Wave Processes Modeling in Two Coaxial Shells Filled with a Viscous Liquid and Surrounded by Elastic Medium

Cover Page

Abstract


The investigation of deformation waves behavior in elastic shells is one of the important trends in the contemporary wave dynamics. There exist mathematical models of wave motions in infinitely long geometrically non-linear shells, containing viscous incompressible liquid based on the related hydroelasticity problems, which are derived by the shells dynamics and viscous incompressible liquid equations in the form of centralized Korteweg-de Vries (KdV) equations. In addition, mathematical models or the wave process in infinitely long geometrically non-linear coaxial cylindrical elastic shells are obtained by the perturbation method. These models differ from the known ones by the consideration of incompressible liquid between the shells, based on the related hydroelasticity problems. These problems are described by shell dynamics and viscous incompressible liquid equations with corresponding edge conditions in the form of generalized KdV equations system. The paper presents the investigation of wave occurrences in two geometrically non-linear elastic coaxial cylindrical shells of Kirchhoff-Love type, containing viscous incompressible liquid both in between and inside, and surrounded by an elastic medium, acting in both normal and longitudinal directions. The difference schemes of Crank-Nicholson type are obtained for the considered equations system by taking into account liquid impact and with the help of Grobner basis construction. To generate these difference schemes, the basic integral difference correlations, approximating initial equations system, were used.


Введение Взаимодействие упругих элементов конструкций с жидкостью рассматривалось в разных аспектах. В условиях вибрации взаимодействие вязкой несжимаемой жидкости с упругими оболочками исследовалось в [1-3], а с учётом вращения жидкости - в [4]. В современной волновой динамике одним из важных направлений является изучение поведения волн деформаций в упругих тонкостенных конструкциях. Проблема распространения волн в газовой динамике и теории упругих оболочек изучается при помощи линеаризованных уравнений. При этом скорость распространения возмущений считается постоянной и равной скорости распространения звука в невозмущённой среде. Однако ряд явлений, несмотря на малые значения зависимых переменных, целиком определяется зависимостью скорости распространения возмущений от величины зависимых переменных и исследуется на базе нелинейных уравнений. Эти исследования проводятся с помощью методов возмущений, таких как метод сращиваемых асимптотических разложений, метод деформируемых координат, метод многомасштабных разложений. Кроме того, проблемы распространения волн в упругих и вязкоупругих тонкостенных конструкциях, в том числе в бесконечно длинных цилиндрических оболочках без взаимодействия с вязкой несжимаемой жидкостью, рассматривались в [5, 6] с позиции теории солитонов. Известны математические модели, учитывающие влияние вязкой несжимаемой жидкости на волновые процессы в бесконечно длинных геометрически и физически нелинейных оболочках [7, 8]. При этом найдены эффекты влияния вязкой несжимаемой жидкости на поведение волны деформации в оболочке в зависимости от коэффициента Пуассона материала оболочки. В частности, при наличии жидкости в оболочке из неорганических материалов (различные трубопроводы в технологических сооружениях) выявлен экспоненциальный рост амплитуды волны. В случае органического материала (кровеносные сосуды) волна в жидкости быстро затухает. Решение поставленной в работе задачи для геометрически нелинейных оболочек представляется актуальным и сложным, имеет важное значение для акустической диагностики и неразрушающего контроля материалов. Во многом интерес к подобным задачам инициирован необходимостью анализа упругих и динамических свойств нанообъектов, в частности, карбоновых нанотрубок. В настоящей работе развивается метод возмущений для моделирования нелинейных волн деформаций в упругой цилиндрической оболочке, заполненной вязкой несжимаемой жидкостью, окружённой упругой средой и при конструкционном демпфировании в продольном направлении. Аналогичная задача без влияния упругой среды была рассмотрена в работе [9]. Показано влияние вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей оболочку, окружающей упругой среды и конструкционного демпфирования на поведение продольных волн деформации в упругой цилиндрической оболочке. Постановка задачи 0 Рассмотрим окружённые упругой средой две соосные бесконечно длинные упругие оболочки (см. рис. 1), между которыми находится вязкая несжимаемая жидкость. Зазор между оболочками, занимаемый жидкостью �, радиус срединной поверхности оболочки �; �1 = �(1) - �(1)/2 - внутренний радиус внешней оболочки; �2 = +�(2) (2) �(2) 0 /2 - внешний радиус внутренней оболочки; �3 = � (2) -�0 /2 - внутренний радиус внутренней оболочки, �(1), �(2) - радиусы срединных поверхностей внешней и внутренней оболочек; �(1), �(2) - их толщины. В дальнейшем, для внешней оболочки 0 0 будем использовать обозначение сверху индексом (�) = (1), а для внутренней - индексом (�) = (2). h (1) 0 δ R1 h (2) 0 x y θ R2 r z Рис. 1. Бесконечно длинные соосные цилиндрические оболочки Записывая уравнения движения элемента цилиндрической оболочки в перемещениях для модели Кирхгофа-Лява, рассмотрим материал с линейной зависимостью интенсивности напряжений �� от интенсивности деформаций �� [10]: �� = ���, где � - модуль Юнга. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат �, Θ, � записываются, в случае осесимметричного течения, в виде [11, 12]: Блинков Ю. А. и др. Моделирование волновых процессов в двух соосных . . . 205 ∂�� + � ∂�� ∂�� 1 ∂� [︂ ∂ 2�� 1 ∂�� ∂ 2�� �� ]︂ ∂� � ∂� + �� ∂� + � ∂� = � ∂�2 + � ∂� + ∂�2 - �2 , ∂�� + � ∂�� ∂�� 1 ∂� [︂ ∂ 2�� 1 ∂�� ∂ 2�� ]︂ (1) ∂� � + �� + = � ∂� ∂� � ∂� ∂�2 + � ∂� + ∂�2 , ∂�� + �� + ∂�� = 0. ∂� � ∂� На границе оболочек и жидкости на рис. (1) при � = �� - � (�) выполняются условия прилипания жидкости [12] ∂�(�) ∂� = �� + �(�) ∂�� ∂� - � (�) ∂�� ∂� ∂� (�) - , ∂� = �� + �(�) ∂�� ∂� - � (�) ∂�� ∂� . (2) Здесь � -- время; �, � - цилиндрические координаты; ��, �� -- проекции на оси цилиндрической системы координат вектора скорости жидкости; � - давление, � - плотность, � - кинематический коэффициент вязкости жидкости; �(�) - продольное упругое перемещение оболочки по оси �; � (�) - прогиб оболочки, положительный к центру кривизны. Уравнения динамики оболочки записываются в виде [13, 14] ⎡ 1 2 1 2 2 �(�) 2 ⎤ � (�) �0�(�) 0 �2 ⎣�(�) (�) + � (�) + 0 � (�) � � � - �0 (�) (�) ⎦ - 0 - 0 � + 2 �� 2 � [︃ 2 �0�(�)�2 24 �� �0�(�)�2 3 ]︃ �(�) � 0 �� - �3�(�) 0 0 (�) 0 0 (�) (�) ⟨ �(�)2 12 �0�(�) �4 � - �4 �2�(�)2 � (2 - �) = -�� - �˜�(� - 1), 0 �2 0 (�) 0 �����- ⎧ ⎛ (�)2 (�) ⎞⎫ (3) ⎨ 1 2 1 + � 2 � 2 + � � ⎬ - � (�) ⎝�(�) (�) (�) 0 (�) - �0 ⎠ - � � + ⎩ 2 �� 2 � 24 �� ⎭ �(�) � ⎛ 1 (�) 1 (�)2 1 (�)2 � (�)2 0 (�)2 ⟩ ⎞ � (�) - � ⎝�0�� + 2 �0�� �0�(�)�2 + �0�� 2 24 + �0��� - � ⎠ + + �1 0 0 � (�)(2 - �) + �0�(�)� (�) = (-1)�-1 �� + �˜�(� - 1). �2 0 �� 0 Здесь �(�) - толщины оболочек; �0 - коэффициент Пуассона, �0 - плотность; �(�), � (�) - продольное перемещение и прогиб, положительный к центру кривизны, � � - продольная координата; � - время; �� , �� - напряжения со стороны жидкости, находящейся между оболочками; �˜�, �˜� - напряжения со стороны жидкости, заполняющей внутреннюю оболочку; реакция упругой среды в нормальном и продольном направлениях [5, 6, 15-18]: �0�(1)�2 �(�)2 � �(1)�2 � �(1)�2 3 �1 0 0 (1) 0 0 0 (1) 0 0 0 (1) ; �2 � , �3 �4 � - �4 �2�(1)2 � 206 Вестник РУДН. Серия МИФ. Т. 26, № 3, 2018. С. 203-215 0 �0 = √︀�/ (�0 (1 - �2))- скорость распространения продольных волн в оболочке. Напряжения со стороны слоя жидкости определяются формулами � ∂� � � = -� + 2�� ∂�� , � = �� (︂∂�� + ∂� ∂�� )︂ ∂� . (4) Уравнения динамики оболочек Принимая за характерную длину � - длину волны, перейдём к безразмерным переменным для исследования уравнений (3): � (�) = ���(�), �(�) = ���(�), �* = �0 �, �* = � . (5) 3 1 � � Здесь ��, �� - характерные значения прогиба � и продольного перемещения �. Полагаем �� = = �(1), � (�) 1 � (�) = �( 2 ), 0 �� = �(), = �(). (6) � � �(�) � Применим метод асимптотических разложений, вводя независимые переменные в виде � = �* - ��*, � = �*, (7) где � - безразмерная неизвестная скорость волны, � - быстрое время, а - малый параметр. � Записываем систему уравнений (3) в безразмерных переменных с использованием формул (5)-(7) и разложим упругие перемещения по степеням = �� : �(�) (�) (�) (�) (�) (�) 1 = �10 + �11 + . . . , �3 = �30 + �31 + . . . . (8) Подставим разложение (8) в полученные уравнения из (3) и после некоторых преобразований этих уравнений, аналогичных приведённым в [8, 19], приравняем нулю коэффициенты при 0, получим ��� �(�) = �0�(�) , (1 - �2 - �2)�(�) = 0, (9) ���(�) 30 �� 10� 0 10�� 0 откуда определяется безразмерная скорость волны �2 = 1 - �2. Из следующего приближения по , учитывая (9), находится уравнение, являющееся составным для �10: √︀ 2 (︂ (�) )︂2 2√︀ 2 �(�) �� 1 - �0 (�) (�) 1 � �0 1 - �0 (�) 10�� + � � � + 2 10� 10�� � � + 2 10���� 2 - � + √︀ (︃ 0 �2�1 2 �(�) 2 �10�� - �3 2 �(�) �2 �10 + �4 � 2 )︃ � = � 3 �(�)2 10 0 2 1 - �2 � 1 �2 (︂ (�) �(�) � 1 ∂�� )︂ = - 2√︀1 �2 � � �(�)�2 �� - �0 - ( 1) - � ∂� . (10) - 0 � 0 0 0 В представлениях (8) взято два первых члена разложения по для учёта нелинейности исходной системы уравнений (3), как следует из системы (10). Блинков Ю. А. и др. Моделирование волновых процессов в двух соосных . . . 207 В случае отсутствия жидкости правая часть уравнений (10) обращается в ноль и система распадается на независимые уравнения, каждое из которых имеет своё точное решение. Для определения напряжений, действующих со стороны жидкости, можно воспользоваться результатами работы [9]: 1 ∂�� = �� 12 1 - �2 [︁� �(2)�(2) - � �(1)�(1) ]︁ , 0 0 �2 0 �0 �0�(�) ∂� �3�0�(�) �(�) √︁ 0 � � ∂�� � 10� � 10� - � = 2� ( 1) , ∂� (11) [︃ 2]︃ (2) �(2) ∂�˜� �˜ 2 √︁ 2 �� (︂ �(2) )︂ ∂�10 �˜� - �0 � - = ∂� �3�0 �˜�04 1 - �0 � � - 0 1 2� . 3 ∂� Подставляя (11) в систему уравнение (10), окончательно получим √︀ 2 (︂ )︂2 2√︀ 2 �(1) �� 1 - �0 (1) (1) 1 � �0 1 - �0 (1) 10�� + � � � + 2 10� 10�� � � + 2 10���� 1 + √︀ 2 [︃ 2 �(1) �1�0 �(1)10�� - �3 2 �(2) � (1) 10 + �4 � 2 ]︃ � + � (1)3 2 10 0 2 1 - �2 +6�2 �� �2 � (︂�)︂3 �2 [︂ � 1 + [︁ ]︂ �(1) �(1) �(2) ]︁ = 0 0 �0�0 ��0 � 2�0� 10� - 10� √︀ 2 (︂ )︂2 2√︀ 2 �(2) �� 1 - �0 (2) (2) 1 � �0 1 - �0 (2) 10�� + � 3 � � + 2 10� 10�� � � + 2 10���� +6�2 �� � (︂�)︂ [︂ � 1 + [︁ ]︂ �(2) �(1) ]︁ 2 (︀1 4�2)︀ �˜� �˜ �(2) = 0. 0 �0�0 ��0 � 2�0� 10� - 10� - - 0 �0�0 ��0 10� (12) Здесь с принятой точностью �0/� ≈ �(), �/�2 = � ≪ 1, обозначено �(1) ≈ �(2) = �, 0 при этом положено �(1) � (2) ≈ 0 ≈ �0. 10� Легко видеть, что замена �(1) 10� = �3�(1), �(2) , � = �1�, � = �2�, где �� (︂�)︂2 [︂ � ]︂ � [︃ (︂ � )︂2 2 1 ]︃ 3 �2 = 6�2 1 + , �1 = �2 , 0 �0�0 � 2�0� ��0 � �2√︀1 - �2 �2 �2 12 �1 �1 2 �2 0 0 1 �2 �2 �3 = �1 � , �1 = √︀ � √︀ 0 2 � , �3 = 0 � � � , √︀ �2 (13) 0 � 1 - �2 2 2 1 - �2 0 1 2 2 1 - �2 � 2 �4 = 3 �4 �� , � = 0 - 1 4�2 (︂ � )︂3 �˜�˜ [︂ 1 + � ]︂-1 , �2�3 2√︀1 - �2 �2 3�2 � �� 2�0� 1 0 0 позволяет записать систему уравнений (12) в виде �(1) � + 6�(1)�(1) (1) (1) ∫︁ (1) (︂∫︁ (1) )︂3 (1) (2) � + ���� + �1�� - �3 � d� + �4 � d� + � - � = 0, (14) �(2) � + 6�(2)�(2) (2) (2) (1) (2) � + ���� + � - � - �� = 0. (15) 208 Вестник РУДН. Серия МИФ. Т. 26, № 3, 2018. С. 203-215 Система уравнений (14)-(15) при отсутствии жидкости распадается на два независимых уравнения. Для �(1): �(1) � + 6�(1)�(1) (1) (1) ∫︁ (1) (︂∫︁ (1) )︂3 � + ���� + �1�� - �3 � d� + �4 � d� = 0 с точным решением �(1) = �3 -2 {︂ 1 √︂�3 [︂ cosh � (︂�3 + 2� )︂ ]︂}︂ + � � . (16) 2�4 2 �4 - �4 4 1 Для �(2): �(2) + 6�(2)�(2) + �(2) = 0 с точным решением � � ��� �(2) = �3 -2 {︂ 1 √︂�3 [︂ cosh � �3 �]︂}︂ , (17) 2�4 где �3/�4 - произвольная величина. 2 �4 - �4 Как следует из (16) и (17), скорость солитона �(1) больше, чем скорость солитона �(2) при одинаковых амплитудах. При наличии жидкости во внутренней оболочке и окружающей упругой среды для внешней оболочки численное исследование системы уравнений (14)-(15) при начальном условии �(1) (�, 0) = �(2) (�, 0) = �3 -2 {︂ 1 √︂�3 }︂ cosh � (18) 2�4 2 �4 позволит оценить их влияние на волновые процессы в соосных оболочках. Численное моделирование В статьях [20] подробно рассмотрен процесс дискретизации квазилинейных дифференциальных уравнений эволюционного типа на примере классического уравнения КдВ, численные методы решения которого рассмотрены в [21]. Полученная с помощью данного подхода дискретизация уравнения КдВ имеет точность второго порядка как по пространственному шагу � сетки, так и по временному � . Поскольку разностная схема неявная, т.е. устойчива при достаточно малом �, то её согласованность и устойчивость приводят к её сходимости [22]. Также строго доказана классическая теорема эквивалентности Лакса для начальной задачи с одним линейным дифференциальным уравнением и обобщениями на нелинейный случай [23]. Существует большое количество методов построения разностных схем для дифференциальных уравнений. Мы будем использовать алгоритм построения конечно-разностной аппроксимации согласно [24]. Запишем систему уравнений (14)-(15) в виде интегралов по контуру ∮︁ (︁ ∂Ω -�(1) �� - 3� (1)2 - �1� ∫︁ ∫︁ (1))︁ d� + � (1) d�+ ∫︁ ∫︁ (︁ )︁ + (︀-�3 + �4 3)︀ d�d� + Ω �(1) - �(2) Ω d�d� = 0, (19) ∮︁ (︁ ∂Ω -�(2) �� - 3� (2) 2)︁ d� + � (2) d� + ∫︁ ∫︁ (︁� Ω (2) � (1) - - �� (2))︁ d�d� = 0 (20) Блинков Ю. А. и др. Моделирование волновых процессов в двух соосных . . . 209 ∫︁ для �(1)d� = , любой области Ω и любого интервала � > �. На разностной сетке сопоставим �(�)� = �(�)(� , � ), � � = (� , � ) и выберем в качестве базового контур, � � � � � � показанный на рис. 2. n + 1 n j j + 1 j + 2 Рис. 2. Базовой контур для уравнений (19)-(20) Добавим интегральные соотношения ��+1 ∫︁ ��+2 ∫︁ �(�)� d� = �(�)(�, ��+1) - �(�)(�, �� ), �� ��+2 ∫︁ (21) �(�)�� d� = �(�)� (�, ��+2) - �(�)� (�, �� ), �� �d� = �(�, ��+2) - �(�, �� ). �� Применяя для численного интегрирования формулы Ньютона-Котеса и полагая ��+1 - �� = � , ��+1 - �� = �, перепишем соотношения (19), (20), (21) в виде (︁ (︁ - �(1)� (1) �+1 (1)� (1) �+1)︁ - �� � + ��� � - ��� �+2 - ��� �+2 (︂ 2� 2�+1 2� 2�+1)︂)︂ � (︁ �+1 � )︁ - 3 �(1) � + �(1) � - �(1) �+2 - �(1) �+2 · 2 + �(1)�+1 - �(1)�+1 · 2� + + (︁(︁�(1)�+1 � )︁ (︁ �+1 � )︁ �+1 + �(1)�+1 - �(2)�+1 + �(2)�+1 - -�3 (︀� �+1 � (︁� 3 �+1 3� )︁)︁ · �� = 0, �+1 + ��+1)︀ + �4 �+1 + � �+1 (︁ (︁ - �(2)� (2) �+1 (2)� (2) �+1)︁ - �� � + ��� � - ��� �+2 - ��� �+2 (︂ 2� 2�+1 2� 2�+1)︂)︂ � (︁ �+1 � )︁ - 3 �(2) � + �(2) � - �(2) �+2 - �(2) �+2 · 2 + �(2)�+1 - �(2)�+1 · 2� + + (︁(︁�(2)�+1 � )︁ (︁ �+1 � )︁ (︁ �+1 � )︁)︁ �+1 + �(2)�+1 - �(1)�+1 + �(1)�+1 - � �(2)�+1 + �(2)�+1 · �� = 0, (�(�)� (�)� � (�)� (�)� � �+1 + �� �(�)� � ) · 2 = � (�)� �+1 - � � , (�)� �� �+1 · 2� = �� �+2 - �� � , (︁�(1)� (1)� (1)�)︁ � � � �+2 + 4� � - � �+1 + � � = � � . 3 �+2 � 210 Вестник РУДН. Серия МИФ. Т. 26, № 3, 2018. С. 203-215 Поскольку исходное дифференциальное уравнение (14)-(15) нелинейно, то за счёт выбора допустимого упорядочения в данном случае в базисе Грёбнера [25] лидирующие мономы не будут состоять из нелинейных членов. В результате получим разностную схему для уравнения (14)-(15) �( + 3 � 4� 1)�+1 � (� 2�+1 2�+1 2� 2� � - �(1)� (1) (1) (1) �+1 - � �-1 ) + (� �+1 - � � (1) -1) + (�(1) �+1 + �+2 - 2� (1) �+1 �+1 + 2� � (1)�+1 �-1 - ) (1)�+1 �-2 4�3 + (�(1) � + �+2 - 2� (1) � �+1 + 2� � (1)� �-1 - ) (1)� �-2 4�3 + (�(1)�+1 �(1)�+1) + (�(1)� �(1)� ) � �+1 + � � + �1 �+1 - �-1 �+1 - �-1 � � 4� - �3 2 + � � � 3�+1 + � 3� + �4 2 � + � (1)�+1 (1)� + � � 2 - �(2)�+1 + �(2)� � � = 0, (22) 2 �(1) (︁ � �+1 + 4� 2)�+1 � (� 2�+1 2�+1 2� 2� � - �(2)� (2) (2) (2) �+1 - � �-1 ) + (� �+1 - � � �( + 3 + � (1)� � (1)� �-1 )︁ � 3 - (��+1 - ��-1) = 0, (23) ) (2) -1 + � (�(2)�+1 4� (2)�+1 (2)�+1 (2)�+1 + �+2 - 2� �+1 + 2� �-1 - � �-2 ) 4�3 + (�(2) � + �+2 - 2� (2) � �+1 + 2� � (2)� �-1 - ) (2)� �-2 4�3 - � + � �(2)�+1 + (2)� � + � � (1)�+1 � (1)� � + � � (2)�+1 � (2)� � 2 - 2 - � = 0. (24) 2 Разностная схема (22), (24) подобна схеме Кранка-Николсона для уравнения теплопроводности. Реализация разностной схемы (22)-(24) была проведена с использованием программного обеспечения с открытым кодом SciPy и SymPy, построенном для языка программирования Python3. Полученные неявные разностные схемы нелинейны относительно следующего временного слоя, поэтому для построения решения использована следующая линеаризация �2 2 2 2 2 2 �+1 = ��+1 - �� + �� = (��+1 - �� )(��+1 + �� ) + �� ≈ ��+1 · 2�� - �� . На границах вычислительной области использовались условия равенства первых производных �(1) = �(2) = 0. Поскольку схема (22)-(24) имеет 5-точечный шаблон � � по оси �, то на границах использовалось по два соотношения, например для левой границы: d�(��) d� ≈ � 2 d3� d�3 + -5�(��) + 9�(��+2) - 4�(��+3) , 6� Блинков Ю. А. и др. Моделирование волновых процессов в двух соосных . . . 211 d�(��) 11�2 d3� -5�(��+1) + 8�(��+2) - 3�(��+3) d� ≈ 6 d�3 + 2� . На рис. 3 и 4 видно влияние окружающей упругой среды на поведение нелинейной волны деформации в системе в зависимости от коэффициента Пуассона �0 в (13) в выражении для �. 0.8 t = 0.00 0.8 t = 0.00 0.6 t = 0.78 t = 1.56 0.6 t = 0.78 t = 1.56 t = 2.34 t = 2.34 t = 3.13 t = 3.13 0.4 0.4 φ(1) 0.2 t = 3.91 φ(2) 0.2 t = 3.91 0.0 0.0 -0.2 -0.2 -0.4 -40 -20 0 20 40 60 80 -0.4 -40 -20 0 20 40 60 80 η Рис. 3. Графики численного решения уравнений (14)-(15) при �1 = 1 с начальным условием (18) с �3 = 0, 004, �4 = 0, 1 и √︀�3/�4 = 0, 2 0.08 t = 0.00 0.08 t = 0.00 t = 1.98 t = 1.98 0.06 t = 3.97 0.06 t = 3.97 t = 5.95 t = 5.95 t = 7.94 t = 7.94 0.04 t = 9.92 0.04 t = 9.92 φ(1) 0.02 φ(2) 0.02 0.00 0.00 -40 -20 0 20 40 60 80 -40 -20 0 20 40 60 80 η Рис. 4. Графики численного решения уравнений (14)-(15) при �1 = -1 с начальным условием (18) с �3 = 0, 004, �4 = 0, 1 и √︀�3/�4 = 0, 2 В случае �0 < 1/2 (рисунок 3) наблюдается волнообразование и рост амплитуды волны относительно времени в обеих оболочках при более слабом во внешней оболочке в следствии влияния окружающей упругой среды. И наоборот, при �0 > 1/2 (рис. 4) наблюдается волнообразование и падение амплитуды волны относительно времени в обеих оболочках при более сильном во внешней оболочке. Заключение Выполненные вычислительные эксперименты позволили впервые оценить влияние окружающей упругой среды для внешней оболочки на поведение нелинейной волны деформации в системе, когда внутренняя оболочка заполнена вязкой несжимаемой жидкостью. В результате под влиянием воздействия упругой среды на внешнюю оболочку и наличия жидкости во внутренней оболочке наблюдается в зависимости от коэффициента Пуассона меньший рост или падение амплитуды волны во внешней оболочке по сравнению с внутренней.

Y A Blinkov

Saratov State University

Author for correspondence.
Email: blinkovua@info.sgu.ru
83, Astrahanskaya str., Saratov, 410012, Russian Federation

Doctor of of Physical and Mathematical Sciences, Chair of Department of Mathematic and Computer Modeling, Saratov State University

E V Evdokimova

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Email: eev2106@mail.ru
77, Politekhnicheskaya str., Saratov, 410054, Russian Federation

Postgraduate of Department of Applied Mathematics and System Analysis, Saratov State Technical University

L I Mogilevich

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Email: mogilevich@sgu.ru
77, Politekhnicheskaya str., Saratov, 410054, Russian Federation

Doctor of Engineering, Professor of Department of Applied Mathematics and System Analysis, Saratov State Technical University

A Y Rebrina

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Email: anblinkova26@gmail.com
77, Politekhnicheskaya str., Saratov, 410054, Russian Federation

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Applied Mathematics and System Analysis, Saratov State Technical University

  • M. P. Paidoussis, V. B. Nguyen, A. K. Misra, A Theoretical Study of the Stability of Cantilevered Coaxial Cylindrical Shells Conveying Fluid, Journal of Fluids and Structures 5 (2) (1991) 127–164. doi: 10.1016/0889-9746(91)90454-W.
  • M. Amabili, Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates, Cambridge University Press, 2008. doi: 10.1017/CBO9780511619694.
  • L. I. Mogilevich, V. S. Popov, Dynamics of the Interaction of an Elastic Cylinder with a Layer of a Viscous Incompressible Fluid, Mechanics of Solids (5) (2004) 179–190, in Russian.
  • S. A. Bochkarev, V. P. Matveenko, Stability of Coaxial Cylindrical Shells Containing a Rotating Fluid Flow, Computational Continuum Mechanics 6 (1) (2013) 94–102, in Russian. doi: 10.7242/1999-6691/2013.6.1.12.
  • A. G. Bagdoev, V. I. Erofeev, S. F. Sheshenin, Linear and Nonlinear Waves in Dispersive Continuous Media, Fizmatlit, Moscow, 2009, in Russian.
  • V. I. Erofeev, V. V. Kazhaev, I. S. Pavlov, Inelastic Interaction and Splitting of Strain Solitons Propagating in a Granular Medium, Computational Continuum Mechanics 6 (2) (2013) 140–150, in Russian. doi: 10.7242/1999-6691/2013.6.2.17.
  • Y. A. Blinkov, S. V. Ivanov, L. I. Mogilevich, Mathematical and Computer Modeling of Non-linear Deformation Waves in Shell with Viscous Liquid Inside, Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia. Series: Mathematics. Information Sciences. Physics 3 (2012) 52–60, in Russian.
  • Y. A. Blinkov, I. A. Kovaleva, L. I. Mogilevich, Nonlinear Waves Dynamics Modeling in Coaxial Geometrically And Physically Nonlinear Shell Containing Viscous Incompressible Fluid in between, Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia. Series: Mathematics. Information Sciences. Physics 3 (2013) 42–51, in Russian.
  • Y. A. Blinkov, A. V. Mesyazhin, L. I. Mogilevich, Propagation of Nonlinear Waves in Coaxial Physically Nonlinear Cylindrical Shells Filled with a Viscous Fluid, RUDN Journal of Mathematics, Information Sciences and Physics 25 (1) (2017) 19–35, in Russian. doi: 10.22363/2312-9735-2017-25-1-19-35.
  • G. Cowderer, Nonlinear Mechanics, Foreign Literature, Moscow, 1961, in Russian.
  • L. G. Loytsiansky, Mechanics of Liquid and Gas, Drofa, Moscow, 2003, in Russian.
  • S. V. Vallander, Lectures on Hydroaeromechanics, Ed. Leningrad State University, Leningrad, 1978, in Russian.
  • A. S. Volmir, Nonlinear Dynamics of Plates and Shells, Nauka, Moscow, 1972, in Russian.
  • A. S. Volmir, Shells in a Fluid and Gas Flow: Hydroelasticity Problems, Nauka, Moscow, 1979, in Russian.
  • V. Z. Vlasov, N. N. Leontiev, Beams, Plates and Shells on an Elastic Base, Gos. ed. fiz.-mat. literature, Moscow, 1960, in Russian.
  • V. I. Erofeev, V. V. Kazhaev, E. E. Lisenkova, N. P. Semerikova, Nonsinusoidal Bending Waves in Timoshenko Beam Lying on Nonlinear Elastic Foundation, Journal of Machinery Manufacture and Reliability 36 (3) (2008) 230–235, in Russian.
  • G. Mikhasev, A. Sheiko, On the Influence of the Elastic Nonlocality Parameter on the Natural Frequencies of Vibrations of a Carbon Nanotube in an Elastic Medium, Vol. 153, BSTU, Minsk, 2012, pp. 41–44, in Russian.
  • A. V. Bochkarev, A. I. Zemlyanukhin, L. I. Mogilevich, Solitary Waves in an Inhomogeneous Cylindrical Shell Interacting with an Elastic Medium, Akusticheskij Zhurnal 63 (2) (2017) 145–151, in Russian.
  • A. Y. Blinkova, S. V. Ivanov, A. D. Kovalev, L. I. Mogilevich, Mathematical and Computer Modeling of Nonlinear Waves Dynamics in a Physically Nonlinear Elastic Cylindrical Shells with Viscous Incompressible Liquid inside Them, Izvestiya of Saratov University. New series. Series: Physics 12 (2) (2012) 12–18, in Russian. doi: 10.18500/1816-9791-2016-16-2-184-197.
  • V. Y. Belashov, S. V. Vladimirov, Solitary Waves in Dispersive Complex Media: Theory, Simulation, Applications, Springer-Verlag, Berlin, 2005.
  • A. A. Samarskii, The Theory of Difference Schemes, Marcel Dekker Inc., N.-Y., 2001.
  • E. E. Rosinger, Nonlinear Equivalence, Reduction of PDEs to ODEs and Fast Convergent Numerical Methods, Pitman, London, 1983. doi: 10.1137/1026088.
  • V. P. Gerdt, Y. A. Blinkov, V. V. Mozzhilkin, Gr¨obner Bases and Generation of Difference Schemes for Partial Differential Equations, Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications 2 (2006) 26. doi: 10.3842/SIGMA.2006.051.
  • V. P. Gerdt, Consistency Analysis of Finite Difference Approximations to PDE Systems, Vol. 7125, MMCP. Lecture Notes in Computer Science, 2011, pp. 28–42.

Views

Abstract - 41

PDF (Russian) - 22


Copyright (c) 2018 Blinkov Y.A., Evdokimova E.V., Mogilevich L.I., Rebrina A.Y.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.