BIG DEFLECTIONS IDEALLY PLASTIC RESTRAINED AND FIXED BY HINGE BEAM UNDER THE INFLUENCE OF LOAD COMBINATIONS

Abstract


In the article the technique of solving the problems of large deflections of the beams from the ideal rigid-plastic material under the influence of asymmetrically distributed loads, with account of pretension or pre compression. The developed method was applied to the study of stress-strain state of single-span beams, as well as for the calculation of the limit load for the beams.

Зоны 0  х  х1 и х3  х  2 - жесткие, откуда распределение прогибов в этих зонах равноw = w1 3x , w = w2 - x ,(1)x1 2 - x3где w1 и w3 - прогибы при х = х1 и х = х3.Скорости прогибов в этих зонах равныi⎧ w ⎫w = 1x при 0  х  х , wi = ⎧ w3i⎫(2 - x) при х х  2. (2)⎨ ⎬⎩ x1 ⎭1 ⎨ ⎬ 3⎩ 2 - x3 ⎭Из условия слабых разрывов получаем уравнениеi- ⎛ p ⎞ (xix ) + p xi⎛ w ⎞ p i- 1 - x = 0⎜⎝ (n ± n1 ) ⎟⎠111 2 (n ± n ) 2⎜⎝ x1 ⎟⎠(n ± n1 )i1⎧ p ⎫ ⎛ w ⎞или ⎨(x2 - x1 )⎬= ⎜ ⎟,⎩(n ± n1 )⎭ ⎝ x1 ⎠89Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2016, № 3интегрирование которого с учетом начального условия w1 = 0 при х = х1 дает вы- ражение w1:w = px1 (xx ).(3)11 (n ± n ) 2 1Для х = х3 можно получить выражение w3w = p (x - x )(2 - x ).13 (n ± n ) 3 2 3(4)С помощью (3), (4) из (1) следуют два равносильных выраженияw = p(x 2 - x 2 ),10 2(n ± n ) 2 1w = p(4x4x- x 2 - x 2 ).(5)10 2(n ± n ) 3 2 3 2Можно получить выражения для изгибающих моментов в зонах 0  x  l1, l1  x  x1, x3  x  l2, l2  x  2 согласно уравнению равновесия:m = (px1 - pl1)x ± a, (0  x  l1)px 2pl 2 2 1 m = - 2+ pxx1 -2 ± a, (l1  x  x1).Из условия пластичности получим:px 2pl 22 1 1 1m x = x= 1- (n ± n1 ) =- ± a, откуда выражение для p:2 2 ⎣ 1 ⎦2 ⎡1- (n ± n )2 ∓ a⎤ p = ;1 1x 2 - l 2(6)m = - px 22+ pxx3 +1- (n ± n1 )23 px 2-2, (x3 ≤ x ≤ l2)m = (px3 - pl2)x + 1 - (n ± n1)2 + pl2 - px3l2, (l2  x  2).Из условия пластичности получим:pl 2px 22 2 3 3 m x =2 = - ⎡1- (n ± n1 )⎤ ± a = -2 pl2 + 2 px3 +1- (n ± n1 ) + 2 - 2 .⎣ ⎦90Монахов И.А., Басов Ю.К., Абу Махади М.И. Большие прогибы идеально пластической...Откуда выражение для р:4 ⎡1- (n ± n )2 ∓ 2a⎤p = ⎣4l+ 4x1 ⎦ .l 2 + x 2(7)2 3 2 3Используя полученные равносильные равенства (6) и (7) для р можно получить выражение для x2:x 2 l 2 l 2 1 1 2 x2 = - 4+ + l2 - ,2 4(8)осталось лишь определить значение п в зависимости от р.Определим значение п из условия максимума р. Это приводит к задаче об ус- ловном максимуме функции р, которая приводится к задаче о безусловном мак- симуме функции ϕ с помощью множителя Лагранжа (рис. 1).Безусловная функция имеет вид2 ⎡1- (n ± n1)2 ∓ α⎤ ⎡1- (n ± n1)2 ∓ α⎤ (x 2 - x 2 )φ= ⎣ ⎦ + λ ⎣ ⎦2 1 λw ,(9)(x 2 - l 2 )(x 2 - l 2 )(n ± n ) 01 1 1 1 1где λ - множитель Лагранжа.α p αn1 n1xl1x1x2 l22Рис. 1. Расчетная схемаДифференцируя (9) по х1 и n и приравнивая результаты к нулю, можно полу- чить:∂φ = 2 +λ (x 2 - l 2 ) = 0, откуда2(n ± n1 ),∂x12 1n ± n1λ = - 2 1x 2 - l 2(∂φ = 2[-2(n ± n )]+ λ∂nx 2 - x2 22 )(x2 - x1 )[1+ (n ± n1) ∓ α](x2 - l1 )(n ± n1)= 0,1 2 1 2 291Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2016, № 3откуда(n ± n )2 =2 1(1∓ α)(x 2 - x 2 ),p = 4(1∓ α) .(10)2 1 11 x 2 + x 2 - 2l 22 1 1(x 2 + x 2 - 2l 2 )2pα = -0,410l1 = 0,6 l2 = 1,65l1 = 0,8 l2 = 1,8l1 = 0,2 l2 = 1l1 = 1 l2 = 1,81 2 w0Рис. 2. Зависимость нагрузки p от прогиба w0 при различных l1, l2 и αp8 α = 040l1 = 1 l2 = 1,8l1 = 0,2 l2 = 1l1 = 0,8 l2 = 1,8l1 = 0,6 l2 = 1,61 2 w0Рис. 3. Зависимость нагрузки p от прогиба w0 при различных l1, l2 и α92Монахов И.А., Басов Ю.К., Абу Махади М.И. Большие прогибы идеально пластической...p4 α = 0,43l1 = 0,2 l2 = 12l1 = 0,8 l2 = 1,8l1 = 0,6 l2 = 1,61l1 = 1 l2 = 1,81 w0Рис. 4. Зависимость нагрузки p от прогиба w0 при различных l1, l2 и αТаким образом, получено аналитическое решение задачи о деформировании балки с одной защемленной и с другой шарнирно-неподвижной опорами под действием локальных распределенных нагрузок, краевых моментов и продольной силы с учетом больших прогибов. Зависимости нагрузки р от прогиба w0 при раз- личных заданных l1, l2, и α показаны на рис. 2-4.

I A Monakhov

Moscow Architecture and Construction Institute; Moscow Finance and Law Academy

Volgogradsky Prospekt, d. 32/11, Moscow, Russia, 109316; Vvedensky str., d. 1, Moscow, Russia, 117342

Yu K Basov

Peoples’ Friendship University of Russia

Ordzhonikidze str., 3, Moscow, Russia, 115419

M I Abu Mahadi

Peoples’ Friendship University of Russia

Ordzhonikidze str., 3, Moscow, Russia, 115419

Views

Abstract - 103

PDF (Russian) - 42


Copyright (c) 2016 Монахов И.А., Басов Ю.К., Абу Махади М.И.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.