Об алгебре операторов, отвечающей объединению гладких подмногообразий

Аннотация

Для пары гладких трансверсально пересекающихся подмногообразий в некотором объемлющем гладком многообразии исследуется алгебра, порожденная псевдодифференциальными операторами и (ко)граничными операторами, отвечающими подмногообразиям. Устанавливается, что данная алгебра имеет 18 типов порождающих элементов. Для операторов из этой алгебры определяется понятие символа и устанавливается формула композиции.

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ Рассмотрим гладкое замкнутое многообразие X0 и два его подмногообразия X1 и X2 произвольной размерности, которые пересекаются трансверсально. С этой геометрической ситуацией ассоциирован класс граничных задач с граничными условиями на указанных подмногообразиях. Эти задачи рассматривались, например, в работах [1, 9, 10] (см. также [6, 7]). В цитированных работах были установлены теоремы о фредгольмовости некоторых из задач такого вида, также были получены формулы индекса, учитывающие вклады в индекс стратов многообразия с особенностями - объединения X1∪X2. В дальнейшем эти результаты и методы применялись при исследовании некоторых нелокальных задач с граничными условиями на гладком подмногообразии (см. [2, 4]). В настоящей работе мы исследуем алгебраические аспекты этой теории. А именно, рассматривается алгебра операторов, мультипликативно порожденная псевдодифференциальными операторами на основном многообразии и на подмногообразиях, а также операторами сужения функций на подмногообразия и соответствующими двойственными операторами продолжения функций с подмногообразия на объемлющее многообразие. Мы показываем, что рассматриваемая алгебра имеет 18 видов аддитивных порождающих элементов, а общий элемент этой алгебры записывается в виде матрицы размера 3 × 3 вида , (1.1) где через обозначены прямые суммы пространств Соболева на многообразиях X0,X1,X2 с некоторыми показателями гладкости для каждого из многообразий. Компоненты матрицы (1.1) имеют следующую природу: • D0,D1,D2 - псевдодифференциальные операторы (далее ПДО) на соответствующих многообразиях X0,X1,X2; c РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 672 • B1,B2 и C1,C2 - граничные и кограничные операторы (см. [8]), сосредоточенные на подмногообразиях X1,X2; - граничные и кограничные операторы, сосредоточенные на пересечении X1 ∩ X2; • G1,G2 - операторы Грина (см., напр., [3, 11, 13]), сосредоточенные на подмногообразиях X1,X2; • M0,M1,M2 - операторы Меллина (см., напр., [7]), сосредоточенные на пересечении X1 ∩X2; • T12,T21 - трансляторы (см. [10]), сосредоточенные на пересечении X1 ∩ X2. Отметим, что ранее большинство из указанных классов операторов исследовалось в литературе. Однако наш подход в данной работе позволяет рассматривать все эти операторы с единой точки зрения. Более того, мы показываем, что классификация (1.1) по существу дается в терминах того, на каком страте многообразия с особенностями рассматриваемый оператор сосредоточен. Кроме указанной классификации, в данной работе мы также даем формулу для символа таких операторов и устанавливаем формулу композиции. Постановка задачи, которая решается в настоящей работе, а также формулировки основных результатов даны А. Ю. Савиным и Б. Ю. Стерниным. Работа над окончательной версией текста работы проводилась Д. А. Полуэктовой и А. Ю. Савиным. 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим пространство X0 = Rn с фиксированными координатами x1,...,xn. Пусть X1,X2 ⊂ X0 - некоторые координатные плоскости, такие что dimXk < dimX0, k = 1,2, и dim(X1 ∩ X2) > 0. При этом на плоскостях в качестве координат будем брать только соответствующие компоненты из координат x1,...,xn объемлющего пространства. Для k = 1,2 будем обозначать nk = codimXk(X1∩X2) - коразмерность подпространства X1∩X2 в объемлющем пространстве Xk, νk = codimX0 Xk. Также обозначим ν3 = codimX0(X1 ∩ X2). Тройке (X0,X1,X2) сопоставим следующие операторы: 1. Псевдодифференциальные операторы на многообразиях X0,X1,X2: Ak : Hs(Xk) -→ Hs-m(Xk), k = 0,1,2, (2.1) действующие в пространствах Соболева. Здесь и ниже будем рассматривать только псевдодифференциальные операторы (2.1) (ПДО), ядра Шварца которых имеют компактный носитель. 2. Элементарные граничные операторы, отвечающие подмногообразию Xk, k = 1,2: , (2.2) где s - νk/2 > 0 и (y,z) - координаты на X0, в которых Xk = {y = 0}. 3. Элементарные кограничные операторы, отвечающие подмногообразию Xk, k = 1,2: , (2.3) где s-νk/2 > 0, δ(y) - дельта-функция Дирака и координаты (y,z) выбраны как в предыдущем пункте. Далее будем считать, что для каждого оператора зафиксированы показатели порядков пространств Соболева, в которых он действует (при этом сами пространства будем обозначать через H(Z), Z ⊂ X0, не указывая явно их порядок). Кроме того, если рассматривается композиция операторов D1D2, то будем предполагать, что пространство Соболева, на котором определен оператор D1, совпадает с пространством Соболева, в которое действует оператор D2. Теперь для любых k,l ∈ {0,1,2} рассмотрим линейное пространство, обозначаемое через Mork,l, операторов H(Xl) → H(Xk) некоторого фиксированного порядка, которое мультипликативно порождается операторами (2.1), (2.2) и (2.3) как образующими. Более точно, операторы из Mork,l определим как конечные суммы операторов вида Dkl = Dk,j1Dj1,j2 ...DjN,l, (2.4) где Dα,β : H(Xβ) → H(Xα) - композиция псевдодифференциальных операторов на Xα и Xβ с элементарным граничным оператором (если Xα ⊂ Xβ) или с элементарным кограничным оператором (если Xβ ⊂ Xα). Обозначим через Mor прямую сумму Mor =Mork,l . Элементы этой прямой суммы будем называть морфизмами (ср. [9]). Для определенности далее будем рассматривать только морфизмы нулевого порядка, действующие в пространстве (2.5) для некоторых фиксированных чисел sk ∈ R. Из построения следует, что такие морфизмы определяют алгебру относительно композиции (ее по-прежнему будем обозначать через Mor). Возникает задача об исследовании операторов из алгебры Mor. Более точно, речь идет об описании природы этих операторов, определения их символов и понятия эллиптичности, доказательстве фредгольмовости эллиптических операторов (теорема конечности) и получении формулы индекса. В данной работе мы проведем классификацию возникающих операторов, определим понятие символа для них и установим формулу композиции. Вопросы, связанные с эллиптичностью, планируется рассмотреть в отдельной публикации. 3. КЛАССИФИКАЦИЯ МОРФИЗМОВ Объединение X1 ∪ X2 представляет собой многообразие с особенностями в X0. Проведем классификацию элементов из Mor в соответствии с тем, на каком страте они сосредоточены. Сначала дадим определение понятия сосредоточенности. Через обозначим алгебру гладких финитных функций на X0. Заметим, что пространство H (см. (2.5)) является -модулем относительно умножения на функции из и их сужений на X1 и X2. Определение 3.1. Будем говорить, что оператор D: H → H сосредоточен на подмногообразии Z ⊂ X0, если операторы ϕD и Dϕ являются операторами меньшего порядка, чем D, для любой функции . Несложно проверить, что элементарные граничный и кограничный операторы сосредоточены на подмногообразии, которому они отвечают. В самом деле, например, для оператора i1 : H(X0) → H(X1) и всех функций имеем ϕi1 = i1ϕ = 0. Отсюда вытекает следующая Лемма 3.1. Композиция (2.4) сосредоточена на пересечении подмногообразий Xk ∩ Xj1 ∩ ··· ∩ XjN ∩ Xl. (3.1) Лемма 3.1 позволяет все композиции вида (2.4) разбить на четыре класса в соответствии с тем, чему равно пересечение (3.1): оно равно одному из подмногообразий X0,X1,X2,X1∩X2. Покажем, какой вид имеют операторы в каждом из четырех классов. Далее все морфизмы из Mor будем представлять как 3 × 3 матричные операторы H → H. 1. Пересечение (3.1) равно X0. Ясно, что этот случай реализуется тогда и только тогда, когда Xk = Xi1 = ··· = XiN = Xl = X0, т. е. мы имеем дело с ПДО на X0. Соответствующий матричный оператор равен . 2. Пересечение (3.1) равно X1. Этот случай реализуется тогда и только тогда, когда все многообразия в (3.1) равны либо X0, либо X1, так что мы имеем дело с композициями ПДО на X0 и X1 с, по крайней мере, одним элементарным граничным или кограничным операторами i1, i1. В соответствии с тем, между какими многообразиями эти композиции действуют, получаем матричные операторы вида . Здесь оператор D1 всегда является ПДО на X1, поскольку композиция i1Ai1, где A - ПДО на X0, является ПДО на X1 (см. [5, 8]). Оператор B1 называется граничным оператором и имеет вид A1 i1 A0, (3.2) где A1,A0 - ПДО на многообразиях X1 и X0, соответственно. Отметим, что «длинные» композиции , - ПДО на X1 и X0, соответственно, всегда можно записать в виде (3.2), так как есть ПДО на X1 (см. [5, 8]). Двойственным образом оператор C1 называется кограничным оператором и имеет вид A0 i1 A1. Наконец, оператор G1 называется оператором Грина. Он сосредоточен на подмногообразии X1 и записывается в виде , (3.3) где - ПДО на X0, A1 - ПДО на X1. Отметим, что длинные композиции вида сводятся к виду (3.3), поскольку оператор является ПДО на X1 в силу цитированных работ. 3. Пересечение (3.1) равно X2. Этот случай аналогичен предыдущему. Получаем операторы вида , включающие ПДО D2 на X2, (ко)граничные операторы C2, B2 и оператор Грина G2, сосредоточенные на подмногообразии X2. 4. Пересечение (3.1) равно X1 ∩ X2. Возникающие в этом случае операторы запишем в виде . Каждый из операторов в этой матрице является композицией, в которую входят не менее одного (ко)граничного оператора, отвечающих каждому из подмногообразий X1 и X2. Операторы M0, M1, M2 называются операторами Меллина, сосредоточенными на подмногообразии X1 ∩X2. Операторы называются граничными и кограничными операторами, сосредоточенными на подмногообразии X1 ∩X2. Операторы T12, T21 называются трансляторами, действующими между многообразиями X1 и X2 (трансляторы были введены в работе [10]). Операторы перечисленных выше классов представляют собой аддитивные образующие алгебры Mor. Таким образом, общий морфизм имеет вид . (3.4) Итак, алгебра Mor имеет 18 типов аддитивных образующих. Проиллюстрируем возникающие типы операторов графически. А именно, рассмотрим ориентированный граф с петлями, изображенный на рис. 1. Вершины этого графа отвечают пространствам Соболева на соответствующих многообразиях, петли отвечают ПДО, ребра X0 → Xk - граничным операторам ik, а ребра Xk → X0 - кограничным операторам ik. РИС. 1. Ориентированный граф с петлями. Тогда композиции вида (2.4) отвечает путь Xl -→ Xj1 -→ Xj2 -→ ... -→ XjN -→ Xk в этом графе из вершины Xl в вершину Xk. При этом тип композиции полностью определяется соответствующим путем. Для путей малой длины соответствующая классификация дается на рис. 2, причем пути отвечают следующим классам операторов: a) ПДО, b) граничные операторы, c) кограничные операторы, d) операторы Грина; и на рис. 3, где пути отвечают следующим классам операторов: a) операторы Меллина на X0, b) граничные операторы, сосредоточенные на X1 ∩ X2, c) кограничные операторы, сосредоточенные на X1 ∩ X2, d) трансляторы, e) операторы Меллина на X1 и X2. 4. СИМВОЛЫ МОРФИЗМОВ 4.1. Символы ПДО и (ко)граничных операторов. Для построения символа общего морфизма из алгебры Mor определим символы образующих на разных подмногообразиях. 1. Символ ПДО. Пусть A - ПДО на X0. Определим его символ[1] на подмногообразии Z ⊂ X0. Ниже в качестве Z используются многообразия X0, X1, X2, X1 ∩ X2. Выберем на X0 координаты (z,y), в которых Z задается уравнениями y = 0. Соответствующие копеременные (в слоях T∗X0) обозначим через (ζ,η). Символ ПДО A обозначим через A(z,y,ζ,η). РИС. 2. Типы путей в графе. РИС. 3. Типы путей в графе. Символом ПДО A на подмногообразии Z назовем оператор-функцию , (4.1) где Аналогично определяются символы ПДО, действующих на X1, X2, X1 ∩ X2. Ясно, что формула (4.1) получается стандартными операциями: замораживанием коэффициентов оператора на страте и последующим взятием преобразования Фурье по касательным к страту переменным. 2. Символ граничного оператора. Символ граничного оператора i1 на страте X1 есть оператор где мы использовали координаты (z,y) на X0, в которых . Чтобы определить символ σX1∩X2(i1) оператора i1 на страте X1 ∩ X2, введем на X0 координаты (x,y,z), в которых X1 = {y = 0}, X1 ∩ X2 = {(x,y) = (0,0)}. Тогда символ σX1∩X2(i1) зададим как оператор-функцию Аналогично определяются символы σX2(i2) и σX1∩X2(i2) оператора i2. 3. Символ кограничного оператора. Символ кограничного оператора i1 определяется двойственным образом. Более точно, положим и положим Аналогично определяются символы σX2(i2) и σX1∩X2(i2) оператора i2. 4.2. Символы морфизмов общего вида. Пусть Z - любой из стратов X0, X1, X2, X1 ∩ X2. Определение 4.1. Символ морфизма (2.4) на страте Z определим как композицию σZ(Dkl) = σZ(Dk,j1)σZ(Dj1,j2) ... σZ(DjN,l) (4.2) символов сомножителей Djα,jα+1 на страте Z. Для морфизма (3.4) получаем, таким образом, следующие символы: 1. символ на страте X0 равен символу ПДО D0: ; 2. символ на страте X1 является оператор-функцией со значениями в операторах, действующих в пространствах H(Rν1) H(Rν1) σX1(D)(z,ζ): ⊕ -→ ⊕ ; C C 3. символ на страте X2 является оператор-функцией со значениями в операторах, действующих в пространствах H(Rν2) H(Rν2) σX2(D)(z,ζ): ⊕ -→ ⊕ ; C C 4. наконец, символ на пересечении Z = X1 ∩ X2 есть оператор-функция , где со значениями в операторах, действующих в пространствах σZ(D)(z,ζ): H(Rν3) ⊕ H(Rn1) -→ ⊕ H(Rn2) H(Rν3) ⊕ H(Rn1) . ⊕ H(Rn2) 4.3. Формула композиции. В этом пункте устанавливается, что символ морфизма корректно определен и справедлива формула композиция. Более точно, установим следующую теорему, которая является основным результатом данной работы. Теорема 4.1. Для морфизма D ∈ Mor его символ σZ(D) (см. определение 4.1) на любом страте Z не зависит от выражения морфизма через порождающие элементы. Кроме того, для любых морфизмов D1,D1 ∈ Mor справедлива формула композиции σZ(D1D2) = σZ(D1)σZ(D2). (4.3) Доказательство. Из определения символа следует, что формула композиции (4.3) выполнена по построению. Поэтому надо установить только корректность определения символа (т. е., что символ не зависит от выбора представления морфизма в терминах образующих). 1. Определим операторы редукции порядка , (4.4) где Λk - эллиптический ПДО порядка sk на Xk. Тогда произвольный морфизм D ∈ Mor можно свести к морфизму нулевого порядка, действующему в пространствах L2, если морфизм D домножить слева и справа на соответствующие операторы редукции порядка. При этом несложно показать, что утверждения доказываемой теоремы для исходного морфизма D следуют из аналогичных утверждений для морфизма нулевого порядка. Итак, достаточно доказать теорему в случае морфизма D ∈ Mor нулевого порядка . (4.5) 2. Для доказательства корректности определения символа оператора (4.5) мы используем подходы работы [12] (в случае гладкого замкнутого многообразия) и работы [14] (в случае краевых задач). Определим вспомогательное семейство операторов. Рассмотрим пространство Rk+ν с координатами (z,y). Для точки определим семейство операторов , (4.6) действующих по формуле (ср. [14]) . Прямая проверка показывает, что операторы (4.6) являются унитарными и для любой функции u ∈ Cc∞(Rk+ν) при λ → ∞ имеет место слабая сходимость . Теперь вернемся к морфизму (4.5). Рассмотрим его компоненту Dkl : L2(Xl) -→ L2(Xk), и пусть Z ⊂ X1 ∪ X2 - некоторый страт, на котором вычисляется символ. Выберем координаты так, что Z определяется уравнениями Z = {(z,0)} в Xk и в Xl. Здесь ν - коразмерность Z в Xk, а ν - коразмерность Z в Xl. В этих обозначениях корректность определения символа вытекает из следующей леммы. Лемма 4.1. Для любых функций и точки имеем . (4.7) Доказательство. В силу линейности и мультипликативности выражения в (4.7) достаточно доказать равенство предела нулю в следующих трех случаях: 1. k = l, а Dkk является псевдодифференциальным оператором нулевого порядка; 2. l = 0, k > 0 и Dk0 = ΛkikΛ0 : L2(X0) -→ L2(Xk), где Λ0,Λk - некоторые операторы редукции порядка на X0 и Xk; 3. k = 0, l > 0 и (4.8) D0l = Λ0ilΛl : L2(Xl) -→ L2(X0), (4.9) где Λ0,Λl - некоторые операторы редукции порядка на X0 и Xl. Отметим, что при определении операторов (4.8) и (4.9) предполагается, что композиции определены и являются операторами нулевого порядка. Проверка справедливости соотношения (4.7) для указанных трех классов операторов проводится аналогично проверке в [14], и мы ее здесь для краткости опускаем. Из леммы 4.1 следует корректность определения символа для морфизмов нулевого порядка. Отсюда следует корректность определения символа для морфизмов произвольного порядка. Теорема доказана.