Конечноэлементное моделирование динамического деформирования двунаправенных функционально градиентных балок

Полный текст

1. Введение Функционально градиентные материалы (FGM) представляют собой класс композитов, свойства которых могут изменяться непрерывно и гладко, по крайней мере, в одном пространственном направлении. Изменения свойств могут быть обусловлены составом, пористостью, микроструктурой. Эти материалы позволяют сочетать оптимальным образом свойства компонентов, минимизировать концентрацию напряжений в зоне контакта разных материалов [1; 2]. В отличие от слоистых композитов они лучше сопротивляются развитию трещин и расслоению [3]. Концепция функционально градиентных материалов была предложена еще в 70-х гг. прошлого века [4]. Однако эта идея в то время еще не получила практического развития из-за отсутствия соответствующих технологий. Она нашла практическое воплощение в следующем десятилетии в Японии в работах над аэрокосмическим проектом [5; 6], в котором требовалось создание термического барьера в стенке конструкции на толщине 10 мм. В настоящее время функционально градиентные материалы привлекают все большее внимание исследователей во всем мире. Примеры применения функционально градиентных материалов можно найти в [7]. Среди них протезы, сочетающие механическую прочность во внутренних и биосовместимость во внешних слоях [8], функционально градиентные лопатки турбомашин и ветрогенераторов [9], укрепление стенок горных выработок [10], пьезоэлектрические элементы вибрационного контроля конструкций [11], микросенсоры и микроактюаторы, в нано- и микроэлектромеханических системах [12]. В последнее время возрос интерес к использованию функционально градиентных материалов в строительных конструкциях [13]. В частности, большое внимание уделяется созданию конструкций из функционально градиентного бетона. Рациональное распределение содержания цемента в конструкции позволяет снизить ее себестоимость и затраты энергии на изготовление [14], уменьшить технологические напряжения и предотвратить растрескивание в процессе застывания [15]. Аддитивные технологии и 3D-печать, часто используемые при создании градиентных материалов [16; 17], вполне естественны для конструкций из бетона [18 20]. Часто неоднородность функционально градиентных материалов, применяемых в строительных конструкциях, обусловлена пористостью [21]. Конструкции из таких материалов обладают хорошим соотношением вес/прочность, а также хорошими вибро- и шумопоглощающими свойствами. Вместе с тем теории функционально градиентных пористых материалов могут использоваться при моделировании распределенных дефектов. Элементы строительных конструкций часто представляют собой балки прямоугольного сечения, как правило, малой и средней длины. Рассмотрение их как пространственных трехмерных конструкций приводит к неоправданным вычислительным затратам. Самой ранней и наиболее распространенной теорией балок является классическая теория Эйлера - Бернулли, в которой поперечное сечение предполагается перпендикулярным к нейтральной оси балки. В ней не учитывается сдвиг поперечного сечения, она пригодна для длинных гибких балок с большим отношением продольного размера к поперечным. Для балок малой и средней длины, а также для случаев, когда предполагаемая форма деформирования нейтральной оси балки сопоставима с размерами ее поперечного сечения, этой теории недостаточно. Теория балок первого порядка (Тимошенко) позволяет исследовать такие объекты. Однако для нее требуется знание дополнительного параметра - коэффициента сдвиговой коррекции, который не может быть найден в рамках этой теории. Кроме того, поскольку сдвиговая деформация в сечении предполагается постоянной, граничные условия отсутствия касательных напряжений на границе поперечного сечения не выполняются [22]. Все упомянутые проблемы особенно актуальны для неоднородных, в том числе функционально градиентных балок. От многих недостатков избавлены теории сдвиговой деформации высшего порядка. В них распределение перемещений по сечению нелинейно и обеспечивает равенство нулю сдвиговых напряжений на свободной границе [23 25]. Одной из таких теорий является теория третьего порядка Редди [26]. Приведенный обзор свидетельствует о возросшей необходимость в разработке и реализации эффективных численных алгоритмов решения статических и динамических краевых задач деформирования конструкций из функционально градиентных материалов. Возможности известных программных средств ANSYS, COMSOL для решения таких задач являются весьма ограниченными. Большинство статей по динамике рассматриваемых конструкций посвящено однонаправленным функционально градиентным балкам. Двунаправленные функционально градиентные балки исследуются в небольшом числе работ [27 30]. В них используется аппроксимация перемещений и углов поворота рядами функций, заранее удовлетворяющих кинематическим граничным условиям. Такой подход обеспечивает хорошую точность, но сильно уменьшает универсальность численного метода. Это особенно важно, если балка рассматривается не как уединенный объект, а часть более сложной конструкции. Метод конечных элементов дает единый подход для балок с разными граничными условиями. В данном исследовании представлена вариационная формулировка и реализован метод конечных элементов для балок из функционально градиентных материалов. Рассмотрена неоднородная балка, физические свойства которой могут изменяться как в поперечном сечении, так и вдоль продольной оси. Будем называть ее двунаправленной функционально градиентной балкой. Для описания деформированного состояния этой балки использованы модель Эйлера - Бернулли и модель третьего порядка Редди [26]. В балочном конечном элементе использована эрмитова аппроксимация. Численная реализация полученного конечно-элементного алгоритма осуществлена на языке Python. Осуществлен численный анализ решения задачи о собственных формах и частотах колебаний двунаправленной функционально градиентной балки. Продемонстрирована численная сходимость полученных решений и их достоверность. Показана возможность взаимосвязи продольных колебаний балки с поперечными при определенных видах распределения физических свойств материала в поперечном сечении балки. 2. Методы В строительной практике широко распространены балки прямоугольного сечения (рис. 1). На рисунке показаны оси координат и характерные размеры конструкции. Рис. 1. Двунаправленная функционально градиентная балка прямоугольного сечения И с т о ч н и к: выполнено И.Н. Вассерманом, И.О. Глот, И.Н. Шардаковым. Здесь L - длина балки; h и b - высота и ширина. Направление координатных осей: x - направлена вдоль продольной оси балки; z - в плоскости изгиба перпендикулярно оси балки; y - перпендикулярно плоскости изгиба. 2.1. Свойства функционально градиентного материала Типичный функционально градиентный материал представляет собой композит, состоящий из частиц с заданным непрерывным распределением объемных фракций составляющих фаз. В случае изотропных фаз материал является изотропным, но неоднородным. Среди моделей, описывающих эффективные свойства материала на основе свойств его компонент, самой распространенной и простой является модель Фойхта (правило смесей): Pf PV1 1 P V2 2 , (1) где Pf - эффективное свойство материала; Pi - свойство чистой i-й компоненты материала; Vi - объемное содержание чистой i-й компоненты материала. Выполняется соотношение V1 V2 1. В качестве свойства P могут выступать модуль Юнга материала E , его модуль сдвига G и массовая плотность ρ. Существует и ряд других моделей описания эффективных свойств материала, их обзор можно найти в [31]. При умеренной пористости можно также использовать теорию смесей: Pf Pf 0 1 V0 , (2) где Pf 0 - эффективное свойство материала без пор, вычисляемое согласно (1), V0 - объемная доля пор. Более сложные зависимости свойств материала от пористости, учитывающие структуру пор, можно найти в [13, табл. 3] и в [21]. 2.2. Модели деформирования балок В классичесской теории Эйлера - Бернулли распределение перемещений по сечению имеет вид ux x z, u0 x zw,0x x ; (3) uz x z, w0 x . (4) Здесь ux и uz - продольное и поперечное перемещения произвольной точки стержня; u0 и w0 - продольное и поперечное перемещения точки центральной оси стержня. Энергия деформирования и кинетическая энергия для них записываются в соответствии с [32], как 1L 0 2 0 0 0 2 U D u11 ,x 2D12 u,x w,xx D22 w,xx dx (5) 2 0 и K 1 L I11 u&0 2 I11 w& 2 2I12 u&0 w&,0x I22 w&,0x 2 dx , (6) 2 0 где D11, D12, D22, I11, I12, I22 - интегральные характеристики сечения, вычисляемые как D11 x E x z , dA; D12 x E x z , zdA; D22 x E x z z , 2dA, (7) A A A I11 x x z, dA; I12 x x z, zdA; I22 x x z z, 2dA. (8) A A A Видно, что, в отличие от однородных балок, в случае несимметричного распределения материала по высоте появляются члены, связывающие продольные и поперечные колебания. В теориях высшего порядка распределение перемещений по сечению может быть представлено следующим образом [22-26]: Рис. 2. Деформация поперечного сечения балки: 1 - срединная линия; 2 - нормальная плоскость; 3 - деформированное поперечное сечение; 4 - плоскость, касательная к деформированному поперечному сечению в точке ее пересечения со срединной линией И с т о ч н и к: выполнено И.Н. Вассерманом, И.О. Глот, И.Н. Шардаковым. ется так, чтобы удовлетворялись условия равенства нулю сдвиговых напряжений на границе. Если z 0, то получается теория Эйлера - Бернулли, если z z - теория Тимошенко. Для теории третьего порядка Редди [26] корректирующая функция имеет вид 2 z z 1 4z . (12) 3h2 ux x z, u0 x zw,0x x z 0 x , (9) uz x z, w0 x . (10) Здесь 0 x w,0x x 0 x (11) - поперечная сдвиговая деформация точки на нейтральной оси балки; 0 - общее изгибное вращение поперечного сечения на нейтральной оси; z - корректирующая функция. Углы 0 и 0 показаны на рис. 2. Функция z зависит от поперечного сечения и выбира- Энергия деформирования балки прямоугольного сечения может быть представлена в виде [24] 1 L 0 2 0 0 0 0 0 2 UR Axx u,x 2Bxx u,x w,xx 2Exx u,x γ,x Dxx w,xx 2 0 2 2 dx , (13) 2Fxx w,0xx γ,0x Hxx γ,0x Axz γ0 соответственно, кинетическая энергия: KR 1 L IA u&0 2 2IB u&0 w&,0x 2IE u&0 γ&0 ID w&,x 2 2 0 2 2 dx , (14) 2IF w&,0x γ&0 IH γ&0 IA w& 0 где Axx, Bxx, Dxx, IA, IB, ID - интегральные характеристики сечения, аналогичные величинам D11, D12, D22, I11, I12, I22 для балок Бернулли: Axx x E x z , dA; Bxx x E x z , zdA; Dxx x E x z z , 2dA, (15) A A A IA x x z, dA; IB x x z, zdA; ID x x z z, 2dA. (16) A A A где Exx, Fxx, Hxx, IE , IF , IH - интегральные характеристики сечения, содержащие корректирующую функцию z : 2 Exx x E x z , z dA; Fxx x E x z , z zdA; Hxx x E x z , z dA; A A A (17) IE x ρ x z, z dA; IF x x z, z zdA; IH x x z, z 2dA, (18) A A A где Axz - интегральная характеристика сечения, относящаяся к вкладу сдвиговых деформаций, содержащая производную корректирующей функции по z : 2 A xxz G x z , ,z z dA . (19) A В выражениях (5, 6, 13, 14) члены D12, I12, Bxx, IB , Exx, IE осуществляют связь продольных и поперечных колебаний. В случае симметричного относительно центральной оси распределения материала по поперечному сечению они равны нулю, и соответствующие колебания оказываются несвязанными. При асимметричном распределении свойств материала распределение продольных напряжений также будет асимметричным, что приводит к связыванию изгиба и растяжения балки. Если рассматривать изгиб не вокруг геометрического центра сечения, а вокруг физического zc , для которого E z z z c dA 0, то изгиб и растяжение для статических задач можно развязать. Подход, позволяюA щий развязать изгиб и растяжение для теории изгиба высшего порядка, предложен в [33]. Однако для динамических задач привести таким образом к нулю одновременно D12 и I12, Bxx и IB , Exx, и IE можно, только если отношение модуля Юнга к плотности является постоянным по сечению. В общем случае взаимодействие изгиба и растяжения будет иметь место независимо от выбора серединной линии. Упомянутое взаимодействие следует отличать от тесно связанного с эйлеровой неустойчивостью влияния продольной нагрузки на частоту свободных поперечных колебаний. 2.3. Конечноэлементная аппроксимация и численное решение Для численного решения задачи о свободных колебаниях используется метод конечных элементов. Схема элемента показана на рис. 3. В каждом узле представлены u w wi, i, i w x/ i . В модели Редди к узловым неизвестным добавлены либо общее изгибное вращение в узле i , либо поперечная сдвиговая деформация точки на нейтральной Рис. 3. Балочный элемент с двумя узлами оси i . Будем эти варианты модели Редди называть И с т о ч н и к: выполнено И.Н. Вассерманом. И.О. Глот, И.Н. Шардаковым. - версией и - версией соответственно. Для конечноэлементной аппроксимации продольных перемещений и общих изгибных вращений сечения принята аппроксимация Лагранжа, для поперечных перемещений - аппроксимация Эрмита. u0 u N1 1 u N2 2 , (20) 0 1 1N 2 2N , или 0 1 1N 2 2N , (21) w0 w H1 1 w H2 3 w lH1 2 ˆ w lH2 4 ˆ . Здесь (22) N1 1 ; N2 1 , (23) H1 2 3 3 ; H2 1 2 3 ; H3 2 3 3 ; H4 1 2 3 . (24) Используя выражения для энергии деформации, кинетической энергии (4, 5, 11, 12), принцип Гамильтона и конечноэлементную аппроксимацию, уравнение движения можно привести к матричному виду: Mq&& t Kq t F t , (25) где K - матрица жесткости; M - матрица масс;q t - вектор узловых перемещений, F t - вектор внешних сил. При рассмотрении свободных колебаний вектор внешних сил равен нулю, а вектор узловых перемещений может быть представлен как q t q~cos t , (26) где - круговая частота собственных колебаний балки, - фаза, вектор q~ не зависит от времени. В результате можно получить частотное уравнение в виде K 2Mq 0 ~ . Локальные матрицы жесткости и масс элемента вычисляются следующим образом: (27) ke ΒTDBdL, L (28) me N I NT dL. (29) L Сборка глобальных матриц K и M из локальных матриц ke и me производится стандартным образом [34]. Для модели Бернулли: D11 D12 D , (30) D12 D22 I11 0 I12 , (31) I 0 I11 0 I12 0 I22 N1 0 0 N2 0 0 N 0 H1 lHˆ 2 0 H3 lHˆ 4 , (32) 0 H1 lHˆ 2 0 H3 lHˆ 4 N1 0 0 N2 0 0 B lHˆ 2 H3 lHˆ 4 . (33) H1 Для моделей высшего порядка: Axx Bxx Exx 0 Bxx Dxx Fxx 0 ; (34) D Exx Fxx Hxx 0 0 0 0 Axz IA IB IE 0 I IB ID IF 0 . (35) IE IF IH 0 0 0 0 IA N1 0 0 H N 1 0 H1 0 H1 0 lHˆ 2 lHˆ 2 lHˆ 2 N1 0 0 H B 1 0 H1 0 H1 а для -версии: 0 lHˆ 2 lHˆ 2 lHˆ 2 N1 0 0 H N 1 0 0 0 H1 0 lHˆ 2 0 lHˆ 2 N1 0 0 H B 1 0 0 0 0 0 lHˆ 2 0 0 Матрицы N и B для - версии вычисляются как L N 0 N2 0 0 N1 0 0 0 0 N2 0 0 - N1 0 0 0 N1 0 N2 0 0 0 0 0 N1 N1 N2 0 0 0 - N1 0 H 0 0 0 H3 lHˆ 4 0 , (36) H3 lHˆ 4 N2 H3 lHˆ 4 0 0 0 0 H3 lHˆ 4 0 , (37) H3 lHˆ 4 N2 H3 lHˆ 4 N2 0 0 0 H3 lHˆ 4 0 , (38) 0 0 N2 H3 lHˆ 4 0 0 0 0 H3 lHˆ 4 0 . (39) 0 0 N2 0 0 N2 2H Здесь lˆ , N , H , H , где L - длина элемента. 2 x x x2 Программа на основе метода конечных элементов была реализована на языке Python (версия 2.7.13) с использованием библиотек Numpy (версия 1.11.3) и Scipy (версия 0.18.11). В качестве прототипа использовались программы из [34]. Из этой книги была взята общая структура программ сборки матриц конечных элементов с заменой матричных операций Matlab на соответствующие функции Numpy. Переход от Matlab к Python объясняется свободным доступом к последнему. В качестве решателя задачи на собственные значения была взята функция scipy.linalg.eig с установками по умолчанию. Интегрирование матриц конечных элементов (28, 29) проводилось с помощью схемы Гаусса с числом точек np 2 . Вычисление характеристик поперечного сечения (7, 8, 15-19) осуществлялось с помощью схемы интегрирования Гаусса - Лагранжа (аналог схемы Гаусса, включающий в себя точки по краям интервала) с числом точек nh 11. 3. Результаты и обсуждение В приведенных ниже примерах продемонстрированы результаты решения задачи о собственных колебаниях консольной балки из функционально градиентного материала, свойства которого изменяются как в поперечном, так и в продольном направлении. Балка имеет прямоугольное сечение. В общем пространственное распределение свойств материала балки описывается формулами: ~ ~ x x E x z , fE z exp L ; x z, f z exp L , (40) ~ где - характеристика, определяющая интенсивность изменения свойств материала балки вдоль ее оси; fE z E 0,z и f 0, z - функции, характеризующие изменение модуля Юнга и массовой плотности в поперечном направлении; L - длина балки. Здесь экспоненциальное уменьшение модуля Юнга и массовой плотности в направлении x от сечения с заделкой к свободному концу согласно (2) может быть обусловлено увеличением пористости в этом направлении по закону ~ x V0 1 exp L (41) ~ при 0 . В направлении оси z изменение свойств материала обусловлено различным содержанием компонент и является асимметричным относительно центральной линии балки. Функции fE , f вычислялись в соответствии с (1), где содержание компонент изменялось согласно степенному закону: k z 1 V2 , V1 1 V2 , (42) h 2 гдеk - неотрицательный показатель степени. На нижней поверхности материал представлен только первой компонентой , на верхней - только второй. Для балки, рассчитываемой по модели Редди, коэффициент Пуассона считался постоянным, а модуль сдвига вычислялся как E G . (43) 21 Получены безразмерные частоты L2 , (44) где - круговая частота собственных колебаний балки, L - длина балки B D, - интегральные характеристики сечения, вычисляемые по формулам h2 h2 B b f dz , D b z f dz2 E , (45) h2 h2 где b и h - ширина и высота балки соответственно. В рассмотренных примерах для описания материала балки были использованы материальные константы [32], соответствующие свойствам стали на нижней поверхности и окиси алюминия на верхней: El 210ГПа, l 7800 кг/м3, Eu 390ГПа, u 3980кг/м3. Коэффициент Пуассона был взят равным 0,3, показатель степени k в соотношении (42) равен 3. Далее представлены результаты расчета приведенных частот собственных колебаний балки, полученные с использованием различных моделей. Табл. 1 содержит значения собственных частот для балки, неоднородной в двух направлениях ( = -1), полученные без учета перекрестной связи продольных и поперечных колебаний. Численное решение по упрощенной модели Бернулли (без учета инерции вращения поперечного сечения относительно нейтральной оси балки) практически совпадает с результатом аналитического решения [30]. Учет инерции вращения в случае коротких балок приводит к значительному снижению собственных частот, особенно для высших мод. Таблица 1. Безразмерные собственные частоты поперечных колебаний (модель Бернулли) ( = -1) Мода Аналитическое решение [30] Конечноэлементное решение по упрощенной модели C учетом инерции вращения L/h = 5 C учетом инерции вращения L/h = 10 C учетом инерции вращения L/h = 20 1 4,7349 4,7349 4,6924 4,7242 4,7323 2 24,2018 24,2018 23,049 23,8984 24,1250 3 63,8645 63,8645 57,2544 61,9988 63,3825 4 123,0979 123,0981 102,2526 116,6982 121,4002 И с т о ч н и к: выполнено И.Н. Вассерманом, И.О. Глот, И.Н. Шардаковым. Асимметричное относительно срединной линии распределение физических свойств материала приводит к взаимному увязыванию продольных и поперечных колебаний. В табл. 2 приведены частоты собственных колебаний функционально градиентной балки. В столбцах 1 и 2 выписаны значения, полученные по модели, пренебрегающей взаимным влиянием изгибных и продольных колебаний, а в столбце 3 - по модели, учитывающей этот фактор. В столбце 4 сопоставлены амплитуды продольных и поперечных колебаний, вычисленные по полной модели Бернулли. Из таблицы видно, что учет взаимного влияния продольных и изгибных колебаний неоднородной балки приводит к уменьшению значений собственных частот, и этот фактор более значим для высших мод. Таблица 2. Взаимодействие продольных и поперечных колебаний (модель Бернулли) = -1 Мода Поперечные колебания с учетом инерции вращения Продольные колебания Полная модель Бернулли |u|max 1 4,6924 4,6143 0,016 2 23,049 22,5405 0,09 3 31,8648 32,0069 4,6 4 57,2544 55,6523 0,12 5 81,0948 81,7920 4,4 6 102,2526 98,5168 0,24 И с т о ч н и к: выполнено И.Н. Вассерманом, И.О. Глот, И.Н. Шардаковым. Расчет собственных колебаний неоднородной балки с использованием модели Редди также дает более низкие значения собственных частот. В табл. 3 приведены значения собственных частот, полученные сиспользованием полной модели Бернулли и модели Рэдди 2-го порядка ( -версия). Таблица 3. Собственные частоты неоднородной балки ( = -1), полученные по полной модели Бернулли и модели Редди 1 Мода Бернулли L/h = 5 Редди L/h = 5 |u|max (Редди L/h = 5 ) Бернулли L/h = 10 Редди L/h = 10 Бернулли L/h = 20 Редди L/h = 20 1 4,6143 4,4792 0,015 4,6484 4,6120 4,6570 4,6478 2 22,5405 19,7516 0,073 23,4913 22,5459 23,7304 23,4780 3 32,0069 31,8974 7,4 60,7498 55,7234 62,3378 60,7801 4 55,6523 44,2526 0,08 63,8790 63,7661 119,2573 114,0833 5 81,7920 72,3770 0,13 114,3008 99,3542 - - 6 98,5168 80,4830 4,9 - - - - И с т о ч н и к: выполнено И.Н. Вассерманом, И.О. Глот, И.Н. Шардаковым. На рис. 4 и 5 продемонстрирована сходимость разработанного конечноэлементного алгоритма. Графики (рис. 4) показывают изменение полученных значений собственной частоты в зависимости от степени дискретизации. Даже при достаточно грубом разбиении на конечные элементы точность полученного решения удовлетворительна. Так, разбиение балки на 8 узловых элементов обеспечивает точность 0,03 %, для первой частоты и 0,4 % для третьей. Решения, полученные с использованием двух разновидностей алгоритма ( - и -версии), несколько отличаются, особенно при грубом разбиении. При этом в -версии алгоритма решение с желаемой точностью достигается на более грубой сетке. Графики (рис. 5) показывают, что результаты двух вариантов алгоритма сближаются с ростом числа узловых элементов. Разность значений собственных частот, полученных с помощью - и -версий алгоритма ( t и g ), более значима для высших частот. Третья мода является в основном продольной (табл. 3), вклад сдвиговых деформаций незначителен, и поэтому решения, полученные с использованием двух версий алгоритма, практически совпадают. а б в Рис. 4. Сходимость численного решения для (а) - первой, (б) - третьей и (в) - пятой моды И с т о ч н и к: выполнено И.Н. Вассерманом, И.О. Глот, И.Н. Шардаковым. Мода Бернулли = -1 Редди = -1 Бернулли = 0 Редди = 0 1 4,6143 4,4792 3,4330 3,3510 2 22,5405 19,7516 20,4895 17,9510 3 32,0069 31,8974 26,4676 26,3736 4 55,6523 44,2526 53,8033 42,7835 5 81,7920 72,3770 79,6095 71,1021 Таблица 4. Сравнение собственных частот двунаправленной ( = -1) и однородной по длине балки ( = 0 ) Рис. 5. Относительная разность частот, полученных с помощью двух версий алгоритма. Цифрой показан номер моды И с т о ч н и к: выполнено И.Н. Вассерманом, И с т о ч н и к: выполнено И.Н. Вассерманом, И.О. Глот, И.Н. Шардаковым. И.О. Глот, И.Н. Шардаковым. Результаты, приведенные в табл. 4, позволяют оценить, насколько значимым фактором является учет неоднородности свойств балки при вычислении собственных частот. В таблице сведены решения, полученные для однородной по длине балки ( = 0) длиной L h/ 5 и балки, свойства которой изменяются в продольном и поперечном направлении ( = -1). Решения получены на основе полной модели Бернулли и модели Рэдди. Из данных (табл. 4) видно, что учет неоднородности распределения физикомеханических характеристик консольной балки в продольном направлении приводит к увеличению частот свободных колебаний, а следовательно, к увеличению динамической жесткости в дорезонансной области. С целью тестирования данной конечноэлементной реализации модели Редди также рассматривалось альтернативное распределение свойств материала, представленное в [28], где модуль Юнга и массовая плотность изменяются по экспоненте в обоих направлениях: E x z , Em exp px L 2 pz h 2 ; x z, m exp px L 2 pz h 2 . Полученные безразмерные собственные частоты (46) x 1 z 1 x 1 z 1 L2 m (47) h Em Мода Karamanli [28] Данная модель 1 0,7055 0,7055 2 4,7302 4,7273 3 6,3414 6,3415 сравнивались с вычисленными в [28] при следующих Таблица 5. Сравнение собственных частот с [28] значениях параметров: Em 210 ГПа, m 7850 кг/м3, px 1, pz 1. Результаты приведены в табл. 5. Расхождение для первых трех частот не превышает И с т о ч н и к: выполнено И.Н. Вассерманом, 0,1 %. И.О. Глот, И.Н. Шардаковым. 4. Заключение Предложен вариант конечно-элементного алгоритма решения задач о статическом и динамическом деформировании двунаправленных функционально градиентных балок и конструкций из них в рамках балочных теорий Бернулли и Редди. В качестве примера представлены результаты численного решения задачи о собственных формах и частотах колебаний консольной двунаправленной функционально градиентной балки. На основании приведенных результатов можно сделать следующие выводы: 1. Установлена сходимость получаемых значений собственных частот с увеличением числа конечных элементов в численном решении. В частности, для упрощенной модели Бернулли, без учета инерции вращения поперечных сечений и перекрестной связи продольной силы с изгибающим моментом, полученные численные значения собственных частот хорошо согласуются со значениями аналитического решения. 2. Для коротких балок (L/h ≤ 5) учет инерции вращения приводит к значительному снижению собственных частот, особенно для высших мод. 3. Представлены численные результаты, демонстрирующие зависимость собственных частот от асимметрии распределения физических свойств материала балки в поперечном сечении относительно ее осевой линии. Интересным результатом является полученная взаимозависимость продольных и поперечных колебаний балки при несимметричном относительно срединной линии распределении жесткостных свойств в поперечных сечениях. Это взаимодействие не имеет отношения к геометрической или физической нелинейности, и его следует отличать от тесно связанного с эйлеровой неустойчивостью влияния продольной нагрузки на частоту свободных поперечных колебаний. Этот результат принципиально отличает колебания функционально градиентных балок от однородных. 4. Использование модели высшего порядка Редди также приводит к снижению вычисляемых собственных частот. Для низших частот длинных балок эта разница менее заметна. 5. Показано, что увеличение пористости материала к свободному концу консольной балки приводит к увеличению частот свободных колебаний, а следовательно, к уменьшению динамических перемещений вдорезонансной области. 6. Таким образом, градиентное пространственное распределение физических свойств материала балки в двух направлениях существенным образом расширяет диапазон управления параметрами динамического и статического деформационного поведения.

Об авторах

Игорь Николаевич Вассерман

Институт механики сплошных сред УрО РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: igorw@icmm.ru
ORCID iD: 0000-0001-7799-7521
SPIN-код: 1961-6243

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник

Российская Федерация, 614000, г. Пермь, ул. Ленина, д.13А

Ирина Олеговна Глот

Институт механики сплошных сред УрО РАН

Email: glot@icmm.ru
ORCID iD: 0000-0002-2842-7511
SPIN-код: 3231-7996

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

Российская Федерация, 614000, г. Пермь, ул. Ленина, д.13А

Игорь Николаевич Шардаков

Институт механики сплошных сред УрО РАН

Email: shardakov@icmm.ru
ORCID iD: 0000-0001-8673-642X
SPIN-код: 4809-4776

доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник

Российская Федерация, 614000, г. Пермь, ул. Ленина, д.13А

Список литературы

Дополнительные файлы