколько испытаний и расчетов надежности, в результате чего будем иметь подмножество интервалов . Данное подмножество можно статистически проанализировать с по- мощью теории свидетельств Демпстера-Шефера [22, 23]. Рассмотрим это на примере: Пусть в результате многократных испытаний балки были получены следующие интервалы надежности - [0,998; 0,999], [0,999; 1], [0,997; 0,999], [0,998; 1] кН/м. Общее число интервалов n=4. Статистическое математическое ожидание значения надежности по результатам испытаний по [23, 24] найдем по формулам: ; (10) где , где - число интервалов; - количество наблюдаемых подмножеств Ai; Ai - подмножество множества (в нашем случае надежность). В приведенном примере n = 4. По формуле (10) имеем: Надежность характеризуется «средним» интервалом [0,998; 0,999]. Выводы: 1. Рассмотрен расчет надежности железобетонной балки по критерию дли- ны трещины; 2. Приведены различные способы расчета в зависимости от неполноты (полноты) информации о контролируемых параметрах в расчетных математиче- ских моделях предельного состояния; 3. Приведенные методы расчетов надежности могут быть использованы для расчетов надежности других видов железобетонных конструкций по критерию длины трещины.

V S Utkin

Vologda State University, Department of Civil Engineering

Email: utkinvogtu@mail.ru

S A Solovyev

Vologda State University, Department of Civil Engineering

Email: ser6sol@yandex.ru

Views

Abstract - 109

PDF (Russian) - 169


Copyright (c) 2016 УТКИН В.С., СОЛОВЬЕВ С.А.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.