Construction of Optimal Interpolation Formulas in the Sobolev Space

Cover Page

Abstract


In the present paper, using the discrete analog of the differential operator d2m/dx2m, optimal interpolation formulas are constructed in L2(4)(0, 1) space. The explicit formulas for coefficients of optimal interpolation formulas are obtained.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ: ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Задача интерполяции является одной из самых распространенных задач в теории приближений. Классический метод ее решения заключается в построении интерполяционных полиномов. Однако интерполяционные полиномы имеют ряд недостатков при использовании их для функций с сингулярностями или для недостаточно гладких функций. Доказано, что последовательность интерполяционных полиномов Лагранжа, построенных для конкретной непрерывной функции, не сходится к самой функции. В связи с этим на практике вместо интерполяционных полиномов высокого порядка используются сплайн-функции. 2 Первые сплайновые функции формировались из отдельных кусков кубических полиномов. Затем это построение было преобразовано, была увеличена степень полинома, изменены граничные значения, но сама идея осталась неизменной. Следующим шагом в развитии теории сплайнов стал результат Д. Холладея [12], связывающий кубический сплайн И. Шенберга с решением задачи нахождения минимума нормы функции из пространства L(2). Далее Карл Де Боор в работе [10] обобщил результат Д. Холладея. Полученные результаты вызвали огромный интерес, в связи с чем появилось большое количество работ, в которых в зависимости от конкретных требований вариационный функционал подвергался изменениям. Теория сплайнов, основанная на вариационных методах, была изучена и получила развитие в работах Дж. Элберга, Э. Нельсона и Дж. Уолша [7], Р. Аркангели, Лопеса де Силаньес и Дж. Дж. Торреса [8], М. Аттея [9], К. де Боора [10, 11], М. И. Игнатова и А. Б. Певного [2], П. Дж. Лоурента [3], Дж. Мастроянни и Г. В. Миловановича [13], И. Я. Шенберга [14], Л. Л. Шумакера [15], С. Б. Стечкина и Ю. Н. Субботина [5], В. А. Василенко [1] и других. Вполне исчерпывающий список литературы по теории сплайновых функций можно найти, например, в [15]. Настоящая же работа посвящена построению формул оптимальной интерполяции. Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2018 723 Предположим, что у нас имеется таблица значений ϕ(xβ ), β = 0, 1,...,N функций ϕ в точках xβ ∈ [0, 1]. Требуется аппроксимировать функции ϕ другими, более простыми функциями Pϕ, т. е. N 2 ϕ(z) ∼= Pϕ(z) = \' Cβ (z)ϕ(xβ )+ \'(Aα(z)ϕ(2α-1)(0) + Bα(z)ϕ(2α-1)(1)), (1.1) β=0 что удовлетворяет следующим уравнениям: α=1 ϕ(xβ ) = Pϕ(xβ ), β = 0, 1,..., N. (1.2) Здесь Cβ (z), β = 0,N, Aα(z), Bα(z) и xβ (∈ [0, 1])- коэффициенты и узлы интерполяционной формулы (1.1), соответственно. Теперь, следуя Соболеву [18], можем поставить задачу нахождения формул оптимальной интерполяции. Предположим, что функции ϕ принадлежат пространству Соболева L(m)(0, 1), где L(m)(0, 1) - 2 2 это пространство интегрируемых с квадратом функций с m-ой обобщенной производной и с нормой ⎧ 1 ⎫1/2 1 (m) 1 1 ⎨r r 1 (m) 2 ⎬ где 1ϕ|L2 (0, 1)1 = ϕ ⎩0 1 (x) dx ⎭ , (1.3) ∞ r rϕ(m)(x) 2dx < . 0 L(m) Разность ϕ - Pϕ называется погрешностью формулы интерполяции (1.1). Значение этой погрешности в конкретной точке z ∈ [0, 1] определяется линейным функционалом на пространстве 2 (0, 1), т. е. (f, ϕ) = r∞ f(x, z)ϕ(x)dx = ϕ(z) - Pϕ(z) = -∞ N 2 = ϕ(z) - \' Cβ (z)ϕ(xβ ) - \'(Aα(z)ϕ(2α-1)(0) + Bα(z)ϕ(2α-1)(1)), (1.4) β=0 где δ - это дельта-функция Дирака, и N α=1 2 f(x, z) = δ (x - z) - \' Cβ (z)δ(x - hβ)+ \'(Aα(z)δ(2α-1)(x)+ Bα(z)δ(2α-1)(x - 1)) (1.5) β=0 α=1 - это функционал погрешности интерполяционной формулы (1.1), и он принадлежит пространству L(m)∗(0, 1). Пространство L(m)∗(0, 1) является сопряженным к пространству L(m)(0, 1). Далее 2 2 2 для простоты обозначим f(x, z) как f(x). Абсолютное значение погрешности (1.4) оценивается с помощью неравенства Коши-Шварца следующим образом: (m) (m)∗ где |(f, ϕ)| � ±ϕ|L2 ±· ±f|L2 ±, 1 1 1 (m)∗1 |(f, ϕ)| 1 1f|L2 = sup ϕ, ϕ /=0 . ±ϕ± 2 2 Следовательно, чтобы оценить погрешность интерполяционной формулы (1.1) для функций из пространства L(m)(0, 1), необходимо найти норму функционала погрешности f в сопряженном пространстве L(m)∗(0, 1). Отсюда получаем 2 Задача 1.1. Найти норму функционала погрешности f интерполяционной формулы (1.1) в пространстве L(m)∗(0, 1). Очевидно, что норма функционала погрешности f зависит от коэффициентов Cβ (z), β = 0,N, Aα(z),Bα(z), α = 1, 2, и узлов xβ. Задача минимизации величины ±f± по коэффициентам Cβ (z), β = 0,N, Aα(z), Bα(z) является линейной задачей, а по узлам xβ, вообще говоря, является задачей нелинейной и довольно трудной. Рассмотрим задачу минимизации величины ±f± по коэффициентам Cβ (z), β = 0,N, Aα(z), Bα(z) при фиксированных узлах xβ. Коэффициенты уравнению C˚β (z), β = 0,N, A˚α(z), B˚α(z) (если таковые существуют), удовлетворяющие 1 1˚ (m)∗1 1 (m)∗1 1 1f|L2 1 β 1 1 = C (z) inf ,Aα(z),Bα (z) 1f|L2 1 , (1.6) называются оптимальными коэффициентами, а соответствующая интерполяционная формула N 2 P˚ϕ(z) = \' C˚β (z)ϕ(xβ )+ \'(A˚α(z)ϕ(2α-1)(0) + B˚α(z)ϕ(2α-1)(1)) β=0 α=1 2 называется формулой оптимальной интерполяции в пространстве L(m)(0, 1). 2 Таким образом, для построения формулы оптимальной интерполяции в форме (1.1) в пространстве L(m)(0, 1) нам необходимо решить следующую задачу. Задача 1.2. Найти коэффициенты C˚β (z), β = 0,N, A˚α(z), B˚α(z), α = 1, 2, удовлетворяющие уравнению (1.6) при фиксированных узлах xβ. 2 2 Основная цель настоящей работы заключается в построении формул оптимальной интерполяции в пространстве L(m)(0, 1). Впервые данная задача была опубликована и изучена С. Л. Соболевым в работе [18]; в ней была найдена экстремаль интерполяционной формулы в пространстве L(m). Остальная часть нашей работы построена следующим образом. В разделе 2 мы находим экстремаль, которая соответствует функционалу погрешности f, и с ее помощью вычисляем норму функционала погрешности (1.5), т. е. решаем, таким образом, задачу 1.1. В разделе 3 для нахождения минимума ±f±2 по коэффициентам Cβ (z), β = 0,N, Aα(z), Bα(z) мы рассматриваем систему линейных уравнений для коэффициентов формул оптимальной интерполяции (1.1) в пространстве L(m) 2 (0, 1); кроме того, в этом разделе обсуждаются существование и единственность решения такой системы. Раздел 4 приведены некоторые предварительные сведения. Раздел 5 посвящен вычислению коэффициентов формулы оптимальной интерполяции в форме (1.1) для случая m = 4. 2. ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И НОРМА ФУНКЦИОНАЛА ПОГРЕШНОСТИ (1.5) В этом разделе мы решаем задачу 1.1, т. е. мы ищем явный вид нормы функционала погрешности f. 2 Для нахождения явного вида нормы функционала погрешности f в пространстве L(m) мы ис- 2 пользуем его экстремаль [4,18]. Функция ψ из пространства L(m)(0, 1) называется экстремальной для функционала погрешности f, если выполняется следующее равенство: 1 1 1 1 1 1 (f, ψ ) = 1f 1L(m)∗ 1 · 1ψ 1L(m) 1 1 1 2 1 1 1 2 1 . 2 Пространство L(m)(0, 1) является гильбертовым, и скалярное произведение в этом пространстве определяется следующей формулой: (ϕ, ψ⊕ = 1 r ϕ(m)(x)ψ(m)(x)dx. (2.1) 0 2 Согласно теореме Риса любой линейный непрерывный функционал f в гильбертовом пространстве представляется в виде скалярного произведения. Таким образом, в нашем случае для любой функции ϕ из пространства L(m)(0, 1) имеем (f, ϕ) = (ψ , ϕ⊕. (2.2) 2 Здесь ψ - функция из L(m)(0, 1), и она определяется единственным образом с помощью функционала f и его экстремали. 2 Из (2.2) достаточно легко видеть, что функционал погрешности f, определенный на пространстве L(m)(0, 1), удовлетворяет равенствам r∞ (f, xp) = f(x)xpdx = 0, p = 0, 1,...,m - 1. (2.3) -∞ Равенства (2.3) означают, что наша интерполяционная формула точна для любого полинома степени � m - 1. Уравнение (2.2) было решено в [18], и для экстремальной функции ψ было получено следующее выражение: где - ψ (x) = (-1)mf(x) ∗ Gm(x)+ Pm x2m-1sgn x Gm(x) = 2(2m - 1)! , 1(x), (2.4) (2.5) Pm-1(x) - это полином степени m - 1, а ∗ означает операцию свертки, определяемую для функций f и g таким образом: r∞ f (x) ∗ g(x) = f (x - y)g(y)dy = r∞ f (y)g(x - y)dy. -∞ -∞ 2 Итак, мы получили норму функционала погрешности f. Так как пространство L(m)(0, 1) является гильбертовым, то по теореме Риса имеем ± (f, ψ ) = ±f±· ±ψ ± = ±f 2. Следовательно, используя (1.5) и (2.4), с учетом (2.3) получаем ±f±2 = (f, ψ ) = (f(x), (-1)mf(x) ∗ Gm(x)) = r∞ ⎛ f(x) ⎝(-1)m r∞ ⎞ f(y)Gm(x - y)dy⎠ dx. -∞ -∞ Отсюда, принимая во внимание, что Gm(x), определяемая по формуле (2.5), является четной функцией, имеем N N 2 ±f± = (f, ψ ) = \' \' β=0 γ=0 Cβ (z)Cγ (z)| hβ - hγ|2m-1 2(2m - 1)! - N - 2 \' Cβ (z) β=0 (z - hβ)2m-1sgn(z - hβ) 2(2m - 1)! - 2 N ( (hβ)2m-2α (1 - hβ)2m-2α \ - 2 \' \' Cβ (z) α=1 β=0 Aα(z) 2(2m - 2α)! - Bα(z) + 2(2m - 2α)! 2 +2 \' α=1 ( Aα(z) z2m-2α 2(2m - 2α)! § Bα(z) (1 - z)2m-2α \ 2(2m - 2α)! - A1(z)B1(z) - (2m - 3)! - A1(z)B2(z) (2m - 5)! - A2(z)B1(z) (2m - 5)! - A2(z)B2(z) l . (2m - 7)! (2.6) Таким образом, задача 1.1 решена. В следующих разделах будет представлено решение задачи 1.2. 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ФОРМУЛЫ ОПТИМАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ Предположим, что узлы xβ интерполяционной формулы (1.1) фиксированы. Функционал погрешности (1.5) удовлетворяет условиям (2.3). Норма функционала погрешности f - это функция многих переменных относительно коэффициентов Cβ (z), β = 0,N, A1(z), A2(z), B1(z), B2(z). Для нахождения точки условного минимума выражения (2.6) с соблюдением условий (2.3) мы применим метод Лагранжа. Рассмотрим функцию Ψ(C0(z), C1(z),..., CN (z), A1(z), A2(z), B1(z), B2(z), λ0(z),..., λm-1(z)) = m-1 ± = ±f 2 - 2(-1) m \' α=0 λα(z) (f, xα) . Приравнивая частные производные функции Ψ по Cβ (z), β = 0,N, A1(z), A2(z), B1(z) и B2(z), λ0(z), λ1(z),..., λm-1(z) к нулю, мы получаем следующую систему линейных уравнений: N \' Cγ (z)| γ=0 hβ - hγ|2m-1 2(2m - 1)! - A1(z) (hβ)2m-2 2(2m - 2)! + B1(z) (1 - hβ)2m-2 2(2m - 2)! - A2(z) (hβ)2m-4 + 2(2m - 4)! + B2(z) - (1 hβ)2m-4 + 2(2m - 4)! m-1 \' α=0 λα(z)(hβ)α = | - | z hβ 2m-1 , β = 0,N, 2(2m - 1)! (3.1) N \' Cγ (z) γ=0 (hγ)2m-2 + 2(2m - 2)! B1(z) + 2(2m - 3)! B2(z) 2(2m - 5)! - λ1(z) = z2m-2 2(2m - 2)! , (3.2) N \' Cγ (z) γ=0 (hγ - 1)2m-2 2(2m - 2)! A1(z) - 2(2m - 3)! - A2(z) 2(2m - 5)! m-1 + \' αλα(z) = α=1 (1 - z)2m-2 2(2m - 2)! , (3.3) N \' Cγ (z) γ=0 (hγ)2m-4 + 2(2m - 4)! B1(z) + 2(2m - 5)! B2(z) 2(2m - 7)! - 6λ3(z) = z2m-4 2(2m - 4)! , (3.4) N \' Cγ (z) γ=0 (hγ - 1)2m-4 2(2m - 4)! A1(z) - 2(2m - 5)! - A2(z) 2(2m - 7)! + 6λ3(z)+ m-1 + \' α(α - 1)(α - 2)λα(z) = α=4 N (1 - z)2m-4 2(2m - 4)! , (3.5) \' Cγ (z) = 1, (3.6) γ=0 N \' Cγ (z)(hγ)2 + 2B1(z) = z2, (3.7) γ=0 N \' Cγ (z)(hγ)3 + 3B1(z)+ 6A2(z)+ 6B2(z) = z3, (3.8) γ=0 N \' Cγ (z)(hγ)α + αB1(z)+ α(α - 1)(α - 2)B2(z) = zα, α = 4,m - 1. (3.9) γ=0 Система (3.1)-(3.9) называется дискретной системой типа Винера-Хопфа для оптимальных коэффициентов [4, 20]. В системе (3.1)-(3.9) коэффициенты Cβ (z), β = 0,N, A1(z), A2(z), B1(z), B2(z) и λα(z), α = 0,m - 1 неизвестны. Система (3.1)-(3.9) имеет единственное решение, и это решение дает минимум для ±f±2 при условиях (3.6)-(3.9), когда N +5 ); m. Здесь мы опустим доказательство существования и единственности решения системы (3.1)-(3.9), так как доказательство L(m) для этой системы проводится аналогично доказательству существования и единственности решения дискретной системы типа Винера-Хопфа для оптимальных коэффициентов в пространстве 2 (0, 1) для квадратурных формул (см. [4, 20]). Тем самым, в фиксированных значениях узлов xβ квадрат нормы функционала погрешности f, будучи квадратичной функцией коэффициентов Cβ (z), β = 0,N, A1(z), A2(z), B1(z) и B2(z), имеет единственный минимум для некоторого значения Cβ (z) = C˚β (z), A1(z) = A˚1(z), A2(z) = A˚2(z), B1(z) = B˚1(z), B2(z) = B˚2(z). Ниже для удобства сохраним прежние обозначения коэффициентов A˚2(z), B˚1(z) и B˚2(z), т. е. Cβ (z), A1(z), A2(z), B1(z), B2(z). C˚β (z), β = 0,N, A˚1(z), Замечание 3.1. Легко проверить, что для оптимальных коэффициентов Cβ (z), A1(z), A2(z), B1(z), B2(z) и λα(z), α = 1,m - 1 справедливо следующее: ( 1, γ = β, Cβ (hγ) = γ = 0, 1,..., N, β = 0, 1, 2,..., N, 0, γ ⊗= β, A1(hβ) = 0, A2(hβ) = 0, B1(hβ) = 0, B2(hβ) = 0, β = 0, 1,..., N, λα(hβ) = 0, α = 0, 1,...,m - 1, β = 0, 1,..., N. 4. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Далее в основном будут использоваться понятия, касающиеся функций с дискретным аргументом и операций над ними. Теория функций дискретного переменного представлена в [4, 20]. Для полноты дадим несколько определений, относящихся к функциям дискретного переменного. Пусть узлы xβ - равноотстоящие, т. е. 1 xβ = hβ, h = N , N = 1, 2,.... Определение 4.1. Функция ϕ(hβ) является функцией дискретного переменного, если она задается на некотором множестве целых значений β. Определение 4.2. Скалярное произведение двух функций дискретного переменного ϕ(hβ) и ψ(hβ) задается таким образом: [ϕ(hβ), ψ(hβ)] = если ряд в правой части сходится абсолютно. ∞ \' β=-∞ ϕ(hβ) · ψ(hβ), Определение 4.3. Сверткой двух функций ϕ(hβ) и ψ(hβ) называется скалярное произведение ϕ(hβ) ∗ ψ(hβ) = [ϕ(hγ), ψ(hβ - hγ)] = ∞ \' γ=-∞ ϕ(hγ) · ψ(hβ - hγ). Нам необходим дискретный аналог Dm(hβ) дифференциального оператора d2m/dx2m, который удовлетворял бы следующему равенству: hDm(hβ) ∗ Gm(hβ) = δ(hβ), где Gm(hβ) - это функция дискретного переменного, соответствующая функции Gm(x), определяемой в (2.5), δ(hβ) - это дискретная дельта-функция. Дискретный аналог Dm(hβ) был построен, и следующий результат был доказан в работе [6]. Теорема 4.1. Дискретный аналог дифференциального оператора d2m/dx2m имеет вид ⎧ m-1 2m+1 |β| ⎪ \' (1 - qk ) qk при β ); 2, ⎪ ⎪ ⎨ (2m - 1)! ⎪⎪ k=1 qk E2m-1(qk ) | | m-1 \' (1 - qk )2m+1 Dm(hβ) = h2m 1+ ⎪ k=1 E2m-1 (qk ) при |β| = 1, (4.1) ⎪ ⎪ 2m-1 m-1 \' (1 - qk )2m+1 ⎪ ⎪⎩ -2 + k=1 qk E 2m-1 (qk при β = 0, ) где E2m-1(q) - это полином Эйлера-Фробениуса степени 2m - 1, qk - корни полинома Эйлера-Фробениуса E2m-2(q), |qk | < 1, h - малый положительный параметр. Кроме того, в [6] было доказано несколько свойств функции дискретного переменного Dm(hβ). Здесь мы приводим свойства функции дискретного переменного Dm(hβ), необходимые для наших последующих вычислений. Теорема 4.2. Функция дискретного переменного Dm(hβ) и мономы (hβ)k связаны друг с другом следующим образом: ⎧ 0 при 0 � k � 2m - 1, ⎪ ∞ ⎪ (2m)! при k = 2m, ⎨ \' Dm(hβ)(hβ)k = 0 при 2m +1 � k � 4m - 1, (4.2) β=-∞ ⎪ 2m h2m(4m)!B ⎩⎪ при k = 4m. (2m)! 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФОРМУЛ ОПТИМАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ (1.1) В СЛУЧАЕ m = 4 2 В этом разделе мы решаем задачу 1.2 для случая m = 4, а также ищем явные формулы для коэффициентов Cβ (z), β = 0, 1,..., N, Aα(z), Bα(z), α = 1, 2 формул оптимальной интерполяции в пространстве L(4)(0, 1). Справедливо следующее: 2 Теорема 5.1. Коэффициенты Cβ (z), β = 0, 1,..., N, Aα(z), Bα(z), α = 1, 2 формул оптимальной интерполяции в форме (1.1) в пространстве L(4)(0, 1) представляются в следующем виде: 1 г 7 7 7 6 4 C0(z) = 2h7 - 128z + |z - h| + (z + h) - 14h A1(z) - 420h A2(z)+ 3 ⎛ N ⎞ k \' A l + 10080(λ1(z)+ 2λ2(z))h2 + \' ⎝ qγ |z - hγ|7 + Mk (z)+ qN Nk (z)⎠ , 1 г 7 qk k=1 7 k k γ=0 7 Cβ (z) = 2h7 |z - h(β - 1)| 3 ⎛ N - 128|z - hβ| + |z - h(β + 1)| + ⎞ l + \' Ak \' q|β-γ| z - hγ|7 + qβ M (z)+ qN -β N (z) , β = 1,N - 1, qk k=1 1 г ⎝ k | γ=0 7 k k k k ⎠ 7 7 6 4 CN (z) = 2h7 - 128(1 - z) + |z - h(N - 1)| + (h +1 - z) + 14h B1(z) + 420h B2(z) - 3 ⎛ N ⎞ k \' A l - 10080h2λ1(z)+ \' ⎝ qN -γ |z - hγ|7 + qN Mk (z)+ Nk (z)⎠ , qk k=1 k k γ=0 где Mk (z) = ∞ k \' qγ ((z + hγ)7 - 14(hγ)6A1(z) - 420(hγ)4A2(z) + 10080 (λ1(z)+ 2(hγ)2λ2(z))) , γ=1 Nk (z) = ∞ k \' qγ ((hγ +1 - z)7 + 14(hγ)6B1(z) + 420(hγ)4B1(z) - 10080(hγ)2λ1(z)) , γ=1 A1(z), A2(z), B1(z), B2(z), λ1(z) и λ2(z) удовлетворяют системе линейных уравнений ⎡ ∞ ⎤ ⎡ ∞ ⎤ A1(z) ⎣-h6 \' D4(hγ + hβ)γ6⎦ + B1(z) ⎣h6 \' D4(h(N + γ) - hβ)γ6⎦ + γ=1 ⎡ ∞ γ=1 ⎤ ⎡ ∞ ⎤ + A2(z) ⎣-30h4 \' D4(hγ + hβ)γ4⎦ + B2(z) ⎣30h4 \' D4(h(N + γ) - hβ)γ4⎦ + γ=1 ⎡ ∞ γ=1 ∞ ⎤ + 6!λ1(z) ⎣h2 \' D4(hγ + hβ)γ2 - h2 \' D4(h(N + γ) - hβ)γ2⎦ + γ=1 ⎡ ∞ γ=1 ⎤ 1 ∞ 14 +2 · 6!λ2(z) ⎣h2 \' D4(hγ + hβ)γ2⎦ = - γ=1 \' γ=-∞ D4(hβ - hγ)|z - hγ|7, β = -1,β = -2,β = -3,β = N + 1,β = N + 2,β = N + 3. Доказательство. В случае m = 4 система (3.1)-(3.9) дает следующее: N \' Cγ (z)| γ=0 hβ - hγ|7 2 · 7! - A1(z) (hβ)6 2 · 6! + B1(z) (hβ - 1)6 2 · 6! - A2(z) (hβ)4 + 2 · 6! + B2(z) N - (hβ 1)4 + 2 · 6! 2 \' α=0 λα(z)(hβ)α = | - | z hβ 7 , β = 0,N, 2 · 7! (5.1) \' Cγ (z)(hγ)6 + 6B1(z) + 120B2(z) - 2 · 6!λ1(z) = z6, (5.2) γ=0 N \' Cγ (z)(hγ)5 + 5B1(z)+ 60B2(z) - 4 · 5!λ1(z) - 4 · 5!λ2(z) = z5, (5.3) γ=0 N \' Cγ (z)(hγ)4 + 4B1(z)+ 24B2(z) = z4, (5.4) γ=0 N \' Cγ (z)(hγ)3 + 3B1(z)+ 6A2(z)+ 6B2(z) = z3, (5.5) γ=0 N \' Cγ (z)(hγ)2 + 2B1(z) = z2, (5.6) γ=0 N \' Cγ (z)(hβ)+ A1(z)+ B1(z) = z, (5.7) β=0 N \' Cγ (z) = 1. (5.8) γ=0 Далее мы решаем систему (5.1)-(5.8). Введем следующие обозначения: v(hβ) = N \' Cγ (z)| γ=0 hβ - hγ|7 2 · 7! (hβ)6 , (5.9) (hβ - 1)6 u(hβ) = v(hβ) - A1(z) 2 · 6! + B1(z) 2 · 6! - (hβ)4 - A2(z) 2 · 4! + B2(z) - (hβ 1)4 + 2 · 4! 2 \' α=0 λα(z)(hβ)α. (5.10) В этом утверждении следует выразить Cγ (z), β = 0, 1,...,N через функцию u(hβ). Для этого нам d8 необходим дискретный аналог D4(hβ) дифференциального оператора бы уравнению dx8 , который удовлетворял hD4(hβ) ∗ | hβ|7 = δ(hβ), 2 · 7! где δ(hβ) - дискретная дельта-функция. Из теоремы 4.1 в случае m = 4 получаем следующую d8 форму дискретного аналога D4(hβ) оператора : dx8 ⎧ 3 β|-1 ⎪ ), Ak q| при |β| ); 2, k ⎪ k=1 7! ⎪⎨ 3 D4(hβ) = h8 ⎪ ⎪ ⎪ 1+ ), Ak при |β| = 1, k=1 A 3 ), k (5.11) где (1 - qk )9 ⎩ C + k=1 qk при β = 0, Ak = E7(qk - , C = 128, ) E6(x) = x6 + 120x5 + 1191x4 + 2416x3 + 1191x2 + 120x + 1, E7(x) = x7 + 247x6 + 4293x5 + 15619x4 + 15619x3 + 4293x2 + 247x +1 являются полиномами Эйлера-Фробениуса, а qk, k = 1, 2, 3 - корнями полинома E6(x), причем |qk | < 1, k = 1, 2, 3. Применяя дискретный аналог (5.11) к коэффициентам Cβ, β = 0, 1,..., N, интерполяционной формулы (1.1), получаем следующее равенство: Cβ (z) = hD4(hβ) ∗ u(hβ). (5.12) Отсюда можно заключить, что, если мы найдем функцию u(hβ), то коэффициенты Cβ, β = 0, 1,..., N, из формулы (1.1) будут получены из (5.12). Теперь отыщем явное представление функции u(hβ). Так как Cβ (z) = 0 для hβ ∈/ [0, 1], то из (5.12) получаем Cβ (z) = hD4(hβ) ∗ u(hβ) = 0 при hβ ∈/ [0, 1]. (5.13) Рассмотрим равенство (5.9) для hβ ∈/ [0, 1]. Положим β < 0. Тогда, с учетом (5.2)-(5.8), имеем 1 ( 7 6 5 2 v(hβ) = - 2 · 7! (hβ) - 7(hβ) (z - A1(z) - B1(z)) + 21(hβ) (z - 2B1(z)) - - 35(hβ)4(z3 - 3B1(z) - 6A2(z) - 6B2(z)) + 35(hβ)3(z4 - 4B1 - 24B2) - - 21(hβ)2(z5 - 5B1 - 60B2 +4 · 5!λ1 +4 · 5!λ2)+ N + 7(hβ)(z6 - 6B1 - 120B2 +2 · 6!λ1) - \' Cγ (z)(hγ)7 γ=0 Теперь положим β > N, и тогда схожим образом из (5.9) получим \ . (5.14) v(hβ) = 1 2 · 7! ( (hβ)7 - 7(hβ)6(z - A1(z) - B1(z)) + 21(hβ)5(z2 - 2B1(z)) - - 35(hβ)4(z3 - 3B1(z) - 6A2(z) - 6B2(z)) + 35(hβ)3(z4 - 4B1 - 24B2) - - 21(hβ)2(z5 - 5B1 - 60B2 +4 · 5!λ1 +4 · 5!λ2)+ N + 7(hβ)(z6 - 6B1 - 120B2 +2 · 6!λ1) - \' Cγ (z)(hγ)7 γ=0 \ . (5.15) Далее, используя (5.14) и (5.15), из (5.10) получаем ⎧ (z - hβ)7 ⎪⎪ 2 · 7! - u(hβ ⎨ ) = ⎪ |z - hβ|7 A1(z) 6! (hβ)6 - A2(z) 4! (hβ)4 + (λ1(z)+ 2λ2(z))(hβ)2, β < 0, (5.16) ⎪ 2 · 7! , 0 � β � N, ⎪ (z - hβ)7 B1(z) 6 B2(z) 4 2 ⎪⎩ - + 2 · 7! - (1 hβ) + 6! 4! (1 - hβ) - λ1(z)(1 - hβ) , β > N. Здесь A1(z), A2(z), B1(z) и B2(z) неизвестны. Они могут быть получены из (5.13). Теперь, с учетом (5.16), из (5.13) получаем D4(hβ) ∗ u(hβ) = 0, β < 0, β > N, т. е., для β < 0 и β > N ∞ \' D4(hγ + hβ) γ=1 ((z + hγ)7 2 · 7! A1(z) - 6! (hγ)6 - A2(z) 4! \ (hγ)4 + (λ1(z)+ 2λ2(z))(hγ)2 + N + \' D4(hγ - hβ) | γ=0 + z - hγ|7 2 · 7! ∞ + \' D4(h(N + γ) - hβ) γ=1 ( -(z - 1 - hγ)7 2 · 7! + B1(z) 6! (hγ)6 + B2(z) 4! \ (hγ)4 - λ1(z)(hγ)2 = 0. Из последнего равенства для β < 0 и β > N имеем ⎛ ∞ ⎞ ⎛ ∞ ⎞ A1(z) ⎝-h6 \' D4(hγ + hβ)γ6⎠ + B1(z) ⎝h6 \' D4(h(N + γ) - hβ)γ6⎠ + γ=1 ⎛ ∞ γ=1 ⎞ ⎛ ∞ ⎞ + A2(z) ⎝-30h4 \' D4(hγ + hβ)γ4⎠ + B2(z) ⎝30h4 \' D4(h(N + γ) - hβ)γ4⎠ + γ=1 ⎛ ∞ γ=1 ∞ ⎞ + 6!λ1(z) ⎝h2 \' D4(hγ + hβ)γ2 - h2 \' D4(h(N + γ) - hβ)γ2⎠ + γ=1 ⎛ ∞ γ=1 ⎞ N z hγ 7 14 +2 · 6!λ2(z) ⎝h2 \' D4(hγ + hβ)γ2⎠ = - \' D4(hγ - hβ) | - | - γ=1 \' \' ∞ (hγ + z)7 ∞ γ=0 (hγ + (1 - z))7 - γ=1 D4(hγ + hβ) 14 - γ=1 D4(h(N + γ) - hβ) 14 . Следовательно, при β = -1, β = -2, β = -3, β = N + 1, β = N + 2, β = N + 3, после ряда упрощений, получим A1(z), A2(z), B1(z), B2(z), λ1(z) и λ2(z), которые были даны в утверждении теоремы. Затем из (5.12), используя (5.11) и (5.16), для β = 0, 1, 2,...,N мы получаем аналитические формулы для коэффициентов Cβ (z), β = 0,N, данные в утверждении теоремы. Теорема 5.1 доказана.

About the authors

Kh M Shadimetov

Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences

Email: kholmatshadimetov@mail.ru

A R Hayotov

Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences

Email: hayotov@mail.ru

F A Nuraliev

Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences

Email: nuraliyevf@mail.ru

References

  1. Василенко В. А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. - Новосибирск: Наука, 1983.
  2. Игнатьев М. И., Певний А. Б. Натуральные сплайны многих переменных. - Л.: Наука, 1991.
  3. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. - М.: Мир, 1975.
  4. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. - М.: Наука, 1974.
  5. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. - М.: Наука, 1976.
  6. Шадиметов Х. М. Дискретный аналог дифференциального оператора d2m/dx2m и его построение// В сб.: «Вопросы вычислительной и прикладной математики». - Ташкент: АН УзССР, 1985. - 79.- С. 22-35. - ArXiv:1001.0556.v1 [math.NA] Jan. 2010.
  7. Ahlberg J. H., Nilson E. N., Walsh J. L. The theory of splines and their applications. - New York: Academic Press, 1967.
  8. Arcangeli R., Lopez de Silanes M. C., Torrens J. J. Multidimensional minimizing splines. - Boston: Kluwer Academic publishers, 2004.
  9. Attea M. Hilbertian kernels and spline functions. - Amsterdam: North-Holland, 1992.
  10. de Boor C. Best approximation properties of spline functions of odd degree// J. Math. Mech. - 1963. - 12. - С. 747-749.
  11. de Boor C. A practical guide to splines. - New York-Heidelberg-Berlin: Springer, 1978.
  12. Holladay J. C. Smoothest curve approximation// Math. Tables Aids Comput. - 1957. - 11. - С. 223-243.
  13. Mastroianni G., Milovanovic´ Springer, 2008. G. V. Interpolation processes. Basic theory and applications. - Berlin
  14. Schoenberg I. J. On trigonometric spline interpolation// J. Math. Mech. - 1964. - 13. - С. 795-825.
  15. Schumaker L. L. Spline functions: basic theory. - Cambridge: Cambridge University Press, 2007.
  16. Shadimetov Kh. M., Hayotov A. R., Nuraliev F. A. On an optimal quadrature formula in Sobolev space 2 (0, 1)// J. Comput. Appl. Math. - 2013. - 243. - С. 91-112
  17. Sobolev S. L. Formulas of mechanical cubature in n-dimensional space// В сб.: «Selected works of S. L. Sobolev». - New York: Springer, 2006. - С. 445-450
  18. Sobolev S. L. On interpolation of functions of n variables// В сб.: «Selected works of S. L. Sobolev». - New York: Springer, 2006. - С. 451-456.
  19. Sobolev S. L. The coefficients of optimal quadrature formulas// В сб.: «Selected works of S. L. Sobolev». - New York: Springer, 2006. - С. 561-566.
  20. Sobolev S. L., Vaskevich V. L. The theory of cubature formulas. - Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. Group, 1997.

Statistics

Views

Abstract - 64

PDF (Russian) - 33

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies