БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАЩЕМЛЕННОЙ И ШАРНИРНО-НЕПОДВИЖНОЙ БАЛКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СОЧЕТАНИЯ НАГРУЗОК

Полный текст

Зоны 0  х  х1 и х3  х  2 - жесткие, откуда распределение прогибов в этих зонах равноw = w1 3x , w = w2 - x ,(1)x1 2 - x3где w1 и w3 - прогибы при х = х1 и х = х3.Скорости прогибов в этих зонах равныi⎧ w ⎫w = 1x при 0  х  х , wi = ⎧ w3i⎫(2 - x) при х х  2. (2)⎨ ⎬⎩ x1 ⎭1 ⎨ ⎬ 3⎩ 2 - x3 ⎭Из условия слабых разрывов получаем уравнениеi- ⎛ p ⎞ (xix ) + p xi⎛ w ⎞ p i- 1 - x = 0⎜⎝ (n ± n1 ) ⎟⎠111 2 (n ± n ) 2⎜⎝ x1 ⎟⎠(n ± n1 )i1⎧ p ⎫ ⎛ w ⎞или ⎨(x2 - x1 )⎬= ⎜ ⎟,⎩(n ± n1 )⎭ ⎝ x1 ⎠89Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2016, № 3интегрирование которого с учетом начального условия w1 = 0 при х = х1 дает вы- ражение w1:w = px1 (xx ).(3)11 (n ± n ) 2 1Для х = х3 можно получить выражение w3w = p (x - x )(2 - x ).13 (n ± n ) 3 2 3(4)С помощью (3), (4) из (1) следуют два равносильных выраженияw = p(x 2 - x 2 ),10 2(n ± n ) 2 1w = p(4x4x- x 2 - x 2 ).(5)10 2(n ± n ) 3 2 3 2Можно получить выражения для изгибающих моментов в зонах 0  x  l1, l1  x  x1, x3  x  l2, l2  x  2 согласно уравнению равновесия:m = (px1 - pl1)x ± a, (0  x  l1)px 2pl 2 2 1 m = - 2+ pxx1 -2 ± a, (l1  x  x1).Из условия пластичности получим:px 2pl 22 1 1 1m x = x= 1- (n ± n1 ) =- ± a, откуда выражение для p:2 2 ⎣ 1 ⎦2 ⎡1- (n ± n )2 ∓ a⎤ p = ;1 1x 2 - l 2(6)m = - px 22+ pxx3 +1- (n ± n1 )23 px 2-2, (x3 ≤ x ≤ l2)m = (px3 - pl2)x + 1 - (n ± n1)2 + pl2 - px3l2, (l2  x  2).Из условия пластичности получим:pl 2px 22 2 3 3 m x =2 = - ⎡1- (n ± n1 )⎤ ± a = -2 pl2 + 2 px3 +1- (n ± n1 ) + 2 - 2 .⎣ ⎦90Монахов И.А., Басов Ю.К., Абу Махади М.И. Большие прогибы идеально пластической...Откуда выражение для р:4 ⎡1- (n ± n )2 ∓ 2a⎤p = ⎣4l+ 4x1 ⎦ .l 2 + x 2(7)2 3 2 3Используя полученные равносильные равенства (6) и (7) для р можно получить выражение для x2:x 2 l 2 l 2 1 1 2 x2 = - 4+ + l2 - ,2 4(8)осталось лишь определить значение п в зависимости от р.Определим значение п из условия максимума р. Это приводит к задаче об ус- ловном максимуме функции р, которая приводится к задаче о безусловном мак- симуме функции ϕ с помощью множителя Лагранжа (рис. 1).Безусловная функция имеет вид2 ⎡1- (n ± n1)2 ∓ α⎤ ⎡1- (n ± n1)2 ∓ α⎤ (x 2 - x 2 )φ= ⎣ ⎦ + λ ⎣ ⎦2 1 λw ,(9)(x 2 - l 2 )(x 2 - l 2 )(n ± n ) 01 1 1 1 1где λ - множитель Лагранжа.α p αn1 n1xl1x1x2 l22Рис. 1. Расчетная схемаДифференцируя (9) по х1 и n и приравнивая результаты к нулю, можно полу- чить:∂φ = 2 +λ (x 2 - l 2 ) = 0, откуда2(n ± n1 ),∂x12 1n ± n1λ = - 2 1x 2 - l 2(∂φ = 2[-2(n ± n )]+ λ∂nx 2 - x2 22 )(x2 - x1 )[1+ (n ± n1) ∓ α](x2 - l1 )(n ± n1)= 0,1 2 1 2 291Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2016, № 3откуда(n ± n )2 =2 1(1∓ α)(x 2 - x 2 ),p = 4(1∓ α) .(10)2 1 11 x 2 + x 2 - 2l 22 1 1(x 2 + x 2 - 2l 2 )2pα = -0,410l1 = 0,6 l2 = 1,65l1 = 0,8 l2 = 1,8l1 = 0,2 l2 = 1l1 = 1 l2 = 1,81 2 w0Рис. 2. Зависимость нагрузки p от прогиба w0 при различных l1, l2 и αp8 α = 040l1 = 1 l2 = 1,8l1 = 0,2 l2 = 1l1 = 0,8 l2 = 1,8l1 = 0,6 l2 = 1,61 2 w0Рис. 3. Зависимость нагрузки p от прогиба w0 при различных l1, l2 и α92Монахов И.А., Басов Ю.К., Абу Махади М.И. Большие прогибы идеально пластической...p4 α = 0,43l1 = 0,2 l2 = 12l1 = 0,8 l2 = 1,8l1 = 0,6 l2 = 1,61l1 = 1 l2 = 1,81 w0Рис. 4. Зависимость нагрузки p от прогиба w0 при различных l1, l2 и αТаким образом, получено аналитическое решение задачи о деформировании балки с одной защемленной и с другой шарнирно-неподвижной опорами под действием локальных распределенных нагрузок, краевых моментов и продольной силы с учетом больших прогибов. Зависимости нагрузки р от прогиба w0 при раз- личных заданных l1, l2, и α показаны на рис. 2-4.

Об авторах

Игорь А Монахов

Московский архитектурно-строительный институт; Московская финансово-юридическая академия

Волгоградский проспект, д. 32/11, Москва, Россия, 109316; ул. Введенского, 1, Москва, Россия, 117342

Юрий Климентьевич Басов

Российский университет дружбы народов

ул. Орджоникидзе, 3, Москва, Россия, 115419

Мохаммед Ибрагим Абу Махади

Российский университет дружбы народов

ул. Орджоникидзе, 3, Москва, Россия, 115419

Список литературы