Моделирование волновых процессов в двух соосных оболочках, заполненных вязкой жидкостью и окружённых упругой средой

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

На базе связанных задач гидроупругости, описываемых уравнениями динамики оболочек и вязкой несжимаемой жидкости, известны математические модели волновых движений в бесконечно длинных геометрически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, в виде обобщённых уравнений Кортевега-де Вриза (КдВ). Математические модели волнового процесса в бесконечно длинных геометрически нелинейных соосных цилиндрических упругих оболочках с вязкой несжимаемой жидкостью между оболочками, полученные применением метода возмущений по малому параметру задачи, описываются в виде системы обобщённых уравнений КдВ. В представленной статье проведено исследование модели волновых явлений в двух геометрически нелинейных упругих соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость как между ними, так и внутри, и окружённых упругой средой, действующей как в нормальном, так и в продольном направлении. Для рассмотренных систем уравнений с учётом влияния жидкости с помощью построения базиса Грёбнера получены разностные схемы типа Кранка-Николсона. Для генерации этих разностных схем использованы базовые интегральные разностные соотношения, которые аппроксимируют исходную систему уравнений.

Полный текст

Введение Взаимодействие упругих элементов конструкций с жидкостью рассматривалось в разных аспектах. В условиях вибрации взаимодействие вязкой несжимаемой жидкости с упругими оболочками исследовалось в [1-3], а с учётом вращения жидкости - в [4]. В современной волновой динамике одним из важных направлений является изучение поведения волн деформаций в упругих тонкостенных конструкциях. Проблема распространения волн в газовой динамике и теории упругих оболочек изучается при помощи линеаризованных уравнений. При этом скорость распространения возмущений считается постоянной и равной скорости распространения звука в невозмущённой среде. Однако ряд явлений, несмотря на малые значения зависимых переменных, целиком определяется зависимостью скорости распространения возмущений от величины зависимых переменных и исследуется на базе нелинейных уравнений. Эти исследования проводятся с помощью методов возмущений, таких как метод сращиваемых асимптотических разложений, метод деформируемых координат, метод многомасштабных разложений. Кроме того, проблемы распространения волн в упругих и вязкоупругих тонкостенных конструкциях, в том числе в бесконечно длинных цилиндрических оболочках без взаимодействия с вязкой несжимаемой жидкостью, рассматривались в [5, 6] с позиции теории солитонов. Известны математические модели, учитывающие влияние вязкой несжимаемой жидкости на волновые процессы в бесконечно длинных геометрически и физически нелинейных оболочках [7, 8]. При этом найдены эффекты влияния вязкой несжимаемой жидкости на поведение волны деформации в оболочке в зависимости от коэффициента Пуассона материала оболочки. В частности, при наличии жидкости в оболочке из неорганических материалов (различные трубопроводы в технологических сооружениях) выявлен экспоненциальный рост амплитуды волны. В случае органического материала (кровеносные сосуды) волна в жидкости быстро затухает. Решение поставленной в работе задачи для геометрически нелинейных оболочек представляется актуальным и сложным, имеет важное значение для акустической диагностики и неразрушающего контроля материалов. Во многом интерес к подобным задачам инициирован необходимостью анализа упругих и динамических свойств нанообъектов, в частности, карбоновых нанотрубок. В настоящей работе развивается метод возмущений для моделирования нелинейных волн деформаций в упругой цилиндрической оболочке, заполненной вязкой несжимаемой жидкостью, окружённой упругой средой и при конструкционном демпфировании в продольном направлении. Аналогичная задача без влияния упругой среды была рассмотрена в работе [9]. Показано влияние вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей оболочку, окружающей упругой среды и конструкционного демпфирования на поведение продольных волн деформации в упругой цилиндрической оболочке. Постановка задачи 0 Рассмотрим окружённые упругой средой две соосные бесконечно длинные упругие оболочки (см. рис. 1), между которыми находится вязкая несжимаемая жидкость. Зазор между оболочками, занимаемый жидкостью �, радиус срединной поверхности оболочки �; �1 = �(1) - �(1)/2 - внутренний радиус внешней оболочки; �2 = +�(2) (2) �(2) 0 /2 - внешний радиус внутренней оболочки; �3 = � (2) -�0 /2 - внутренний радиус внутренней оболочки, �(1), �(2) - радиусы срединных поверхностей внешней и внутренней оболочек; �(1), �(2) - их толщины. В дальнейшем, для внешней оболочки 0 0 будем использовать обозначение сверху индексом (�) = (1), а для внутренней - индексом (�) = (2). h (1) 0 δ R1 h (2) 0 x y θ R2 r z Рис. 1. Бесконечно длинные соосные цилиндрические оболочки Записывая уравнения движения элемента цилиндрической оболочки в перемещениях для модели Кирхгофа-Лява, рассмотрим материал с линейной зависимостью интенсивности напряжений �� от интенсивности деформаций �� [10]: �� = ���, где � - модуль Юнга. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат �, Θ, � записываются, в случае осесимметричного течения, в виде [11, 12]: Блинков Ю. А. и др. Моделирование волновых процессов в двух соосных . . . 205 ∂�� + � ∂�� ∂�� 1 ∂� [︂ ∂ 2�� 1 ∂�� ∂ 2�� �� ]︂ ∂� � ∂� + �� ∂� + � ∂� = � ∂�2 + � ∂� + ∂�2 - �2 , ∂�� + � ∂�� ∂�� 1 ∂� [︂ ∂ 2�� 1 ∂�� ∂ 2�� ]︂ (1) ∂� � + �� + = � ∂� ∂� � ∂� ∂�2 + � ∂� + ∂�2 , ∂�� + �� + ∂�� = 0. ∂� � ∂� На границе оболочек и жидкости на рис. (1) при � = �� - � (�) выполняются условия прилипания жидкости [12] ∂�(�) ∂� = �� + �(�) ∂�� ∂� - � (�) ∂�� ∂� ∂� (�) - , ∂� = �� + �(�) ∂�� ∂� - � (�) ∂�� ∂� . (2) Здесь � -- время; �, � - цилиндрические координаты; ��, �� -- проекции на оси цилиндрической системы координат вектора скорости жидкости; � - давление, � - плотность, � - кинематический коэффициент вязкости жидкости; �(�) - продольное упругое перемещение оболочки по оси �; � (�) - прогиб оболочки, положительный к центру кривизны. Уравнения динамики оболочки записываются в виде [13, 14] ⎡ 1 2 1 2 2 �(�) 2 ⎤ � (�) �0�(�) 0 �2 ⎣�(�) (�) + � (�) + 0 � (�) � � � - �0 (�) (�) ⎦ - 0 - 0 � + 2 �� 2 � [︃ 2 �0�(�)�2 24 �� �0�(�)�2 3 ]︃ �(�) � 0 �� - �3�(�) 0 0 (�) 0 0 (�) (�) ⟨ �(�)2 12 �0�(�) �4 � - �4 �2�(�)2 � (2 - �) = -�� - �˜�(� - 1), 0 �2 0 (�) 0 �����- ⎧ ⎛ (�)2 (�) ⎞⎫ (3) ⎨ 1 2 1 + � 2 � 2 + � � ⎬ - � (�) ⎝�(�) (�) (�) 0 (�) - �0 ⎠ - � � + ⎩ 2 �� 2 � 24 �� ⎭ �(�) � ⎛ 1 (�) 1 (�)2 1 (�)2 � (�)2 0 (�)2 ⟩ ⎞ � (�) - � ⎝�0�� + 2 �0�� �0�(�)�2 + �0�� 2 24 + �0��� - � ⎠ + + �1 0 0 � (�)(2 - �) + �0�(�)� (�) = (-1)�-1 �� + �˜�(� - 1). �2 0 �� 0 Здесь �(�) - толщины оболочек; �0 - коэффициент Пуассона, �0 - плотность; �(�), � (�) - продольное перемещение и прогиб, положительный к центру кривизны, � � - продольная координата; � - время; �� , �� - напряжения со стороны жидкости, находящейся между оболочками; �˜�, �˜� - напряжения со стороны жидкости, заполняющей внутреннюю оболочку; реакция упругой среды в нормальном и продольном направлениях [5, 6, 15-18]: �0�(1)�2 �(�)2 � �(1)�2 � �(1)�2 3 �1 0 0 (1) 0 0 0 (1) 0 0 0 (1) ; �2 � , �3 �4 � - �4 �2�(1)2 � 206 Вестник РУДН. Серия МИФ. Т. 26, № 3, 2018. С. 203-215 0 �0 = √︀�/ (�0 (1 - �2))- скорость распространения продольных волн в оболочке. Напряжения со стороны слоя жидкости определяются формулами � ∂� � � = -� + 2�� ∂�� , � = �� (︂∂�� + ∂� ∂�� )︂ ∂� . (4) Уравнения динамики оболочек Принимая за характерную длину � - длину волны, перейдём к безразмерным переменным для исследования уравнений (3): � (�) = ���(�), �(�) = ���(�), �* = �0 �, �* = � . (5) 3 1 � � Здесь ��, �� - характерные значения прогиба � и продольного перемещения �. Полагаем �� = = �(1), � (�) 1 � (�) = �( 2 ), 0 �� = �(), = �(). (6) � � �(�) � Применим метод асимптотических разложений, вводя независимые переменные в виде � = �* - ��*, � = �*, (7) где � - безразмерная неизвестная скорость волны, � - быстрое время, а - малый параметр. � Записываем систему уравнений (3) в безразмерных переменных с использованием формул (5)-(7) и разложим упругие перемещения по степеням = �� : �(�) (�) (�) (�) (�) (�) 1 = �10 + �11 + . . . , �3 = �30 + �31 + . . . . (8) Подставим разложение (8) в полученные уравнения из (3) и после некоторых преобразований этих уравнений, аналогичных приведённым в [8, 19], приравняем нулю коэффициенты при 0, получим ��� �(�) = �0�(�) , (1 - �2 - �2)�(�) = 0, (9) ���(�) 30 �� 10� 0 10�� 0 откуда определяется безразмерная скорость волны �2 = 1 - �2. Из следующего приближения по , учитывая (9), находится уравнение, являющееся составным для �10: √︀ 2 (︂ (�) )︂2 2√︀ 2 �(�) �� 1 - �0 (�) (�) 1 � �0 1 - �0 (�) 10�� + � � � + 2 10� 10�� � � + 2 10���� 2 - � + √︀ (︃ 0 �2�1 2 �(�) 2 �10�� - �3 2 �(�) �2 �10 + �4 � 2 )︃ � = � 3 �(�)2 10 0 2 1 - �2 � 1 �2 (︂ (�) �(�) � 1 ∂�� )︂ = - 2√︀1 �2 � � �(�)�2 �� - �0 - ( 1) - � ∂� . (10) - 0 � 0 0 0 В представлениях (8) взято два первых члена разложения по для учёта нелинейности исходной системы уравнений (3), как следует из системы (10). Блинков Ю. А. и др. Моделирование волновых процессов в двух соосных . . . 207 В случае отсутствия жидкости правая часть уравнений (10) обращается в ноль и система распадается на независимые уравнения, каждое из которых имеет своё точное решение. Для определения напряжений, действующих со стороны жидкости, можно воспользоваться результатами работы [9]: 1 ∂�� = �� 12 1 - �2 [︁� �(2)�(2) - � �(1)�(1) ]︁ , 0 0 �2 0 �0 �0�(�) ∂� �3�0�(�) �(�) √︁ 0 � � ∂�� � 10� � 10� - � = 2� ( 1) , ∂� (11) [︃ 2]︃ (2) �(2) ∂�˜� �˜ 2 √︁ 2 �� (︂ �(2) )︂ ∂�10 �˜� - �0 � - = ∂� �3�0 �˜�04 1 - �0 � � - 0 1 2� . 3 ∂� Подставляя (11) в систему уравнение (10), окончательно получим √︀ 2 (︂ )︂2 2√︀ 2 �(1) �� 1 - �0 (1) (1) 1 � �0 1 - �0 (1) 10�� + � � � + 2 10� 10�� � � + 2 10���� 1 + √︀ 2 [︃ 2 �(1) �1�0 �(1)10�� - �3 2 �(2) � (1) 10 + �4 � 2 ]︃ � + � (1)3 2 10 0 2 1 - �2 +6�2 �� �2 � (︂�)︂3 �2 [︂ � 1 + [︁ ]︂ �(1) �(1) �(2) ]︁ = 0 0 �0�0 ��0 � 2�0� 10� - 10� √︀ 2 (︂ )︂2 2√︀ 2 �(2) �� 1 - �0 (2) (2) 1 � �0 1 - �0 (2) 10�� + � 3 � � + 2 10� 10�� � � + 2 10���� +6�2 �� � (︂�)︂ [︂ � 1 + [︁ ]︂ �(2) �(1) ]︁ 2 (︀1 4�2)︀ �˜� �˜ �(2) = 0. 0 �0�0 ��0 � 2�0� 10� - 10� - - 0 �0�0 ��0 10� (12) Здесь с принятой точностью �0/� ≈ �(), �/�2 = � ≪ 1, обозначено �(1) ≈ �(2) = �, 0 при этом положено �(1) � (2) ≈ 0 ≈ �0. 10� Легко видеть, что замена �(1) 10� = �3�(1), �(2) , � = �1�, � = �2�, где �� (︂�)︂2 [︂ � ]︂ � [︃ (︂ � )︂2 2 1 ]︃ 3 �2 = 6�2 1 + , �1 = �2 , 0 �0�0 � 2�0� ��0 � �2√︀1 - �2 �2 �2 12 �1 �1 2 �2 0 0 1 �2 �2 �3 = �1 � , �1 = √︀ � √︀ 0 2 � , �3 = 0 � � � , √︀ �2 (13) 0 � 1 - �2 2 2 1 - �2 0 1 2 2 1 - �2 � 2 �4 = 3 �4 �� , � = 0 - 1 4�2 (︂ � )︂3 �˜�˜ [︂ 1 + � ]︂-1 , �2�3 2√︀1 - �2 �2 3�2 � �� 2�0� 1 0 0 позволяет записать систему уравнений (12) в виде �(1) � + 6�(1)�(1) (1) (1) ∫︁ (1) (︂∫︁ (1) )︂3 (1) (2) � + ���� + �1�� - �3 � d� + �4 � d� + � - � = 0, (14) �(2) � + 6�(2)�(2) (2) (2) (1) (2) � + ���� + � - � - �� = 0. (15) 208 Вестник РУДН. Серия МИФ. Т. 26, № 3, 2018. С. 203-215 Система уравнений (14)-(15) при отсутствии жидкости распадается на два независимых уравнения. Для �(1): �(1) � + 6�(1)�(1) (1) (1) ∫︁ (1) (︂∫︁ (1) )︂3 � + ���� + �1�� - �3 � d� + �4 � d� = 0 с точным решением �(1) = �3 -2 {︂ 1 √︂�3 [︂ cosh � (︂�3 + 2� )︂ ]︂}︂ + � � . (16) 2�4 2 �4 - �4 4 1 Для �(2): �(2) + 6�(2)�(2) + �(2) = 0 с точным решением � � ��� �(2) = �3 -2 {︂ 1 √︂�3 [︂ cosh � �3 �]︂}︂ , (17) 2�4 где �3/�4 - произвольная величина. 2 �4 - �4 Как следует из (16) и (17), скорость солитона �(1) больше, чем скорость солитона �(2) при одинаковых амплитудах. При наличии жидкости во внутренней оболочке и окружающей упругой среды для внешней оболочки численное исследование системы уравнений (14)-(15) при начальном условии �(1) (�, 0) = �(2) (�, 0) = �3 -2 {︂ 1 √︂�3 }︂ cosh � (18) 2�4 2 �4 позволит оценить их влияние на волновые процессы в соосных оболочках. Численное моделирование В статьях [20] подробно рассмотрен процесс дискретизации квазилинейных дифференциальных уравнений эволюционного типа на примере классического уравнения КдВ, численные методы решения которого рассмотрены в [21]. Полученная с помощью данного подхода дискретизация уравнения КдВ имеет точность второго порядка как по пространственному шагу � сетки, так и по временному � . Поскольку разностная схема неявная, т.е. устойчива при достаточно малом �, то её согласованность и устойчивость приводят к её сходимости [22]. Также строго доказана классическая теорема эквивалентности Лакса для начальной задачи с одним линейным дифференциальным уравнением и обобщениями на нелинейный случай [23]. Существует большое количество методов построения разностных схем для дифференциальных уравнений. Мы будем использовать алгоритм построения конечно-разностной аппроксимации согласно [24]. Запишем систему уравнений (14)-(15) в виде интегралов по контуру ∮︁ (︁ ∂Ω -�(1) �� - 3� (1)2 - �1� ∫︁ ∫︁ (1))︁ d� + � (1) d�+ ∫︁ ∫︁ (︁ )︁ + (︀-�3 + �4 3)︀ d�d� + Ω �(1) - �(2) Ω d�d� = 0, (19) ∮︁ (︁ ∂Ω -�(2) �� - 3� (2) 2)︁ d� + � (2) d� + ∫︁ ∫︁ (︁� Ω (2) � (1) - - �� (2))︁ d�d� = 0 (20) Блинков Ю. А. и др. Моделирование волновых процессов в двух соосных . . . 209 ∫︁ для �(1)d� = , любой области Ω и любого интервала � > �. На разностной сетке сопоставим �(�)� = �(�)(� , � ), � � = (� , � ) и выберем в качестве базового контур, � � � � � � показанный на рис. 2. n + 1 n j j + 1 j + 2 Рис. 2. Базовой контур для уравнений (19)-(20) Добавим интегральные соотношения ��+1 ∫︁ ��+2 ∫︁ �(�)� d� = �(�)(�, ��+1) - �(�)(�, �� ), �� ��+2 ∫︁ (21) �(�)�� d� = �(�)� (�, ��+2) - �(�)� (�, �� ), �� �d� = �(�, ��+2) - �(�, �� ). �� Применяя для численного интегрирования формулы Ньютона-Котеса и полагая ��+1 - �� = � , ��+1 - �� = �, перепишем соотношения (19), (20), (21) в виде (︁ (︁ - �(1)� (1) �+1 (1)� (1) �+1)︁ - �� � + ��� � - ��� �+2 - ��� �+2 (︂ 2� 2�+1 2� 2�+1)︂)︂ � (︁ �+1 � )︁ - 3 �(1) � + �(1) � - �(1) �+2 - �(1) �+2 · 2 + �(1)�+1 - �(1)�+1 · 2� + + (︁(︁�(1)�+1 � )︁ (︁ �+1 � )︁ �+1 + �(1)�+1 - �(2)�+1 + �(2)�+1 - -�3 (︀� �+1 � (︁� 3 �+1 3� )︁)︁ · �� = 0, �+1 + ��+1)︀ + �4 �+1 + � �+1 (︁ (︁ - �(2)� (2) �+1 (2)� (2) �+1)︁ - �� � + ��� � - ��� �+2 - ��� �+2 (︂ 2� 2�+1 2� 2�+1)︂)︂ � (︁ �+1 � )︁ - 3 �(2) � + �(2) � - �(2) �+2 - �(2) �+2 · 2 + �(2)�+1 - �(2)�+1 · 2� + + (︁(︁�(2)�+1 � )︁ (︁ �+1 � )︁ (︁ �+1 � )︁)︁ �+1 + �(2)�+1 - �(1)�+1 + �(1)�+1 - � �(2)�+1 + �(2)�+1 · �� = 0, (�(�)� (�)� � (�)� (�)� � �+1 + �� �(�)� � ) · 2 = � (�)� �+1 - � � , (�)� �� �+1 · 2� = �� �+2 - �� � , (︁�(1)� (1)� (1)�)︁ � � � �+2 + 4� � - � �+1 + � � = � � . 3 �+2 � 210 Вестник РУДН. Серия МИФ. Т. 26, № 3, 2018. С. 203-215 Поскольку исходное дифференциальное уравнение (14)-(15) нелинейно, то за счёт выбора допустимого упорядочения в данном случае в базисе Грёбнера [25] лидирующие мономы не будут состоять из нелинейных членов. В результате получим разностную схему для уравнения (14)-(15) �( + 3 � 4� 1)�+1 � (� 2�+1 2�+1 2� 2� � - �(1)� (1) (1) (1) �+1 - � �-1 ) + (� �+1 - � � (1) -1) + (�(1) �+1 + �+2 - 2� (1) �+1 �+1 + 2� � (1)�+1 �-1 - ) (1)�+1 �-2 4�3 + (�(1) � + �+2 - 2� (1) � �+1 + 2� � (1)� �-1 - ) (1)� �-2 4�3 + (�(1)�+1 �(1)�+1) + (�(1)� �(1)� ) � �+1 + � � + �1 �+1 - �-1 �+1 - �-1 � � 4� - �3 2 + � � � 3�+1 + � 3� + �4 2 � + � (1)�+1 (1)� + � � 2 - �(2)�+1 + �(2)� � � = 0, (22) 2 �(1) (︁ � �+1 + 4� 2)�+1 � (� 2�+1 2�+1 2� 2� � - �(2)� (2) (2) (2) �+1 - � �-1 ) + (� �+1 - � � �( + 3 + � (1)� � (1)� �-1 )︁ � 3 - (��+1 - ��-1) = 0, (23) ) (2) -1 + � (�(2)�+1 4� (2)�+1 (2)�+1 (2)�+1 + �+2 - 2� �+1 + 2� �-1 - � �-2 ) 4�3 + (�(2) � + �+2 - 2� (2) � �+1 + 2� � (2)� �-1 - ) (2)� �-2 4�3 - � + � �(2)�+1 + (2)� � + � � (1)�+1 � (1)� � + � � (2)�+1 � (2)� � 2 - 2 - � = 0. (24) 2 Разностная схема (22), (24) подобна схеме Кранка-Николсона для уравнения теплопроводности. Реализация разностной схемы (22)-(24) была проведена с использованием программного обеспечения с открытым кодом SciPy и SymPy, построенном для языка программирования Python3. Полученные неявные разностные схемы нелинейны относительно следующего временного слоя, поэтому для построения решения использована следующая линеаризация �2 2 2 2 2 2 �+1 = ��+1 - �� + �� = (��+1 - �� )(��+1 + �� ) + �� ≈ ��+1 · 2�� - �� . На границах вычислительной области использовались условия равенства первых производных �(1) = �(2) = 0. Поскольку схема (22)-(24) имеет 5-точечный шаблон � � по оси �, то на границах использовалось по два соотношения, например для левой границы: d�(��) d� ≈ � 2 d3� d�3 + -5�(��) + 9�(��+2) - 4�(��+3) , 6� Блинков Ю. А. и др. Моделирование волновых процессов в двух соосных . . . 211 d�(��) 11�2 d3� -5�(��+1) + 8�(��+2) - 3�(��+3) d� ≈ 6 d�3 + 2� . На рис. 3 и 4 видно влияние окружающей упругой среды на поведение нелинейной волны деформации в системе в зависимости от коэффициента Пуассона �0 в (13) в выражении для �. 0.8 t = 0.00 0.8 t = 0.00 0.6 t = 0.78 t = 1.56 0.6 t = 0.78 t = 1.56 t = 2.34 t = 2.34 t = 3.13 t = 3.13 0.4 0.4 φ(1) 0.2 t = 3.91 φ(2) 0.2 t = 3.91 0.0 0.0 -0.2 -0.2 -0.4 -40 -20 0 20 40 60 80 -0.4 -40 -20 0 20 40 60 80 η Рис. 3. Графики численного решения уравнений (14)-(15) при �1 = 1 с начальным условием (18) с �3 = 0, 004, �4 = 0, 1 и √︀�3/�4 = 0, 2 0.08 t = 0.00 0.08 t = 0.00 t = 1.98 t = 1.98 0.06 t = 3.97 0.06 t = 3.97 t = 5.95 t = 5.95 t = 7.94 t = 7.94 0.04 t = 9.92 0.04 t = 9.92 φ(1) 0.02 φ(2) 0.02 0.00 0.00 -40 -20 0 20 40 60 80 -40 -20 0 20 40 60 80 η Рис. 4. Графики численного решения уравнений (14)-(15) при �1 = -1 с начальным условием (18) с �3 = 0, 004, �4 = 0, 1 и √︀�3/�4 = 0, 2 В случае �0 < 1/2 (рисунок 3) наблюдается волнообразование и рост амплитуды волны относительно времени в обеих оболочках при более слабом во внешней оболочке в следствии влияния окружающей упругой среды. И наоборот, при �0 > 1/2 (рис. 4) наблюдается волнообразование и падение амплитуды волны относительно времени в обеих оболочках при более сильном во внешней оболочке. Заключение Выполненные вычислительные эксперименты позволили впервые оценить влияние окружающей упругой среды для внешней оболочки на поведение нелинейной волны деформации в системе, когда внутренняя оболочка заполнена вязкой несжимаемой жидкостью. В результате под влиянием воздействия упругой среды на внешнюю оболочку и наличия жидкости во внутренней оболочке наблюдается в зависимости от коэффициента Пуассона меньший рост или падение амплитуды волны во внешней оболочке по сравнению с внутренней.

×

Об авторах

Юрий Анатольевич Блинков

Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

Автор, ответственный за переписку.
Email: blinkovua@info.sgu.ru

д.ф.-м.н., заведующий кафедры математического и компьютерного моделирования Саратовского национального исследовательского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского

ул. Астраханская, д. 83, г. Саратов, Россия, 410012

Екатерина Владимировна Евдокимова

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А

Email: eev2106@mail.ru

аспирант кафедры прикладной математики и системного анализа Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю. А.

ул. Политехническая, д. 77, г. Саратов, Россия, 410054

Лев Ильич Могилевич

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А

Email: mogilevich@sgu.ru

д.т.н., профессор кафедры прикладной математики и системного анализа Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю. А.

ул. Политехническая, д. 77, г. Саратов, Россия, 410054

Анастасия Юрьевна Ребрина

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А

Email: anblinkova26@gmail.com

доцент, к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной математики и системного анализа Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю. А.

ул. Политехническая, д. 77, г. Саратов, Россия, 410054

Список литературы

  1. Paidoussis M. P., Nguyen V. B., Misra A. K. A Theoretical Study of the Stability of Cantilevered Coaxial Cylindrical Shells Conveying Fluid // Journal of Fluids and Structures. - 1991. - Т. 5, № 2. - С. 127-164. - doi: 10.1016/0889-9746(91)90454W.
  2. Amabili M. Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates. - Cambridge University Press, 2008. - С. 374. - doi: 10.1017/CBO9780511619694.
  3. Могилевич Л. И., Попов В. С. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2004. - № 5. - С. 179-190.
  4. Бочкарёв С. А., Матвеенко В. П. Устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих вращающийся поток жидкости // Вычислительная механика сплошных сред. - 2013. - Т. 6, № 1. - С. 94-102. - doi: 10.7242/19996691/2013.6.1.12.
  5. Багдоев А. Г., Ерофеев В. И., Шешенин С. Ф. Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах. - М.: Физматлит, 2009. - С. 318.
  6. Ерофеев В. И., Кажаев В. В., Павлов И. С. Неупругое взаимодействие и расщепление солитонов деформации, распространяющихся в зернистой среде // Вычислительная механика сплошных сред. - 2013. - Т. 6, № 2. - С. 140-150. - doi: 10.7242/1999-6691/2013.6.2.17.
  7. Блинков Ю. А., Иванов С. В., Могилевич Л. И. Математическое и компьютерное моделирование нелинейных волн деформаций в оболочке, содержащей вязкую жидкость // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. - 2012. - Т. 3. - С. 52-60.
  8. Блинков Ю. А., Ковалева И. А., Могилевич Л. И. Моделирование динамики нелинейных волн в соосных геометрически и физически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. - 2013. - Т. 3. - С. 42-51.
  9. Блинков Ю. А., Месянжин А. В., Могилевич Л. И. Распространение нелинейных волн в соосных физически нелинейных цилиндрических оболочках, заполненных вязкой жидкостью // Вестник РУДН. Серия: Математика, информатика, физика. - 2017. - Т. 25, № 1. - С. 19-35. - doi: 10.22363/2312-9735-2017-25-1-19-35.
  10. Каудерер Г. Нелинейная механика. - М.: Иностранная литература, 1961. - С. 778.
  11. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. - М.: Дрофа, 2003. - С. 840.
  12. Валландер С. В. Лекции по гидроаэромеханике. - Л.: Изд. ЛГУ, 1978. - С. 296.
  13. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. - М.: Наука, 1972. - С. 432.
  14. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. - М.: Наука, 1979. - С. 320.
  15. Власов В. З., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. - М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1960. - С. 490.
  16. Несинусоидальные изгибные волны в балке Тимошенко, лежащей на нелинейно упругом основании / В. И. Ерофеев, В. В. Кажаев, Е. Е. Лисенкова, Н. П. Семерикова // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2008. - № 3. - С. 30-36.
  17. Михасев Г. И., Шейко А. Н. О влиянии параметра упругой нелокальности на собственные частоты колебаний углеродной нанотрубки в упругой среде. - 2012. - Т. 153. - С. 41-44.
  18. Бочкарев А. В., Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Уединенные волны в неоднородной цилиндрической оболочке, взаимодействующей с упругой средой // Акустический журнал. - 2017. - Т. 63, № 2. - С. 145-151.
  19. Математическое и компьютерное моделирование динамики нелинейных волн в физически нелинейных упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, А. Д. Ковалев, Л. И. Могилевич // Известия Саратовского университета. Новая cерия. Серия: Физика. - 2012. - Т. 12, № 2. - С. 12-18. - doi: 10.18500/1816-9791-2016-16-2-184-197.
  20. Блинков Ю. А., Гердт В. П., Маринов К. Б. Дискретизация квазилинейных эволюционных уравнений методами компьютерной алгебры // Программирование. - 2017. - № 2. - С. 28-34.
  21. Belashov V. Y., Vladimirov S. V. Solitary Waves in Dispersive Complex Media: Theory, Simulation, Applications. - Berlin: Springer-Verlag, 2005. - С. 292.
  22. Самарский А. А. Теория разностных схем. - 3-е издание. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - С. 786.
  23. Rosinger E. E. Nonlinear Equivalence, Reduction of PDEs to ODEs and Fast Convergent Numerical Methods. - London: Pitman, 1983. - С. 439. - doi: 10.1137/1026088.
  24. Gerdt V. P., Blinkov Y. A., Mozzhilkin V. V. Gr¨obner Bases and Generation of Difference Schemes for Partial Differential Equations // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. - 2006. - Т. 2. - С. 26. - doi: 10.3842/SIGMA.2006.051.
  25. Gerdt V. P. Consistency Analysis of Finite Difference Approximations to PDE Systems. - MMCP. Lecture Notes in Computer Science, 2011. - Т. 7125. - С. 28-42.

© Блинков Ю.А., Евдокимова Е.В., Могилевич Л.И., Ребрина А.Ю., 2018

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах