Application of A-analytic Functions to the Investigation of the Cauchy Problem for a Stationary Poroelasticity System

Cover Page

Abstract


In a reversible hydrodynamic approximation, a closed system of second-order dynamic equations with respect to the displacement vector of an elastic porous body and pore pressure has been obtained. The Cauchy problem for the obtained system of poroelasticity equations in the stationary case is considered. The Carleman formula for the Cauchy problem under consideration has been constructed.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Теория пороупругости широко используется в геомеханике, биофизике и других областях на- уки и технологий. Теория Френкеля-Био являет собой замкнутую систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно векторов смещения упругих пористых тел и вытеснения жидкости [12, 15]. Такая система описывает распространение сейсмических волн в пористой сре- де и в изотропном случае содержит четыре независимых параметра упругости. Линеаризованная теория В. Н. Доровского являет собой замкнутую систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно векторов скорости смещения упругих пористых тел и скорости потока жид- кости [17, 19]. Как и теория Френкеля-Био, линеаризованная теория описывает распространение сейсмических волн в пористой среде, однако в отличие от системы из теории Френкеля-Био в изотропном случае описывается тремя независимыми параметрами упругости. В [18] была по- лучена замкнутая система дифференциальных уравнений второго порядка относительно вектора смещений упругого пористого тела и порового давления во временной области. Для частотной области такая система была описана в [21]. В нашей же работе мы получаем замкнутую систе- му динамических уравнений второго порядка относительно вектора смещения упругого пористого тела и порового давления в случае, когда в системе не происходит потерь энергии. Далее мы рассматриваем задачу Коши для стационарной пороупругой системы на плоскости, а затем строим формулу Карлемана для данной задачи. ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ Пусть Ω - это произвольная ограниченная односвязная область на комплексной плоскости C с границей класса C∞, а M ⊂ ∂Ω - объединение конечного числа замкнутых дуг. Рассмотрим Данная работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 16-01-00729). Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 33 задачу Коши для эллиптической системы второго порядка в Ω: ∂2 ∂2 ∂2 n A ∂x2 V + 2B ∂x∂y V + C ∂y2 V = 0, V : Ω → R , (2.1) V (x, y) |M = G (x, y) , P∂ V (x, y) |M = H (x, y) , (2.2) где G(x, y), F (x, y) ∈ C(Ω; Rn) - заданные функции, A, B, C - матрицы постоянных элементов размера n × n, а P∂ - некоторый дифференциальный оператор первого порядка (например, опе- ратор напряжения для системы уравнений Ламе или производная по нормали). Система является эллиптической, т. е. матрицы A, C обратимы, а характеристический многочлен det 1A + 2Bλ + Cλ21 = 0 1 1 не имеет вещественных корней. Известны два классических метода исследования подобных эллиптических краевых задач: метод потенциалов и теоретически-функциональный метод. Фундаментальные результаты относительно решения эллиптических задач общего вида методом потенциалов были получены в [20]. Второй метод основывается на представлении решений эллиптических уравнений через ана- литические функции, что делает возможным сведение нашей задачи к изучению краевых задач с точки зрения теории функций. Для эллиптических уравнений на плоскости с вещественными аналитическими коэффициентами такой метод был предложен И. Н. Векуа [5]; для эллиптических систем с постоянными коэффициентами - А. В. Бицадзе [16] (см. также [8, 11]). Метод, предложенный Бицадзе, основывается на выражении регулярных решений системы (2.1) через аналитические векторнозначные функции и их производные с точностью до определенного порядка [3]. Такое представление существенно упрощается [9], если аналитические функции за- меняются на решения канонических эллиптических систем первого порядка. Для случая эллиптических систем первого порядка (с двумя неизвестными функциями, s = 2) данная теория была описана в работах И. Н. Векуа [6] и Л. Берса [14] и теперь известна как теория обобщенных аналитических функций. В свою очередь, А. П. Солдатов [10] показал, что вышеописанное представление может быть записано в виде V = Re Θu, (2.3) где u : Ω → Cn - А-аналитическая функция переменного zλ = x + λy, где λ - это корень характе- ристического уравнения, элементы матрицы A и Θ выражаются через коэффициенты системы A, B, C, а A - нильпотентная матрица: An = 0. Определение 2.1 (см. [13]). Пусть A - квадратная матрица размерности n. Вектор-функция u (z) ∈ C1 (Ω, Cn) называется A-аналитической функцией в Ω, если ∂¯Au(z) := ∂z¯u (z) - A∂z u (z) = 0, z = x + iy ∈ Ω. (2.4) Таким образом, задача (2.1) становится эквивалентной задаче определения A-аналитической функции, заданной на части границы. В [10] для определения матрицы Θ система (2.1) была представлена в виде эквивалентной ей системы дифференциальных уравнений первого порядка, где затем матрица итоговой системы была сведена к жордановой форме. В [2] для случая n = 2 было показано, что аналогичный результат можно получить с помощью свойств A-аналитических функций. СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СМЫСЛЕ СМЕЩЕНИЙ УПРУГОГО ПОРИСТОГО ТЕЛА И ПОРОВОГО ДАВЛЕНИЯ Линеаризованная система уравнений для континуальной теории фильтрации в обратимом при- ближении имеет вид [17, 19]: ρ ∂ui + ∂ h + s ∂t k ik ρs ∂ P = 0, ρ i ∂vi + 1 ∂ P = 0, ∂t ρ i ∂hik + μ (∂ u ( + ∂ u )+ ρs K\ δ divu ρl Kδ divv = 0, (3.1) - ∂t k i i k λ ρ ik - ρ ik ∂P ∂t - (K - αρρs) divu + αρρldivv = 0 В формулах (3.1) ρ = ρs + ρl, а u = (u1, u2, u3) и v = (v1, v2, v3) - векторы смещения упругого пористого тела и жидкости с соответствующими парциальными плотностями ρs = ρf (1 - d ) и s ρl = ρf d0, где d0 - это пористость, P - поровое давление, hik - тензор напряжения, ρf 0 и ρf - l s l физические плотности упругого пористого тела и жидкости, соответственно, λ, μ - константы Ламе, α = ρα3 + K/ρ2 (см. [17,19]), K = λ + 2μ/3, ρ3 · α3 > 0 - модуль объемного сжатия жидкого ∂ компонента гетерофазной среды, δik - символ Кронекера, ∂i = . Упругие константы K, μ, α3 ∂xi выражаются через скорость распределения поперечной волны cs и две скорости продольных волн cp1 , cp2 по следующим формулам [22]: s μ = ρsc2, 2 ρ ρs ( K = c + c2 8 ρl - c2 - 1 (c2 - c2 )2 - 64 ρlρs \ c4 , 2 ρl p1 p2 3 ρ s p1 p2 ρ2 s 1 ( 2 2 8 ρl 2 1 2 2 2 64 ρlρs 4\ α3 = 2ρ2 cp1 + cp2 - 3 ρ cs + (cp1 - cp2 ) - 9 ρ2 cs . Далее для простоты рассмотрим систему (3.1) с нулевыми начальными условиями. Из второго уравнения системы (3.1) получим формулу: ∂divv ∂t 1 - = ΔP. ρ Исключая дивергенцию смещения жидкости из третьего уравнения системы (3.1) и учитывая четвертое, получаем дифференциальное уравнение ( 2 \ 2 ∂hik + μ (∂ u ∂t k i + ∂iuk )+ K λ - αρ2 δik K divu + αρ2 ∂P δik ∂t = 0. (3.2) Избавимся от смещения жидкости в четвертом уравнении системы (3.1) с помощью второго. В итоге будем иметь дифференциальное уравнение второго порядка относительно порового давления P и смещения упругого пористого тела u: ∂2P ∂u ∂t2 - αρlΔP - (K - αρρs) div ∂t = 0. (3.3) Теперь исключим тензор напряжения из уравнения (3.1), для чего продифференцируем первое уравнение системы (3.1) по времени: ∂2ui ∂hik ρs ∂P ρs ∂t2 + ∂k + ∂i = 0. ∂t ρ ∂t Исходя из этого и принимая во внимание (3.2), получаем следующее уравнение относительно смещений упругого пористого тела u: ∂2u μ Δu - λ + μ - K2/(αρ2) ∇divu - K - αρρs ∂P ∇ = 0. (3.4) ∂t2 - ρs ρs αρ2ρs ∂t Система (3.3)-(3.4) будет замкнутой относительно смещения упругого пористого тела u и порового давления P. Последнее описывает распространение сейсмических волн в пористой насыщенной жидкостью среде в обратимом гидродинамическом приближении. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ПОРОУПРУГИХ УРАВНЕНИЙ Система уравнений пористости (3.3)-(3.4) в стационарном смысле удовлетворяет μΔu + λ˜ + μ ∇divu = 0, (4.1) ΔP = 0, (4.2) где λ˜ = λ - K2/(αρ2). Рассмотрим задачу Коши для заданной стационарной системы пороупругих уравнений относи- тельно (u, p), описывая положение плоской изотропной упруго-деформируемой среды в некоторой области Ω = { z| Imz > 0} ⊂ C: предположим, что на части границы M ⊂ ∂Ω заданы вектор смещения упругого пористого тела, тензор напряжения и поровое давление: u |M = G (x) , T∂ u |M = H (x) , ρK - ρsα ρ M 0 ρl P | = P (x) , ∂P ∂ν M = 0, (4.3) где Hj (x) = H˜j (x) - νj P0(x), j = 1, 2, G (x) , H (x) , P0 (x) - это заданные функции, а ρsα ν = (ν1, ν2) - вектор внешней нормали. Необходимо определить функции u(x, y) ∈ C3(Ω; R2) ∩ C2(Ω; R2) и P (x, y) ∈ C2(Ω; Rn) ∩ C1(Ω; Rn). Оператор напряжения определяется как T∂ V |M = σu |m , где σ - это оператор напряжения, элементы которого связаны с вектором смещения u посредством законов Гука: Легко показать, что σxx = λ˜ (∂xu1 + ∂y u2)+ 2μ∂xu1, σyy = λ˜ (∂xu1 + ∂y u2)+ 2μ∂y u2, σxy = σyx = μ (∂y u1 + ∂xu2) . / λ˜ + 2μ υ1 μυ2 \ / μυ2 λ˜υ1 \ T∂ = λ˜υ2 μυ1 ∂x + μυ1 λ˜ + 2μ υ2 ∂y . Переходя от вектора нормали к вектору касательной τ = (τ1, τ2) , можем записать оператор T∂ в виде T∂ = τ1 ( 0 -μ \ ∂x + τ1 / -μ 0 \ ∂y + -λ˜ 0 ˜ 0 - λ + 2μ ( λ˜ + 2μ 0 \ ( 0 λ˜ \ +τ2 μ ∂x + τ2 μ 0 ∂y = = T11τ1∂x + T12τ1∂y + T21τ2∂x + T22τ2∂y . Справедлива следующая теорема. Теорема 4.1. Пусть функции u (x, y) ∈ C2 (Ω; R2) ∩ C1 (Ω¯ ; R2) , P (x, y) ∈ C2(Ω; R2) ∩ C1(Ω¯ ; R2) являются решением задачи (4.1)-(4.3). Тогда u (x, y) , P (x, y) могут быть найдены по формуле u = Re Θu˜, P = Re P˜ где ( i i Θ = -1 2k - 1 \ , k = λ +3μ , λ + μ ( 0 -1 \ при этом P˜(z) - аналитическая функция, а u˜ (z) - A-аналитическая для A = 0 0 , принимающая на множестве M значения u˜ |M = f = g + ih. В таком случае функции g (z) , h (z) выражаются из системы ⎛ ( Re Θ - Im Θ \( g (x) \ = ⎜ (x,y) G (x) ⎞ ⎟ Re Θ∗ - Im Θ h (x) ⎝ Г (x0,y0) H (x, y) ds ⎠ , (4.4) где ( 1 2 - k \ Θ∗ = 2μ i . - ik Значения функции u˜ (z) , z = x + iy ∈ Ω, вычисляются по формулам Карлемановского типа: 1 ⎛r ( ( f \ × u˜ (z) = lim N →∞ 2πi ( ⎞ ζ z \( f \ dζ × ⎝ eN (φ0(ζ)-φ0(z)) 1 f2 M (ζ)+ ⎠ N (∂φ0 (ζ) ζ¯ - ∂φ0 (z) z¯) + - ζ - z 2 (ζ) 0 ζ - z - r - eN (φ0(ζ)-φ0(z)) M ( f2 0 \ dζ¯ ⎞ (ζ) ⎠ , ζ - z N P˜(z) = ρ lim - 2 - 1 r (ζ z )(z z ) πi dτ P0(τ ) . 2πρli N →∞ M (ζ - z1)(z - z2) ζ - z Доказательство. Запишем систему для u в развернутой форме: ˜ μ (∂xxu1 + ∂yy u1)+ λ + μ ˜ ∂x (∂xu1 + ∂y u2) = 0, μ (∂xxu2 + ∂yy u2)+ λ + μ ∂y (∂xu1 + ∂y u2) = 0. Отсюда выпишем матричные коэффициенты системы: ( λ˜ + 2μ 0 \ ( 0 λ˜ + μ \ ( μ 0 \ . A = 0 μ , 2B = λ˜ + μ 0 , C = 0 λ˜ + 2μ Найдем корни характеристического многочлена: λ˜ + 2μ + μλ2 0 λ˜ + μ λ0 λ det 1A + 2Bλ0 + Cλ21 = = 1 1 0 λ˜ + μ λ0 μ + 0 λ˜ + 2μ 2 2 = λ˜ + 2μ + μλ2 + λ˜ + 2μ λ2 - λ˜ + μ λ2 = = ˜ λ + 2μ μ + λ˜ + 2μ 2 λ2 + μ2λ2 + μ + ˜ + 0 0 λ 2μ λ4 0 ˜ 2 - λ + μ = λ˜ + 2μ ( μ + ˜ + 2μ 2 + μ2 ˜ + μ 2\ - λ λ2 + λ˜ + 2μ μλ4 0 0 0 μ 0 λ 0 0 λ2 = = = λ˜ + 2μ μ + 2λ˜μ + 4μ2 λ2 + λ˜ + 2μ μλ4 = = ˜ λ + 2μ 0 μ (1+ 2λ2 + λ4) 0 = 0. 0 0 Так как система является эллиптической, матрицы A, C обратимы, следовательно, λ˜ + 2μ ⊕= 0, μ ⊕= 0, иначе говоря, корни находятся из уравнения 1+ 2λ2 + λ4 = (1+ λ2)2 = 0. 0 0 0 Тем самым в верхней полуплоскости будем иметь корень кратности 2. Решение системы (4.1), (4.3) находится из [2]: u = Re Θu˜, где функция u˜ (z) - это решение уравнения ( 1 \ ( 1 \ λ ∂x - ∂y 0 u˜ (z) - A λ ∂x + ∂y 0 u˜ (z) = 0 с матрицей ⎛ A = ⎝ 0 i - i - 2i ⎞ ( 0 1 \ ⎠ = 0 0 , или 0 0 ∂¯u˜ (z) = A∂u˜ (z) . Столбцы матрицы Θ определяются из системы [2], которая в данном случае имеет вид (λ + μ) ( 1 i i -1 \ Θ1 = 0, (λ + μ) ( 1 i i -1 \ Θ2 +2 (λ + 3μ) Θ1 = 0. Таким образом, если мы возьмем то ( i \ Θ1 = , -1 ( 1 i \ Θ2 = -2 λ˜ + 3μ ( i \ ( i \ = -2k i -1 и Θ2 = λ˜ + μ -1 -1 ( i \ . -2k - 1 Как было показано в [10], решение системы (4.1) представимо в виде u = Re Θ∗u∗, где u∗ (z) есть A∗-аналитическая функция: A∗ = ( 0 0 \ i/2 0 , Θ∗ = ( i 1 \ -k - 1 i , k = λ˜ + 3μ λ˜ + μ . Если мы возьмем функцию u = Du∗, то ∂¯u = D∂¯u∗ = DA∗∂u∗ = DA∗D-1∂u, что означает, что функция u = Du∗ является A-аналитической функцией с A = DA∗D-1. Если будем иметь D = ( 1/2 -i \ , 1/2 0 A = DA∗D-1 = -2i ( 1/2 -i \( 0 0 \( 0 i \ = 1/2 0 i/2 0 -1/2 1/2 ( 1/2 0 \( 0 i \ ( 0 1 \ = -2i 0 0 = -1/2 1/2 0 0 . В таком случае решение системы Ламе задается формулой u = Re Θ∗D-1Du∗ = Θu˜, где Θ = Θ∗D-1 = -2i ( i 1 \( 0 i \ ( i i \ = , -k - 1 i -1/2 1/2 -1 -2k - 1 ( 0 1 \ При этом u˜ (z) - это A-аналитическая функция с вещественной матрицей A = ли тот же результат, как и в методе, описанном в [10]. 0 0 ; получи- Однако при решении задачи Коши для системы уравнений Ламе, в которой оператор напряжения находится в краевом условии, удобнее будет перейти к A-аналитическим функциям с матрицей ( 0 -1 \ A = 0 0 . В этом случае при вычислении краевых значений A-аналитической функции [2] мы можем использовать матрицы Tij , определенные в операторе напряжения. Действительно, если u = Re Θu˜, где Θ = ( i i \ , -1 -2k - 1 ∂¯u˜ (z) = A∂u˜ (z) , A = то ( 0 1 \ 0 0 , с матрицей V = Re Θ-u- = Re ΘD-1Du При этом ( 1 2 \ D = . 0 -1 ( A- = DAD-1 = и ∂¯u- (z) = A-∂u- (z) , 1 2 \ ( 0 1 \ ( 1 2 0 -1 0 0 0 -1 \ = ( 0 -1 \ 0 0 Θ- = ΘD-1 = ( i i -1 -2k - 1 \( 1 2 0 -1 \ ( i i \ = . -1 2k - 1 ( 0 -1 \ Для определения краевых значений A-аналитической функции u˜ (z) с матрицей A = 0 0 вычислим матрицу Θ∗ из [2]. Имеем A0 (E - A)-1 (E + A) = ( 1 -1 \2 0 1 = ( 1 -2 \ 0 1 0 , A-1 = ( 1 2 \ 0 1 . Таким образом, = ( 0 -μ \( i i 0 T11Θ+ iT12ΘA-1 = \ / -μ 0 ˜ + i \ ( i i \( 1 2 \ = -λ˜ 0 -1 -2k - 1 0 - λ + 2μ -1 2k - 1 0 1 = ( μ -μ (2k - 1) \ / -μ 0 ˜ + i \ ( i 3i \ = -iλ˜ -iλ˜ 0 - λ + 2μ -1 2k - 3 = ( μ -μ (2k - 1) \ / -iμ -i3μ \ + i = -iλ˜ -iλ˜ λ˜ + 2μ - λ˜ + 2μ (2k - 3) Так как / 2μ 2μ (2 - k) \ ˜ ˜ = . i2μ -i λ + λ + 2μ (2k - 3) λ˜+ λ˜ + 2μ (2k - 3) = λ˜+ λ˜ + 2μ то / λ˜ + 3μ 2 λ˜ + μ \ - 3 = λ˜+ λ˜ + 2μ -λ˜ + 3μ λ˜ + μ 2λ˜μ + 6μ2 == λ˜ + μ = 2μk, Аналогично, 0 T11 + iT12ΘA-1 = 2μ ( 1 2 - k \ . i -ik T22Θ - iT21ΘA0 = ( 0 λ˜ \( i i \ ( λ˜ + 2μ 0 \( i i \( 1 -2 \ = = μ 0 -1 2k - 1 - i 0 μ -1 2k - 1 0 1 = 2μ ( 1 2 - k i -ik \ = Θ∗. ( Re Θ - Im Θ \ Теперь найдем det Θ˜ = det Re Θ∗ - Im Θ∗ ; тогда будем иметь ⎛ 0 0 -1 -1 ⎞ Из этого следует, что ⎝ Θ˜ = -1 2μ 0 2k - 1 2μ (2 - k) 0 0 0 -2μ 0 0 ⎠ . 2μk det Θ˜ = 4μ (1 + k)2 ⊕= 0, и краевые значения функции f (z) определяются однозначным образом из начального усло- вия (4.1), (4.3). Следовательно, задача Коши для системы уравнений Ламе эквивалентна задаче A-аналитического продолжения с матрицей A = ( 0 -1 \ . 0 0 Используя полученные значения функций g(x), h(x) на множестве M из начальных условий G(x),H(x), можем восстановить функцию u˜ (z) по формулам карлемановского типа из [2]. Тогда с помощью u˜ (z) найдем решение исходной задачи. Вычислив функцию ΦN (z) из [2] для конкретной матрицы ( 0 -1 \ получим A = 0 0 , φ (z) = φ0 (z)+ ∂φ0 (z) z¯A = и ( φ0 (z) -∂φ0 (z) z¯ \ 0 φ0 (z) Φ-1 N (φ0(ζ)-φ0(z)) ( 1 N (∂φ0 (ζ) ζ¯ - ∂φ0 (z) z¯) \ N (z) ΦN (ζ) = e 0 1 . Подставив это значение в формулу Карлемана [13], придем к следующей формуле, которая даст нам решение задачи A-аналитического продолжения: 1 u˜ (z) = lim × ⎛ r (( f \ N →∞ 2πi ( ζ z \( f \ \ × ⎝ eN (φ0(ζ)-φ0(z)) M 1 (ζ)+ f2 × N (∂φ0 (ζ) ζ¯ - ∂φ0 (z) z¯) + - ζ - z 2 (ζ) 0 dζ r N (φ0(ζ)-φ0(z)) ( f2 \ dζ¯ ⎞ × ζ - z - e M ⎠ (ζ) . 0 ζ - z Решение задачи Коши для уравнения Лапласа было получено в [1, 23]. Таким образом, теорема доказана. В таком случае, оценивая интеграл по ∂Ω\M, нетрудно показать, что его можно сделать меньше, чем ε при N > Nε, где 2e Nε = (1 - e) ψ (z) ln \ / πρ∂Ω M (z) ψ2 (z) ε \ , 16ω |∂Ω\M | f ∂Ω\M здесь ω = 2 sup |∂φ0 (z) z¯| , |∂Ω\M | - это длина дуги Ω\M, ρ∂Ω\M (z) - расстояние от точки z до z∈∂Ω множества Ω\M. Из ранее полученных формул Карлемановского типа следует оценка условной устойчивости [4]: u (x, y) � εl (f (z)) + c (ε) f (z) M , где f (z) - это краевое значение функции u˜ (z) , ψ(z)(e-1) (∂Ω M ;C2) l (f (z)) = f (z) , c (ε) = Cε1- c , \ а ψ (z) - гармоническая мера множества M. Если, используя формулу Карлемана, мы приближенно вычислим значение функции uN (x, y) для N > Nε, то ошибка будет оцениваться следующей величиной: u - uN � Θ ε; если же начальные условия G (z) ,H (z) определены с ошибкой, не превышающей ε0, то 2e ε0 � C1ε (e-1)ψ(x) , 2e 2e C1 = ρM (z) ( |∂Ω\M | f ˜ \1- (e-1)ψ(z) ( πψ2 (z)\(e-1)ψ(z) 1 1 1Θ1 . |M | ρ∂Ω\M (z) 8ω 1 1 В [7] при помощи формул Карлемана было получено решение задачи Коши для системы урав- нений Ламе в областях специального вида.

About the authors

Kh Kh Imomnazarov

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics, Siberian Branch of Russian Academy of Sciences

Email: imom@omzg.sscc.ru
Novosibirsk, Russia

N M Jabborov

National University of Uzbekistan named after M. Ulugbek

Email: jabborov61@mail.ru
Tashkent, Uzbekistan

References

  1. Айзенберг Л. А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. - Новосибирск: Наука, 1990.
  2. Арбузов Э. В. Задача Коши для эллиптических систем второго порядка на плоскости// Cиб. мат. ж. - 2003. - 44, № 1. - С. 3-20.
  3. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. - М.: Наука, 1981.
  4. Бухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач. - Новосибирск: Наука, 1988.
  5. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. - М.: ОГИЗ, 1948.
  6. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. - М.: Наука, 1988.
  7. Ниезов И. Э. Задача Коши для системы теории упругости на плоскости// Узб. мат. ж. - 1996. - № 1. - С. 27-34.
  8. Сакс Р. С. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений. - Новосибирск: НГУ, 1975.
  9. Солдатов А. П. Эллиптические системы высокого порядка// Дифф. уравн. - 1989. - 25, № 1. - C. 136-144.
  10. Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. - М.: Высшая школа, 1991.
  11. Товмасян Н. Е. Общая краевая задача для эллиптических систем второго порядка с постоянными коэффициентами// Дифф. уравн. - 1966. - 2, № 2. - C. 163-171.
  12. Френкель Я. И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве// Изв. АН СССР. Сер. географ. геофиз. - 1944. - 8, № 4. - С. 133-150.
  13. Arbuzov E. V., Bukhgeim A. L. Carleman’s formulas for A-analytic functions in a half-plane// J. Inverse Ill-Posed Probl. - 1997. - 5, № 6. - С. 491-505.
  14. Bers L. Theory of pseudo-analytic functions. - N.Y.: Lecture Notes, 1953.
  15. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I. Low-frequency range// J. Acoust. Soc. Am. - 1956. - 28, № 2. - С. 168-178.
  16. Bitsadze A. V. Boundary value problems for second-order elliptic equations. - Amsterdam: North-Holland, 1968.
  17. Blokhin A. M., Dorovsky V. N. Mathematical modelling in the theory of multivelocity continuum. - New York: Nova Science, 1995.
  18. Bonnet G. Basic singular solutions for a poroelastic medium in the dynamic range// J. Acoust. Soc. Am. - 1987. - 82. - С. 1758-1762.
  19. Dorovsky V. N., Perepechko Yu. V., Romensky E. I. Wave processes in saturated porous elastically deformed media// Combustion, Explosion and Shock Waves. - 1993. - 29, № 1. - С. 93-103.
  20. Giraud G. Nouvelles methode pour traiter certaines problemes relatifs aux equations du type elliptique// J. de Math. - 1939. - 18. - С. 111-143.
  21. Gorog S., Panneton R., Atalla N. Mixed displacement-pressure formulation for acoustic anisotropic open porous media// J. Appl. Phys. - 1997. - 82. - С. 4192-4196.
  22. Imomnazarov Kh. Kh. Some remarks on the Biot system of equations describing wave propagation in a porous medium// Appl. Math. Lett. - 2000. - 13, № 3. - С. 33-35.
  23. Lavrentiev M. M. Some improperly posed problems in mathematical physics. - Berlin: Springer, 1967.

Statistics

Views

Abstract - 92

PDF (Russian) - 83

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies