Деформирование цилиндрической оболочки из стали 9Х2 при сложном нагружении

Полный текст

1. Введение Основной задачей строительной механики, связанной с расчетом оболочечных конструкций, является построение математических моделей процессов их деформирования. Следует отметить, что не математика является главным в построении математических моделей процессов. Определяющие соотношения могут быть правильно выражены на языке математики лишь на основе обобщения экспериментальных наблюдений и измерений, поэтому данная задача решается путем построения обоснованных определяющих уравнений связи между напряжениями и деформациями при их последующем сравнении с экспериментом. При этом получение математически точных уравнений приобретает все большее значение в связи с широким применением систем автоматизированного проектирования [1]. При инженерных расчетах, как правило, разрушение элементов конструкций происходит в местах концентрации напряжений. Предшествующее разрушению нагружение является сложным, а деформации - малыми. Вопрос о физической достоверности определяющих соотношений, описывающих процессы нагружения, для большинства математических моделей в строительной механике является малоизученным. Однако по ряду процессов сложного совместного нагружения тонкостенных цилиндрических оболочек силами растяжения, сжатия, кручения и внутреннего давления существуют теории, которые хорошо зарекомендовали себя при прямой проверке с экспериментом [2-6]. Одной из таких теорий является теория упругопластических процессов А.А. Ильюшина, которая весьма эффективно дает геометрическое представление процессов нагружения в специальных пятимерных пространствах напряжений и деформаций [2]. При нагружении тела его напряженное и деформированное состояние в различных частицах является различным и изменяющимся во времени, то есть неоднородным и нестационарным. Однако в каждой отдельной частице малого объема вследствие непрерывности (сплошности) среды напряженно-деформированное состояние (НДС) можно считать однородным. Это позволяет поставить в соответствие рассматриваемой частице тела макрообразец, или тело конечных размеров и определенной формы, находящееся также в однородном напряженном состоянии. Испытание же образца (например, на растяжение-сжатие) позволяет выявить механические свойства материала в рамках гипотезы сплошной среды, не вдаваясь в подробности ее внутренней структуры. При этом процесс изменения НДС во времени в частице тела и в макрообразце можно считать совпадающими. Это положение было названо А.А. Ильюшиным гипотезой макрофизической определимости. Она, по существу, дает границы возможного эффективного использования механики сплошной среды. Данный метод исследования механических свойств материалов часто используется в физических исследованиях и не вызывает сомнения тогда, когда частица среды, в которой состояние предполагается однородным, настолько велика, что в среднем обладает такими же макроскопическими свойствами, как макрообразец. При этом механизмы деформации в микрообъемах могут быть разнообразными в зависимости от внутренней структуры материалов. Примером таких материалов могут служить поликристаллические тела (чугун, сталь, графит) [2]. Наряду с математическими сложностями изученных методов, многогранностью и особенностями механического поведения стали и сплавов их деформирование при воздействии нагрузок до конца не изучено даже в лабораторных условиях. Как правило, все сводится к одноосным простым нагрузкам, самыми распространенными из которых являются растяжение и сжатие материала, чуть реже - кручение. Между тем, как показывает практика, строительные оболочечные конструкции подвержены комбинированным нагрузкам, где одним из вариантов воздействия могут быть, например, одновременно действующие на материал силы сжатия, кручения и внутреннего давления. Актуальным также является вопрос самих исследуемых материалов, их многообразия. Так, например, в настоящее время существует более 1000 марок сталей. Именно поэтому выстраивание моделей поведения сталей при сложном нагружении оболочек согласно различным теориям позволяет значительно расширить научную и практическую базу, сократив до минимума экспериментальные исследования ввиду их сложности, связанной с ограничениями параметров испытательных машин. 2. Методы В данной статье в качестве макрообразца рассмотрена цилиндрическая оболочка из стали 9Х2 ГОСТ 5950-2000[5] толщиной 1 мм, радиусом срединной поверхности 15,5 мм и длиной рабочей зоны 110 мм при воздействии на нее в процессе моделирования траектории деформирования оболочки в девиаторной плоскости Э! -Э# сложным нагружением, где Э$ - проекции вектора деформаций. Экспериментальная часть. Эксперимент выполнялся на экспериментальном комплексе СН-ЭВМ, разработанном на кафедре сопротивления материалов, теории упругости и пластичности Тверского государственного технического университета. Данный комплекс способен реализовывать сложное трехпараметрическое нагружение тонкостенных оболочек осевой силой, крутящим момен- том и внутренним давлением. Подробно комплекс и его работа описываются в [7]. Экспериментальная диаграмма деформирования для процесса простого нагружения при сжатии оболочки из стали 9Х2 на СН-ЭВМ представлена на рис. 1. Рис. 1. Экспериментальная диаграмма деформирования оболочки в плоскости σ(Э) И с т о ч н и к: выполнено С.В. Черемных Figure 1. Experimental curve of shell deformation in the σ(Э) plane S o u r c e: compiled by S.V. Cheremnykh Обработка экспериментальной диаграммы деформирования. Экспериментальную диаграмму σ=Ф(Э) (см. рис. 1) аппроксимируем тремя участками, как показано на рис. 2. Участки включают зону упругого деформирования (ОА), зону нелинейного деформирования (АВ) и зону линейного упрочнения (ВС). Следовательно, начальный и конечный участки аппроксимируем линейными функциями, средний - функцией вида σ=’Э# +(Э) +*Э++. После аппроксимирования функциями экспериментальная диаграмма деформирования оболочки в плоскости σ(Э) (см. рис. 1) примет вид, показанный на рис. 3. Рис. 2. Модель диаграммы деформирования оболочки в плоскости σ(Э) И с т о ч н и к: выполнено С.В. Черемных Figure 2. The model of the shell deformation curve in the σ(Э) plane S o u r c e: compiled by S.V. Cheremnykh Рис. 3. Аппроксимированная диаграмма деформирования оболочки в плоскости σ(Э) И с т о ч н и к: выполнено С.В. Черемных Figure 3. Approximated shell deformation curve in the σ(Э) plane S o u r c e: compiled by S.V. Cheremnykh Теоретическая часть. Смоделированная траектория деформирования оболочки из стали 9Х2 в виде двузвенной траектории в девиаторной плоскости Э! -Э# представлена на рис. 4, где на участке ОА (I) происходит нагружение оболочки осевой сжимающей силой, после чего на втором участке АВ (II) происходит замкнутый виток траектории постоянного радиуса при воздействии на цилиндрическую оболочку силами сжатия и кручения [8-19]. Уравнения связи напряжений и деформаций, начальные условия реализуемого сложного процесса [2]. Используем определяющие соотношения гипотезы компланарности в форме [2] σ&11 M1 2ε&11 ε&22 dσ / dS M1cos 1 S&σ11 / σ; σ&22 M1 2ε&22 ε&11 dσ / dS M1cos 1 S&σ22 / σ; σ&12 M1 12ε& dσ / dS M1cos 1 S&σ12 / σ, где σ̇-. - компонент тензора напряжений; ε̇-. - компонент тензора деформаций; ϑ! - угол сближения; +σ/+1, 2! - определяющие функции процесса деформирования; 1̇ - скорость изменения длины дуги траектории деформации. Символ с точкой наверху означает дифференцирование по обобщенному параметру времени. Учитываем условие несжимаемости материала ε-. =Э-., тогда для реализуемого (рис. 4) процесса Э) =0 применяется проекция вектора напряжений 1) =σ)) =0, где 1) - проекция вектора напряжений [20-22]. Участок ОА (I) (рис. 4): В качестве обобщенного параметра времени принимаем длину дуги траектории деформации 3=1, тогда 1̇=1. Если компоненты деформаций Э# =0; Э! =Э!4 =0,01, то основные уравнения связи напряжений и деформаций приобретают вид [2] (1) Рис. 4. Моделированная траектория деформирования оболочки из стали 9Х2 Источник: выполнено С.В. Черемных Figure 4. Simulated strain path of the shell made of 9X2 steel Source: compiled by S.V. Cheremnykh ε11 Э 2Э 2 0; 11 1 Э1 3 3 ε Э11 2Э10 1 1Э10; (2) 22 2 3 2 6 σ S12 S22 S32 ;σ0 S10 2σ11о ;σ11о 3σ0;σ12о 0, 3 2 где Э-. - компоненты тензора-девиатора деформаций. Угол сближения ϑ! в точке излома принимают равным ϑ! =0 (см. рис. 2). Участок АВ (II) (рис. 4): В качестве обобщенного параметра времени (параметра прослеживания процесса деформирования) принимаем 3=ϕ, тогда 1=ϕ6. В точке излома ϕ4 =0, ϕ- =ϕ4 +Δϕ, Э Э12 Э32 , (3) где Э! =Э!4 +6sinϕ; Э# =6-6cosϕ. Для скоростей деформаций получим Окончательно уравнения (1) принимают вид [2] σ&11 M1 Rcos dσ / dS M1 cos 1 Rσ11 / σ; σ& 22 0; (4) σ&12 M1 1 Rsin d / dS M1 cos 1 Rσ12 / σ. Для скорости изменения угла сближения имеем уравнение, которое с учетом того факта, что кривизна рассматриваемой траектории деформирования χ! =1⁄6, принимает вид [2] &1 M1sin 1 / σ χ1 S&. (5) Решение задачи построения образа процесса нагружения материала [23-27]. Уравнения (4) и (5) имеют вид уравнений задачи Коши. В решении задачи Коши использован метод Эйлера - Коши, реализованный по схеме «прогноз - коррекция». Внутри блока решения основных уравнений (решения задачи Коши) реализуется итерационный процесс последовательных приближений (сходимости решения) к квазиточному значению. Схему «прогноз - коррекция» можно представить как прогноз (6) и коррекцию (7): dσi ΔS; (6) σi k 1 σi k dS k σi k 1 σi k 12 ddSσi k ddSσi k 1 ΔS. (7) Для решения задач расчета процессов сложного упругопластического нагружения материалов, в рамках определяющих соотношений гипотезы компланарности, необходимо также знать структуру определяющих функций пластичности 2! и +σ⁄+1. В нашем случае ϑ! =0; 2! =2:;; +σ⁄+1=:<, где :; - пластический модуль сдвига, :< - касательный модуль сдвига. Пластический и касательный модули сдвига :;,:< определяем по диаграмме деформирования при простом нагружении σ=Ф(Э) (см. рис. 1). На участке упругого деформирования σ/Э=2:, где : - упругий модуль сдвига материала. 3. Результаты и обсуждение Результаты решения задачи построения образа процесса нагружения материала выполнены на основании формул (1)-(7) и представлены на рис. 5-10. Причем при сложном нагружении оболочки на втором звене было выполнено 2 витка с шагом по траектории 1 градус. Реализуемая в модели траектория деформирования материала приведена на рис. 5. На рис. 6. изображена траектория нагружения, соответствующая заданной траектории деформирования. График изменения угла сближения от приращения длины дуги траектории деформирования представлен на рис. 7. Графики изменения определяющих функций пластичности в зависимости от приращения длины дуги траектории деформирования Δ1 приведены на рис. 8. Графики изменения скалярных свойств материала приведены на рис. 9 в виде элементов диаграмм деформирования, построенных в осях σ-Э и σ-Δ1. Дополнительно построены графики зависимости определяющих функций пластичности от значения угла сближения материала (рис. 10). Анализ полученных зависимостей позволяет сделать вывод о закономерностях изменения функций 2! и +σ⁄+1 для рассматриваемой траектории. Рис. 5. Реализуемая траектория деформирования оболочки из стали 9Х2 И с т о ч н и к : выполнено С.В. Черемных Figure 5. The implemented strain path of the shell made of steel 9X2 S o u r c e : compiled by S.V. Cheremnykh Рис. 7. График изменения угла сближения ϑ! Рис. 6. Траектория проекции вектора напряжения S1 - S3 от приращения длины дуги траектории деформирования +1 И с т о ч н и к: выполнено С.В. Черемных И с т о ч н и к: выполнено С.В. Черемных Figure 6. The path of stress vector projection S1 - S3 Figure 7. Graph of the change in the angle of convergence ϑ! S o u r c e: compiled by S.V. Cheremnykh from the increment of the arc length of the strain path +1 S o u r c e: compiled by S.V. Cheremnykh а б Рис. 8. График изменения функции: а - 2!; б - +σ⁄+1 И с т о ч н и к: выполнено С.В. Черемных Figure 8. Graphs of changes in function: a - 2!; б - +σ⁄+1 S o u r c e: compiled by S.V. Cheremnykh а б Рис. 9. График изменения скалярных свойств материала: а - σ - Э; б - σ - Δ1 И с т о ч н и к : выполнено С.В. Черемных Figure 9. Graph of changes in the scalar properties of the material: а - σ - Э; b - σ - Δ1 S o u r c e : compiled by S.V. Cheremnykh а б Рис. 10. График зависимости определяющих функций пластичности от значения угла сближения материала: а - M1 1; б - dσ 1 dS И с т о ч н и к : выполнено С.В. Черемных Figure 10. Relationship between the constitutive plasticity functions and the value of the material convergence angle: a - M1 1; б - dσ 1 dS S o u r c e : compiled by S.V. Cheremnykh 4. Заключение 1. Произведены испытания тонкостенной цилиндрической оболочки из стали 9Х2 ГОСТ 59502000 на экспериментальном комплексе СН-ЭВМ для процесса простого сжатия, которые позволили дать новые представления о закономерностях упругопластического поведения данной стали при простом нагружении. 2. С учетом диаграммы простого нагружения и расчета, основанного на теории упругопластических процессов А.А. Ильюшина, без проведения эксперимента смоделирована диаграмма деформирования оболочки из стали 9Х2, соответствующая заданной траектории деформирования в виде двузвенной траектории при сложном нагружении оболочки осевой сжимающей силой на первом этапе и одновременно действующими силами сжатия и кручения на втором этапе. 3. Для представленной цилиндрической оболочки решена задача построения образа процесса нагружения материала, сделан вывод о степени упрочнения рассматриваемого материала и его зависимости от величины угла сближения в точке излома сложной траектории.

Об авторах

Степан Валерьевич Черемных

Тверской государственный технический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: cheremnykh_s.v@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-4620-117X
SPIN-код: 9323-8370

кандидат технических наук, доцент кафедры конструкций и сооружений

Тверь, Россия

Список литературы