Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)1898610.22363/2312-9735-2018-26-3-203-215Modeling and SimulationМатематическое моделированиеResearch ArticleWave Processes Modeling in Two Coaxial Shells Filled with a Viscous Liquid and Surrounded by Elastic MediumМоделирование волновых процессов в двух соосных оболочках, заполненных вязкой жидкостью и окружённых упругой средойBlinkovY AБлинковЮрий Анатольевич

Doctor of of Physical and Mathematical Sciences, Chair of Department of Mathematic and Computer Modeling, Saratov State University

д.ф.-м.н., заведующий кафедры математического и компьютерного моделирования Саратовского национального исследовательского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского

blinkovua@info.sgu.ruEvdokimovaE VЕвдокимоваЕкатерина Владимировна

Postgraduate of Department of Applied Mathematics and System Analysis, Saratov State Technical University

аспирант кафедры прикладной математики и системного анализа Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю. А.

eev2106@mail.ruMogilevichL IМогилевичЛев Ильич

Doctor of Engineering, Professor of Department of Applied Mathematics and System Analysis, Saratov State Technical University

д.т.н., профессор кафедры прикладной математики и системного анализа Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю. А.

mogilevich@sgu.ruRebrinaA YРебринаАнастасия Юрьевна

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Applied Mathematics and System Analysis, Saratov State Technical University

доцент, к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной математики и системного анализа Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю. А.

anblinkova26@gmail.comSaratov State UniversityСаратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. ЧернышевскогоYuri Gagarin State Technical University of SaratovСаратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А15122018263VOL 26, NO3 (2018)ТОМ 26, №3 (2018)20321504082018Copyright ©; 2018, Blinkov Y.A., Evdokimova E.V., Mogilevich L.I., Rebrina A.Y.Copyright ©; 2018, Блинков Ю.А., Евдокимова Е.В., Могилевич Л.И., Ребрина А.Ю.2018Blinkov Y.A., Evdokimova E.V., Mogilevich L.I., Rebrina A.Y.Блинков Ю.А., Евдокимова Е.В., Могилевич Л.И., Ребрина А.Ю.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/18986

The investigation of deformation waves behavior in elastic shells is one of the important trends in the contemporary wave dynamics. There exist mathematical models of wave motions in infinitely long geometrically non-linear shells, containing viscous incompressible liquid based on the related hydroelasticity problems, which are derived by the shells dynamics and viscous incompressible liquid equations in the form of centralized Korteweg-de Vries (KdV) equations. In addition, mathematical models or the wave process in infinitely long geometrically non-linear coaxial cylindrical elastic shells are obtained by the perturbation method. These models differ from the known ones by the consideration of incompressible liquid between the shells, based on the related hydroelasticity problems. These problems are described by shell dynamics and viscous incompressible liquid equations with corresponding edge conditions in the form of generalized KdV equations system. The paper presents the investigation of wave occurrences in two geometrically non-linear elastic coaxial cylindrical shells of Kirchhoff-Love type, containing viscous incompressible liquid both in between and inside, and surrounded by an elastic medium, acting in both normal and longitudinal directions. The difference schemes of Crank-Nicholson type are obtained for the considered equations system by taking into account liquid impact and with the help of Grobner basis construction. To generate these difference schemes, the basic integral difference correlations, approximating initial equations system, were used.

На базе связанных задач гидроупругости, описываемых уравнениями динамики оболочек и вязкой несжимаемой жидкости, известны математические модели волновых движений в бесконечно длинных геометрически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, в виде обобщённых уравнений Кортевега-де Вриза (КдВ). Математические модели волнового процесса в бесконечно длинных геометрически нелинейных соосных цилиндрических упругих оболочках с вязкой несжимаемой жидкостью между оболочками, полученные применением метода возмущений по малому параметру задачи, описываются в виде системы обобщённых уравнений КдВ. В представленной статье проведено исследование модели волновых явлений в двух геометрически нелинейных упругих соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость как между ними, так и внутри, и окружённых упругой средой, действующей как в нормальном, так и в продольном направлении. Для рассмотренных систем уравнений с учётом влияния жидкости с помощью построения базиса Грёбнера получены разностные схемы типа Кранка-Николсона. Для генерации этих разностных схем использованы базовые интегральные разностные соотношения, которые аппроксимируют исходную систему уравнений.

nonlinear wavesviscous incompressible liquidelastic cylindrical shellsGrobner basisнелинейные волнывязкая несжимаемая жидкостьцилиндрические упругие оболочкибазис ГрёбнераM. P. Paidoussis, V. B. Nguyen, A. K. Misra, A Theoretical Study of the Stability of Cantilevered Coaxial Cylindrical Shells Conveying Fluid, Journal of Fluids and Structures 5 (2) (1991) 127–164. doi:10.1016/0889-9746(91)90454-W.Paidoussis M. P., Nguyen V. B., Misra A. K. A Theoretical Study of the Stability of Cantilevered Coaxial Cylindrical Shells Conveying Fluid // Journal of Fluids and Structures. - 1991. - Т. 5, № 2. - С. 127-164. - DOI: 10.1016/0889-9746(91)90454W.M. Amabili, Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates, Cambridge University Press, 2008. doi:10.1017/CBO9780511619694.Amabili M. Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates. - Cambridge University Press, 2008. - С. 374. - DOI: 10.1017/CBO9780511619694.L. I. Mogilevich, V. S. Popov, Dynamics of the Interaction of an Elastic Cylinder with a Layer of a Viscous Incompressible Fluid, Mechanics of Solids (5) (2004) 179–190, in Russian.Могилевич Л. И., Попов В. С. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2004. - № 5. - С. 179-190.S. A. Bochkarev, V. P. Matveenko, Stability of Coaxial Cylindrical Shells Containing a Rotating Fluid Flow, Computational Continuum Mechanics 6 (1) (2013) 94–102, in Russian. doi:10.7242/1999-6691/2013.6.1.12.Бочкарёв С. А., Матвеенко В. П. Устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих вращающийся поток жидкости // Вычислительная механика сплошных сред. - 2013. - Т. 6, № 1. - С. 94-102. - DOI: 10.7242/19996691/2013.6.1.12.A. G. Bagdoev, V. I. Erofeev, S. F. Sheshenin, Linear and Nonlinear Waves in Dispersive Continuous Media, Fizmatlit, Moscow, 2009, in Russian.Багдоев А. Г., Ерофеев В. И., Шешенин С. Ф. Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах. - М.: Физматлит, 2009. - С. 318.V. I. Erofeev, V. V. Kazhaev, I. S. Pavlov, Inelastic Interaction and Splitting of Strain Solitons Propagating in a Granular Medium, Computational Continuum Mechanics 6 (2) (2013) 140–150, in Russian. doi:10.7242/1999-6691/2013.6.2.17.Ерофеев В. И., Кажаев В. В., Павлов И. С. Неупругое взаимодействие и расщепление солитонов деформации, распространяющихся в зернистой среде // Вычислительная механика сплошных сред. - 2013. - Т. 6, № 2. - С. 140-150. - DOI: 10.7242/1999-6691/2013.6.2.17.Y. A. Blinkov, S. V. Ivanov, L. I. Mogilevich, Mathematical and Computer Modeling of Non-linear Deformation Waves in Shell with Viscous Liquid Inside, Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia. Series: Mathematics. Information Sciences. Physics 3 (2012) 52–60, in Russian.Блинков Ю. А., Иванов С. В., Могилевич Л. И. Математическое и компьютерное моделирование нелинейных волн деформаций в оболочке, содержащей вязкую жидкость // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. - 2012. - Т. 3. - С. 52-60.Y. A. Blinkov, I. A. Kovaleva, L. I. Mogilevich, Nonlinear Waves Dynamics Modeling in Coaxial Geometrically And Physically Nonlinear Shell Containing Viscous Incompressible Fluid in between, Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia. Series: Mathematics. Information Sciences. Physics 3 (2013) 42–51, in Russian.Блинков Ю. А., Ковалева И. А., Могилевич Л. И. Моделирование динамики нелинейных волн в соосных геометрически и физически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. - 2013. - Т. 3. - С. 42-51.Y. A. Blinkov, A. V. Mesyazhin, L. I. Mogilevich, Propagation of Nonlinear Waves in Coaxial Physically Nonlinear Cylindrical Shells Filled with a Viscous Fluid, RUDN Journal of Mathematics, Information Sciences and Physics 25 (1) (2017) 19–35, in Russian. doi:10.22363/2312-9735-2017-25-1-19-35.Блинков Ю. А., Месянжин А. В., Могилевич Л. И. Распространение нелинейных волн в соосных физически нелинейных цилиндрических оболочках, заполненных вязкой жидкостью // Вестник РУДН. Серия: Математика, информатика, физика. - 2017. - Т. 25, № 1. - С. 19-35. - DOI: 10.22363/2312-9735-2017-25-1-19-35.G. Cowderer, Nonlinear Mechanics, Foreign Literature, Moscow, 1961, in Russian.Каудерер Г. Нелинейная механика. - М.: Иностранная литература, 1961. - С. 778.L. G. Loytsiansky, Mechanics of Liquid and Gas, Drofa, Moscow, 2003, in Russian.Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. - М.: Дрофа, 2003. - С. 840.S. V. Vallander, Lectures on Hydroaeromechanics, Ed. Leningrad State University, Leningrad, 1978, in Russian.Валландер С. В. Лекции по гидроаэромеханике. - Л.: Изд. ЛГУ, 1978. - С. 296.A. S. Volmir, Nonlinear Dynamics of Plates and Shells, Nauka, Moscow, 1972, in Russian.Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. - М.: Наука, 1972. - С. 432.A. S. Volmir, Shells in a Fluid and Gas Flow: Hydroelasticity Problems, Nauka, Moscow, 1979, in Russian.Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. - М.: Наука, 1979. - С. 320.V. Z. Vlasov, N. N. Leontiev, Beams, Plates and Shells on an Elastic Base, Gos. ed. fiz.-mat. literature, Moscow, 1960, in Russian.Власов В. З., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. - М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1960. - С. 490.V. I. Erofeev, V. V. Kazhaev, E. E. Lisenkova, N. P. Semerikova, Nonsinusoidal Bending Waves in Timoshenko Beam Lying on Nonlinear Elastic Foundation, Journal of Machinery Manufacture and Reliability 36 (3) (2008) 230–235, in Russian.Несинусоидальные изгибные волны в балке Тимошенко, лежащей на нелинейно упругом основании / В. И. Ерофеев, В. В. Кажаев, Е. Е. Лисенкова, Н. П. Семерикова // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2008. - № 3. - С. 30-36.G. Mikhasev, A. Sheiko, On the Influence of the Elastic Nonlocality Parameter on the Natural Frequencies of Vibrations of a Carbon Nanotube in an Elastic Medium, Vol. 153, BSTU, Minsk, 2012, pp. 41–44, in Russian.Михасев Г. И., Шейко А. Н. О влиянии параметра упругой нелокальности на собственные частоты колебаний углеродной нанотрубки в упругой среде. - 2012. - Т. 153. - С. 41-44.A. V. Bochkarev, A. I. Zemlyanukhin, L. I. Mogilevich, Solitary Waves in an Inhomogeneous Cylindrical Shell Interacting with an Elastic Medium, Akusticheskij Zhurnal 63 (2) (2017) 145–151, in Russian.Бочкарев А. В., Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Уединенные волны в неоднородной цилиндрической оболочке, взаимодействующей с упругой средой // Акустический журнал. - 2017. - Т. 63, № 2. - С. 145-151.A. Y. Blinkova, S. V. Ivanov, A. D. Kovalev, L. I. Mogilevich, Mathematical and Computer Modeling of Nonlinear Waves Dynamics in a Physically Nonlinear Elastic Cylindrical Shells with Viscous Incompressible Liquid inside Them, Izvestiya of Saratov University. New series. Series: Physics 12 (2) (2012) 12–18, in Russian. doi:10.18500/1816-9791-2016-16-2-184-197.Математическое и компьютерное моделирование динамики нелинейных волн в физически нелинейных упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, А. Д. Ковалев, Л. И. Могилевич // Известия Саратовского университета. Новая cерия. Серия: Физика. - 2012. - Т. 12, № 2. - С. 12-18. - DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-2-184-197.V. Y. Belashov, S. V. Vladimirov, Solitary Waves in Dispersive Complex Media: Theory, Simulation, Applications, Springer-Verlag, Berlin, 2005.Блинков Ю. А., Гердт В. П., Маринов К. Б. Дискретизация квазилинейных эволюционных уравнений методами компьютерной алгебры // Программирование. - 2017. - № 2. - С. 28-34.A. A. Samarskii, The Theory of Difference Schemes, Marcel Dekker Inc., N.-Y., 2001.Belashov V. Y., Vladimirov S. V. Solitary Waves in Dispersive Complex Media: Theory, Simulation, Applications. - Berlin: Springer-Verlag, 2005. - С. 292.E. E. Rosinger, Nonlinear Equivalence, Reduction of PDEs to ODEs and Fast Convergent Numerical Methods, Pitman, London, 1983. doi:10.1137/1026088.Самарский А. А. Теория разностных схем. - 3-е издание. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - С. 786.V. P. Gerdt, Y. A. Blinkov, V. V. Mozzhilkin, Gr¨obner Bases and Generation of Difference Schemes for Partial Differential Equations, Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications 2 (2006) 26. doi:10.3842/SIGMA.2006.051.Rosinger E. E. Nonlinear Equivalence, Reduction of PDEs to ODEs and Fast Convergent Numerical Methods. - London: Pitman, 1983. - С. 439. - DOI: 10.1137/1026088.V. P. Gerdt, Consistency Analysis of Finite Difference Approximations to PDE Systems, Vol. 7125, MMCP. Lecture Notes in Computer Science, 2011, pp. 28–42.Gerdt V. P., Blinkov Y. A., Mozzhilkin V. V. Gr¨obner Bases and Generation of Difference Schemes for Partial Differential Equations // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. - 2006. - Т. 2. - С. 26. - DOI: 10.3842/SIGMA.2006.051.Gerdt V. P. Consistency Analysis of Finite Difference Approximations to PDE Systems. - MMCP. Lecture Notes in Computer Science, 2011. - Т. 7125. - С. 28-42.