A Stable Difference Scheme for a Third-Order Partial Differential Equation

Cover Page

Abstract


The nonlocal boundary-value problem for a third order partial differential equation in a Hilbert space H with a self-adjoint positive definite operator A is considered. A stable three-step difference scheme for the approximate solution of the problem is presented. The main theorem on stability of this difference scheme is established. In applications, the stability estimates for the solution of difference schemes of the approximate solution of three nonlocal boundary value problems for third order partial differential equations are obtained. Numerical results for oneand two-dimensional third order partial differential equations are provided.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Нелокальные краевые задачи для уравнений в частных производных являются основным направлением исследования в различных областях науки и техники (в особенности, в тех задачах прикладной математики, в которых невозможно определить граничные значения неизвестной функции). Растущий интерес, проявленный в течение последнего столетия к локальным и нелокальным краевым задачам для уравнений в частных производных с временными и пространственными аргументами, обусловлен их важностью для теории науки и промышленности (см., например, [2,7,13,22-24,27,29,30]). Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений в частных производных третьего порядка широко изучены (см., например, [1, 3-5, 9-11, 16, 17, 21, 25, 26, 28]). Однако теория разностных схем для уравнений в частных производных третьего порядка еще не получила достаточного развития. Этим обосновывается важность поиска устойчивых разностных схем с реализацией их на компьютере. В работах [14, 15] локальные и нелокальные краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка d3y (t) dt3 + c (t) d2y (t) dt2 + b (t) dy (t) + a (t) y (t)= f (t) dt исследованы при гладких функциях a (t) , b (t) , c (t) , f (t) , заданных на отрезке [0,T ] . Представлены трехточечные разностные схемы. Эти трехточечные разностные схемы строятся на основе ∗c РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2018 1 2 А. АШЫРАЛИЕВ, Х. БЕЛАКРУМ тейлоровских разложений по четырем точкам. На примере с периодическими по времени параметрами показано, что полученные результаты хорошо применимы к численному решению локальных и нелокальных краевых задач. Различные нелокальные краевые задачи для уравнениях в частных производных третьего порядка приводятся к нелокальной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка в гильбертовом пространстве H с самосопряженным положительно определенным оператором A: ⎧ d3u(t) ⎨ ⎪⎪ dt3 + A du(t) = f (t), 0 < t < 1, dt u(0) = γu (λ)+ ϕ, u×(0) = αu× (λ)+ ψ, |γ| < 1, ⎪ (1.1) ⎪⎩ u××(0) = βu×× (λ)+ ξ, |1+ βα| > |α + β| , 0 < λ � 1 В работе [20] рассматривается нелокальная краевая задача (1.1) для нелокального уравнения с частными производными третьего порядка. Функция u(t) есть решение задачи (1.1), если выполнены следующие условия: 1. u(t) трижды непрерывно дифференцируема на интервале (0, 1) и дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [0, 1] ; 2. элемент u×(t) принадлежит D (A) для всех t из отрезка [0, 1] , а функция Au×(t) непрерывна на отрезке [0, 1] ; 3. u(t) удовлетворяет уравнению и нелокальным краевым условиям (1.1). Следующая основная теорема об устойчивости, представляющая оценку решения нелокальной краевой задачи (1.1), установлена при предположении, что |1+ αβ| > |α + β| . (1.2) Чтобы сформулировать результаты об устойчивости нелокальной краевой задачи (1.1), дадим определение отрицательной степени A-α (0 < α < 1) самосопряженного положительно определенного оператора A следующей формулой (см. [6]): A-α = sin απ α ∞ r s-α (A + sI)-1 ds. 0 Оператор A-α ограничен, и A-αx → x для любого x ∈ H при α → 0. Положительная степень определяется как (A-α)-1 , она неограничена. Для любых вещественных α и β выполняется фундаментальное свойство степеней AαAβx = Aβ Aαx = Aα+βx при x ∈ D(Aθ ), где θ = max {α, β, α + β} . Теорема 1.1 (см. [20]). Предположим, что ϕ ∈ H, ψ ∈ D (A) , ξ ∈ D (A1/2) , а f (t) непрерывно дифференцируема на отрезке [0, 1] . Тогда существует единственное решение задачи (1.1) и выполняются неравенства ( 1 1 1 max lu(t)lH � M1 lϕlH + 1A- 2 ψ1 + 1A-1ξ1 + max 1A-1f (t)1 , (1.3) 0�t�1 1 d3u(t) 1 1 du 1 1 1H ( 1 1H 1 1 1 0�t�1 1 1H max 1 1 + max 1A 1 � M2 lAψlH + 1A 2 ξ1 + lf (0)lH + max 1f ×(t)1 , (1.4) 1 0�t�1 1 1 1H dt3 1 dt 1H 0�t�1 1 1 1 1H 0�t�1 1 1H где M1, M2 не зависят от f (t), ϕ, ψ, ξ. Далее рассмотрим приложения основных результатов к исследованию устойчивости трех нелокальных краевых задач для уравнений с частными производными третьего порядка. Во-первых, для приложения теоремы 1.1 рассмотрим нелокальную краевую задачу для уравнения с частными производными третьего порядка ⎧ ∂3u(t, x) ⎪ ⎨ ⎪ ∂t3 - (a(x)utx)x + δut(t, x)= f (t, x), 0 < t < 1, 0 < x < l, u(0, x)= γu(λ, x)+ ϕ (x) , ut(0, x)= αut(λ, x)+ ψ(x), 0 � x � l, ⎪ ⎪ utt(0, x)= βutt(λ, x)+ ξ (x) , 0 � x � l, 0 < λ � 1, ⎩ ut(t, 0) = ut(t, l), utx(t, 0) = utx(t, l), 0 � t � 1. (1.5) УСТОЙЧИВАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 3 Здесь a(x) (x ∈ (0, l)) , ϕ(x), ψ(x), ξ(x) (x ∈ [0, l]) и f (t, x) (t ∈ (0, 1) , x ∈ (0, l)) - достаточно гладкие функции, удовлетворяющие всем условиям согласования, гарантирующим существование и единственность гладкого решения u(t, x) задачи (1.5). Будем считать, что a(x) ?: a > 0, x ∈ (0, l) , δ > 0, a(l)= a(0). Известно [6], что функцию v(t, x), определенную на [0, 1] × [0, l] , можно рассматривать как абстрактную функцию v(t), определенную на [0, 1] , принимающую значения в L2 [0, l] . Это позволяет привести задачу (1.5) к абстрактной форме (1.1) в гильбертовом пространстве H = L2 [0, l] всех квадратично интегрируемых функций на [0, l] с самосопряженным положительно определенным оператором A = Ax, определенным по формуле Axu(x)= - (a(x)ux)x + δu(x) (1.6) с областью определения D(Ax) = {u(x): u, ux, (a(x)ux)x ∈ L2 [0, l] , u(0) = u(l), u×(0) = u×(l)} . Здесь f (t) = f (t, x) и u(t) = u(t, x) - известная и неизвестная абстрактные функции на отрезке [0, 1] со значениями в H = L2 [0, l] . Тогда из теоремы 1.1 вытекает следующая теорема об устойчивости задачи (1.5). Теорема 1.2 (см. [20]). Для решения задачи (1.5) имеют место неравенства устойчивости 0�t�1 max lu(t, .)lL2[0,l] � M3 г l 0�t�1 max lf (t, .)lL2[0,l] + lϕlL2[0,l] + lψlL2[0,l] + lξlL2[0,l] , (1.7) max 1 1 ∂u 0�t�1 1 ∂t 1 1 (t, .)1 + max 1 1 ∂3u 0�t�1 1 ∂t 1 1 (t, .)1 � 1W 2 1 2 [0,l] 1 3 1 г L2[0,l] l � M3 max lft(t, .)lL2[0,l] + lf (0, .)lL2[0,l] + lψlW 2 + lξl 1 (1.8) 0�t�1 2 [0,l] W2 [0,l] где M3 не зависит от f (t, x), ϕ(x), ψ(x), ξ(x). Здесь W 1 [0, l] и W 2 [0, l] - пространства Собо- 2 2 лева всех квадратично интегрируемых функций ψ (x) на [0, l] с нормами lψlW 1 ⎧ l = ⎨r ψ2 (x)+ ψ2 (x) dx ⎫1/2 ⎬ и lψl 2 ⎧ l = ⎨r ψ2 (x)+ ψ2 (x) dx ⎫1/2 ⎬ . 2 [0,l] x ⎩0 ⎭ W2 [0,l] xx ⎩0 ⎭ Во-вторых, пусть Ω ⊂ Rn - ограниченная открытая область с гладкой границей S, Ω¯ =Ω ∪ S. В области [0, 1] × Ω рассмотрим краевую задачу для уравнения с частными производными третьего порядка ⎧ ∂3u(t, x) n ⎪ ⎪ ∂t3 - ⎪ (ar (x)utxr )xr = f (t, x), x = (x1,..., xn) ∈ Ω, 0 < t < 1, ⎨ u(0, x)= r=1 x)+ ϕ(x), u (0, x)= αu (λ, x)+ ψ(x), x Ω, γu(λ, t t ∈ ¯ (1.9) ⎪ ⎪ utt(0, x)= βutt(λ, x)+ ξ(x), x ∈ Ω¯ , 0 < λ � 1, ⎪⎩ ut(t, x)= 0, x ∈ S, 0 � t � 1, где ar (x), (x ∈ Ω) , ϕ(x), ψ(x), ξ(x) (x ∈ Ω¯ ) и f (t, x) (t ∈ (0, 1) , x ∈ Ω) - заданные гладкие функции, а ar (x) > 0. Аналогично, функцию v(t, x) на [0, 1] × Ω¯ можно рассматривать как абстрактную функцию v(t) на [0, 1] со значениями в L2 (Ω¯ ) . Тогда задачу (1.9) можно записать в абстрактной форме (1.1) в гильбертовом пространстве H = L2 (Ω¯ ) квадратично интегрируемых функций на Ω¯ с самосопряженным положительно определенным оператором A = Ax: n r r Axu(x)= ), (ar (x)ux )x (1.10) r=1 с областью определения D(Ax) = {u(x): u, ux , (ar (x)ux ) ∈ L2 (Ω¯ ) , 1 � r � n, u(x)= 0,x ∈ S� . r r Здесь f (t) = f (t, x) и u(t) = u(t, x) - известная и неизвестная абстрактные функции, определенные на Ω¯ со значениями в L2 (Ω¯ ) . Тогда из теоремы 1.1 и неравенства коэрцитивности для решения эллиптической дифференциальной задачи в L2 (Ω¯ ) вытекает следующая теорема об устойчивости задачи (1.9). 4 А. АШЫРАЛИЕВ, Х. БЕЛАКРУМ Теорема 1.3 (см. [20]). Для решения задачи (1.9) имеют место неравенства устойчивости 0�t�1 max lu(t, .)lL2(Ω¯ ) � M4 г l 0�t�1 max lf (t, .)lL2(Ω¯ ) + lϕlL2(Ω¯ ) + lψlL2(Ω¯ ) + lξlL2(Ω¯ ) , (1.11) max lu(t, .)lW 2 Ω¯ ∂ u 1 3 + max 1 1 (t, .)1 � 0�t�1 2 ( ) 0�t�1 1 ∂t 1 1 3 1L г 2(Ω¯ ) l � M4 max lft(t, .)lL2(Ω¯ ) + lf (0, .)lL2(Ω¯ ) + lψlW 2 + lξlW 1 (1.12) 0�t�1 2 (Ω¯ ) 2 (Ω¯ ) где M4 не зависит от f (t, x), ϕ(x), ψ(x), ξ(x). Здесь и далее W 1(Ω) и W 2(Ω) будут обозначать 2 2 пространства Соболева квадратично интегрируемых функций ψ (x) на Ω с нормами lψlW 1 !r r = ... г |ψ(x)|2 n l 2 + |ψxr (x)| 1 2 dx1 ... dxn , 2 (Ω) !r x∈Ω r г r=1 1 n l 2 2 2 lψlW 2 = ... |ψ(x)| + |ψxr xr (x)| dx1 ... dxn . 2 (Ω) x∈Ω r=1 В-третьих, рассмотрим краевую задачу для уравнения с частными производными третьего порядка ⎧ ∂ 3u(t, x) ⎪ ⎪ ∂t3 - ⎪ ⎪ m r=1 (ar (x)utxr )xr + δut(t, x)= f (t, x), x = (x1,..., xn) ∈ Ω, 0 < t < 1, ⎨ u(0, x)= γu(λ, x)+ ϕ(x), ut(0, x)= αut(λ, x)+ ψ(x), x ∈ Ω¯ , ⎪ utt(1, x)= βutt(λ, x)+ ξ(x), x ∈ Ω¯ , 0 < λ < 1, ⎪ (1.13) ⎪ ∂2u ⎩⎪ ∂t∂-→m (0, x)= 0, x ∈ S, 0 � t � 1, где ar (x), x ∈ Ω, ϕ(x), ψ(x), ξ(x), x ∈ Ω¯ и f (t, x) (t ∈ (0, 1) , x ∈ Ω) - заданные гладкие функции, ar (x) > 0, а mγ - вектор нормали к S. Аналогично, задачу (1.13) можно записать в абстрактной форме (1.1) в гильбертовом пространстве H = L2 (Ω¯ ) квадратично интегрируемых функций на Ω¯ определенным оператором A = Ax: с самосопряженным положительно m r r Axu(x)= - (ar (x)ux )x + δu(x) (1.14) r=1 ( ∂u с областью определения D(Ax)= u(x): u, ux , (ar (x)ux ) ∈ L2 (Ω¯ ) , 1 � r � m, = 0,x ∈ S . r r xr ∂-→m Здесь f (t)= f (t, x) и u(t)= u(t, x) - известная и неизвестная абстрактные функции на Ω¯ со значениями в L2 (Ω¯ ) . Из теоремы 1.1 и неравенства коэрцитивности для решения эллиптической дифференциальной задачи в L2 (Ω¯ ) вытекает следующая теорема об устойчивости задачи (1.13). Теорема 1.4 (см. [20]). Для решения задачи (1.13) имеют место неравенства устойчивости 0�t�1 max lu(t, .)lL2(Ω¯ ) � M5 г l 0�t�1 max lf (t, .)lL2(Ω¯ ) + lϕlL2(Ω¯ ) + lψlL2(Ω¯ ) + lξlL2(Ω¯ ) (1.15) max lu(t, .)lW 2 Ω¯ ∂ u 1 3 + max 1 1 (t, .)1 � 0�t�1 2 ( ) 0�t�1 1 ∂t 1 1 3 1L г 2(Ω¯ ) l � M5 max lft(t, .)lL2(Ω¯ ) + lf (0, .)lL2(Ω¯ ) + lψlW 2 + lξlW 1 , (1.16) 0�t�1 где M5 не зависит от f (t, x), ϕ(x), ψ(x), ξ(x). 2 (Ω¯ ) 2 (Ω¯ ) УСТОЙЧИВАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 5 В настоящей работе исследуются устойчивые разностные схемы, применяемые для приближенного решения задачи (1.1) при условии, что выполнено неравенство (1.2). Для приближенного решения задачи (1.1) представлена устойчивая трехшаговая разностная схема. Однако оценить устойчивость решения этой разностной схемы при предположении (1.2) пока не удалось. Применяя операторный подход монографии [19], справедливость утверждения основной теоремы об устойчивости для указанной разностной схемы удалось установить при следующем, более сильном, чем (1.2), предположении: 1 > |α| |β| + |α| + |β| . (1.17) Оценки устойчивости решений разностных схем получены для приближенных решений трех нелокальных краевых задач для уравнений в частных производных третьего порядка, возникающих в приложениях. Однако общность подхода, рассматриваемого в настоящей работе, позволяет рассматривать и более широкий класс многомерных задач. Представлены соответствующие численные результаты. 2. РАЗНОСТНАЯ СХЕМА. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ Рассмотрим следующую разностную схему первого порядка точности: ⎧ uk+2 - 3uk+1 +3uk - uk-1 τ ⎪ 3 ⎪ + Auk+2 - uk+1 τ = fk, ⎪ fk = f (tk ), 1 � k � N - 2, Nτ = 1, ⎨ u0 = γum + ϕ, ⎪ u1 - u0 = αum - um-1 + ψ, (2.1) τ ⎪ τ ⎪ (I + τ 2A) u2 - 2u1 + u0 um - 2um-1 + um-2 ⎩ τ 2 = β τ 2 + ξ. Она предназначена для приближенного решения нелокальной краевой задачи (1.1). Здесь и далее используется обозначение m = [λ/τ ] . Теорема 2.1. Предположим, что λ ?: 2τ, ϕ ∈ H, ψ ∈ D (A) , ξ ∈ D (A1/2) и выполняется предположение (1.17). Тогда решение разностной схемы (2.1) удовлетворяет следующим неравенствам устойчивости: ( 1 1 1 1 max luk lH � M6 max 1A-1/2fk 1 + 1A-1ξ1 + 1A-1/2ψ1 + lϕlH , (2.2) 0�k�N 1�k�N -2 1 1H 1 1H 1 1H 1 uk+2 - 3uk+1 +3uk - uk-1 1 1 k+2 k+1 1 1 max 1 1 + max 1Au - u 1 � 1 1�k�N -2 1 τ 3 1H ( 1 1H 1�k�N -2 1 τ 1 fk fk-1 1 1 � M7 max l - lH + lf1lH + 1A1/2ξ1 + lAψlH , (2.3) 2�k�N -2 τ 1 1H где M6, M7 не зависят от fk, 1 � k � N - 2, и ϕ, ψ, ξ. Доказательство. Очевидно, трехшаговую разностную схему (2.1) можно переписать в виде эквивалентной ей системы из одношаговой и двухшаговой разностных схем: ⎧ uk - uk-1 ⎪ τ ⎪ = vk-1, u0 = γum + ϕ, 1 � k � N, ⎨ vk+1 - 2vk + vk-1 2 + Avk+1 = fk, 1 � k � N - 2, ⎪ τ v1 - v0 vm 1 - v ⎪⎩ v0 = αvm-1 + ψ, (I + τ 2A) = β - τ m-2 + ξ. τ Применяя операторный подход из монографии [19], можно установить оценки устойчивости ( 1 1 1 1 max lvk lH � M max 1A-1/2fk 1 + 1A-1ξ1 + 1A-1/2ψ1 + lϕlH , (2.4) 0�k�N -1 1 vk+1 - 2vk + vk-1 1 1�k�N -2 1 1H 1 1H 1 1H max 1 1 + max lAvk+1lH � 1 1�k�N -2 1 τ 2 1H 1 1�k�N -2 6 А. АШЫРАЛИЕВ, Х. БЕЛАКРУМ ( � M max lfk - fk-1lH + lf l + 1A1/2ξ1 + lAψl (2.5) 2�k�N -2 τ для решений двухшаговых разностных схем 1 1 1 H 1 1H H ⎧ vk+1 - 2vk + vk-1 ⎨ τ 2 + Avk+1 = fk, 1 � k � N - 2, ⎩ v0 = αvm-1 + ψ, (I + τ 2A) v1 - v0 = β τ vm-1 - vm-2 + ξ. τ Понятно, что для решения одношаговой разностной схемы uk - uk-1 τ = vk-1 , u0 = γum + ϕ, γ 1 � k � N, справедлива формула uk = 1 γ щие оценки: - m-1 ), i=0 ( k-1 1 viτ + ), viτ + i=0 1 - ϕ. Отсюда получаем следую- γ max 0�k�N luk lH � M10 max 0�k�N -1 lvk lH + lϕlH , (2.6) 1 1 max 1 1Auk+2 - uk+1 1 � M max lAv l . (2.7) 1 1�k�N -2 1 τ 1H 11 1�k�N -2 k+1 H Оценка (2.2) следует из оценок (2.4) и (2.6). Применяя разностное уравнение uk+2 - 3uk+1 +3uk - uk-1 τ 3 + A uk+2 - uk+1 = f , τ k неравенство треугольника и оценку (2.6), получаем, что 1 uk+2-3uk+1+3uk -uk-1 1 ( lfk -fk-1lH max 1 1 � M max lAvk+1lH + max + lf1lH . 1 1�k�N -2 1 τ 3 1H 1 1�k�N -2 2�k�N -2 τ (2.8) Следовательно, оценка (2.3) следует из оценок (2.5), (2.7) и (2.8), что и завершает доказательство теоремы 2.1. Отметим, что при выполнении условий теоремы 2.1 не удается получить оценку устойчивости для решения разностной схемы ⎧ uk+2 - 3uk+1 +3uk - uk-1 τ ⎪ 3 ⎪ + Auk+2 - uk+1 τ = fk, ⎪ fk = f (tk ), 1 � k � N - 2, Nτ = 1, ⎨ u0 = γum + ϕ, ⎪ u1 - u0 = αum - um-1 + ψ, - ⎪ u2 2u1 + u0 ⎪ m u τ - 2u m-1 τ + um-2 ⎩ τ 2 = β τ 2 + ξ. Приближение (I + τ 2A) u2 - 2u1 + u0 τ 2 для u××(0) лучше, чем u2 - 2u1 + u0 , с точки зрения устой- τ 2 чивости разностной схемы (2.1) и позволяет получить утверждение теоремы 2.1. Такой подход для гиперболических уравнений впервые был применен в работе [18] (более подробно см. в [19]). 1. ПРИЛОЖЕНИЯ В этом разделе рассматриваются приложения теоремы 2.1. Вначале рассматривается следующая нелокальная краевая задача (1.5). Задачу дискретизации задачи (1.5) разобьем на два этапа. На первом определим пространственную сетку [0, l]h = {x = xn : xn = nh, 0 � n � M, Mh = 2h l} и введем гильбертовы пространства L2h = L2([0, l]h) и W 2 2 = W 2([0, l]h) сеточных функций }0 1 1L { ϕh(x)= ϕn M , определенных на [0, l]h, с нормами 1ϕh1 2h = ( ), x∈[0,l]h ϕh(x) 2 1/2 h 1W и ϕ 1 = 1 h1 2 2h 1 1 ( ), h 2 1/2 1ϕh1 L2h + x∈[0,l]h ϕxx,j (x) h соответственно. Дифференциальному оператору Ax, определенному формулами (1.5), поставим в соответствие h разностный оператор Ax следующим образом: Ax }1 h hϕ (x)= {-(a(x)ϕx)x,n + δϕn M -1. (3.1) УСТОЙЧИВАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 7 h }0 - h Этот оператор действует в пространстве сеточных функций ϕh(x) = {ϕn M , удовлетворяющих условиям ϕ0 = ϕM , ϕ1 - ϕ0 = ϕM - ϕM 1. Хорошо известно, что Ax - самосопряженный положительно определенный оператор в L2h. С помощью Ax получаем нелокальную краевую задачу ⎧ d3uh(t, x) duh(t, x) ⎪ + Ax = fh(t, x), 0 < t < 1, x ∈ [0, l]h, ⎨⎪ dt3 h dt uh(0, x)= γuh(λ, x)+ ϕh(x), uh(0, x)= αuh(λ, x)+ ψh(x), (3.2) t t ⎪ ⎪ ⎩ uh h h tt(0, x)= βutt(λ, x)+ ξ (x), x ∈ [0, l]h. На втором шаге заменяем задачу (3.2) на разностную схему (2.1): ⎧ uh (x) - 3uh (x)+ 3uh(x) - uh (x) uh (x) - uh (x) k+2 ⎪ ⎪ ⎪⎨ fh ⎪ k+1 k τ 3 k-1 h + Ax k+2 k+1 τ k = fh(x), k (x)= f h(tk, x), tk = kτ, 1 � k � N - 2, x ∈ [0, l]h,Nτ = 1, 1 (x) - u0 (x) uh (x) - uh (x) h h h uh h m m 1 h ⎪ u0 (x)= γum(x)+ ϕ ⎪ (x), = α - τ τ + ψ (x), ⎪ uh(x) - 2uh(x)+ uh(x) uh (x) - 2uh (x)+ uh (x) ⎪⎩ (Ih + τ 2Ax) 2 1 0 m m-1 m-2 h h τ 2 = β τ 2 + ξ (x), x ∈ [0, l]h. (3.3) Теорема 3.1. Предположим, что λ ?: 2τ и выполнено условие (1.17). Тогда для решения {uh k (x) � N 0 задачи (3.3) имеют место оценки устойчивости ( max luhl � M13 max lfhl + l ϕh l + l ψh l + l ξh l , 0�k�N k L2h 1�k�N -2 k L2h L2h L2h L2h 1 h h h h 1 h h max 1 uk+2 - 3uk+1 + 3uk - uk-1 1 + max uk+2 - uk+1 1 1 1�k�N -2 1 1 τ 3 1 1 L 2h ⎧ 1 1 lW 1�k�N -2 l 1 2 � τ 2h ⎫ 1 � M14 ⎨ max 1 (fh - fh 1 + l fh l + l ψh l 2 + l ξh l 1 ⎬ , k ⎩2�k�N -2 1 τ k-1 1 1 L2h 1 L2h W2h W2h ⎭ k где M13 и M14 не зависят ни от ϕh(x), ψh(x), ξh(x), ни от fh(x), 1 � k � N - 2. Доказательство. В гильбертовом пространстве L2h разностную схему (3.3) можно записать в абстрактной форме ⎧ uh 3uh + 3uh - uh uh - uh k+2 - ⎪ k+1 k k-1 k+2 k+1 h ⎪ τ 3 + Ah τ ⎪ = fk , ⎪⎨ 1 � k � N - 2, Nτ = 1, 1 - u0 uh - uh h h h uh h m m 1 h ⎪ u0 = γum + ϕ , ⎪ = α - τ τ + ψ , ⎪ uh 2uh + uh uh - 2uh + uh ⎪⎩ (Ih + τ 2Ah) 2 - 1 τ 2 0 = β m m-1 τ 2 m-2 + ξh, h где Ah = Ax - самосопряженный положительно определенный оператор, заданный формулой (3.1), а fh = fh(x) и uh = uh(x) - известная и неизвестная абстрактные сеточные функции, определенk k k k ные на [0, l]h, со значениями в H = L2h. Значит, оценки теоремы 3.1 следуют из оценок (2.2) и (2.3), что завершает доказательство теоремы 3.1. Далее рассмотрим нелокальную краевую задачу (1.9). Разобьем дискретизацию задачи (1.9) на два этапа. На первом определим пространственную сетку Ωh = {x = xr = (h1j1,..., hnjn) , j = (j1,..., jn) , 0 � jr � Nr, Nrhr = 1, r = 1,..., n}, Ωh = Ωh ∩ Ω, Sh = Ωh ∩ S (это обозначение будет использоваться и далее). 8 А. АШЫРАЛИЕВ, Х. БЕЛАКРУМ 2h Введем банаховы пространства L2h = L2(Ωh) и W 2 2 = W 2(Ωh) сеточных функций ϕh(x) = {ϕ(h1r1,..., hmrm)} , определенных на Ωh, с нормами 1ϕh1 = ( ), ϕh(x) 2 h1 ··· hm 1/2 и 1 1 1 h1 ( ), m ( ) 2 1 1/2 1L2h x∈Ωh 1ϕh1 1 1 ), ϕh h1 ··· hm соответственно. W2h = ϕ L2h + x∈Ωhr=1 xrxr ,jr Дифференциальному оператору Ax, определенному соотношениями (1.9), поставим в соответh ствие разностный оператор Ax, определенный следующим образом: Ax h hu = - n ( r=1 xr αr (x)uh xr ,jr . (3.4) h Это самосопряженный положительно определенный оператор в L2h, действующий в пространстве сеточных функций uh (x) , удовлетворяющих условиям uh (x) = 0 для всех x из Sh. С помощью разностного оператора Ax получаем следующую нелокальную краевую задачу: ⎧ d3uh(t, x) duh(t, x) ⎪ + Ax = fh(t, x), 0 < t < 1, x ∈ [0, l]h, ⎨⎪ dt3 h dt uh(0, x)= γuh(λ, x)+ ϕh(x), uh(0, x)= αuh(λ, x)+ ψh(x), (3.5) t t ⎪ ⎪ ⎩ uh h h tt(0, x)= βutt(λ, x)+ ξ (x), x ∈ [0, l]h. На следующем этапе задача (3.5) заменяется разностной схемой (2.1) для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений: ⎧ uh (x) - 3uh (x)+ 3uh(x) - uh (x) uh (x) - uh (x) k+2 ⎪ ⎪ ⎪⎨ fh ⎪ k+1 k τ 3 k-1 h + Ax k+2 k+1 τ k = fh(x), k (x)= f h(tk, x), tk = kτ, 1 � k � N - 2, x ∈ Ωh, Nτ = 1, 1 (x) - u0 (x) uh (x) - uh (x) (3.6) h h h uh h m m 1 h ⎪ u0 (x)= γum(x)+ ϕ ⎪ (x), = α - τ τ + ψ (x), ⎪ uh(x) - 2uh(x)+ uh(x) uh (x) - 2uh (x)+ uh (x) h ⎪⎩ (Ih + τ 2Ax) 2 1 0 = β m τ 2 m-1 τ 2 m-2 + ξh(x), x ∈ Ωh. Теорема 3.2. Предположим, что λ ?: 2τ и выполнено условие (1.17). Тогда для решения {uh k (x) � N 0 задачи (3.6) выполняются оценки устойчивости ( max luhl � M1 (γ) max lfhl + l ϕh l + l ψh l + l ξh l , 0�k�N k L2h 1�k�N -2 k L2h L2h L2h L2h 1 h h h h 1 h h max 1 uk+2 - 3uk+1 + 3uk - uk-1 1 + max uk+2 - uk+1 1 1 1�k�N -2 1 1 τ 3 1 1 L 2h ⎧ 1 1 lW 1�k�N -2 l 1 2 � τ 2h ⎫ 1 � M2 ⎨ max 1 (fh - fh 1 + l fh l + l ψh l 2 + l ξh l 1 ⎬ , k ⎩2�k�N -2 1 τ k-1 1 1 L2h 1 L2h W2h W2h ⎭ k где M1 (γ) и M2 не зависят ни от ϕh(x), ψh(x), ξh(x), ни от fh(x), 1 � k � N - 2. Доказательство. В гильбертовом пространстве L2h = L2(Ωh) с самосопряженным положительh но определенным оператором Ah = Ax разностную схему (3.6) можно записать в абстрактной форме (2.1) посредством формулы (3.4), где fh = fh(x) и uh = uh(x) - известная и неизвестная k k k k абстрактные сеточные функции, определенные на Ωh, со значениями в H = L2h. Следовательно, оценки теоремы 3.2 вытекают из оценок (2.2)-(2.3) и следующей теоремы о неравенстве коэрцитивности для решений эллиптической разностной задачи в L2h. Теорема 3.3. Для решений эллиптической разностной задачи (см. [8]) hu Ax h (x)= ωh (x), x ∈ Ωh, uh(x)= 0, x ∈ Sh, УСТОЙЧИВАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 9 выполняется неравенство коэрцитивности n 1 1 1u r=1 h 1 1 xr xr 1 L2h � M17||ωh ||L2h , где M17 не зависит ни от h, ни от ωh. h Наконец, рассмотрим нелокальную краевую задачу (1.13). Разобьем дискретизацию задачи (1.13) на два этапа. На первом этапе дифференциальному оператору Ax, определенному соотношениями (1.13), поставим в соответствие разностный оператор Ax, действующий по формуле Ax h hu = - n ( r=1 xr αr (x)uh xr ,jr + δuh. (3.7) Это самосопряженный положительно определенный оператор в L2h, действующий в пространстве сеточных функций uh (x) , удовлетворяющих условию Dhuh (x) = 0 для всех x из Sh, где Dh - приближение оператора ∂ ∂-→p кальную краевую задачу: h . При помощи разностного оператора Ax получаем следующую нело- ⎧ 3 h h d u (t, x) ⎪ x du (t, x) h ⎨⎪ dt3 + Ah dt = f (t, x), 0 < t < 1, x ∈ Ωh, uh(0, x)= γuh(λ, x)+ ϕh(x), uh(0, x)= αuh(λ, x)+ ψh(x), (3.8) t t ⎪⎪ ⎩ uh h h tt(0, x)= βutt(λ, x)+ ξ (x), x ∈ Ωh. На втором этапе задача (3.8) заменяется разностной схемой (2.1) для бесконечной системы дифференциальных уравнений: ⎧ uh (x) - 3uh (x)+ 3uh(x) - uh (x) uh (x) - uh (x) k+2 ⎪ ⎪ ⎪⎨ fh ⎪ k+1 k τ 3 k-1 h + Ax k+2 k+1 τ k = fh(x), k (x)= f h(tk, x), tk = kτ, 1 � k � N - 2, x ∈ Ωh,Nτ = 1, 1 (x) - u0 (x) uh (x) - uh (x) (3.9) h h h uh h m m 1 h ⎪ u0 (x)= γum(x)+ ϕ ⎪ (x), = α - τ τ + ψ (x), ⎪ uh(x) - 2uh(x)+ uh(x) uh (x) - 2uh (x)+ uh (x) ⎪⎩ (Ih + τ 2Ax) 2 1 0 m m-1 m-2 h h τ 2 = β τ 2 + ξ (x), x ∈ Ωh. Теорема 3.4. Предположим, что λ ?: 2τ и выполнено условие (1.17). Тогда для решения {uh k (x) � N 0 задачи (3.9) выполняются оценки устойчивости ( max luhl � M18 max lfhl + l ϕh l + l ψh l + l ξh l , 0�k�N k L2h 1�k�N -2 k L2h L2h L2h L2h 1 h h h h 1 h h max 1 uk+2 - 3uk+1 + 3uk - uk-1 1 + max uk+2 - uk+1 1 1 1�k�N -2 1 1 τ 3 1 1 L 2h ⎧ 1 1 lW 1�k�N -2 l 1 2 � τ 2h ⎫ 1 � M19 ⎨ max 1 (fh - fh 1 + l fh l + l ψh l 2 + l ξh l 1 ⎬ , k ⎩2�k�N -2 1 τ k-1 1 1 L2h 1 L2h W2h W2h ⎭ k где M18 и M19 не зависят ни от ϕh(x), ψh(x), ξh(x), ни от fh(x), 1 � k � N - 2. Доказательство. В гильбертовом пространстве L2h = L2(Ωh) с самосопряженным положительh но определенным оператором Ah = Ax разностную схему (3.9) можно записать в абстрактной форме (2.1) посредством формулы (3.7), где fh = fh(x) и uh = uh(x) - известная и неизвестная k k k k абстрактные сеточные функции, определенные на Ωh, со значениями в H = L2h. Следовательно, оценки теоремы 3.4 вытекают из оценок (2.2)-(2.3) и следующей теоремы о неравенстве коэрцитивности для решений эллиптической разностной задачи в L2h. 10 А. АШЫРАЛИЕВ, Х. БЕЛАКРУМ Теорема 3.5. Для решений эллиптической разностной задачи (см. [8]) hu Ax h (x)= ωh (x), x ∈ Ωh, Dhuh(x)= 0, x ∈ Sh, справедливо неравенство коэрцитивности n 1 1 1u r=1 h 1 1 xr xr 1 L2h � M20||ωh ||L2h , где M20 не зависит ни от h, ни от ωh. 2. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В случаях, когда аналитические методы не работают надлежащим образом, в прикладной математике важную роль играют численные методы отыскания приближенных решений уравнений в частных производных. В этом разделе численным образом представлены разностные схемы первого порядка точности, предназначенные для решения одномерных и двумерных уравнений в частных производных третьего порядка. Для решения задачи применяется гауссов метод исключения. Теоретические утверждения относительно решений указанных разностных схем опираются на результаты вычислительных экспериментов. 1. Одномерный случай. В качестве численного эксперимента, начнем наше рассмотрение с нелокальной краевой задачи ⎧ ∂3u(t, x) ⎪ ⎪ ∂t3 - ⎪ ⎪ ∂3u(t, x) ∂t∂x2 = f (t, x), -t f (t, x)= -2e ⎪ cos x, 0 < t < 1, 0 < x < π, ⎪ 1 ( 1 ⎪ ⎨ u(0, x)= 4 u(1, x)+ 1 - 4e cos x, 0 � x � π, 1 ( 1 ⎪ (4.1) ut(0, x)= ut(1, x) - 4 ⎪ ⎪ 1 - 4e ( cos x, 0 � x � π, ⎪ 1 1 ⎪ utt(0, x)= utt(1, x)+ ⎪ 4 ⎪ 1 - 4e cos x, 0 � x � π, ⎩ utx(t, 0) = utx(t, π)= 0, 0 � t � 1, для одномерного уравнения в частных производных третьего порядка. Точное решение задачи (4.1) есть u (t, x)= e-t cos x. Получаем следующую разностную схему первого порядка точности, предназначенную для приближенного решения нелокальной краевой задачи (4.1): ⎧ k+2 k+1 k k-1 k+2 k+1 ( k+2 k+1) k+2 k+1 un - 3un + 3un - un ⎪ ⎪ τ 3 - ⎪ ⎪ un+1 - un+1 - 2 un - un τ h2 k + un-1 - un-1 = f (t , xn), ⎪ f (tk, xn)= -2e-tk cos xn, tk = kτ, 1 � k � N - 2, 1 � n � M - 1, ⎪ n ⎪ Nτ = 1, x ⎪ = nh, 1 � n � M - 1, Mh = π, ⎪⎨ u0 1 N ( 1 n = 4 un + 1 - 4e cos xn, 0 � n � M, (4.2) ⎪ u1 0 N N -1 ( ⎪ n - un 1 un - un 1 = ⎪ ⎪ τ 4 τ - 1 - 4e cos xn, 0 � n � M, ⎪ n - 2un + un 1 un - 2un + un ( 1 ⎪ u2 1 0 N τ 4 ⎪ 2 = ⎪ ⎪ N -1 τ 2 N -2 - + 1 4e cos xn, 0 � n � M, ⎩ uk k k-1 k-1 k k k-1 k-1 1 - u0 - u1 + u0 = 0, uM - uM -1 - uM + uM -1 = 0, 1 � k � N. Это - система алгебраических уравнений, которую можно записать в матричном виде ( A un+1 + Bun + Cun-1 = Dϕn, 1 � n � M - 1, Pu0 = Qu1 + T, PuM = QuM -1 - T. (4.3) УСТОЙЧИВАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 11 где 1 0 0 0 · 0 0 -1 1 0 0 · 0 0 0 -1 1 0 · 0 0 · · · · · · · 0 0 0 0 · 1 0 0 0 0 0 · -1 1 0 0 0 0 · 0 -1 ⎡ 1 ⎤ 4 - ⎥ ⎡ 1 ⎤ ⎢ 1 0 ⎢ ⎥ - 4e ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T = ⎢ ⎢ ⎣ 0 ⎥ ⎥ · ⎦ 0 (N +1)×1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ P = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ 0 ⎥ · ⎥ , ⎥ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎦ 1 (N +1)×(N +1) 0 0 0 0 · 0 0 0 -1 1 0 0 · 0 0 0 0 -1 1 0 · 0 0 0 · · · · · · · · 0 0 0 0 · 1 0 0 0 0 0 0 · -1 1 0 0 0 0 0 · 0 -1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ Q = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (N +1)×(N +1) ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ A = C = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 0 · 0 0 0 0 0 a -a · 0 0 0 0 0 0 a · 0 0 0 · · · · · · · · 0 0 0 0 · 0 a -a 0 0 0 0 · 0 0 0 0 0 0 0 · 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (N +1)×(N +1) 1 ⎤ 1 0 0 0 0 · 0 0 0 - b - ⎢ - ⎢ 3b 3b ⎢ c b - c 0 · 4 ⎥ 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ B = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 b -3b 3b - c c - b · 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 0 b -3b 3b - c · 0 0 0 0 ⎥ · · · · · · · · · · ⎥ ⎥ 0 0 0 0 0 · 3b - c c - b 0 0 ⎥ , ⎥ 0 0 0 0 0 · -3b 3b - c c - b 0 ⎥ ⎥ 0 0 0 0 0 · b -3b 3b - c c - b ⎥ ⎢ 1 1 1 1 ⎥ ⎢ ⎢ - ⎥ 0 0 0 · 0 0 - ⎥ ⎢ τ τ ⎣ ⎢ 1 2 1 1 4τ 1 4τ ⎥ ⎦ 1 ⎥ τ 2 - τ 2 τ 2 0 0 · 0 - 4τ 2 2τ 2 - 4τ 2 (N +1)× (N +1) 1 a = τ h2 ⎧ 1 , b = - τ 3 ( , c = 1 2 τ h2 , ⎫ ⎪ ϕ0 ⎪ n - = 1 ⎪ 4e ⎪ k cos xn, 0 � n � M, ⎪ t ⎪ ϕ ⎡ 0 ⎤ n ⎪ ϕn = f (tk, xn)= -2e- k cos xn, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ tk = kτ, 1 � k � N - 2, 1 � n � M - 1, ⎬ ϕn = ⎣ · ⎦ , ( 1 ϕN ⎪ ϕN -1 ⎪ n (N +1)×1 n = - ⎪ ( ⎪ ⎪ N ⎪ n 1 - 4e 1 cos xn, 0 � n � M, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ϕ D = IN +1 - тождественная матрица, = 1 - 4e cos xn, 0 � n � M ⎭ u ⎡ 0 s us = ⎣ · u N s ⎤ ⎦ (N +1)×1 , s = n, n ± 1. 12 А. АШЫРАЛИЕВ, Х. БЕЛАКРУМ РИС. 4.1. Зависимость погрешности от t. РИС. 4.2. Зависимость погрешности от x. Поэтому, чтобы решить матричное уравнение (4.3), мы используем модифицированный метод исключения Гаусса. Решение матричного уравнения ищется в виде un = αn+1un+1 + βn+1, n = M - 1,..., 1, 0, (4.4) где uM = (P - QαM )-1 (QβM - T ) , αj (j = 2,...,M ) - квадратные матрицы размерности (N + 1)×(N +1), βj (j = 2,...,M ) - матрицы-столбцы размерности (N +1)×1, α1 = P -1Q, β1 = P -1T, αn+1 = - (B + Cαn)-1 A, (4.5) βn+1 = (B + Cαn)-1 (Dϕn - Cβn) ,n = 1,...,M - 1. Погрешность численного решения вычисляется по формуле EN M = max u(tk, xn) - uk , (4.6) 0�k�N,0�n�M n n где u(tk, xn) - точное решение в точке (tk, xn), а uk - численное решение в той же точке. Результаты этих вычислений приведены в следующей таблице: Разностные схемы/N, M 20, 20 40, 40 80, 80 Разностная схема (4.2) 0,0609 0,0342 0,0181 (4.7) Из численных результатов, приведенных в таблице (4.7), видно, что, если N и M удваиваются, то ошибка уменьшается примерно в два раза (в случае разностной схемы первого порядка). На рис. 4.1 и 4.2 показаны графики точного и приближенного решений, а также график погрешности во всей области нахождения неизвестных функций. Как видно на рис. 4.2, погрешность уменьшается приблизительно в два раза вместе с уменьшением вдвое размера шагов по временной и пространственной координатам. 2. Двумерный случай. Теперь рассмотрим нелокальную краевую задачу ⎧ ∂3u(t, x, y) ∂3u(t, x, y) ∂3u(t, x, y) ⎪ ⎪ ∂t3 - ⎪ ⎪ ∂t∂x2 - -t ∂t∂y2 = f (t, x, y), f (t, x, y)= -3e ⎪ sin x sin y, 0 < t < 1, 0 < x < π, ⎪ 1 ( 1 ⎪ u(0, x, y)= u(1, x, y)+ ⎪ 4 1 - 4e sin x sin y, 0 � x, y � π, ⎨ 1 ( 1 (4.8) ut(0, x, y)= ut(1, x, y) - 4 ⎪ ⎪ 1 - 4e ( sin x sin y, 0 � x, y � π, ⎪ 1 1 ⎪ utt(0, x, y)= utt(1, x, y)+ ⎪ 4 ⎪ ⎪ 1 - 4e sin x sin y, 0 � x, y � π, ut(t, 0, y)= ut(t, π, y)= 0, 0 � t � 1, 0 � y � π, ⎪ ⎩ ut(t, x, 0) = ut(t, x, π)= 0, 0 � t � 1, 0 � x � π УСТОЙЧИВАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 13 РИС. 4.3. Приближенное решение, M = N = 20. РИС. 4.4. Точное решение, M = N = 20. РИС. 4.5. Приближенное решение, M = N = 40. РИС. 4.6. Точное решение, M = N = 40. РИС. 4.7. Приближенное решение, M = N = 80. РИС. 4.8. Точное решение, M = N = 80. для уравнения в частных производных третьего порядка. Точное решение задачи (4.8) есть u (t, x)= e-t sin x sin y. Учитывая, что ut(t, 0, y) = ut(t, π, y) = 0, получим u(t, 0, y) = u(0, 0, y) = u(1, 0, y) и u(t, π, y) = 1 - u(0, π, y) = u(1, π, y). Тогда из равенства u(0, x, y) = 1 u(1, x, y)+ ( 4 1 4e sin x sin y при 0 � x, y � π следует u(t, 0, y) = u(t, π, y) = 0. Аналогично получим равенства u(t, x, 0) = u(t, x, π) = 0, 0 � t � 1, 0 � x � π из условия ut(t, x, 0) = ut(t, x, π) = 0, 0 � t � 1, 0 � x � π, а также из 1 ( 1 - u(0, x, y) = 4 u(1, x, y)+ 1 4e sin x sin y, 0 � x, y � π, следует, что u(t, x, 0) = u(t, x, π) = 0, 0 � t � 1, 0 � x � π. 14 А. АШЫРАЛИЕВ, Х. БЕЛАКРУМ Тогда задачу (4.8) можно переписать в следующем виде: ⎧ ∂3u(t, x, y) ∂3u(t, x, y) ∂3u(t, x, y) ⎪ ⎪ ∂t3 - ⎪ ⎪ ∂t∂x2 - -t ∂t∂y2 = f (t, x, y), f (t, x, y)= -3e ⎪ sin x sin y, 0 < t < 1, 0 < x < π, ⎪ 1 ( 1 ⎪ u(0, x, y)= u(1, x, y)+ ⎪ 4 1 - 4e sin x sin y, 0 � x, y � π, ⎨ 1 ( 1 (4.9) ut(0, x, y)= ut(1, x, y) - 4 ⎪ ⎪ 1 - 4e ( sin x sin y, 0 � x, y � π, ⎪ 1 1 ⎪ utt(0, x, y)= utt(1, x, y)+ ⎪ 4 ⎪ ⎪ 1 - 4e sin x sin y, 0 � x, y � π, u(t, 0, y)= u(t, π, y)= 0, 0 � t � 1, 0 � y � π, ⎪⎩ u(t, x, 0) = u(t, x, π)= 0, 0 � t � 1, 0 � x � π. Получим следующую разностную схему первого порядка по t для приближенного решения нелокальной краевой задачи (4.9): ⎧ uk+2 k+1 k k-1 uk+2 k+1 ( k+2 k+1) + uk+2 k+1 n,m - 3un,m + 3un,m - un,m ⎪ n+1,m - un+1,m - 2 un,m - un,m n-1,m - un-1,m ⎪ τ 3 - ⎪ ( ) + u - u τ h2 - ⎪ uk+2 k+1 k+2 k+1 k+2 k+1 n,m+1 - un,m+1 - 2 ⎪ un,m - un,m n,m-1 n,m-1 ⎪ - τ h2 = f (tk, xn, ym), ⎪ ⎪ ⎪ f (tk, xn, ym)= -3e-tk sin xn sin ym, tk = kτ, 1 � k � N - 2, 1 � n, m � M - 1, ⎪ Nτ = 1, xn = nh, ym = mh, 1 � n, m � M - 1, Mh = π, u0 ⎨⎪ 1 n,m = ⎪ 4 ⎪ ( u + 1 - N n,m 1 4e sin xn sin ym, 0 � n, m � M, ⎪ u1 0 1 uN N -1 ( 1 ⎪ n,m - un,m = ⎪ τ 4 ⎪ n,m - un,m τ - 1 - 4e sin xn sin ym , 0 � n, m � M, ⎪ u2 1 0 1 uN N -1 N -2 ( 1 ⎪ n,m - 2un,m + un,m n,m - 2un,m + un,m ⎪ ⎪ τ 2 = 4 τ 2 + 1 - 4e sin xn sin ym, 0 � n, m � M, ⎪⎩ uk k k k 0,m = uM,m = 0, un,0 = un,M = 0, 1 � k � N, 0 � n, m � M. Это - система алгебраических уравнений, которую можно представить в матричном виде ( A un+1 + Bun + Cun-1 = Rϕn, 1 � n � M - 1, (4.10) u0 = O, uM = O, (4.11) t где us = ru0 , ·· ·, uN , u0 , ·· ·, uN , u0 , ·· ·, uN l , s = n, n ± 1, A, B, C,I - квадs,0 s,0 s,1 s,1 s,M s,M (N +1)(M +1)×1 ратные матрицы размерности (N + 1)(M + 1) × (N + 1)(M + 1), I, R - тождественные матрицы, 1 a = τ h2 1 , b = - τ 3 , c = 2 τ h2 , O O E O § O § O ⎡ O ⎤ ⎢ O ⎥ ⎡ Q O O O · O O O O ⎤ ⎢ E D E O · O O O O ⎥ ⎢ ⎥ A = C = ⎢ · · · · · ⎥ , B = ⎢ O E D E · O O O O ⎥ , ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎢ O O · E O ⎥ ⎥ ⎢ · · · · · · · · · ⎥ ⎢ O O O O · O E D E ⎥ O O · O O ⎣ O O O O ⎦ § O O O Q ⎡ 0 0 0 0 · 0 0 0 ⎤ ⎢ 0 0 a -a · 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 a · 0 0 0 ⎥ ⎢ , E = ⎢ ⎥ · · · · · · · · ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 · · a -a 0 ⎥ ⎢ 0 0 0 · · 0 a -a ⎥ ⎣ ⎦ 0 0 0 · · 0 0 0 УСТОЙЧИВАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 15 ⎡ 1 ⎤ 1 0 0 0 0 0 · 0 0 0 - b - ⎢ - ⎢ 3b 3b ⎢ 2c 2c - b 0 0 · 4 ⎥ 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ D = ⎢ ⎥ 0 b -3b 3b - 2c 2c - b 0 · 0 0 0 0 ⎥ , ⎥ · · · · · · · · · · · ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 · b -3b 3b - 2c 2c - b ⎥ ⎢ ⎢ 1 1 ⎥ ⎥ ⎢ -1 1 0 0 0 0 · 0 0 - ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 4 4 ⎥ 1 ⎣ 1 1 ⎦ 1 -2 1 0 0 0 · 0 - 4 2 - 4 × × m,n Q = I(N +1) (N +1), O = O(N +1) (N +1), ϕk = f (tk, xn, ym), f (tk, xn, ym)= -3e-tk sin (xn) sin (ym) , k = 1,N - 2, n = 1,M - 1, m = 1,M - 1, 1 ϕ0 m,n = (1 - 4e ) sin (xn) sin (ym) , n = 0,M, m = 0,M, ϕN -1 1 m,n = -(1 - 4e ) sin (xn) sin (ym) τ, n = 0,M, m = 0,M, 1 ϕN 2 m,n = (1 - 4e ) sin (xn) sin (ym) τ , n = 0,M, m = 0,M. Следовательно, чтобы найти решение матричного уравнения (4.11), можно применить модифицированный метод исключения Гаусса. Решение матричного уравнения будем искать в виде un = αn+1un+1 + βn+1, n = M - 1,..., 1, uM = O, (4.12) где αj (j = 2,...,M ) - квадратные матрицы размерности (N + 1)(M + 1) × (N + 1)(M + 1), βj (j = 1,...,M - 1) - матрицы-столбцы размерности (N + 1)(M + 1) × 1, α1 и β1 - нулевые матрицы, αn+1 = - (B + Cαn)-1 An, (4.13) βn+1 = (B + Cαn)-1 (Dϕn - Cβn) ,n = 1,...,M - 1. Погрешность численного решения вычисляется по формуле EN M = max u(tk, xn, ym) - uk , (4.14) 0�k�N,1�n,m�M -1 n,m где u(tk, xn, ym) - точное решение в точке (tk, xn, ym), а uk n,m - численное решение в той же точке. Результаты этих вычислений приведены в следующей таблице: Разностные схемы/N, M 10, 10, 10 20, 20, 20 40, 40, 40 Разностная схема (4.2) 0,0840 0,0446 0,0229 (4.15) Из численных результатов, приведенных в таблице (4.15), видно, что, если N и M удваиваются, то ошибка уменьшается примерно в два раза (в случае разностной схемы первого порядка). Здесь можно привести аналогичные графики точного и приближенного решений и погрешности на всей области определения искомых функций. 3. ВЫВОДЫ Применяя предложенный подход, а также метод монографии [19], в гильбертовом пространстве H с самосопряженным оператором A можно исследовать следующую нелокальную краевую задачу для уравнения в частных производных третьего порядка: ⎧ d3u(t) du(t) ⎪ ⎪ dt3 + A ⎪ λ = f (t), 0 < t < 1, dt λ ⎪⎨ u(0) = Г γ(s)u(s)ds + ϕ, u×(0) = Г α(s)u×(s)ds + ψ, (5.1) 0 0 ⎪ λ ⎪ Г ⎪ u××(0) = ⎪ ⎩ 0 β(s)u××(s)ds + ξ, 0 < λ � 1. 16 А. АШЫРАЛИЕВ, Х. БЕЛАКРУМ Для получения приближенных решений задачи (5.1) можно применить устойчивую трехшаговую разностную схему. При определенных условиях на γ(t), α(t) и β(t) справедлива теорема об устойчивости указанной разностной схемы. В качестве приложений получены оценки устойчивости решений разностных схем, применяемых для получения приближенных решений нелокальных краевых задач для уравнений в частных производных третьего порядка. Представлены численные результаты.

About the authors

A Ashyralyev

Near East University; RUDN University

Email: allaberen.ashyralyev@neu.edu.tr

Kh Belakroum

Fre´res Mentouri University

Email: kheireddinebelakroum@gmail.com

References

  1. Амиров Ш., Кожанов А. И. Смешанная задача для одного класса сильно нелинейных уравнений соболевского типа высокого порядка// Докл. РАН. - 2013. - 451, № 5. - С. 492-494.
  2. Власов В. В., Раутиан Н. А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений. - М.: МАКС Пресс, 2016.
  3. Габов Г. А., Свешников А. Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. - М.: Наука, 1986.
  4. Кожанов А. И. Смешанная задача для некоторых классов нелинейных уравнений третьего порядка// Мат. сб. - 1982. - 118, № 4. - С. 504-522.
  5. Кожанов А. И. Смешанная задача для одного класса квазилинейных уравнений третьего порядка// В сб.: «Краевые задачи для нелинейных уравнений математической физики». - Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1982. - С. 118-128.
  6. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1967.
  7. Скубачевский А. Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения// Усп. мат. наук. - 2016. - 71, № 5. - С. 3-112.
  8. Соболевский П. Е. Разностные методы приближенного решения дифференциальных уравнений. - Воронеж: Воронежский гос. ун-т, 1975.
  9. Apakov Y. On the solution of a boundary-value problem for a third-order equation with multiple characteristics// Ukr. Math. J. - 2012. - 64, № 1. - С. 1-12.
  10. Apakov Y., Irgashev B. Boundary-value problem for a generate high-odd order equation// Ukr. Math. J. - 2015. - 66, № 10. - С. 1475-1490.
  11. Apakov Y., Rutkauskas S. On a boundary value problem to third order PDE with multiple characteristics// Nonlinear Anal. Model. Control. - 2011. - 16, № 3. - С. 255-269.
  12. Ashyralyev A. Fractional spaces generated by the positivite differential and difference operator in a Banach space// В сб.: «Mathematical methods in engineering. Selected papers of the International Symposium, MME06, Ankara, Turkey, April 27-29, 2006». - Dordrecht: Springer, 2007. - С. 13-22.
  13. Ashyralyev C., Akyuz G., Dedeturk M. Approximate solution for an inverse problem of multidimensional elliptic equation with multipoint nonlocal and Neumann boundary conditions// Electron. J. Differ. Equ. - 2017. - 2017, № 197. - С. 1-16.
  14. Ashyralyev A., Arjmand D., Koksal M. A note on the Taylor’s decomposition on four points for a thirdorder differential equation// Appl. Math. Comput. - 2007. - 188, № 2. - С. 1483-1490.
  15. Ashyralyev A., Arjmand D., Koksal M. Taylor’s decomposition on four points for solving third-order linear time-varying systems// J. Franklin Inst. - 2009. - 346, № 7. - С. 651-662.
  16. Ashyralyev A., Belakroum Kh., Guezane-Lakoud A. Stability of boundary-value problems for third order partial differential equations// Electron. J. Differ. Equ. - 2017. - 2017, № 53. - С. 1-11.
  17. Ashyralyev A., Simsek S. N. An operator method for a third-order partial differential equation// Numer. Funct. Anal. Optim. - 2017. - 38, № 9. - С. 1-19.
  18. Ashyralyev A., Sobolevskii P. E. A note on the difference schemes for hyperbolic equations// Abstr. Appl. Anal.- 2001.- 6, № 2. - С. 63-70.
  19. Ashyralyev A., Sobolevskii P. E. New difference schemes for partial differential equations. - Basel- Boston-Berlin: Birkha¨user, 2004.
  20. Belakroum Kh., Ashyralyev A., Guezane-Lakoud A. A note on the nonlocal boundary value problem for a third order partial differential equation// AIP Conf. Proc. - 2016. - 1759. - Article ID 020021.
  21. Denche M., Memou A. Boundary value problem with integral conditions for a linear third-order equation// J. Appl. Math. - 2003. - 11. - С. 533-567.
  22. Direk Z., Ashyraliyev M. FDM for the integral-differential equation of the hyperbolic type// Adv. Difference Equ. - 2014. - 2014, № 132. - С. 1-8.
  23. Fattorini H. O. Second order linear differential equations in Banach spaces. - Amsterdam: Elsevier, 1985.
  24. Kalmenov T. S., Suragan В. Initial-boundary value problems for the wave equation// Electron. J. Differ. Equ. - 2014. - 2014, № 48. - С. 1-6.
  25. Kudu M., Amirali I. Method of lines for third order partial differential equations// J. Appl. Math. Phys. - 2014. - 2, № 2. - С. 33-36.
  26. Latrous C., Memou A. A three-point boundary value problem with an integral condition for a third-order partial differential equation// Abstr. Appl. Anal. - 2005. - 2005, № 1. - С. 33-43.
  27. Lunardi A. Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems. - Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 1995.
  28. Niu J., Li P. Numerical algorithm for the third-order partial differential equation with three-point boundary value problem// Abstr. Appl. Anal. - 2014. - 2014. - Article ID 630671.
  29. Shakhmurov V., Musaev H. Maximal regular convolution-differential equations in weighted Besov spaces// Appl. Comput. Math. - 2017. - 16, № 2. - С. 190-200.
  30. Skubachevskii A. L. Elliptic functional-differential equations and applications. - Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 1997.

Statistics

Views

Abstract - 130

PDF (Russian) - 107

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies