Устойчивая разностная схема для уравнения в частных производных третьего порядка

Аннотация

Рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения в частных производных третьего порядка с самосопряженным положительно определенным оператором A в гильбертовом пространстве H. Приводится устойчивая трехшаговая разностная схема для приближенного решения задачи. Для этой разностной схемы доказывается основная теорема об устойчивости. В качестве приложений, для трех нелокальных краевых задач для уравнений в частных производных третьего порядка получены оценки устойчивости приближенных решений, полученных при помощи разностных схем.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Нелокальные краевые задачи для уравнений в частных производных являются основным направлением исследования в различных областях науки и техники (в особенности, в тех задачах прикладной математики, в которых невозможно определить граничные значения неизвестной функции). Растущий интерес, проявленный в течение последнего столетия к локальным и нелокальным краевым задачам для уравнений в частных производных с временными и пространственными аргументами, обусловлен их важностью для теории науки и промышленности (см., например, [2, 7, 13, 22-24, 27, 29, 30]). Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений в частных производных третьего порядка широко изучены (см., например, [1, 3-5, 9-11, 16, 17, 21, 25, 26, 28]). Однако теория разностных схем для уравнений в частных производных третьего порядка еще не получила достаточного развития. Этим обосновывается важность поиска устойчивых разностных схем с реализацией их на компьютере. В работах [14, 15] локальные и нелокальные краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка d3y (t) dt3 + c (t) d2y (t) dt2 + b (t) dy (t) + a (t) y (t)= f (t) dt исследованы при гладких функциях a (t) , b (t) , c (t) , f (t) , заданных на отрезке [0,T ] . Представлены трехточечные разностные схемы. Эти трехточечные разностные схемы строятся на основе ∗c РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2018 1 2 А. АШЫРАЛИЕВ, Х. БЕЛАКРУМ тейлоровских разложений по четырем точкам. На примере с периодическими по времени параметрами показано, что полученные результаты хорошо применимы к численному решению локальных и нелокальных краевых задач. Различные нелокальные краевые задачи для уравнениях в частных производных третьего порядка приводятся к нелокальной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка в гильбертовом пространстве H с самосопряженным положительно определенным оператором A: ⎧ d3u(t) ⎨ ⎪⎪ dt3 + A du(t) = f (t), 0 < t < 1, dt u(0) = γu (λ)+ ϕ, u×(0) = αu× (λ)+ ψ, |γ| < 1, ⎪ (1.1) ⎪⎩ u××(0) = βu×× (λ)+ ξ, |1+ βα| > |α + β| , 0 < λ � 1 В работе [20] рассматривается нелокальная краевая задача (1.1) для нелокального уравнения с частными производными третьего порядка. Функция u(t) есть решение задачи (1.1), если выполнены следующие условия: 1. u(t) трижды непрерывно дифференцируема на интервале (0, 1) и дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [0, 1] ; 2. элемент u×(t) принадлежит D (A) для всех t из отрезка [0, 1] , а функция Au×(t) непрерывна на отрезке [0, 1] ; 3. u(t) удовлетворяет уравнению и нелокальным краевым условиям (1.1). Следующая основная теорема об устойчивости, представляющая оценку решения нелокальной краевой задачи (1.1), установлена при предположении, что |1+ αβ| > |α + β| . (1.2) Чтобы сформулировать результаты об устойчивости нелокальной краевой задачи (1.1), дадим определение отрицательной степени A-α (0 < α < 1) самосопряженного положительно определенного оператора A следующей формулой (см. [6]): A-α = sin απ α ∞ r s-α (A + sI)-1 ds. 0 Оператор A-α ограничен, и A-αx → x для любого x ∈ H при α → 0. Положительная степень определяется как (A-α)-1 , она неограничена. Для любых вещественных α и β выполняется фундаментальное свойство степеней AαAβx = Aβ Aαx = Aα+βx при x ∈ D(Aθ ), где θ = max {α, β, α + β} . Теорема 1.1 (см. [20]). Предположим, что ϕ ∈ H, ψ ∈ D (A) , ξ ∈ D (A1/2) , а f (t) непрерывно дифференцируема на отрезке [0, 1] . Тогда существует единственное решение задачи (1.1) и выполняются неравенства ( 1 1 1 max lu(t)lH � M1 lϕlH + 1A- 2 ψ1 + 1A-1ξ1 + max 1A-1f (t)1 , (1.3) 0�t�1 1 d3u(t) 1 1 du 1 1 1H ( 1 1H 1 1 1 0�t�1 1 1H max 1 1 + max 1A 1 � M2 lAψlH + 1A 2 ξ1 + lf (0)lH + max 1f ×(t)1 , (1.4) 1 0�t�1 1 1 1H dt3 1 dt 1H 0�t�1 1 1 1 1H 0�t�1 1 1H где M1, M2 не зависят от f (t), ϕ, ψ, ξ. Далее рассмотрим приложения основных результатов к исследованию устойчивости трех нелокальных краевых задач для уравнений с частными производными третьего порядка. Во-первых, для приложения теоремы 1.1 рассмотрим нелокальную краевую задачу для уравнения с частными производными третьего порядка ⎧ ∂3u(t, x) ⎪ ⎨ ⎪ ∂t3 - (a(x)utx)x + δut(t, x)= f (t, x), 0 < t < 1, 0 < x < l, u(0, x)= γu(λ, x)+ ϕ (x) , ut(0, x)= αut(λ, x)+ ψ(x), 0 � x � l, ⎪ ⎪ utt(0, x)= βutt(λ, x)+ ξ (x) , 0 � x � l, 0 < λ � 1, ⎩ ut(t, 0) = ut(t, l), utx(t, 0) = utx(t, l), 0 � t � 1. (1.5) УСТОЙЧИВАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 3 Здесь a(x) (x ∈ (0, l)) , ϕ(x), ψ(x), ξ(x) (x ∈ [0, l]) и f (t, x) (t ∈ (0, 1) , x ∈ (0, l)) - достаточно гладкие функции, удовлетворяющие всем условиям согласования, гарантирующим существование и единственность гладкого решения u(t, x) задачи (1.5). Будем считать, что a(x) ?: a > 0, x ∈ (0, l) , δ > 0, a(l)= a(0). Известно [6], что функцию v(t, x), определенную на [0, 1] × [0, l] , можно рассматривать как абстрактную функцию v(t), определенную на [0, 1] , принимающую значения в L2 [0, l] . Это позволяет привести задачу (1.5) к абстрактной форме (1.1) в гильбертовом пространстве H = L2 [0, l] всех квадратично интегрируемых функций на [0, l] с самосопряженным положительно определенным оператором A = Ax, определенным по формуле Axu(x)= - (a(x)ux)x + δu(x) (1.6) с областью определения D(Ax) = {u(x): u, ux, (a(x)ux)x ∈ L2 [0, l] , u(0) = u(l), u×(0) = u×(l)} . Здесь f (t) = f (t, x) и u(t) = u(t, x) - известная и неизвестная абстрактные функции на отрезке [0, 1] со значениями в H = L2 [0, l] . Тогда из теоремы 1.1 вытекает следующая теорема об устойчивости задачи (1.5). Теорема 1.2 (см. [20]). Для решения задачи (1.5) имеют место неравенства устойчивости 0�t�1 max lu(t, .)lL2[0,l] � M3 г l 0�t�1 max lf (t, .)lL2[0,l] + lϕlL2[0,l] + lψlL2[0,l] + lξlL2[0,l] , (1.7) max 1 1 ∂u 0�t�1 1 ∂t 1 1 (t, .)1 + max 1 1 ∂3u 0�t�1 1 ∂t 1 1 (t, .)1 � 1W 2 1 2 [0,l] 1 3 1 г L2[0,l] l � M3 max lft(t, .)lL2[0,l] + lf (0, .)lL2[0,l] + lψlW 2 + lξl 1 (1.8) 0�t�1 2 [0,l] W2 [0,l] где M3 не зависит от f (t, x), ϕ(x), ψ(x), ξ(x). Здесь W 1 [0, l] и W 2 [0, l] - пространства Собо- 2 2 лева всех квадратично интегрируемых функций ψ (x) на [0, l] с нормами lψlW 1 ⎧ l = ⎨r ψ2 (x)+ ψ2 (x) dx ⎫1/2 ⎬ и lψl 2 ⎧ l = ⎨r ψ2 (x)+ ψ2 (x) dx ⎫1/2 ⎬ . 2 [0,l] x ⎩0 ⎭ W2 [0,l] xx ⎩0 ⎭ Во-вторых, пусть Ω ⊂ Rn - ограниченная открытая область с гладкой границей S, Ω¯ =Ω ∪ S. В области [0, 1] × Ω рассмотрим краевую задачу для уравнения с частными производными третьего порядка ⎧ ∂3u(t, x) n ⎪ ⎪ ∂t3 - ⎪ (ar (x)utxr )xr = f (t, x), x = (x1,..., xn) ∈ Ω, 0 < t < 1, ⎨ u(0, x)= r=1 x)+ ϕ(x), u (0, x)= αu (λ, x)+ ψ(x), x Ω, γu(λ, t t ∈ ¯ (1.9) ⎪ ⎪ utt(0, x)= βutt(λ, x)+ ξ(x), x ∈ Ω¯ , 0 < λ � 1, ⎪⎩ ut(t, x)= 0, x ∈ S, 0 � t � 1, где ar (x), (x ∈ Ω) , ϕ(x), ψ(x), ξ(x) (x ∈ Ω¯ ) и f (t, x) (t ∈ (0, 1) , x ∈ Ω) - заданные гладкие функции, а ar (x) > 0. Аналогично, функцию v(t, x) на [0, 1] × Ω¯ можно рассматривать как абстрактную функцию v(t) на [0, 1] со значениями в L2 (Ω¯ ) . Тогда задачу (1.9) можно записать в абстрактной форме (1.1) в гильбертовом пространстве H = L2 (Ω¯ ) квадратично интегрируемых функций на Ω¯ с самосопряженным положительно определенным оператором A = Ax: n r r Axu(x)= ), (ar (x)ux )x (1.10) r=1 с областью определения D(Ax) = {u(x): u, ux , (ar (x)ux ) ∈ L2 (Ω¯ ) , 1 � r � n, u(x)= 0,x ∈ S� . r r Здесь f (t) = f (t, x) и u(t) = u(t, x) - известная и неизвестная абстрактные функции, определенные на Ω¯ со значениями в L2 (Ω¯ ) . Тогда из теоремы 1.1 и неравенства коэрцитивности для решения эллиптической дифференциальной задачи в L2 (Ω¯ ) вытекает следующая теорема об устойчивости задачи (1.9). 4 А. АШЫРАЛИЕВ, Х. БЕЛАКРУМ Теорема 1.3 (см. [20]). Для решения задачи (1.9) имеют место неравенства устойчивости 0�t�1 max lu(t, .)lL2(Ω¯ ) � M4 г l 0�t�1 max lf (t, .)lL2(Ω¯ ) + lϕlL2(Ω¯ ) + lψlL2(Ω¯ ) + lξlL2(Ω¯ ) , (1.11) max lu(t, .)lW 2 Ω¯ ∂ u 1 3 + max 1 1 (t, .)1 � 0�t�1 2 ( ) 0�t�1 1 ∂t 1 1 3 1L г 2(Ω¯ ) l � M4 max lft(t, .)lL2(Ω¯ ) + lf (0, .)lL2(Ω¯ ) + lψlW 2 + lξlW 1 (1.12) 0�t�1 2 (Ω¯ ) 2 (Ω¯ ) где M4 не зависит от f (t, x), ϕ(x), ψ(x), ξ(x). Здесь и далее W 1(Ω) и W 2(Ω) будут обозначать 2 2 пространства Соболева квадратично интегрируемых функций ψ (x) на Ω с нормами lψlW 1 !r r = ... г |ψ(x)|2 n l 2 + |ψxr (x)| 1 2 dx1 ... dxn , 2 (Ω) !r x∈Ω r г r=1 1 n l 2 2 2 lψlW 2 = ... |ψ(x)| + |ψxr xr (x)| dx1 ... dxn . 2 (Ω) x∈Ω r=1 В-третьих, рассмотрим краевую задачу для уравнения с частными производными третьего порядка ⎧ ∂ 3u(t, x) ⎪ ⎪ ∂t3 - ⎪ ⎪ m r=1 (ar (x)utxr )xr + δut(t, x)= f (t, x), x = (x1,..., xn) ∈ Ω, 0 < t < 1, ⎨ u(0, x)= γu(λ, x)+ ϕ(x), ut(0, x)= αut(λ, x)+ ψ(x), x ∈ Ω¯ , ⎪ utt(1, x)= βutt(λ, x)+ ξ(x), x ∈ Ω¯ , 0 < λ < 1, ⎪ (1.13) ⎪ ∂2u ⎩⎪ ∂t∂-→m (0, x)= 0, x ∈ S, 0 � t � 1, где ar (x), x ∈ Ω, ϕ(x), ψ(x), ξ(x), x ∈ Ω¯ и f (t, x) (t ∈ (0, 1) , x ∈ Ω) - заданные гладкие функции, ar (x) > 0, а mγ - вектор нормали к S. Аналогично, задачу (1.13) можно записать в абстрактной форме (1.1) в гильбертовом пространстве H = L2 (Ω¯ ) квадратично интегрируемых функций на Ω¯ определенным оператором A = Ax: с самосопряженным положительно m r r Axu(x)= - (ar (x)ux )x + δu(x) (1.14) r=1 ( ∂u с областью определения D(Ax)= u(x): u, ux , (ar (x)ux ) ∈ L2 (Ω¯ ) , 1 � r � m, = 0,x ∈ S . r r xr ∂-→m Здесь f (t)= f (t, x) и u(t)= u(t, x) - известная и неизвестная абстрактные функции на Ω¯ со значениями в L2 (Ω¯ ) . Из теоремы 1.1 и неравенства коэрцитивности для решения эллиптической дифференциальной задачи в L2 (Ω¯ ) вытекает следующая теорема об устойчивости задачи (1.13). Теорема 1.4 (см. [20]). Для решения задачи (1.13) имеют место неравенства устойчивости 0�t�1 max lu(t, .)lL2(Ω¯ ) � M5 г l 0�t�1 max lf (t, .)lL2(Ω¯ ) + lϕlL2(Ω¯ ) + lψlL2(Ω¯ ) + lξlL2(Ω¯ ) (1.15) max lu(t, .)lW 2 Ω¯ ∂ u 1 3 + max 1 1 (t, .)1 � 0�t�1 2 ( ) 0�t�1 1 ∂t 1 1 3 1L г 2(Ω¯ ) l � M5 max lft(t, .)lL2(Ω¯ ) + lf (0, .)lL2(Ω¯ ) + lψlW 2 + lξlW 1 , (1.16) 0�t�1 где M5 не зависит от f (t, x), ϕ(x), ψ(x), ξ(x). 2 (Ω¯ ) 2 (Ω¯ ) УСТОЙЧИВАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 5 В настоящей работе исследуются устойчивые разностные схемы, применяемые для приближенного решения задачи (1.1) при условии, что выполнено неравенство (1.2). Для приближенного решения задачи (1.1) представлена устойчивая трехшаговая разностная схема. Однако оценить устойчивость решения этой разностной схемы при предположении (1.2) пока не удалось. Применяя операторный подход монографии [19], справедливость утверждения основной теоремы об устойчивости для указанной разностной схемы удалось установить при следующем, более сильном, чем (1.2), предположении: 1 > |α| |β| + |α| + |β| . (1.17) Оценки устойчивости решений разностных схем получены для приближенных решений трех нелокальных краевых задач для уравнений в частных производных третьего порядка, возникающих в приложениях. Однако общность подхода, рассматриваемого в настоящей работе, позволяет рассматривать и более широкий класс многомерных задач. Представлены соответствующие численные результаты. 2. РАЗНОСТНАЯ СХЕМА. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ Рассмотрим следующую разностную схему первого порядка точности: ⎧ uk+2 - 3uk+1 +3uk - uk-1 τ ⎪ 3 ⎪ + Auk+2 - uk+1 τ = fk, ⎪ fk = f (tk ), 1 � k � N - 2, Nτ = 1, ⎨ u0 = γum + ϕ, ⎪ u1 - u0 = αum - um-1 + ψ, (2.1) τ ⎪ τ ⎪ (I + τ 2A) u2 - 2u1 + u0 um - 2um-1 + um-2 ⎩ τ 2 = β τ 2 + ξ. Она предназначена для приближенного решения нелокальной краевой задачи (1.1). Здесь и далее используется обозначение m = [λ/τ ] . Теорема 2.1. Предположим, что λ ?: 2τ, ϕ ∈ H, ψ ∈ D (A) , ξ ∈ D (A1/2) и выполняется предположение (1.17). Тогда решение разностной схемы (2.1) удовлетворяет следующим неравенствам устойчивости: ( 1 1 1 1 max luk lH � M6 max 1A-1/2fk 1 + 1A-1ξ1 + 1A-1/2ψ1 + lϕlH , (2.2) 0�k�N 1�k�N -2 1 1H 1 1H 1 1H 1 uk+2 - 3uk+1 +3uk - uk-1 1 1 k+2 k+1 1 1 max 1 1 + max 1Au - u 1 � 1 1�k�N -2 1 τ 3 1H ( 1 1H 1�k�N -2 1 τ 1 fk fk-1 1 1 � M7 max l - lH + lf1lH + 1A1/2ξ1 + lAψlH , (2.3) 2�k�N -2 τ 1 1H где M6, M7 не зависят от fk, 1 � k � N - 2, и ϕ, ψ, ξ. Доказательство. Очевидно, трехшаговую разностную схему (2.1) можно переписать в виде эквивалентной ей системы из одношаговой и двухшаговой разностных схем: ⎧ uk - uk-1 ⎪ τ ⎪ = vk-1, u0 = γum + ϕ, 1 � k � N, ⎨ vk+1 - 2vk + vk-1 2 + Avk+1 = fk, 1 � k � N - 2, ⎪ τ v1 - v0 vm 1 - v ⎪⎩ v0 = αvm-1 + ψ, (I + τ 2A) = β - τ m-2 + ξ. τ Применяя операторный подход из монографии [19], можно установить оценки устойчивости ( 1 1 1 1 max lvk lH � M max 1A-1/2fk 1 + 1A-1ξ1 + 1A-1/2ψ1 + lϕlH , (2.4) 0�k�N -1 1 vk+1 - 2vk + vk-1 1 1�k�N -2 1 1H 1 1H 1 1H max 1 1 + max lAvk+1lH � 1 1�k�N -2 1 τ 2 1H 1 1�k�N -2 6 А. АШЫРАЛИЕВ, Х. БЕЛАКРУМ ( � M max lfk - fk-1lH + lf l + 1A1/2ξ1 + lAψl (2.5) 2�k�N -2 τ для решений двухшаговых разностных схем 1 1 1 H 1 1H H ⎧ vk+1 - 2vk + vk-1 ⎨ τ 2 + Avk+1 = fk, 1 � k � N - 2, ⎩ v0 = αvm-1 + ψ, (I + τ 2A) v1 - v0 = β τ vm-1 - vm-2 + ξ. τ Понятно, что для решения одношаговой разностной схемы uk - uk-1 τ = vk-1 , u0 = γum + ϕ, γ 1 � k � N, справедлива формула uk = 1 γ щие оценки: - m-1 ), i=0 ( k-1 1 viτ + ), viτ + i=0 1 - ϕ. Отсюда получаем следую- γ max 0�k�N luk lH � M10 max 0�k�N -1 lvk lH + lϕlH , (2.6) 1 1 max 1 1Auk+2 - uk+1 1 � M max lAv l . (2.7) 1 1�k�N -2 1 τ 1H 11 1�k�N -2 k+1 H Оценка (2.2) следует из оценок (2.4) и (2.6). Применяя разностное уравнение uk+2 - 3uk+1 +3uk - uk-1 τ 3 + A uk+2 - uk+1 = f , τ k неравенство треугольника и оценку (2.6), получаем, что 1 uk+2-3uk+1+3uk -uk-1 1 ( lfk -fk-1lH max 1 1 � M max lAvk+1lH + max + lf1lH . 1 1�k�N -2 1 τ 3 1H 1 1�k�N -2 2�k�N -2 τ (2.8) Следовательно, оценка (2.3) следует из оценок (2.5), (2.7) и (2.8), что и завершает доказательство теоремы 2.1. Отметим, что при выполнении условий теоремы 2.1 не удается получить оценку устойчивости для решения разностной схемы ⎧ uk+2 - 3uk+1 +3uk - uk-1 τ ⎪ 3 ⎪ + Auk+2 - uk+1 τ = fk, ⎪ fk = f (tk ), 1 � k � N - 2, Nτ = 1, ⎨ u0 = γum + ϕ, ⎪ u1 - u0 = αum - um-1 + ψ, - ⎪ u2 2u1 + u0 ⎪ m u τ - 2u m-1 τ + um-2 ⎩ τ 2 = β τ 2 + ξ. Приближение (I + τ 2A) u2 - 2u1 + u0 τ 2 для u××(0) лучше, чем u2 - 2u1 + u0 , с точки зрения устой- τ 2 чивости разностной схемы (2.1) и позволяет получить утверждение теоремы 2.1. Такой подход для гиперболических уравнений впервые был применен в работе [18] (более подробно см. в [19]). 1. ПРИЛОЖЕНИЯ В этом разделе рассматриваются приложения теоремы 2.1. Вначале рассматривается следующая нелокальная краевая задача (1.5). Задачу дискретизации задачи (1.5) разобьем на два этапа. На первом определим пространственную сетку [0, l]h = {x = xn : xn = nh, 0 � n � M, Mh = 2h l} и введем гильбертовы пространства L2h = L2([0, l]h) и W 2 2 = W 2([0, l]h) сеточных функций }0 1 1L { ϕh(x)= ϕn M , определенных на [0, l]h, с нормами 1ϕh1 2h = ( ), x∈[0,l]h ϕh(x) 2 1/2 h 1W и ϕ 1 = 1 h1 2 2h 1 1 ( ), h 2 1/2 1ϕh1 L2h + x∈[0,l]h ϕxx,j (x) h соответственно. Дифференциальному оператору Ax, определенному формулами (1.5), поставим в соответствие h разностный оператор Ax следующим образом: Ax }1 h hϕ (x)= {-(a(x)ϕx)x,n + δϕn M -1. (3.1) УСТОЙЧИВАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 7 h }0 - h Этот оператор действует в пространстве сеточных функций ϕh(x) = {ϕn M , удовлетворяющих условиям ϕ0 = ϕM , ϕ1 - ϕ0 = ϕM - ϕM 1. Хорошо известно, что Ax - самосопряженный положительно определенный оператор в L2h. С помощью Ax получаем нелокальную краевую задачу ⎧ d3uh(t, x) duh(t, x) ⎪ + Ax = fh(t, x), 0 < t < 1, x ∈ [0, l]h, ⎨⎪ dt3 h dt uh(0, x)= γuh(λ, x)+ ϕh(x), uh(0, x)= αuh(λ, x)+ ψh(x), (3.2) t t ⎪ ⎪ ⎩ uh h h tt(0, x)= βutt(λ, x)+ ξ (x), x ∈ [0, l]h. На втором шаге заменяем задачу (3.2) на разностную схему (2.1): ⎧ uh (x) - 3uh (x)+ 3uh(x) - uh (x) uh (x) - uh (x) k+2 ⎪ ⎪ ⎪⎨ fh ⎪ k+1 k τ 3 k-1 h + Ax k+2 k+1 τ k = fh(x), k (x)= f h(tk, x), tk = kτ, 1 � k � N - 2, x ∈ [0, l]h,Nτ = 1, 1 (x) - u0 (x) uh (x) - uh (x) h h h uh h m m 1 h ⎪ u0 (x)= γum(x)+ ϕ ⎪ (x), = α - τ τ + ψ (x), ⎪ uh(x) - 2uh(x)+ uh(x) uh (x) - 2uh (x)+ uh (x) ⎪⎩ (Ih + τ 2Ax) 2 1 0 m m-1 m-2 h h τ 2 = β τ 2 + ξ (x), x ∈ [0, l]h. (3.3) Теорема 3.1. Предположим, что λ ?: 2τ и выполнено условие (1.17). Тогда для решения {uh k (x) � N 0 задачи (3.3) имеют место оценки устойчивости ( max luhl � M13 max lfhl + l ϕh l + l ψh l + l ξh l , 0�k�N k L2h 1�k�N -2 k L2h L2h L2h L2h 1 h h h h 1 h h max 1 uk+2 - 3uk+1 + 3uk - uk-1 1 + max uk+2 - uk+1 1 1 1�k�N -2 1 1 τ 3 1 1 L 2h ⎧ 1 1 lW 1�k�N -2 l 1 2 � τ 2h ⎫ 1 � M14 ⎨ max 1 (fh - fh 1 + l fh l + l ψh l 2 + l ξh l 1 ⎬ , k ⎩2�k�N -2 1 τ k-1 1 1 L2h 1 L2h W2h W2h ⎭ k где M13 и M14 не зависят ни от ϕh(x), ψh(x), ξh(x), ни от fh(x), 1 � k � N - 2. Доказательство. В гильбертовом пространстве L2h разностную схему (3.3) можно записать в абстрактной форме ⎧ uh 3uh + 3uh - uh uh - uh k+2 - ⎪ k+1 k k-1 k+2 k+1 h ⎪ τ 3 + Ah τ ⎪ = fk , ⎪⎨ 1 � k � N - 2, Nτ = 1, 1 - u0 uh - uh h h h uh h m m 1 h ⎪ u0 = γum + ϕ , ⎪ = α - τ τ + ψ , ⎪ uh 2uh + uh uh - 2uh + uh ⎪⎩ (Ih + τ 2Ah) 2 - 1 τ 2 0 = β m m-1 τ 2 m-2 + ξh, h где Ah = Ax - самосопряженный положительно определенный оператор, заданный формулой (3.1), а fh = fh(x) и uh = uh(x) - известная и неизвестная абстрактные сеточные функции, определенk k k k ные на [0, l]h, со значениями в H = L2h. Значит, оценки теоремы 3.1 следуют из оценок (2.2) и (2.3), что завершает доказательство теоремы 3.1. Далее рассмотрим нелокальную краевую задачу (1.9). Разобьем дискретизацию задачи (1.9) на два этапа. На первом определим пространственную сетку Ωh = {x = xr = (h1j1,..., hnjn) , j = (j1,..., jn) , 0 � jr � Nr, Nrhr = 1, r = 1,..., n}, Ωh = Ωh ∩ Ω, Sh = Ωh ∩ S (это обозначение будет использоваться и далее). 8 А. АШЫРАЛИЕВ, Х. БЕЛАКРУМ 2h Введем банаховы пространства L2h = L2(Ωh) и W 2 2 = W 2(Ωh) сеточных функций ϕh(x) = {ϕ(h1r1,..., hmrm)} , определенных на Ωh, с нормами 1ϕh1 = ( ), ϕh(x) 2 h1 ··· hm 1/2 и 1 1 1 h1 ( ), m ( ) 2 1 1/2 1L2h x∈Ωh 1ϕh1 1 1 ), ϕh h1 ··· hm соответственно. W2h = ϕ L2h + x∈Ωhr=1 xrxr ,jr Дифференциальному оператору Ax, определенному соотношениями (1.9), поставим в соответh ствие разностный оператор Ax, определенный следующим образом: Ax h hu = - n ( r=1 xr αr (x)uh xr ,jr . (3.4) h Это самосопряженный положительно определенный оператор в L2h, действующий в пространстве сеточных функций uh (x) , удовлетворяющих условиям uh (x) = 0 для всех x из Sh. С помощью разностного оператора Ax получаем следующую нелокальную краевую задачу: ⎧ d3uh(t, x) duh(t, x) ⎪ + Ax = fh(t, x), 0 < t < 1, x ∈ [0, l]h, ⎨⎪ dt3 h dt uh(0, x)= γuh(λ, x)+ ϕh(x), uh(0, x)= αuh(λ, x)+ ψh(x), (3.5) t t ⎪ ⎪ ⎩ uh h h tt(0, x)= βutt(λ, x)+ ξ (x), x ∈ [0, l]h. На следующем этапе задача (3.5) заменяется разностной схемой (2.1) для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений: ⎧ uh (x) - 3uh (x)+ 3uh(x) - uh (x) uh (x) - uh (x) k+2 ⎪ ⎪ ⎪⎨ fh ⎪ k+1 k τ 3 k-1 h + Ax k+2 k+1 τ k = fh(x), k (x)= f h(tk, x), tk = kτ, 1 � k � N - 2, x ∈ Ωh, Nτ = 1, 1 (x) - u0 (x) uh (x) - uh (x) (3.6) h h h uh h m m 1 h ⎪ u0 (x)= γum(x)+ ϕ ⎪ (x), = α - τ τ + ψ (x), ⎪ uh(x) - 2uh(x)+ uh(x) uh (x) - 2uh (x)+ uh (x) h ⎪⎩ (Ih + τ 2Ax) 2 1 0 = β m τ 2 m-1 τ 2 m-2 + ξh(x), x ∈ Ωh. Теорема 3.2. Предположим, что λ ?: 2τ и выполнено условие (1.17). Тогда для решения {uh k (x) � N 0 задачи (3.6) выполняются оценки устойчивости ( max luhl � M1 (γ) max lfhl + l ϕh l + l ψh l + l ξh l , 0�k�N k L2h 1�k�N -2 k L2h L2h L2h L2h 1 h h h h 1 h h max 1 uk+2 - 3uk+1 + 3uk - uk-1 1 + max uk+2 - uk+1 1 1 1�k�N -2 1 1 τ 3 1 1 L 2h ⎧ 1 1 lW 1�k�N -2 l 1 2 � τ 2h ⎫ 1 � M2 ⎨ max 1 (fh - fh 1 + l fh l + l ψh l 2 + l ξh l 1 ⎬ , k ⎩2�k�N -2 1 τ k-1 1 1 L2h 1 L2h W2h W2h ⎭ k где M1 (γ) и M2 не зависят ни от ϕh(x), ψh(x), ξh(x), ни от fh(x), 1 � k � N - 2. Доказательство. В гильбертовом пространстве L2h = L2(Ωh) с самосопряженным положительh но определенным оператором Ah = Ax разностную схему (3.6) можно записать в абстрактной форме (2.1) посредством формулы (3.4), где fh = fh(x) и uh = uh(x) - известная и неизвестная k k k k абстрактные сеточные функции, определенные на Ωh, со значениями в H = L2h. Следовательно, оценки теоремы 3.2 вытекают из оценок (2.2)-(2.3) и следующей теоремы о неравенстве коэрцитивности для решений эллиптической разностной задачи в L2h. Теорема 3.3. Для решений эллиптической разностной задачи (см. [8]) hu Ax h (x)= ωh (x), x ∈ Ωh, uh(x)= 0, x ∈ Sh, УСТОЙЧИВАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 9 выполняется неравенство коэрцитивности n 1 1 1u r=1 h 1 1 xr xr 1 L2h � M17||ωh ||L2h , где M17 не зависит ни от h, ни от ωh. h Наконец, рассмотрим нелокальную краевую задачу (1.13). Разобьем дискретизацию задачи (1.13) на два этапа. На первом этапе дифференциальному оператору Ax, определенному соотношениями (1.13), поставим в соответствие разностный оператор Ax, действующий по формуле Ax h hu = - n ( r=1 xr αr (x)uh xr ,jr + δuh. (3.7) Это самосопряженный положительно определенный оператор в L2h, действующий в пространстве сеточных функций uh (x) , удовлетворяющих условию Dhuh (x) = 0 для всех x из Sh, где Dh - приближение оператора ∂ ∂-→p кальную краевую задачу: h . При помощи разностного оператора Ax получаем следующую нело- ⎧ 3 h h d u (t, x) ⎪ x du (t, x) h ⎨⎪ dt3 + Ah dt = f (t, x), 0 < t < 1, x ∈ Ωh, uh(0, x)= γuh(λ, x)+ ϕh(x), uh(0, x)= αuh(λ, x)+ ψh(x), (3.8) t t ⎪⎪ ⎩ uh h h tt(0, x)= βutt(λ, x)+ ξ (x), x ∈ Ωh. На втором этапе задача (3.8) заменяется разностной схемой (2.1) для бесконечной системы дифференциальных уравнений: ⎧ uh (x) - 3uh (x)+ 3uh(x) - uh (x) uh (x) - uh (x) k+2 ⎪ ⎪ ⎪⎨ fh ⎪ k+1 k τ 3 k-1 h + Ax k+2 k+1 τ k = fh(x), k (x)= f h(tk, x), tk = kτ, 1 � k � N - 2, x ∈ Ωh,Nτ = 1, 1 (x) - u0 (x) uh (x) - uh (x) (3.9) h h h uh h m m 1 h ⎪ u0 (x)= γum(x)+ ϕ ⎪ (x), = α - τ τ + ψ (x), ⎪ uh(x) - 2uh(x)+ uh(x) uh (x) - 2uh (x)+ uh (x) ⎪⎩ (Ih + τ 2Ax) 2 1 0 m m-1 m-2 h h τ 2 = β τ 2 + ξ (x), x ∈ Ωh. Теорема 3.4. Предположим, что λ ?: 2τ и выполнено условие (1.17). Тогда для решения {uh k (x) � N 0 задачи (3.9) выполняются оценки устойчивости ( max luhl � M18 max lfhl + l ϕh l + l ψh l + l ξh l , 0�k�N k L2h 1�k�N -2 k L2h L2h L2h L2h 1 h h h h 1 h h max 1 uk+2 - 3uk+1 + 3uk - uk-1 1 + max uk+2 - uk+1 1 1 1�k�N -2 1 1 τ 3 1 1 L 2h ⎧ 1 1 lW 1�k�N -2 l 1 2 � τ 2h ⎫ 1 � M19 ⎨ max 1 (fh - fh 1 + l fh l + l ψh l 2 + l ξh l 1 ⎬ , k ⎩2�k�N -2 1 τ k-1 1 1 L2h 1 L2h W2h W2h ⎭ k где M18 и M19 не зависят ни от ϕh(x), ψh(x), ξh(x), ни от fh(x), 1 � k � N - 2. Доказательство. В гильбертовом пространстве L2h = L2(Ωh) с самосопряженным положительh но определенным оператором Ah = Ax разностную схему (3.9) можно записать в абстрактной форме (2.1) посредством формулы (3.7), где fh = fh(x) и uh = uh(x) - известная и неизвестная k k k k абстрактные сеточные функции, определенные на Ωh, со значениями в H = L2h. Следовательно, оценки теоремы 3.4 вытекают из оценок (2.2)-(2.3) и следующей теоремы о неравенстве коэрцитивности для решений эллиптической разностной задачи в L2h. 10 А. АШЫРАЛИЕВ, Х. БЕЛАКРУМ Теорема 3.5. Для решений эллиптической разностной задачи (см. [8]) hu Ax h (x)= ωh (x), x ∈ Ωh, Dhuh(x)= 0, x ∈ Sh, справедливо неравенство коэрцитивности n 1 1 1u r=1 h 1 1 xr xr 1 L2h � M20||ωh ||L2h , где M20 не зависит ни от h, ни от ωh. 2. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В случаях, когда аналитические методы не работают надлежащим образом, в прикладной математике важную роль играют численные методы отыскания приближенных решений уравнений в частных производных. В этом разделе численным образом представлены разностные схемы первого порядка точности, предназначенные для решения одномерных и двумерных уравнений в частных производных третьего порядка. Для решения задачи применяется гауссов метод исключения. Теоретические утверждения относительно решений указанных разностных схем опираются на результаты вычислительных экспериментов. 1. Одномерный случай. В качестве численного эксперимента, начнем наше рассмотрение с нелокальной краевой задачи ⎧ ∂3u(t, x) ⎪ ⎪ ∂t3 - ⎪ ⎪ ∂3u(t, x) ∂t∂x2 = f (t, x), -t f (t, x)= -2e ⎪ cos x, 0 < t < 1, 0 < x < π, ⎪ 1 ( 1 ⎪ ⎨ u(0, x)= 4 u(1, x)+ 1 - 4e cos x, 0 � x � π, 1 ( 1 ⎪ (4.1) ut(0, x)= ut(1, x) - 4 ⎪ ⎪ 1 - 4e ( cos x, 0 � x � π, ⎪ 1 1 ⎪ utt(0, x)= utt(1, x)+ ⎪ 4 ⎪ 1 - 4e cos x, 0 � x � π, ⎩ utx(t, 0) = utx(t, π)= 0, 0 � t � 1, для одномерного уравнения в частных производных третьего порядка. Точное решение задачи (4.1) есть u (t, x)= e-t cos x. Получаем следующую разностную схему первого порядка точности, предназначенную для приближенного решения нелокальной краевой задачи (4.1): ⎧ k+2 k+1 k k-1 k+2 k+1 ( k+2 k+1) k+2 k+1 un - 3un + 3un - un ⎪ ⎪ τ 3 - ⎪ ⎪ un+1 - un+1 - 2 un - un τ h2 k + un-1 - un-1 = f (t , xn), ⎪ f (tk, xn)= -2e-tk cos xn, tk = kτ, 1 � k � N - 2, 1 � n � M - 1, ⎪ n ⎪ Nτ = 1, x ⎪ = nh, 1 � n � M - 1, Mh = π, ⎪⎨ u0 1 N ( 1 n = 4 un + 1 - 4e cos xn, 0 � n � M, (4.2) ⎪ u1 0 N N -1 ( ⎪ n - un 1 un - un 1 = ⎪ ⎪ τ 4 τ - 1 - 4e cos xn, 0 � n � M, ⎪ n - 2un + un 1 un - 2un + un ( 1 ⎪ u2 1 0 N τ 4 ⎪ 2 = ⎪ ⎪ N -1 τ 2 N -2 - + 1 4e cos xn, 0 � n � M, ⎩ uk k k-1 k-1 k k k-1 k-1 1 - u0 - u1 + u0 = 0, uM - uM -1 - uM + uM -1 = 0, 1 � k � N. Это - система алгебраических уравнений, которую можно записать в матричном виде ( A un+1 + Bun + Cun-1 = Dϕn, 1 � n � M - 1, Pu0 = Qu1 + T, PuM = QuM -1 - T. (4.3) УСТОЙЧИВАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 11 где 1 0 0 0 · 0 0 -1 1 0 0 · 0 0 0 -1 1 0 · 0 0 · · · · · · · 0 0 0 0 · 1 0 0 0 0 0 · -1 1 0 0 0 0 · 0 -1 ⎡ 1 ⎤ 4 - ⎥ ⎡ 1 ⎤ ⎢ 1 0 ⎢ ⎥ - 4e ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T = ⎢ ⎢ ⎣ 0 ⎥ ⎥ · ⎦ 0 (N +1)×1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ P = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ 0 ⎥ · ⎥ , ⎥ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎦ 1 (N +1)×(N +1) 0 0 0 0 · 0 0 0 -1 1 0 0 · 0 0 0 0 -1 1 0 · 0 0 0 · · · · · · · · 0 0 0 0 · 1 0 0 0 0 0 0 · -1 1 0 0 0 0 0 · 0 -1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ Q = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (N +1)×(N +1) ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ A = C = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 0 · 0 0 0 0 0 a -a · 0 0 0 0 0 0 a · 0 0 0 · · · · · · · · 0 0 0 0 · 0 a -a 0 0 0 0 · 0 0 0 0 0 0 0 · 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (N +1)×(N +1) 1 ⎤ 1 0 0 0 0 · 0 0 0 - b - ⎢ - ⎢ 3b 3b ⎢ c b - c 0 · 4 ⎥ 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ B = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 b -3b 3b - c c - b · 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 0 b -3b 3b - c · 0 0 0 0 ⎥ · · · · · · · · · · ⎥ ⎥ 0 0 0 0 0 · 3b - c c - b 0 0 ⎥ , ⎥ 0 0 0 0 0 · -3b 3b - c c - b 0 ⎥ ⎥ 0 0 0 0 0 · b -3b 3b - c c - b ⎥ ⎢ 1 1 1 1 ⎥ ⎢ ⎢ - ⎥ 0 0 0 · 0 0 - ⎥ ⎢ τ τ ⎣ ⎢ 1 2 1 1 4τ 1 4τ ⎥ ⎦ 1 ⎥ τ 2 - τ 2 τ 2 0 0 · 0 - 4τ 2 2τ 2 - 4τ 2 (N +1)× (N +1) 1 a = τ h2 ⎧ 1 , b = - τ 3 ( , c = 1 2 τ h2 , ⎫ ⎪ ϕ0 ⎪ n - = 1 ⎪ 4e ⎪ k cos xn, 0 � n � M, ⎪ t ⎪ ϕ ⎡ 0 ⎤ n ⎪ ϕn = f (tk, xn)= -2e- k cos xn, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ tk = kτ, 1 � k � N - 2, 1 � n � M - 1, ⎬ ϕn = ⎣ · ⎦ , ( 1 ϕN ⎪ ϕN -1 ⎪ n (N +1)×1 n = - ⎪ ( ⎪ ⎪ N ⎪ n 1 - 4e 1 cos xn, 0 � n � M, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ϕ D = IN +1 - тождественная матрица, = 1 - 4e cos xn, 0 � n � M ⎭ u ⎡ 0 s us = ⎣ · u N s ⎤ ⎦ (N +1)×1 , s = n, n ± 1. 12 А. АШЫРАЛИЕВ, Х. БЕЛАКРУМ РИС. 4.1. Зависимость погрешности от t. РИС. 4.2. Зависимость погрешности от x. Поэтому, чтобы решить матричное уравнение (4.3), мы используем модифицированный метод исключения Гаусса. Решение матричного уравнения ищется в виде un = αn+1un+1 + βn+1, n = M - 1,..., 1, 0, (4.4) где uM = (P - QαM )-1 (QβM - T ) , αj (j = 2,...,M ) - квадратные матрицы размерности (N + 1)×(N +1), βj (j = 2,...,M ) - матрицы-столбцы размерности (N +1)×1, α1 = P -1Q, β1 = P -1T, αn+1 = - (B + Cαn)-1 A, (4.5) βn+1 = (B + Cαn)-1 (Dϕn - Cβn) ,n = 1,...,M - 1. Погрешность численного решения вычисляется по формуле EN M = max u(tk, xn) - uk , (4.6) 0�k�N,0�n�M n n где u(tk, xn) - точное решение в точке (tk, xn), а uk - численное решение в той же точке. Результаты этих вычислений приведены в следующей таблице: Разностные схемы/N, M 20, 20 40, 40 80, 80 Разностная схема (4.2) 0,0609 0,0342 0,0181 (4.7) Из численных результатов, приведенных в таблице (4.7), видно, что, если N и M удваиваются, то ошибка уменьшается примерно в два раза (в случае разностной схемы первого порядка). На рис. 4.1 и 4.2 показаны графики точного и приближенного решений, а также график погрешности во всей области нахождения неизвестных функций. Как видно на рис. 4.2, погрешность уменьшается приблизительно в два раза вместе с уменьшением вдвое размера шагов по временной и пространственной координатам. 2. Двумерный случай. Теперь рассмотрим нелокальную краевую задачу ⎧ ∂3u(t, x, y) ∂3u(t, x, y) ∂3u(t, x, y) ⎪ ⎪ ∂t3 - ⎪ ⎪ ∂t∂x2 - -t ∂t∂y2 = f (t, x, y), f (t, x, y)= -3e ⎪ sin x sin y, 0 < t < 1, 0 < x < π, ⎪ 1 ( 1 ⎪ u(0, x, y)= u(1, x, y)+ ⎪ 4 1 - 4e sin x sin y, 0 � x, y � π, ⎨ 1 ( 1 (4.8) ut(0, x, y)= ut(1, x, y) - 4 ⎪ ⎪ 1 - 4e ( sin x sin y, 0 � x, y � π, ⎪ 1 1 ⎪ utt(0, x, y)= utt(1, x, y)+ ⎪ 4 ⎪ ⎪ 1 - 4e sin x sin y, 0 � x, y � π, ut(t, 0, y)= ut(t, π, y)= 0, 0 � t � 1, 0 � y � π, ⎪ ⎩ ut(t, x, 0) = ut(t, x, π)= 0, 0 � t � 1, 0 � x � π УСТОЙЧИВАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 13 РИС. 4.3. Приближенное решение, M = N = 20. РИС. 4.4. Точное решение, M = N = 20. РИС. 4.5. Приближенное решение, M = N = 40. РИС. 4.6. Точное решение, M = N = 40. РИС. 4.7. Приближенное решение, M = N = 80. РИС. 4.8. Точное решение, M = N = 80. для уравнения в частных производных третьего порядка. Точное решение задачи (4.8) есть u (t, x)= e-t sin x sin y. Учитывая, что ut(t, 0, y) = ut(t, π, y) = 0, получим u(t, 0, y) = u(0, 0, y) = u(1, 0, y) и u(t, π, y) = 1 - u(0, π, y) = u(1, π, y). Тогда из равенства u(0, x, y) = 1 u(1, x, y)+ ( 4 1 4e sin x sin y при 0 � x, y � π следует u(t, 0, y) = u(t, π, y) = 0. Аналогично получим равенства u(t, x, 0) = u(t, x, π) = 0, 0 � t � 1, 0 � x � π из условия ut(t, x, 0) = ut(t, x, π) = 0, 0 � t � 1, 0 � x � π, а также из 1 ( 1 - u(0, x, y) = 4 u(1, x, y)+ 1 4e sin x sin y, 0 � x, y � π, следует, что u(t, x, 0) = u(t, x, π) = 0, 0 � t � 1, 0 � x � π. 14 А. АШЫРАЛИЕВ, Х. БЕЛАКРУМ Тогда задачу (4.8) можно переписать в следующем виде: ⎧ ∂3u(t, x, y) ∂3u(t, x, y) ∂3u(t, x, y) ⎪ ⎪ ∂t3 - ⎪ ⎪ ∂t∂x2 - -t ∂t∂y2 = f (t, x, y), f (t, x, y)= -3e ⎪ sin x sin y, 0 < t < 1, 0 < x < π, ⎪ 1 ( 1 ⎪ u(0, x, y)= u(1, x, y)+ ⎪ 4 1 - 4e sin x sin y, 0 � x, y � π, ⎨ 1 ( 1 (4.9) ut(0, x, y)= ut(1, x, y) - 4 ⎪ ⎪ 1 - 4e ( sin x sin y, 0 � x, y � π, ⎪ 1 1 ⎪ utt(0, x, y)= utt(1, x, y)+ ⎪ 4 ⎪ ⎪ 1 - 4e sin x sin y, 0 � x, y � π, u(t, 0, y)= u(t, π, y)= 0, 0 � t � 1, 0 � y � π, ⎪⎩ u(t, x, 0) = u(t, x, π)= 0, 0 � t � 1, 0 � x � π. Получим следующую разностную схему первого порядка по t для приближенного решения нелокальной краевой задачи (4.9): ⎧ uk+2 k+1 k k-1 uk+2 k+1 ( k+2 k+1) + uk+2 k+1 n,m - 3un,m + 3un,m - un,m ⎪ n+1,m - un+1,m - 2 un,m - un,m n-1,m - un-1,m ⎪ τ 3 - ⎪ ( ) + u - u τ h2 - ⎪ uk+2 k+1 k+2 k+1 k+2 k+1 n,m+1 - un,m+1 - 2 ⎪ un,m - un,m n,m-1 n,m-1 ⎪ - τ h2 = f (tk, xn, ym), ⎪ ⎪ ⎪ f (tk, xn, ym)= -3e-tk sin xn sin ym, tk = kτ, 1 � k � N - 2, 1 � n, m � M - 1, ⎪ Nτ = 1, xn = nh, ym = mh, 1 � n, m � M - 1, Mh = π, u0 ⎨⎪ 1 n,m = ⎪ 4 ⎪ ( u + 1 - N n,m 1 4e sin xn sin ym, 0 � n, m � M, ⎪ u1 0 1 uN N -1 ( 1 ⎪ n,m - un,m = ⎪ τ 4 ⎪ n,m - un,m τ - 1 - 4e sin xn sin ym , 0 � n, m � M, ⎪ u2 1 0 1 uN N -1 N -2 ( 1 ⎪ n,m - 2un,m + un,m n,m - 2un,m + un,m ⎪ ⎪ τ 2 = 4 τ 2 + 1 - 4e sin xn sin ym, 0 � n, m � M, ⎪⎩ uk k k k 0,m = uM,m = 0, un,0 = un,M = 0, 1 � k � N, 0 � n, m � M. Это - система алгебраических уравнений, которую можно представить в матричном виде ( A un+1 + Bun + Cun-1 = Rϕn, 1 � n � M - 1, (4.10) u0 = O, uM = O, (4.11) t где us = ru0 , ·· ·, uN , u0 , ·· ·, uN , u0 , ·· ·, uN l , s = n, n ± 1, A, B, C,I - квадs,0 s,0 s,1 s,1 s,M s,M (N +1)(M +1)×1 ратные матрицы размерности (N + 1)(M + 1) × (N + 1)(M + 1), I, R - тождественные матрицы, 1 a = τ h2 1 , b = - τ 3 , c = 2 τ h2 , O O E O § O § O ⎡ O ⎤ ⎢ O ⎥ ⎡ Q O O O · O O O O ⎤ ⎢ E D E O · O O O O ⎥ ⎢ ⎥ A = C = ⎢ · · · · · ⎥ , B = ⎢ O E D E · O O O O ⎥ , ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎢ O O · E O ⎥ ⎥ ⎢ · · · · · · · · · ⎥ ⎢ O O O O · O E D E ⎥ O O · O O ⎣ O O O O ⎦ § O O O Q ⎡ 0 0 0 0 · 0 0 0 ⎤ ⎢ 0 0 a -a · 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 a · 0 0 0 ⎥ ⎢ , E = ⎢ ⎥ · · · · · · · · ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 · · a -a 0 ⎥ ⎢ 0 0 0 · · 0 a -a ⎥ ⎣ ⎦ 0 0 0 · · 0 0 0 УСТОЙЧИВАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 15 ⎡ 1 ⎤ 1 0 0 0 0 0 · 0 0 0 - b - ⎢ - ⎢ 3b 3b ⎢ 2c 2c - b 0 0 · 4 ⎥ 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ D = ⎢ ⎥ 0 b -3b 3b - 2c 2c - b 0 · 0 0 0 0 ⎥ , ⎥ · · · · · · · · · · · ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 · b -3b 3b - 2c 2c - b ⎥ ⎢ ⎢ 1 1 ⎥ ⎥ ⎢ -1 1 0 0 0 0 · 0 0 - ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 4 4 ⎥ 1 ⎣ 1 1 ⎦ 1 -2 1 0 0 0 · 0 - 4 2 - 4 × × m,n Q = I(N +1) (N +1), O = O(N +1) (N +1), ϕk = f (tk, xn, ym), f (tk, xn, ym)= -3e-tk sin (xn) sin (ym) , k = 1,N - 2, n = 1,M - 1, m = 1,M - 1, 1 ϕ0 m,n = (1 - 4e ) sin (xn) sin (ym) , n = 0,M, m = 0,M, ϕN -1 1 m,n = -(1 - 4e ) sin (xn) sin (ym) τ, n = 0,M, m = 0,M, 1 ϕN 2 m,n = (1 - 4e ) sin (xn) sin (ym) τ , n = 0,M, m = 0,M. Следовательно, чтобы найти решение матричного уравнения (4.11), можно применить модифицированный метод исключения Гаусса. Решение матричного уравнения будем искать в виде un = αn+1un+1 + βn+1, n = M - 1,..., 1, uM = O, (4.12) где αj (j = 2,...,M ) - квадратные матрицы размерности (N + 1)(M + 1) × (N + 1)(M + 1), βj (j = 1,...,M - 1) - матрицы-столбцы размерности (N + 1)(M + 1) × 1, α1 и β1 - нулевые матрицы, αn+1 = - (B + Cαn)-1 An, (4.13) βn+1 = (B + Cαn)-1 (Dϕn - Cβn) ,n = 1,...,M - 1. Погрешность численного решения вычисляется по формуле EN M = max u(tk, xn, ym) - uk , (4.14) 0�k�N,1�n,m�M -1 n,m где u(tk, xn, ym) - точное решение в точке (tk, xn, ym), а uk n,m - численное решение в той же точке. Результаты этих вычислений приведены в следующей таблице: Разностные схемы/N, M 10, 10, 10 20, 20, 20 40, 40, 40 Разностная схема (4.2) 0,0840 0,0446 0,0229 (4.15) Из численных результатов, приведенных в таблице (4.15), видно, что, если N и M удваиваются, то ошибка уменьшается примерно в два раза (в случае разностной схемы первого порядка). Здесь можно привести аналогичные графики точного и приближенного решений и погрешности на всей области определения искомых функций. 3. ВЫВОДЫ Применяя предложенный подход, а также метод монографии [19], в гильбертовом пространстве H с самосопряженным оператором A можно исследовать следующую нелокальную краевую задачу для уравнения в частных производных третьего порядка: ⎧ d3u(t) du(t) ⎪ ⎪ dt3 + A ⎪ λ = f (t), 0 < t < 1, dt λ ⎪⎨ u(0) = Г γ(s)u(s)ds + ϕ, u×(0) = Г α(s)u×(s)ds + ψ, (5.1) 0 0 ⎪ λ ⎪ Г ⎪ u××(0) = ⎪ ⎩ 0 β(s)u××(s)ds + ξ, 0 < λ � 1. 16 А. АШЫРАЛИЕВ, Х. БЕЛАКРУМ Для получения приближенных решений задачи (5.1) можно применить устойчивую трехшаговую разностную схему. При определенных условиях на γ(t), α(t) и β(t) справедлива теорема об устойчивости указанной разностной схемы. В качестве приложений получены оценки устойчивости решений разностных схем, применяемых для получения приближенных решений нелокальных краевых задач для уравнений в частных производных третьего порядка. Представлены численные результаты.