On the Algebra of Operators Corresponding to the Union of Smooth Submanifolds

Cover Page

Abstract


For a pair of smooth transversally intersecting submanifolds in some enveloping smooth manifold, we study the algebra generated by pseudodifferential operators and (co)boundary operators corresponding to submanifolds. We establish that such an algebra has 18 types of generating elements. For operators from this algebra, we define the concept of symbol and obtain the composition formula.


Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ Рассмотрим гладкое замкнутое многообразие X0 и два его подмногообразия X1 и X2 произвольной размерности, которые пересекаются трансверсально. С этой геометрической ситуацией ассоциирован класс граничных задач с граничными условиями на указанных подмногообразиях. Эти задачи рассматривались, например, в работах [1,9,10] (см. также [6,7]). В цитированных работах были установлены теоремы о фредгольмовости некоторых из задач такого вида, также были получены формулы индекса, учитывающие вклады в индекс стратов многообразия с особенностями - объединения X1∪X2. В дальнейшем эти результаты и методы применялись при исследовании некоторых нелокальных задач с граничными условиями на гладком подмногообразии (см. [2,4]). В настоящей работе мы исследуем алгебраические аспекты этой теории. А именно, рассматривается алгебра операторов, мультипликативно порожденная псевдодифференциальными операторами на основном многообразии и на подмногообразиях, а также операторами сужения функций на подмногообразия и соответствующими двойственными операторами продолжения функций с подмногообразия на объемлющее многообразие. Мы показываем, что рассматриваемая алгебра имеет 18 видов аддитивных порождающих элементов, а общий элемент этой алгебры записывается в виде матрицы размера 3 × 3 вида , (1.1) где через обозначены прямые суммы пространств Соболева на многообразиях X0,X1,X2 с некоторыми показателями гладкости для каждого из многообразий. Компоненты матрицы (1.1) имеют следующую природу: • D0,D1,D2 - псевдодифференциальные операторы (далее ПДО) на соответствующих многообразиях X0,X1,X2; c РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 672 • B1,B2 и C1,C2 - граничные и кограничные операторы (см. [8]), сосредоточенные на подмногообразиях X1,X2; - граничные и кограничные операторы, сосредоточенные на пересечении X1 ∩ X2; • G1,G2 - операторы Грина (см., напр., [3, 11, 13]), сосредоточенные на подмногообразиях X1,X2; • M0,M1,M2 - операторы Меллина (см., напр., [7]), сосредоточенные на пересечении X1 ∩X2; • T12,T21 - трансляторы (см. [10]), сосредоточенные на пересечении X1 ∩ X2. Отметим, что ранее большинство из указанных классов операторов исследовалось в литературе. Однако наш подход в данной работе позволяет рассматривать все эти операторы с единой точки зрения. Более того, мы показываем, что классификация (1.1) по существу дается в терминах того, на каком страте многообразия с особенностями рассматриваемый оператор сосредоточен. Кроме указанной классификации, в данной работе мы также даем формулу для символа таких операторов и устанавливаем формулу композиции. Постановка задачи, которая решается в настоящей работе, а также формулировки основных результатов даны А. Ю. Савиным и Б. Ю. Стерниным. Работа над окончательной версией текста работы проводилась Д. А. Полуэктовой и А. Ю. Савиным. 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим пространство X0 = Rn с фиксированными координатами x1,...,xn. Пусть X1,X2 ⊂ X0 - некоторые координатные плоскости, такие что dimXk < dimX0, k = 1,2, и dim(X1 ∩ X2) > 0. При этом на плоскостях в качестве координат будем брать только соответствующие компоненты из координат x1,...,xn объемлющего пространства. Для k = 1,2 будем обозначать nk = codimXk(X1∩X2) - коразмерность подпространства X1∩X2 в объемлющем пространстве Xk, νk = codimX0 Xk. Также обозначим ν3 = codimX0(X1 ∩ X2). Тройке (X0,X1,X2) сопоставим следующие операторы: 1. Псевдодифференциальные операторы на многообразиях X0,X1,X2: Ak : Hs(Xk) -→ Hs-m(Xk), k = 0,1,2, (2.1) действующие в пространствах Соболева. Здесь и ниже будем рассматривать только псевдодифференциальные операторы (2.1) (ПДО), ядра Шварца которых имеют компактный носитель. 2. Элементарные граничные операторы, отвечающие подмногообразию Xk, k = 1,2: , (2.2) где s - νk/2 > 0 и (y,z) - координаты на X0, в которых Xk = {y = 0}. 3. Элементарные кограничные операторы, отвечающие подмногообразию Xk, k = 1,2: , (2.3) где s-νk/2 > 0, δ(y) - дельта-функция Дирака и координаты (y,z) выбраны как в предыдущем пункте. Далее будем считать, что для каждого оператора зафиксированы показатели порядков пространств Соболева, в которых он действует (при этом сами пространства будем обозначать через H(Z), Z ⊂ X0, не указывая явно их порядок). Кроме того, если рассматривается композиция операторов D1D2, то будем предполагать, что пространство Соболева, на котором определен оператор D1, совпадает с пространством Соболева, в которое действует оператор D2. Теперь для любых k,l ∈ {0,1,2} рассмотрим линейное пространство, обозначаемое через Mork,l, операторов H(Xl) → H(Xk) некоторого фиксированного порядка, которое мультипликативно порождается операторами (2.1), (2.2) и (2.3) как образующими. Более точно, операторы из Mork,l определим как конечные суммы операторов вида Dkl = Dk,j1Dj1,j2 ...DjN,l, (2.4) где Dα,β : H(Xβ) → H(Xα) - композиция псевдодифференциальных операторов на Xα и Xβ с элементарным граничным оператором (если Xα ⊂ Xβ) или с элементарным кограничным оператором (если Xβ ⊂ Xα). Обозначим через Mor прямую сумму Mor =Mork,l . Элементы этой прямой суммы будем называть морфизмами (ср. [9]). Для определенности далее будем рассматривать только морфизмы нулевого порядка, действующие в пространстве (2.5) для некоторых фиксированных чисел sk ∈ R. Из построения следует, что такие морфизмы определяют алгебру относительно композиции (ее по-прежнему будем обозначать через Mor). Возникает задача об исследовании операторов из алгебры Mor. Более точно, речь идет об описании природы этих операторов, определения их символов и понятия эллиптичности, доказательстве фредгольмовости эллиптических операторов (теорема конечности) и получении формулы индекса. В данной работе мы проведем классификацию возникающих операторов, определим понятие символа для них и установим формулу композиции. Вопросы, связанные с эллиптичностью, планируется рассмотреть в отдельной публикации. 3. КЛАССИФИКАЦИЯ МОРФИЗМОВ Объединение X1 ∪ X2 представляет собой многообразие с особенностями в X0. Проведем классификацию элементов из Mor в соответствии с тем, на каком страте они сосредоточены. Сначала дадим определение понятия сосредоточенности. Через обозначим алгебру гладких финитных функций на X0. Заметим, что пространство H (см. (2.5)) является -модулем относительно умножения на функции из и их сужений на X1 и X2. Определение 3.1. Будем говорить, что оператор D: H → H сосредоточен на подмногообразии Z ⊂ X0, если операторы ϕD и Dϕ являются операторами меньшего порядка, чем D, для любой функции . Несложно проверить, что элементарные граничный и кограничный операторы сосредоточены на подмногообразии, которому они отвечают. В самом деле, например, для оператора i1 : H(X0) → H(X1) и всех функций имеем ϕi1 = i1ϕ = 0. Отсюда вытекает следующая Лемма 3.1. Композиция (2.4) сосредоточена на пересечении подмногообразий Xk ∩ Xj1 ∩ ··· ∩ XjN ∩ Xl. (3.1) Лемма 3.1 позволяет все композиции вида (2.4) разбить на четыре класса в соответствии с тем, чему равно пересечение (3.1): оно равно одному из подмногообразий X0,X1,X2,X1∩X2. Покажем, какой вид имеют операторы в каждом из четырех классов. Далее все морфизмы из Mor будем представлять как 3 × 3 матричные операторы H → H. 1. Пересечение (3.1) равно X0. Ясно, что этот случай реализуется тогда и только тогда, когда Xk = Xi1 = ··· = XiN = Xl = X0, т. е. мы имеем дело с ПДО на X0. Соответствующий матричный оператор равен . 2. Пересечение (3.1) равно X1. Этот случай реализуется тогда и только тогда, когда все многообразия в (3.1) равны либо X0, либо X1, так что мы имеем дело с композициями ПДО на X0 и X1 с, по крайней мере, одним элементарным граничным или кограничным операторами i1, i1. В соответствии с тем, между какими многообразиями эти композиции действуют, получаем матричные операторы вида . Здесь оператор D1 всегда является ПДО на X1, поскольку композиция i1Ai1, где A - ПДО на X0, является ПДО на X1 (см. [5,8]). Оператор B1 называется граничным оператором и имеет вид A1 i1 A0, (3.2) где A1,A0 - ПДО на многообразиях X1 и X0, соответственно. Отметим, что «длинные» композиции , - ПДО на X1 и X0, соответственно, всегда можно записать в виде (3.2), так как есть ПДО на X1 (см. [5,8]). Двойственным образом оператор C1 называется кограничным оператором и имеет вид A0 i1 A1. Наконец, оператор G1 называется оператором Грина. Он сосредоточен на подмногообразии X1 и записывается в виде , (3.3) где - ПДО на X0, A1 - ПДО на X1. Отметим, что длинные композиции вида сводятся к виду (3.3), поскольку оператор является ПДО на X1 в силу цитированных работ. 3. Пересечение (3.1) равно X2. Этот случай аналогичен предыдущему. Получаем операторы вида , включающие ПДО D2 на X2, (ко)граничные операторы C2, B2 и оператор Грина G2, сосредоточенные на подмногообразии X2. 4. Пересечение (3.1) равно X1 ∩ X2. Возникающие в этом случае операторы запишем в виде . Каждый из операторов в этой матрице является композицией, в которую входят не менее одного (ко)граничного оператора, отвечающих каждому из подмногообразий X1 и X2. Операторы M0, M1, M2 называются операторами Меллина, сосредоточенными на подмногообразии X1 ∩X2. Операторы называются граничными и кограничными операторами, сосредоточенными на подмногообразии X1 ∩X2. Операторы T12, T21 называются трансляторами, действующими между многообразиями X1 и X2 (трансляторы были введены в работе [10]). Операторы перечисленных выше классов представляют собой аддитивные образующие алгебры Mor. Таким образом, общий морфизм имеет вид . (3.4) Итак, алгебра Mor имеет 18 типов аддитивных образующих. Проиллюстрируем возникающие типы операторов графически. А именно, рассмотрим ориентированный граф с петлями, изображенный на рис. 1. Вершины этого графа отвечают пространствам Соболева на соответствующих многообразиях, петли отвечают ПДО, ребра X0 → Xk - граничным операторам ik, а ребра Xk → X0 - кограничным операторам ik. РИС. 1. Ориентированный граф с петлями. Тогда композиции вида (2.4) отвечает путь Xl -→ Xj1 -→ Xj2 -→ ... -→ XjN -→ Xk в этом графе из вершины Xl в вершину Xk. При этом тип композиции полностью определяется соответствующим путем. Для путей малой длины соответствующая классификация дается на рис. 2, причем пути отвечают следующим классам операторов: a) ПДО, b) граничные операторы, c) кограничные операторы, d) операторы Грина; и на рис. 3, где пути отвечают следующим классам операторов: a) операторы Меллина на X0, b) граничные операторы, сосредоточенные на X1 ∩ X2, c) кограничные операторы, сосредоточенные на X1 ∩ X2, d) трансляторы, e) операторы Меллина на X1 и X2. 4. СИМВОЛЫ МОРФИЗМОВ 4.1. Символы ПДО и (ко)граничных операторов. Для построения символа общего морфизма из алгебры Mor определим символы образующих на разных подмногообразиях. 1. Символ ПДО. Пусть A - ПДО на X0. Определим его символ[1] на подмногообразии Z ⊂ X0. Ниже в качестве Z используются многообразия X0, X1, X2, X1 ∩ X2. Выберем на X0 координаты (z,y), в которых Z задается уравнениями y = 0. Соответствующие копеременные (в слоях T∗X0) обозначим через (ζ,η). Символ ПДО A обозначим через A(z,y,ζ,η). РИС. 2. Типы путей в графе. РИС. 3. Типы путей в графе. Символом ПДО A на подмногообразии Z назовем оператор-функцию , (4.1) где Аналогично определяются символы ПДО, действующих на X1, X2, X1 ∩ X2. Ясно, что формула (4.1) получается стандартными операциями: замораживанием коэффициентов оператора на страте и последующим взятием преобразования Фурье по касательным к страту переменным. 2. Символ граничного оператора. Символ граничного оператора i1 на страте X1 есть оператор где мы использовали координаты (z,y) на X0, в которых . Чтобы определить символ σX1∩X2(i1) оператора i1 на страте X1 ∩ X2, введем на X0 координаты (x,y,z), в которых X1 = {y = 0}, X1 ∩ X2 = {(x,y) = (0,0)}. Тогда символ σX1∩X2(i1) зададим как оператор-функцию Аналогично определяются символы σX2(i2) и σX1∩X2(i2) оператора i2. 3. Символ кограничного оператора. Символ кограничного оператора i1 определяется двойственным образом. Более точно, положим и положим Аналогично определяются символы σX2(i2) и σX1∩X2(i2) оператора i2. 4.2. Символы морфизмов общего вида. Пусть Z - любой из стратов X0, X1, X2, X1 ∩ X2. Определение 4.1. Символ морфизма (2.4) на страте Z определим как композицию σZ(Dkl) = σZ(Dk,j1)σZ(Dj1,j2) ... σZ(DjN,l) (4.2) символов сомножителей Djα,jα+1 на страте Z. Для морфизма (3.4) получаем, таким образом, следующие символы: 1. символ на страте X0 равен символу ПДО D0: ; 2. символ на страте X1 является оператор-функцией со значениями в операторах, действующих в пространствах H(Rν1) H(Rν1) σX1(D)(z,ζ): ⊕ -→ ⊕ ; C C 3. символ на страте X2 является оператор-функцией со значениями в операторах, действующих в пространствах H(Rν2) H(Rν2) σX2(D)(z,ζ): ⊕ -→ ⊕ ; C C 4. наконец, символ на пересечении Z = X1 ∩ X2 есть оператор-функция , где со значениями в операторах, действующих в пространствах σZ(D)(z,ζ): H(Rν3) ⊕ H(Rn1) -→ ⊕ H(Rn2) H(Rν3) ⊕ H(Rn1) . ⊕ H(Rn2) 4.3. Формула композиции. В этом пункте устанавливается, что символ морфизма корректно определен и справедлива формула композиция. Более точно, установим следующую теорему, которая является основным результатом данной работы. Теорема 4.1. Для морфизма D ∈ Mor его символ σZ(D) (см. определение 4.1) на любом страте Z не зависит от выражения морфизма через порождающие элементы. Кроме того, для любых морфизмов D1,D1 ∈ Mor справедлива формула композиции σZ(D1D2) = σZ(D1)σZ(D2). (4.3) Доказательство. Из определения символа следует, что формула композиции (4.3) выполнена по построению. Поэтому надо установить только корректность определения символа (т. е., что символ не зависит от выбора представления морфизма в терминах образующих). 1. Определим операторы редукции порядка , (4.4) где Λk - эллиптический ПДО порядка sk на Xk. Тогда произвольный морфизм D ∈ Mor можно свести к морфизму нулевого порядка, действующему в пространствах L2, если морфизм D домножить слева и справа на соответствующие операторы редукции порядка. При этом несложно показать, что утверждения доказываемой теоремы для исходного морфизма D следуют из аналогичных утверждений для морфизма нулевого порядка. Итак, достаточно доказать теорему в случае морфизма D ∈ Mor нулевого порядка . (4.5) 2. Для доказательства корректности определения символа оператора (4.5) мы используем подходы работы [12] (в случае гладкого замкнутого многообразия) и работы [14] (в случае краевых задач). Определим вспомогательное семейство операторов. Рассмотрим пространство Rk+ν с координатами (z,y). Для точки определим семейство операторов , (4.6) действующих по формуле (ср. [14]) . Прямая проверка показывает, что операторы (4.6) являются унитарными и для любой функции u ∈ Cc∞(Rk+ν) при λ → ∞ имеет место слабая сходимость . Теперь вернемся к морфизму (4.5). Рассмотрим его компоненту Dkl : L2(Xl) -→ L2(Xk), и пусть Z ⊂ X1 ∪ X2 - некоторый страт, на котором вычисляется символ. Выберем координаты так, что Z определяется уравнениями Z = {(z,0)} в Xk и в Xl. Здесь ν - коразмерность Z в Xk, а ν - коразмерность Z в Xl. В этих обозначениях корректность определения символа вытекает из следующей леммы. Лемма 4.1. Для любых функций и точки имеем . (4.7) Доказательство. В силу линейности и мультипликативности выражения в (4.7) достаточно доказать равенство предела нулю в следующих трех случаях: 1. k = l, а Dkk является псевдодифференциальным оператором нулевого порядка; 2. l = 0, k > 0 и Dk0 = ΛkikΛ0 : L2(X0) -→ L2(Xk), где Λ0,Λk - некоторые операторы редукции порядка на X0 и Xk; 3. k = 0, l > 0 и (4.8) D0l = Λ0ilΛl : L2(Xl) -→ L2(X0), (4.9) где Λ0,Λl - некоторые операторы редукции порядка на X0 и Xl. Отметим, что при определении операторов (4.8) и (4.9) предполагается, что композиции определены и являются операторами нулевого порядка. Проверка справедливости соотношения (4.7) для указанных трех классов операторов проводится аналогично проверке в [14], и мы ее здесь для краткости опускаем. Из леммы 4.1 следует корректность определения символа для морфизмов нулевого порядка. Отсюда следует корректность определения символа для морфизмов произвольного порядка. Теорема доказана.

About the authors

D. A. Poluektova

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Author for correspondence.
Email: darya.loshhenova.90@bk.ru
Moscow, Russia

A. Yu. Savin

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Email: antonsavin@mail.ru
Moscow, Russia

B. Yu. Sternin

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Email: antonsavin@mail.ru
Moscow, Russia

References

  1. Зеликин М.И., Стернин Б.Ю. Об одной системе интегральных уравнений, возникающей в задаче С. Л. Соболева// Сиб. мат. ж. - 1977. -18, № 1. - С. 97-102.
  2. Лощенова Д.А. Задачи Соболева, ассоциированные с действиями групп Ли// Дифф. уравн. - 2015. - 51, № 8. - С. 1056-1069.
  3. Назайкинский В.Е., Стернин Б.Ю. Об операторе Грина в относительной эллиптической теории// Докл. РАН. - 2003. -391, № 3. - С. 306-309.
  4. Нгуен Л.Л. О нелокальных задачах Соболева// Дифф. уравн. - 2012. -48, № 8. - С. 1192-1196.
  5. Новиков С.П., Стернин Б.Ю. Следы эллиптических операторов на подмногообразиях и K-теория// Докл. АН СССР. - 1966. -170, № 6. - С. 1265-1268.
  6. Савин А.Ю., Стернин Б.Ю. Эллиптические трансляторы на многообразиях с многомерными особенностями// Дифф. уравн. - 2013. -49, № 4. - С. 513-527.
  7. Савин А.Ю., Стернин Б.Ю. Индекс задач Соболева на многообразиях с многомерными особенностями// Дифф. уравн. - 2014. -50, № 2. - С. 229-241.
  8. Стернин Б.Ю. Эллиптические и параболические задачи на многообразиях с границей, состоящей из компонент различной размерности// Тр. Моск. мат. об-ва - 1966. -15. - С. 346-382.
  9. Стернин Б.Ю. Эллиптические (ко)граничные морфизмы// Докл. АН СССР. - 1967. -172, № 1. - С. 44-47.
  10. Стернин Б.Ю. Эллиптические морфизмы на многообразиях с особенностями (оснащение эллиптического оператора)// Докл. АН СССР. - 1971. -200, № 1. - С. 45-48.
  11. Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Относительная эллиптическая теория и задача Соболева// Мат. сб. - 1996. -187, № 11. - С. 115-144.
  12. Hormander L.¨ Pseudo-differential operators// Commun. Pure Appl. Math. - 1965. -18. - С. 501-517.
  13. Nazaikinskii V., Sternin B. Relative elliptic theory// В сб.: «Aspects of Boundary Problems in Analysis and Geometry». - Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 2004. - С. 495-560.¨
  14. Rempel S., Schulze B.-W. Index theory of elliptic boundary problems. - Berlin: Akademie-Verlag, 1982.

Statistics

Views

Abstract - 67

PDF (Russian) - 32

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies