Strongly Elliptic Differential-Difference Equations with Mixed Boundary Conditions in a Cylindric Domain

Cover Page

Abstract


We consider strongly elliptic differential-difference equations with mixed boundary conditions in a cylindrical domain. We establish the connection between such problems and nonlocal mixed problems for strongly elliptic differential equations, and prove the uniqueness of solutions.


Full Text

ВВЕДЕНИЕ Теория эллиптических функционально-дифференциальных уравнений изучалась многими авторами: А. Б. Антоневичем [1], Ф. Хартманом и Г. Стампакья [15], В. С. Рабиновичем [7] и др. Интерес к этим уравнениям связан с их важными приложениями: к теории многослойных пластин и оболочек [17-19], к нелинейной оптике [10], к теории многомерных диффузионных процессов [19], к теории нелокальных эллиптических задач [2, 10, 13, 14, 19], возникающих в теории плазмы, к проблеме Като о квадратном корне из оператора [10,16,20] и др. Общая теория эллиптических функционально-дифференциальных уравнений построена в работах [8, 10, 19], см. также имеющуюся там библиографию. В работе [19] была доказана эквивалентность задачи Дирихле для эллиптического дифференциально-разностного уравнения и эллиптического дифференциального уравнения с нелокальными условиями на сдвигах границы. Нелинейные эллиптические функционально-дифференциальные уравнения и их применение к исследованию нелинейных эллиптических дифференциальных уравнений с нелокальными условиями рассматривались в работах [12,21]. Смешанные краевые задачи для сильно эллиптических систем дифференциально-разностных уравнений, описывающие упругие деформации трехслойной пластины с гофрированным заполнителем, рассматривались в [18]. Систематическое исследование широкого класса эволюционных функционально-дифференциальных уравнений методами спектральной теории содержится в работах [3-5]. В настоящей работе исследуется краевая задача для сильно эллиптического дифференциальноразностного уравнения в цилиндрической области. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости такой задачи и о гладкости ее обобщенных решений. Эти результаты применяются для доказательства однозначной разрешимости нелокальной смешанной задачи для уравнения Пуассона. Доказана теорема о гладкости обобщенных решений такой задачи. В свою очередь, эти результаты применяются к исследованию гладкости обобщенных решений эллиптических дифференциальноразностных уравнений, которые не обязательно являются сильно эллиптическими. 1. СВОЙСТВА РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ Приведем вспомогательные результаты о свойствах разностных операторов в цилиндре, доказательства см. в [19, §8, гл. II]. 1.1. Рассмотрим разностный оператор R : L2(Rn) → L2(Rn) вида , (1.1) где k ∈ N, aj ∈ C. Пусть Q = (0,d) × G, где G ⊂ Rn-1 - ограниченная область (с границей ∂G ∈ C∞, если, и G = (a,b), если n = 2). Заметим, что оператор R нелокальный: сдвиги по первой переменной могут отображать точки x = (x1,x2,...,xn) ∈ Q в точки (x1 + j,x2,...,xn) ∈ Rn \ Q. Поэтому естественно ввести ограниченный разностный оператор RQ = PQRIQ : L2(Q) → L2(Q), где IQ : L2(Q) → L2(Rn) - оператор продолжения функций из L2(Q) нулем вне Q, а PQ : L2(Rn) → L2(Q) - оператор сужения функций из L2(Rn) на Q. Итак, оператор RQ действует следующим образом на функцию u(x): сначала мы продолжаем эту функцию нулем вне Q, затем применяем к полученному продолжению разностный оператор R, действующий во всем пространстве Rn и, наконец, рассматриваем сужение функции RIQu(x) на Q. Не ограничивая общности, будем считать, что d = k + θ, где . Очевидно, операторы RQ, RQ∗ : L2(Q) → L2(Q) ограниченные, причем . (1.2) 1.2. Обозначим через подпространство функций в L2(Q), обращающихся в нуль вне , если 0 < θ < 1; s = 1, если θ = 1; N(s) = k +1 при s = 1; N(s) = k = 2; Q1l = (l - 1,l - 1 + θ) × G (l = 1,...,k + 1), Q2l = (l - 1 + θ,l) × G (l = 1,...,k). Обозначим через оператор ортогонального проектирования на . Очевидно, , если θ < 1, L2(Q) = ⎨s=1,2 l (1.3) если θ = 1. Множество подобластей {Qsl} обозначим через R и назовем разбиением области Q. Очевидно следующее утверждение: Лемма 1.1. - инвариантное подпространство оператора RQ. Введем изометрический изоморфизм гильбертовых пространств по формуле , (1.4) где . Введем матрицы R1 порядка (k + 1) × (k + 1) с элементами rij1 = aj-i и R2 порядка k × k с элементами (i,j = 1,...,k + 1) (1.5) rij2 = aj-i (i,j = 1,...,k). (1.6) Матрица R2 получается из матрицы R1 вычеркиванием последнего столбца и последней строки. Справедлива следующая лемма (см. [19, лемма 8.6]): Лемма 1.2. Оператор, определенный по формуле RQs = UsRQUs-1, (1.7) является оператором умножения на матрицу Rs. Здесь s = 1,2, если 0 < θ < 1; s = 1, если θ = 1; N(s) = k + 1 при s = 1; N(s) = k при s = 2. Из леммы 1.2 вытекает следующий результат: Лемма 1.3. Если θ < 1, то σ(RQ) = σ(R1) ∪ σ(R2); если θ = 1, то σ(RQ) = σ(R1). Каждая точка спектра σ(RQ) имеет бесконечную кратность. Определение 1.1. Разностный оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) называется невырожденным, если 0 ∈/ σ(RQ). В противном случае он называется вырожденным. Определение 1.2. Разностный оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) называется регулярным, если . Замечание 1.1. Если θ < 1, в силу леммы 1.3 невырожденность оператора RQ эквивалентна невырожденности матриц Rs (s = 1,2). Таким образом, в случае θ < 1 регулярность оператора RQ эквивалентна его невырожденности. Следовательно, регулярный оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) имеет ограниченный обратный. Если же θ = 1, невырожденность оператора RQ эквивалентна невырожденности матрицы R1. В этом случае оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) имеет ограниченный обратный. Невырожденный оператор RQ будет регулярным, если к тому же . Пример 1.1. Пусть разностный оператор R : L2(R2) → L2(R2) имеет вид (Ru)(x) = u(x) + u(x1 + 1,x2) + u(x1 - 1,x2), (1.8) и пусть . Тогда разбиение R состоит из двух классов подобластей (см. рис. 1): , РИС. 1 Матрицы R1 и R2 имеют вид: . (1.9) В этом случае и регулярность оператора RQ эквивалентна его невырожденности. Так как detR1 = -1, detR2 = 0, то оператор RQ - вырожденный и нерегулярный. Пример 1.2. Пусть разностный оператор R : L2(R2) → L2(R2) имеет вид (1.8), и пусть Q = (0,3) × (0,1). Тогда разбиение R состоит из одного класса подобластей Q1l = (l - 1,l) × (0,1) (l = 1,2,3) (см. рис. 2). Матрицы R1 и R2 имеют вид (1.9). 0 1 2 3 x1 РИС. 2 В этом случае θ = 1, detR1 = -1, detR2 = 0. Значит, оператор RQ является невырожденным, однако при этом он нерегулярный. Пример 1.3. Пусть разностный оператор R : L2(R2) → L2(R2) имеет вид (Ru)(x) = u(x) + 2u(x1 + 1,x2) + u(x1 - 1,x2), (1.10) и пусть Q = (0,3) × (0,1) ⊂ R2. Тогда разбиение R состоит из одного класса подобластей (см. рис. 2) Q1l = (l - 1,l) × (0,1) (l = 1,2,3). Матрицы R1 и R2 имеют вид: . (1.11) В этом случае θ = 1, detR1 = -3, detR2 = -1. Значит, оператор RQ является невырожденным и регулярным. 2. СВОЙСТВА РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА 2.1. Введем некоторые функциональные пространства. Через обозначим пространство Соболева комплекснозначных функций из L2(Q), имеющих все обобщенные производные из L2(Q) до порядка k включительно, со скалярным произведением, заданным по формуле Dαvdx, где D, . Обозначим через замыкание множества финитных в Q, бесконечно дифференцируемых функций в пространстве. Пусть S ⊂ Q - (n - 1)-мерная поверхность класса Ck. Через , обозначим пространство следов функций из с нормой . Справедлива следующая лемма (доказательство см. в [19, §8, гл. II]): Лемма 2.1. Для любого u ∈ L2(Q) такого, что при θ < 1; s = 1;l = 1,...,N при θ = 1; N = k + 1 при s = 1; N = k при s = 2) имеем и , (2.1) где. Если, кроме того, при θ = 1), то и . (2.2) Здесь постоянные c1,c2 > 0 не зависят от s и u. Обозначим через подпространство функций в W21(Q), удовлетворяющих краевым условиям u|x1=0 = u|x1=d = 0. (2.3) Лемма 2.2. Оператор RQ непрерывно отображает , при этом (RQu)xj = RQuxj (2.4) для любых Доказательство. 1. Пусть. Тогда, поскольку, достаточно показать, что для любого справедливо интегральное тождество (2.5) Действительно, из (2.5) будет следовать, что существует обобщенная производная (RQu)xj ∈ L2(Q) и (RQu)xj = RQuxj. Также из равенства (2.4) и ограниченности оператора RQ : L2(Q) → L2(Q) будет следовать ограниченность оператора. Покажем справедливость тождества (2.5). 2. Пусть θ < 1. Обозначим φ+i = u|x1=i+0 (i = 0,...,k), φ-i,θ = u|x1=i+θ-1-0 (i = 1,...,k + 1), φ-i = u|x1=i-0 φ+i,θ = u|x1=i+θ-1+0 (i = 1,...,k), (i = 1,...,k). По условию. Следовательно, , (2.6) φ+j = φ-j (j = 1,...,k), (2.7) φ-k+1,θ = 0, (2.8) φ+j,θ = φ-j,θ (j = 1,...,k). (2.9) В силу леммы 2.1 RQu ∈ W21(Qsl) (s = 1,2; l = 1,...,k + 1, если s = 1;l = 1,...,k, если s = 2). Обозначим vi = v|x1=i (i = 0,...,k), vi,θ = v|x1=i-1+θ (i = 1,...,k + 1). Так как, то v0 = vk+1,θ = 0. (2.10) В силу леммы 1.1 PsRQ = RQPs. Отсюда, а также из равенств (1.4)-(1.7), v|∂Q = 0 и формулы интегрирования по частям для подобластей Qsl получим где (·,·) - скалярное произведение в CN, N = k + 1 при s = 1, N = k при s = 2, . В силу равенств (2.6), (2.8) и (2.10) имеем . Отсюда и из равенств (2.7) и (2.9) получим A = 0. (2.12) Из (2.11) и (2.12), используя равенства (1.4)-(1.7) и перестановочность операторов RQ и Ps, выводим тождество Таким образом, мы доказали интегральное тождество (2.5) в случае θ < 1. 3. Пусть теперь θ = 1. Обозначим φ+i = u|x1=i+0 (i = 0,...,k), φ-i = u|x1=i-0 (i = 1,...,k + 1). По условию. Следовательно, φ+0 = φ-k+1 = 0, (2.13) φ+j = φ-j (j = 1,...,k). (2.14) Из равенств (1.4)-(1.7), а также формулы интегрирования по частям для подобластей Q1l получим где . Так как. Отсюда и из (2.13), (2.14) следует, что . (2.16) Вновь используя равенства (1.4)-(1.7), из (2.15), (2.16) получим (2.5). 2.2. Далее мы докажем, что регулярный разностный оператор RQ осуществляет изоморфизм между пространством и подпространством функций в W21(Q), удовлетворяющих нелокальным краевым условиям. Этот результат устанавливает связь между смешанной задачей для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения и эллиптическим дифференциальным уравнением со смешанными нелокальными условиями. Введем матрицы R11 (R12) порядка (k + 1) × k, полученные из R1 вычеркиванием первого (последнего) столбца соответственно. Обозначим через ei и gi (i = 1,...,k + 1) строки матриц R11 и R12 соответственно. В силу формул (1.5), (1.6) матрица порядка k × k, полученная из R11 вычеркиванием первой строки, совпадает с матрицей R2. Замечание 2.1. Пусть оператор RQ регулярный. Тогда . Следовательно, существуют такие коэффициенты γi+,γi- (i = 1,...,k), что , (2.17) (2.18) Обозначим через подпространство функций в W21(Q), удовлетворяющих нелокальным краевым условиям (2.19) , где . Теорема 2.1. Пусть оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) - регулярный. Тогда - изоморфизм. В силу леммы 2.1 доказательство теоремы 2.1 аналогично доказательству [9, лемма 6]. Пример 2.1. Пусть разностный оператор R : L2(R2) → L2(R2) имеет вид (1.10), и пусть Q = (0,2) × (0,1). Тогда разбиение R состоит из одного класса подобластей (см. рис. 3) Q1l = (l - 1,l) × (0,1) (l = 1,2). РИС. 3 Матрицы R1 и R2 имеют вид . Тогда Следовательно, оператор RQ является регулярным. Тогда в силу теоремы 2.1 разностный оператор RQ непрерывно и взаимно однозначно отображает , где Γ = {(x1,x2) : x1 = 0,x2 ∈ (0,1)} ∪ {(x1,x2) : x1 = 2,x2 ∈ (0,1)}; γ = {γ1±}, γ1+ = 2, γ1- = 1, W˚21,Γ(Q) = {u ∈ W21(Q) : u|x1=0 = u|x1=2 = 0}, - подпространство функций в W21(Q), удовлетворяющих нелокальным краевым условиям . 2.3. При выполнении некоторых дополнительных условий на коэффициенты регулярного оператора RQ мы покажем, что если H1 - линейное подпространство в W21(Q) и RQ-1(H1) ⊂ W21(Q), то подпространство RQ-1(H1) состоит из функций, имеющих нулевые следы на основаниях цилиндра Q. Введем k-мерные векторы b1 = (ak ...a1)T , b2 = (a-1 ...a-k)T . Теорема 2.2. Пусть оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) регулярный, и пусть если θ < 1, 1 и b2 линейно независимы, если θ = 1. (2.20) векторы b Предположим также, что RQ-1(H1) ⊂ W21(Q), где H1 - линейное подпространство в W21(Q). Тогда. Доказательство. 1. Сначала рассмотрим случай θ < 1. 1.1. Докажем, что . Пусть u ∈ RQ-1(H1). Тогда по условию теоремы u ∈ W21(Q). Следовательно, определены следы φ+i = u|x1=i+0 (i = 0,...,k), φ-i,θ = u|x1=i+θ-1-0 (i = 1,...,k + 1), φ-i = u|x1=i-0 (i = 1,...,k), φ+i,θ = u|x1=i+θ-1+0 (i = 1,...,k). Поскольку u ∈ W21(Q), то φ+j = φ-j , j = 1,...,k, (2.21) φ+j,θ = φ-j,θ, j = 1,...,k. (2.22) По предположению u ∈ RQ-1(H1), H1 - линейное подпространство в W21(Q). Следовательно, w = RQu ∈ W21(Q) и справедливы следующие равенства для следов w в подобластях Qsl: (2.23) . (2.24) В силу (1.1) равенство (2.23) примет вид . (2.25) Полагая j = t + i, получим . (2.26) Так как функция u(x) вне области Q принимает нулевые значения, то равенство (2.26) равносильно следующему: . (2.27) Из последнего равенства, используя (2.21), получим . (2.28) Отсюда и из (2.20) следует, что . (2.29) Аналогично, используя равенства (2.24), получим φ-k+1,θ = 0. (2.30) Таким образом,. 1.2. Теперь покажем, что . Пусть u ∈ H1. В силу вышедоказанного вложения, для функции w = RQ-1u справедливо. В силу теоремы 2.1,. 2. Пусть теперь θ = 1. 2.1. Докажем, что . Пусть u ∈ RQ-1(H1). Тогда по условию теоремы u ∈ W21(Q). Следовательно, определены следы φ+i = u|x1=i+0 (i = 0,...,k), φ-i = u|x1=i-0 (i = 1,...,k + 1). Поскольку u ∈ W21(Q), то φ+j = φ-j (j = 1,...,k). (2.31) По предположению u ∈ RQ-1(H1), H1 - линейное подпространство в W21(Q). Следовательно, w = RQu ∈ W21(Q) и справедливы следующие равенства для следов w в подобластях Q1l (l = 1,...,k + 1): w|x1=t+0 = w|x1=t-0 (t = 1,...,k). В силу (1.1) равенство (2.32) можно записать в виде (2.32) . (2.33) Полагая j = t + i и u(x) = 0 (x /∈ Q), из последнего равенства мы получим (t = 1,...,k). (2.34) Отсюда и из (2.31) следует, что . (2.35) По условию (2.20) векторы b1 и b2 линейно независимы. Поэтому . Таким образом,. 2.2. Справедливость вложения доказывается аналогично части 1.1 текущего доказательства. Пример 2.2. Пусть разностный оператор R : L2(R2) → L2(R2) имеет вид (1.10), и пусть . Тогда разбиение R состоит из двух классов подобластей (см. рис. 1): . Матрицы R1 и R2 имеют вид . Тогда detR1 = -3, detR2 = -1, оператор RQ является регулярным. Векторы b1 = (0 2)T , b2 = (1 0)T ненулевые. Следовательно, в силу теоремы 2.2, если RQ-1(H1) ⊂ W21(Q), где H1 - линейное подпространство в. Здесь , γ = {γi±} (i = 1,2), коэффициенты γi± определяются из систем линейных алгебраических уравнений (2.17), (2.18), которые имеют вид , то есть Таким образом, , а - подпространство функций в W21(Q), удовлетворяющих нелокальным краевым условиям . Замечание 2.2. Теорема 2.2 показывает, что для регулярного разностного оператора RQ, удовлетворяющего условиям (2.20), наличие «минимальной гладкости» функций из некоторого подпространства H1 и его прообраза RQ-1(H1) означает, что функции из RQ-1(H1) имеют нулевые следы на основаниях цилиндра, а функции из H1 удовлетворяют нелокальным краевым условиям. Поэтому при рассмотрении смешанных краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений вида (3.1) естественно задавать однородные условия Дирихле на основаниях цилиндра и краевые условия второго рода на боковой поверхности цилиндра (см. раздел 3). Такие задачи эквивалентны смешанным нелокальным краевым задачам для сильно эллиптических дифференциальных уравнений (см. раздел 4). Рассмотрение эллиптических дифференциальных уравнений с нелокальными краевыми условиями второго рода на сдвигах множества Γ, порожденных разностным оператором, приводит к переопределенным задачам. 3. РАЗРЕШИМОСТЬ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ 3.1. Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение -ΔRQu(x) = f0(x) (x ∈ Q) (3.1) со смешанными краевыми условиями u|x1=0 = u|x1=d = 0, (3.2) (3.3) где s = 1,2, l = 1,...,N(s), если θ < 1; s = 1, l = 1,...,N(1), если θ = 1; N(1) = k + 1, N(2) = k; f0 ∈ L2(Q); ν - единичный вектор внешней нормали к цилиндрической поверхности (0,d) × ∂G; RQ - ограниченный разностный оператор RQ = PQRIQ : L2(Q) → L2(Q), оператор R задается по формуле (1.1). Пусть матрица R1, соответствующая разностному оператору RQ, удовлетворяет условию . (3.4) Мы будем называть уравнение (3.1) сильно эллиптическим, если выполняется условие (3.4). 3.2. Рассмотрим разрешимость задачи (3.1)-(3.3). Определение 3.1. Функция называется обобщенным решением смешанной краевой задачи (3.1)-(3.3), если для любых выполняется интегральное тождество (3.5) Теорема 3.1. Пусть выполняется условие (3.4). Тогда для любой функции f0 ∈ L2(Q) существует единственное обобщенное решение задачи (3.1)-(3.3), при этом , (3.6) где c0 > 0 - постоянная, не зависящая от f0. Доказательство. 1. Введем в пространстве L2(Q) полуторалинейную форму aR с областью определения D(aR) = по формуле . (3.7) Очевидно, aR[u,v] = pR[u,v] + iqR[u,v], где (3.8) , (3.9) (3.10) В силу леммы 2.2 ∇(RQu) = RQ∇u, ∇(RQ∗ u) = RQ∗ ∇u для всех . Поэтому формы pR[·,·] и qR[·,·] - симметричные. 2. Покажем, что в пространстве можно ввести эквивалентное скалярное произведение по формуле . (3.11) Действительно, в силу ограниченности операторов RQ и RQ∗ в L2(Q) и неравенства Коши- Буняковского для любых мы имеем , (3.12) где k1 > 0 - постоянная, не зависящая от u. С другой стороны, в силу формул (1.4)-(1.7) и условия (3.4) имеем где k2 > 0 - постоянная, не зависящая от. Очевидно, в пространстве можно ввести эквивалентную норму по формуле . (3.14) В силу (3.13), (3.14) для любых , где k3 > 0 - постоянная, не зависящая от u. Таким образом, в можно ввести эквивалентное скалярное произведение по формуле (3.11). 3. Используя ограниченность операторов RQ и RQ∗ в L2(Q), неравенство Коши-Буняковского и эквивалентное скалярное произведение в , определенное по формуле (3.11), мы получим , (3.15) где k4 > 0 - постоянная, не зависящая от u,v. Из (3.15), теоремы Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве и симметричности формы вытекает существование ограниченного самосопряженного оператора такого, что . (3.16) Кроме того, в силу теоремы Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве и неравенства Коши-Буняковского существует ограниченный оператор такой, что . (3.17) Из равенств (3.5), (3.7)-(3.10), (3.11), (3.16), (3.17) получим . (3.18) Поскольку v - произвольная функция в , мы получим эквивалентное тождеству (3.18) операторное уравнение (I + iS)u = Bf0. (3.19) Оператор - ограниченный и самосопряженный. Следовательно, существует ограниченный обратный оператор . Таким образом, для любой f0 ∈ L2(Q) существует единственное обобщенное решение u = (I + iS)-1Bf0 задачи (3.1)-(3.3), при этом имеет место оценка (3.6). 3.3. Рассмотрим теперь вопрос о гладкости обобщенных решений задачи (3.1)-(3.3). Введем множество K , (3.20) где hi = (i,0,...,0). Очевидно, множество K можно представить в виде , если θ < 1; K (3.21) если θ = 1. Обозначим K ε = {x ∈ Rn : dist(x,K ) < ε}. Теорема 3.2. Пусть выполнено условие (3.4), и пусть - обобщенное решение задачи (3.1)-(3.3). Тогда для любого ε > 0 и всех s,l (s = 1,2, l = 1,...,N(s), если θ < 1; s = 1, l = 1,...,N(1), если θ = 1; N(1) = k + 1, N(2) = k) имеем u ∈ W22(Qsl \ K ε). Доказательство. 1. Из неравенства (3.13) следует, что дифференциально-разностный оператор -ΔRQ удовлетворяет условиям теоремы [19, теорема 11.1, гл. II] о локальной гладкости обобщенных решений сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений в подобластях Qsl и условиям теоремы [19, теорема 11.2, гл. II] о гладкости обобщенных решений сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений вблизи части границы, на которой задается краевое условие Дирихле. Следовательно, для любого ε0 > 0 имеем u ∈ W22((l-1,l-1+θ)×Gε0) (l = 1,...,k+1) и u ∈ W22((l - 1 + θ,l) × Gε0) (l = 1,...,k), если θ < 1; u ∈ W22((l - 1,l) × Gε0) (l = 1,...,k + 1), если. 2. С другой стороны, легко видеть, что дифференциально-разностный оператор -ΔRQ удовлетворяет условиям теоремы [11, теорема 4] о гладкости обобщенных решений сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений вблизи части границы, на которой задается краевое условие второго рода. Следовательно, для любого ε > < θ u ), если Из этих утверждений, полагая ε0 = ε/√2, получим u ∈ W22(Qsl \ K ε). 3.4. Рассмотрим следствия из теоремы 3.2, которые объясняют, в каком смысле обобщенное решение задачи (3.1)-(3.3) удовлетворяет уравнению (3.1) и краевому условию (3.3). Следствие 3.1. Пусть выполняется условие (3.4). Тогда обобщенное решение задачи (3.1)- удовлетворяет уравнению (3.1) почти всюду в Qsl (s = 1,2, l = 1,...,N(s), если θ < 1; s = 1, l = 1,...,N(1), если θ = 1; N(1) = k + 1, N(2) = k). Доказательство. В силу теоремы 3.2 и леммы 2.1 RQuxj ∈ W21(Qsl \ K ε) для любых s,l и ε > 0. Выберем произвольным образом s = s0 и l = l0. Тогда для любой функции, интегрируя по частям в тождестве (3.5), получим (3.22) В силу произвольности функции v, мы убеждаемся, что уравнение (3.1) удовлетворяется почти всюду в Qs0l0. Следствие 3.2. Пусть выполняется условие (3.4), и пусть - обобщенное решение задачи (3.1)-(3.3). Тогда для любого ε > 0 и всех s,l определен след функции на поверхности (∂Qsl ∩((0,d)×∂G))\K ε, при этом краевое условие второго рода (3.3) выполняется почти всюду на этой поверхности. Доказательство. Выберем произвольным образом s и l. По теореме 3.2 мы можем проинтегрировать по частям левую часть тождества (3.5) для любой функции такой, что . В силу теоремы 3.2 и леммы 2.1 и определен след функции на поверхности ∂ν . Проинтегрировав левую часть тождества (3.5) по частям, в силу следствия 3.1 и равенства v|x1=0 = v|x1=d = 0 имеем . (3.23) В силу произвольности функции v мы видим, что почти всюду на выполняется следующее равенство: . (3.24) В силу леммы 2.2 равенство (3.24) можно переписать в виде . (3.25) Обозначим через след нормальной производной функции u(x) на границе . Не ограничивая общности, рассмотрим случай θ = 1. Тогда разбиение R состоит из одного класса подобластей Q1l = (l - 1,l) × G (l = 1,...,k + 1). В силу (1.1), для области Q1l (l = 1,...,k + 1) условие (3.25) примет вид , (3.26) что равносильно . (3.27) Полагая t = j + l - 1, получим: . (3.28) Так как функция u(x) вне области Q принимает нулевые значения, то равенство (3.28) равносильно следующему: . (3.29) Объединяя равенства (3.29) для всех l = 1,...,k + 1, получим: . (3.30) В силу (3.4) матрица R1 невырождена. Следовательно, φl(x) = 0 почти всюду на для всех l = 1,...,k + 1, что и требовалось доказать. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.1. Рассмотрим приложения результатов раздела 3 о разрешимости смешанной краевой задачи для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения к вопросу о разрешимости нелокальной смешанной краевой задачи для сильно эллиптического дифференциального уравнения. Рассмотрим уравнение -Δw(x) = f0(x) с нелокальными смешанными краевыми условиями (x ∈ Q) (4.1) , (4.2) (4.3) Здесь Q = (0,d) × G, где G ⊂ Rn-1 - ограниченная область с границей ∂G ∈ C∞, если n 3, и G = (a,b), если n = 2; ν - единичный вектор внешней нормали к цилиндрической поверхности ) - комплексные числа. Будем предполагать, что выполняется следующее условие: ⎧Для заданных чисел γi± ∈ C (i = 1,...,n) существуют числа aj ⎪⎨(j = 0,±1,...,±k) такие, что выполняются равенства (2.17), (2.18), (4.4) ⎪⎩при этом матрица R1 вида (1.5) удовлетворяет условию (3.4). Напомним, что через мы обозначили подпространство функций в W21(Q), удовлетворяющих нелокальным краевым условиям (2.19). Определение 4.1. Функция называется обобщенным решением нелокальной смешанной краевой задачи (4.1)-(4.3), если для любых выполняется интегральное тождество (4.5) Теорема 4.1. Пусть выполняется условие (4.4). Тогда для любой f0 ∈ L2(Q) существует единственное обобщенное решение задачи (4.1)-(4.3), при этом , (4.6) где c1 > 0 - постоянная, не зависящая от f0. Доказательство. В силу условий (4.4) матрицы R1 и R2, определенные по формулам (1.5), (1.6), невырождены, то есть оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) регулярный. Следовательно, в силу теоремы 2.1 - изоморфизм. Пусть w = RQu, где . Тогда интегральное тождество (4.5) примет вид (4.7) Следовательно, функция является обобщенным решением задачи (3.1)-(3.3). В силу теоремы 3.1 существует единственное обобщенное решение задачи (3.1)-(3.3), при этом выполняется априорная оценка (3.6). Значит, существует единственное обобщенное решение задачи (4.1)-(4.3) , при этом в силу леммы 2.2 и неравенства (3.6) имеем , (4.8) где k1 > 0 - постоянная, не зависящая от u. Таким образом, доказано неравенство (4.6). 4.2. Рассмотрим теперь теорему о гладкости обобщенных решений задачи (4.1)-(4.3) и ее применение к исследованию гладкости обобщенных решений задачи (3.1)-(3.3). Теорема 4.2. Пусть - обобщенное решение задачи (4.1)-(4.3). Тогда для любого ε > 0 имеем w ∈ W22(Q \ Kε), где K = ({0} × ∂G) ∪ ({d} × ∂G), Kε = {x ∈ Rn : dist(x,K) < ε}. Доказательство. В силу теоремы о гладкости обобщенных решений эллиптических краевых задач вблизи гладкого куска границы имеем w ∈ W22((δ,d - δ) × G) для любого δ > 0 такого, что (см. [6, теорема 10.1, §10, гл. III]). Отсюда и из краевых условий (4.2) следует, что . Применяя теорему о гладкости обобщенных решений эллиптических краевых задач с неоднородными краевыми условиями вблизи плоского куска границы, получим w ∈ W22((0,d)×Gδ). Полагая δ = ε/√2, имеем w ∈ W22(Q \ Kε). 4.3. Аналогично доказательству следствий 3.1, 3.2 можно доказать следующие утверждения, вытекающие из теоремы 4.2. Следствие 4.1. Пусть - обобщенное решение задачи (4.1)-(4.3). Тогда w(x) удовлетворяет уравнению (4.1) почти всюду в Q. Следствие 4.2. Пусть - обобщенное решение задачи (4.1)-(4.3). Тогда для любого ε > 0 определен след функции на поверхности (ε,d - ε) × ∂G, при этом краевое условие (4.3) выполняется почти всюду на этой поверхности. 4.4. Кроме того, из теоремы 4.2 легко получить обобщение теоремы 3.2 о гладкости обобщенных решений смешанной краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения, предполагая, что оператор RQ регулярный. Теорема 4.3. Пусть оператор RQ - регулярный. Предположим, что - обобщенное решение задачи (3.1)-(3.3). Тогда для любого ε > 0 и всех s,l (s = 1,2, l = 1,...,N(s), если θ < 1; s = 1,l = 1,...,N(1), если θ = 1; N(1) = k + 1, N(2) = k) имеем u ∈ W22(Qsl \ K ε). Доказательство. Пусть оператор RQ - регулярный. Пусть, кроме того, - обобщенное решение задачи (3.1)-(3.3). Тогда в силу теоремы 2.1 , при этом, используя тождество (2.4), мы убеждаемся, что w - обобщенное решение задачи (4.1)- (4.3). Поэтому согласно теореме 4.2 мы имеем w = RQu ∈ W22(Qsl \ K ε) для любого ε > 0 и всех s,l. Отсюда и из леммы 2.1 следует, что u ∈ W22(Qsl \ K ε).

About the authors

V. V. Liiko

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Author for correspondence.
Email: vikalijko@gmail.com
Moscow, Russia

A. L. Skubachevskii

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Email: skub@lector.ru
Moscow, Russia

References

  1. Антоневич А.Б. Об индексе и нормальной разрешимости общей эллиптической краевой задачи с конечной группой сдвигов на границе// Дифф. уравн. - 1972. -8, № 2. - C. 309-317.
  2. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач// Докл. АН СССР. - 1969. -185, № 4. - C. 739-740.
  3. Власов В.В., Перез Ортиз Р., Раутиан Н.А. Исследование вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений с ядрами, зависящими от параметра// Дифф. уравн. - 2018. -54, № 3. - C. 369-386.
  4. Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений. - М.: МАКС Пресс, 2016.
  5. Власов В.В., Раутиан Н.А. Исследование функционально-дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами// Докл. РАН. - 2017. -477, № 6. - C. 641-645.
  6. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. - М.: Наука, 1964.
  7. Рабинович В.С. О разрешимости дифференциально-разностных уравнений на Rn и в полупространстве// Докл. АН СССР. - 1978. -243, № 5. - C. 1134-1137.
  8. Россовский Л.Е. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2014. -54. - C. 3-138.
  9. Скубачевский А.Л. О спектре некоторых нелокальных эллиптических краевых задач// Мат. сб. - 1982. -117, № 4. - C. 548-558.
  10. Скубачевский А.Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения// Усп. мат. наук. - 2016. -71, № 5. - C. 3-112.
  11. Скубачевский А.Л., Цветков Е.Л. Вторая краевая задача для эллиптических дифференциальноразностных уравнений// Дифф. уравн. - 1989. -25, № 10. - C. 1766-1776.
  12. Солонуха О.В. Об одной нелинейной нелокальной задаче эллиптического типа// Журн. выч. мат. и мат. физ. - 2017. -57, № 3. - C. 417-428.
  13. Browder F. Non-local elliptic boundary value problems// Am. J. Math. - 1964. -86, № 4. - C. 735-750.
  14. Carleman T. Sur la theorie des´ equations int´ egrales et ses applications// Verhandlungen des Internat.´ Math. Kongr. Zurich. - 1932. -¨ 1. - C. 138-151.
  15. Hartman F., Stampacchia G. On some non-linear elliptic differential-functional equations// Acta Math. - 1966. -115. - C. 271-230.
  16. Kato T. Fractional powers of dissipative operators// J. Math. Soc. Jpn. - 1961. -13, № 3. - C. 246-274.
  17. Onanov G.G., Skubachevskii A.L. Nonlocal problems in the mechanics of three-layer shells// Math. Model. Nat. Phenom. - 2017. -12, № 6. - C. 192-207.
  18. Onanov G.G., Tsvetkov E.L. On the minimum of the energy functional with respect to functions with deviating argument in a stationary problem of elasticity theory// Russ. J. Math. Phys. - 1995. -3, № 4. - C. 491-500.
  19. Skubachevskii A.L. Elliptic Functional Differential Equations and Applications. - Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 1997.¨
  20. Skubachevskii A.L. Elliptic differential-difference operators with degeneration and the Kato square root problem// Math. Nachr. - 2018. -291. - C. 2660-2692.
  21. Solonukha O.V. On nonlinear and quasilinear elliptic functional-differential equations// Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S. - 2016. -9. - C. 847-868.

Statistics

Views

Abstract - 109

PDF (Russian) - 24

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies