РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ БАЛКИ ПО КРИТЕРИЮ ДЛИНЫ ТРЕЩИНЫ

Полный текст

Железобетонные балки являются несущими элементами конструкций мно- гих зданий и сооружений в виде балок покрытия, перекрытия, подкрановых ба- лок и т.д. Безопасная эксплуатация несущих конструкций, в том числе железо- бетонных балок, должна отвечать требованиям новых стандартов РФ, постро- енных на основе Закона №384-ФЗ «Технический регламент о безопасности зда- ний и сооружений», вступившему в силу с 2010 г. Закон предписывает устанав- ливать количественную оценку механической (конструкционной) безопасности строительных конструкций. Одним из важнейших параметров механической (конструкционной) безопасности является надежность. По Межгосударствен- ному стандарту ГОСТ 27751-2014 «Надежность строительных конструкций и оснований» под термином «надежность» понимается свойство строительного объекта выполнять требуемые функции в течение расчетного срока эксплуата- ции. В качестве меры надежности принята вероятность безотказной работы не- сущего элемента или системы элементов (в понятиях теории надежности) по тому или иному критерию работоспособности. При расчетах надежности стан- дартом ГОСТ 27751-2014 рекомендовано применять вероятностно- статистиче- ские методы, при наличии достаточного количества данных об изменчивости контролируемых параметров в случае, если количество (длина ряда) данных позволяет производить их статистический анализ. Однако не всегда удается по- лучить достаточное количество статистических данных для выявления функций распределения и их параметров для описания случайных величин, поэтому в теории надежности в последнее время получили развитие новые подходы к рас- четам надежности и несущей способности [1, 2, 3, 4 и др.]. Повышенное внима- ние к разработке нормативных документов и развитию методов расчета надеж- ности строительных конструкций вызвано строительством объектов повышен- ной ответственности и участившимися авариями и разрушениями, вызванными различными причинами. Так в [5] приведена информация о том, что по данным статистической отчетности Минстроя России на 2013 г., в целом по стране средний срок службы существующих строительных конструкций превышает нормативный срок более чем в 2 раза, а также указано на отсутствие методов определения остаточной несущей способности для многих видов несущих кон- струкций. В.Д. Райзер в работе [6] приводит недостатки существующих методов расчета по предельным состояниям. Пирадов К.А. и Савицкий Н.В. в работе [7], а ранее Зайцев Ю.В. в [8], также указали на ряд недостатков в методах расчетов по предельным состояниям и обоснованный переход к расчетам методами тео- рии механики разрушения строительных конструкций. Действительно, в железобетонных конструкциях под нагрузкой нередко возникают трещины, которые приводят к снижению несущей способности по всем критериям работоспособности и надежности. Нормативные документы по расчету железобетонных конструкций, в частности СП 63.13330.2012 «Бетон- ные и железобетонные конструкции», учитывают влияние трещин на работо- способность несущих элементов, ограничивая ширину раскрытия трещин. Од- нако, даже при небольшой ширине раскрытия трещины, признаком опасного состояния железобетонной конструкции может является длина трещины [7, 8, 9]. Трещины уменьшают высоту сжатой зоны бетона балки, что приводит к уве- личению напряжения в бетоне сжатой зоны балки, к возрастанию усилий в ар- матуре, к снижению несущей способности в целом, и даже к разрушению балки. В качестве критерия несущей способности, и тем более надежности, ограниче- ния на длину трещины в СП 63.13330.2012 не предусмотрено. В СП 63.13330.2012 отмечено, что «расчет бетонных и железобетонных конструкций можно производить по заданному значению надежности на основе полного ве- роятностного расчета при наличии достаточных данных об изменчивости ос- новных факторов, входящих в расчетные зависимости». Оценка надежности железобетонной балки по критерию длины трещины с использованием методов механики разрушения рассмотрена в работе [4], где расчет надежности построен на использовании функций распределения случай- ных величин, полученных на основе неравенства Чебышева [10], с параметра- ми функций распределения в виде средних значений и средних квадратических отклонений. Для нахождения этих параметров, а также обоснования выбранно- го распределения, требуется провести сравнительно большое число испытаний, что связано с определенными затратами времени и денежных средств, а в неко- торых случаях невозможно проведения необходимого числа испытаний по тех- ническим причинами и по причине безопасности. Методы определения надеж- ности железобетонных элементов при наличии нормальных и наклонных тре- щин предложены в работах [11, 12]. Однако в этих работах в качестве контро- лируемого параметра принята ширина раскрытия трещин. В данной статье предлагается рассмотреть метод расчета надежности желе- зобетонной балки в зависимости от длины трещины. Надежность железобетон- ной балки с трещиной или системой трещин в растянутой зоне бетона балки будем определять, используя математическую расчетную модель предельного состояния вида: (1) где - обобщенная эксплуатационная нагрузка на балке, включая собствен- ный вес, в виде эквивалентной по воздействию сосредоточенной силы. Напри- мер, для однопролетной балки с шарнирным опиранием и равномерно распре- деленной нагрузкой для середины пролета имеем . Пре- дельная нагрузка , определенная по условию ограничения длины трещи- ны, находится через , значение которого определяется либо теоретически, либо экспериментально-теоретическими методами по [13] при отсутствии тре- щин. В работах [14, 15, 16] приводятся методы определения Fэкс на стадии экс- плуатации конструкций. Определение для железобетонных балок с уче- том длины трещины на стадии эксплуатации балки представляет определенные методические и практические проблемы. В связи с этим рассмотрим решение этой проблемы, используя наработки в теории механики разрушений. Из меха- ники разрушения [2, 3, 10 и др.] известно, что при длине трещины, равной кри- тической происходит спонтанное разрушение конструкции, и следова- тельно при такой длине трещины . По [17] критическая длина трещины в железобетонных балках (при одной или нескольких трещинах) принимается равной 0,3h0, где h0 - рабочая высота сечения балки. При такой длине развитие трещины сменяется с поперечного на продольное с выколом части бетона бал- ки, что приводит к резкому снижению несущей способности и разрушению балки. В дальнейшем значение длины трещины, равной 0,3h0, будем считать критической длиной трещины , а предельную нагрузку, соответст- вующую этой длине трещины считать равной нулю . При отсутствии трещин в бетоне балки ( ), значение предельной нагрузки по крите- рию наименьшей прочности бетона или арматуры балки можно определить ме- тодами, описанными авторами в работе [13]. Нами установлено, что зависи- мость между предельной нагрузкой и длиной трещины графически изображается выпуклой кривой, как показано на рис. 1. Рис. 1. Зависимость от длины трещины на стадии эксплуатации В запас безопасности (надежности) примем зависимость от пря- молинейной, как показано на рис. 1, с уравнением (прямой в отрезках) вида: (2) где - предельная нагрузка на балку при наличии в ней трещин длиной ; - предельная нагрузка на балку без трещин. Отсюда предельная нагрузка на балку при наличии трещин с максимальной длиной определяется по формуле: (3) Рис. 2. Зависимость от длины трещины на стадии эксплуатации Если значения находят по [13] в виде интервала , где , - нижнее (пессимистическое) и верхнее значения предельной нагрузки, то будет определяться интервалом, как показано на рис. 2. В этом случае имеем два уравнения для : , (4) Рассмотрим расчет надежности железобетонной балки по первому вариан- ту (рис. 1) с учетом (1) и (3). Математическая модель предельного состояния с учетом изменчивости контролируемых параметров будет иметь вид: (5) где - детерминированная величина, если для балки (без трещин) находится теоретическими методами строительной механики. Если опре- деляют испытаниями балки (без трещин), то будет случайной величиной (отмечено волнистой линией) в интервале . Имея по результатам ис- пытаний [13] интервал предельной нагрузки , рекомендуется при по- вышенных требованиях к безопасности конструкции принимать нижнее значе- ние предельной нагрузки (пессимистический вариант) , полученное с обеспеченностью 0,997, и вести расчет надежности по математической модели предельного состояния вида (5). Рассмотрим вариант, в котором - детерминированная величина. Рабо- чую высоту сечения балки также примем детерминированной величиной в силу малой изменчивости результатов ее измерений. Длину трещины на стадии эксплуатации определяем многократными измерениями [16]. Если число измерений достаточно для выявления функции распределения и определе- ния ее параметров, то принимаем для описания вероятностные законы рас- пределения. Для по результатам измерений в одних и тех же условиях и од- ним методом можно принять [18] нормальное (гауссовское) распределение с плотностью вероятности: (6) где - математическое ожидание длины трещины ; - дисперсия Если Fэкс определяется сбором нагрузок на балку (с учетом собственного веса), то в этом случае Fэкс можно принять детерминированной величиной. Ес- ли Fэкс определяют испытаниями (взвешиванием), то в этом случае она являет- ся случайной величиной. Значение Fэкс можно выявить из проектной докумен- тации, если не было никаких изменений эксплуатационной нагрузки. Рассмотрим наиболее простой вариант расчета надежности железобетон- ной балки, в котором Fэкс и Fпр - детерминированные величины (см. рис. 1), а - случайная величина, с большим числом измерений для вероятностно- статистического анализа и применения функции плотности вероятности вида (6). Представим (5) в виде: или , где . Тогда вероятность безотказной работы (надежность) найдем по [6, 19] из формулы: где - среднее значение случайной величины , - среднее квадратиче- ское отклонение . Рассмотрим пример. Пусть известны = 0,2 м; = 0,1 м; = 0,05 м. Используя таблицы функций Лапласа найдем Надежность (вероятность безотказной работы) равна 0,9772. Рассмотрим вариант, в котором число измерений длины трещины ограни- чено и вероятностные методы не применимы. Пусть имеем = 0,2 м; = {0,11; 0,14; 0,17; 0,19} м. Для расчета надежности используем метод [1, 2, 3] на основе теории возможностей. Функцию распределения возможностей примем по [1, 2, 3] в виде: (7) где м; где - уровень среза (риска), которым за- даются [20]. Примем = 0,1, тогда м. Т.к. м, то возможность безотказной работы балки R=1, а возможность отказа Необходимость безотказной работы N = 1-Q = 0,94. Надежность балки характеризуется интервалом [N=0,94; R=1] или в вероятностном выражении . Рассмотрим вариант, по которому в (5) имеем две нечеткие переменные (в терминах теории возможностей): и - нечеткие переменные (малое чис- ло измерений). Представим (5) в виде: (8) Для расчета надежности по (8) нужно сложить две функции распределения возможностей нечетких переменных и , или использовать прин- цип обобщения Л.Заде из теории нечетких множеств [2, 21]. Рассмотрим пер- вый вариант. Введем для сокращения записей обозначения , , На рис. 3 показано сложение функций и при одинаковых уровнях среза ?. В результате имеем Zmin = Xmin + Ymin, Zmax = Xmax + Ymax, az = ax + ay, Рис. 3. Иллюстрация суммы нечетких переменных X+Y В этом случае расчет надежности с использованием функции распределе- ния возможностей не отличается от предыдущего расчета с одной нечеткой переменной и функцией распределения (7). Если по (8) окажется , то R = 1. Затем вычисляют где и находят значение N = 1 - Q. Надежность будет характеризоваться интервалом [N; R]. Пример. Пусть известны X = {1,2; 1,3; 1,1} кН; Y = {0,9; 1,0; 0,8} кН; = 2,3 кН. Zmin=1,1 + 0,8 = 1,9 кН; Zmax = 1,3 + 1,0 = 2,3 кН; az = 1,2 + 0,9 = 2,1; , при a = 0,1. Т.к. az< , то R = 1. , тогда N = 1 - 0,094 = 0,906. Надежность балки характери- зуется интервалом [0, 906; 1]. Рассмотрим следующий вариант, в котором обозначим и будем рассматривать как нечеткую переменную, а - примем слу- чайной величиной. Пусть Y изменяется по нормальному закону распределения с функцией (6). На рис. 4 показаны условно графики функций и . Рис. 4. Графики функций и при В [1, 2] рассмотрены различные варианты расчетных математических мо- делей с вероятностными и возможностными случайными величинами и их ис- пользования в комбинированных методах расчетов надежности. Рассмотрим расчетную модель предельного состояния вида , в кото- рой X характеризуется функцией распределения возможностей вида и Y изменяется по закону распределения с плотностью веро- ятности вида (7). По [2] имеем нижнюю и верхнюю вероятность безотказной работы железо- бетонной балки по критерию (1) в общем виде: (9) где в функциях обозначено x = y , т.к. они общей физической природы [19]. Применительно к описанной выше математической модели предельного состояния будем иметь: Рассмотрим пример. Пусть известны ax = 1,3 кН; bx= 0,15 кН; my= 1,6 кН; Sy= 0,2 кН. Тогда: Интервал, характеризующий надежность, запишется как [0, 852; 0, 980]. Ис- тинное значение надежности (вероятности безотказной работы) будет нахо- диться внутри этого интервала. Для железобетонных балок, к которым предъявлен высокий уровень экс- плуатационной безопасности, требуется производить несколько испытаний и расчетов надежности, в результате чего будем иметь подмножество интервалов . Данное подмножество можно статистически проанализировать с по- мощью теории свидетельств Демпстера-Шефера [22, 23]. Рассмотрим это на примере: Пусть в результате многократных испытаний балки были получены следующие интервалы надежности - [0, 998; 0, 999], [0, 999; 1], [0, 997; 0, 999], [0, 998; 1] кН/м. Общее число интервалов n=4. Статистическое математическое ожидание значения надежности по результатам испытаний по [23, 24] найдем по формулам: ; (10) где , где - число интервалов; - количество наблюдаемых подмножеств Ai; Ai - подмножество множества (в нашем случае надежность). В приведенном примере n = 4. По формуле (10) имеем: Надежность характеризуется «средним» интервалом [0, 998; 0, 999]. Выводы: 1. Рассмотрен расчет надежности железобетонной балки по критерию дли- ны трещины; 2. Приведены различные способы расчета в зависимости от неполноты (полноты) информации о контролируемых параметрах в расчетных математиче- ских моделях предельного состояния; 3. Приведенные методы расчетов надежности могут быть использованы для расчетов надежности других видов железобетонных конструкций по критерию длины трещины.

Об авторах

ВЛАДИМИР СЕРГЕЕВИЧ УТКИН

ФГБОУ ВО «Вологодский государственный университет»

Email: utkinvogtu@mail.ru
д-р техн. наук, профессор 160000, г. Вологда, ул. Советский проспект, д. 116., кв. 62

СЕРГЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ СОЛОВЬЕВ

ФГБОУ ВО «Вологодский государственный университет»

Email: ser6sol@yandex.ru
аспирант 161200, Вологодская область, г. Белозерск, ул. Комсомольская, д. 34

Список литературы