Оболочки в форме алгебраических линейчатых поверхностей на ромбическом плане

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Одними из перспективных к внедрению в архитектурной и строительной практике объектов являются аналитически заданные формы конструкций в виде тонких упругих оболочек со срединной поверхностью в форме алгебраических линейчатых поверхностей на ромбическом плане на основе различных кривых. В частности, в данной работе рассматриваются три поверхности, имеющие одинаковые образующие линии каркаса из суперэллипсов с использованием каркасных кривых, имеющих Автор заявляет об отсутствии вид ватерлинии, мидельшпангоута, килевой линии - линий, которые изконфликта интересов. начально были получены и применяются в судостроении. Рассмотрены формы сооружений на ромбовидном плане. В статье произведено геометрическое моделирование данных объектов, построение конечноэлементных моделей и их расчет. Проведено сравнение величин, характеризующих напряженно-деформированное состояние для трех разных форм с одинаковым пролетом и стрелой подъема (вариантное проектирование с оптимальным выбором). С точки зрения теории представляется интересным результатом возможность построения трех разных поверхностей на одинаковом каркасе. С точки зрения прочностного анализа из трех полученных оболочек выбрана та, у которой наиболее равномерное распределение напряжений, как наиболее экономичная по затратам материала.

Полный текст

1. Введение В настоящее время в связи с появлением новых материалов и технологий в строительстве стало возможно более широкое внедрение новых форм, в частности, в виде аналитических поверхностей. С появлением 3D-принтеров, различных добавок для бетонов с заданными характеристиками, существующими возможностями торкретирования, усовершенствования технологии тентовых сооружений многие архитекторы и проектировщики усиленно развивают тему поиска новых геометрических форм для решения как утилитарных, так и эстетических задач, с тем чтобы отобрать наиболее удачные оптимальные конфигурации сооружений для применения на практике. Получив уравнение новой поверхности, представляется интересным провести прочностной расчет для предварительного проектирования и анализа работы такой конструкции под нагрузкой. В [1] предложены для внедрения пять типов линейчатых алгебраических поверхностей с главным каркасом из трех суперэллипсов. Суперэллипс представляет собой замкнутую кривую, состоящую из четырех дуг, симметричную относительно большой и малой полуосей [2]. Дуги могут быть выпуклыми или вогнутыми. Суперэллипс находится внутри прямоугольника. Явные и параметрические уравнения алгебраических поверхностей общего вида с главным каркасом из трех суперэллипсов получены в [3-5]. На основе этих уравнений, как частные случаи, получены линейчатые алгебраические поверхности. Если задать плоские кривые главного каркаса поверхностей в виде: Ø кривая 1 (ватерлиния в судостроении) расположена в плоскости z = 0: | | = 1 - | | , (1) Ø кривая 2 (мидельшпангоут в судостроении) расположена в плоскости x = 0: Ø кривая 3 (килевая линия в судостроении) расположена в плоскости y = 0: | | = 1 - | | , (3) где для выпуклых кривых r, t, n, m, s, k > 1; для вогнутых кривых r, t, n, m, s, k < 1, то явные уравнения тройки алгебраических поверхностей с заданным каркасом (1)-(3) будут иметь вид [3]: с образующим семейством сечений x = const: | | = 1 - | | / 1 - |/| / 1 - | / | / /, / с образующим семейством сечений у = const: (4) | | = 1 - | | / /1 - |/| / 1 - | / | / /, и с образующим семейством сечений z = const: (5) | | = 1 - | | / /1 - |/| / 1 - | / | / /, где - L ≤ x ≤ L, -W ≤ y ≤ W, 0 ≤ z ≤ T. Явные уравнения поверхностей (4)-(6) можно перевести в параметрическую форму задания: (6) x = x(u) = ±uL, y = y(u,v) = vW[1 - ut]1/r, z = z(u,v) = T[1 - uk]1/s[1 - |v|m]1/n , (4a) x = x(u,v) = vL[1 - ur]1/t, y = y(u) = ±uW, z = z(u) = T[1 - um]1/n[1 - |v|k]1/s, (5а) x = x(u,v) = vL[1 - us]1/k, y = y(u,v) = ± W[1 - un]1/m[1 - |v|t]1/r, z = z(u) = uT, (6а) где 0 ≤ u ≤ 1, -1 ≤ v ≤ 1; u, v - безразмерные параметры. Если принять r = t = 1, n = m = 1, s = k = 1, то кривые (1)-(3) вырождаются в прямые линии, объединенные в ромб. 2. Метод 2.1. Цель исследования. Учитывая активное внедрение новых форм оболочечных структур [6; 7] в рамках современных архитектурных стилей оболочек (параметрическая [8], дигитальная [9], нелинейная [10] архитектура, архитектура многогранников [11], архитектура свободных форм и др.), появление новых поверхностей, пригодных для строительных большепролетных структур, приветствуется архитекторами [12]. В настоящей статье изучается возможность использования линейчатых алгебраических поверхностей с каркасом из двух ромбов и одной произвольной плоской кривой в архитектуре строительных оболочек. Дается информация о статическом расчете на прочность тонких оболочек в форме рассматриваемых линейчатых поверхностей. 2.2. Геометрические исследования поверхности для случая вырождения суперэллипсов (1) и (2) в ромбы. Рассмотрим линейчатые поверхности как частный случай поверхностей (4а)-(6а). Пусть суперэллипс (1) вырождается в ромб, то есть r = t = 1, суперэллипс (2) вырождается в прямые линии, то есть n = m = 1, а кривая (3) остается без изменений (рис. 1), тогда имеем три поверхности на плоском ромбическом плане: / = 1 - | | / 1 - | / |/ 1 - | / | , (7) = 1 - | |/ 1 - |/| / 1 - | / | /, (8) | | = 1 - / 1 - | / |/ 1 - / /, (9) 5. Рис. 1. Каркас рассматриваемых поверхностей Figure 1. The frame of the considered surfaces Явные уравнения поверхностей (7)-(9) можно перевести в параметрическую форму задания: x = x(u) = ± uL, y = y(u,v) = vW[1 - u], z = z(u,v) = T[1 - uk]1/s[1 - |v|] (рис. 2, а), (7a) x = x(u,v) = vL[1 - u], y = y(u) = ±uW, z = z(u) = T[1 - u][1 - |v|k]1/s (рис. 2, б), (8а) x = x(u,v) = vL[1 - us]1/k, y = y(u,v) = ± W[1 - u][1 - |v|], z = z(u) = uT (рис. 2, в). (9а) а б в Рис. 2. Поверхности на плоском ромбическом плане: а - по уравнению 7а; б - по уравнению 7б; в - по уравнению 7в [1] Figure 2. Surfaces on a plane rhombic base: а - according to equation 7a; б - according to equation 7б; в - according to equation 7в [1] При построении поверхностей, показанных на рис. 2, предполагалось, что длина поверхности вдоль оси Ox 2L = 12 м, ее ширина вдоль оси Oy 2W = 10 м и высота T = 5 м. Все поверхности имеют s = k = 2. Следовательно, килевая линия является полуэллипсом. Определим порядок алгебраических уравнений (7)-(9) при s = k = 2, для чего запишем эти уравнения в виде | | | | | | | | 1 - - 1 - 1 - + 2 - 1 + = 0, (7б) | | | | | | | | 1 + - 1 - 1 + + 1 - = 0, (8б) | | - 1 + 1 + - 1 - = 0. (9б) Теперь очевидно, что поверхности (7б)-(9б) 3-го порядка (см. рис. 2, а - 2, в). Но хотя все поверхности одного порядка, описывают эти уравнения разные алгебраические поверхности. Коэффициенты основных квадратичных форм A2, B2, F, L, M, N поверхностей (7а)-(9а) будут иметь вид для случая s = k = 2: Ø для поверхности (7а): А2 = L2 + v2W2 + T2(1 - v)2u2/(1 - u2), F = T2(1 - v)u - vW2(1 - u), B2 = W2(1 - u)2 + T2(1 - u2), A2B2 - F2 = L2[W2(1 - u)2 + T2(1 - u2)] + W2T2(1 - u)(v + u)2/(1 + u); L = ±TWL[(1 - \v\)(1 - u)/(1 - u2)3/2]/( A2B2 - F2)1/2, M = [±LTW(1 - u)/(1 - u2)1/2]/( A2B2 - F2)1/2, N = 0; Ø для поверхности (8а): А2 = v2L2 + W2 + T2(1 - v2), F = (1 - u)v(T2 - L2), B2 = L2(1 - u)2 + T2(1 - u)2v2/(1 - v2), A2B2 - F2 = (1 - u)2L2[W2 + T2/(1 - v2)], L = M = 0, N = ±WLT(1 - u)2/[( A2B2 - F2)1/2(1 - v2)3/2], Ø для поверхности (9а): А2 = T2 + W2(1 - |v|)2 +v2L2u2/(1 - u2), F = W2(1 - |v|)(1 - u) - uvL2, B2 = L2(1 - u2) + W2(1 - u)2, L = ±WTL(1 - u)v/[(A2B2 - F2)1/2(1 - u2)3/2], M = ±WTL(u - 1)/[(A2B2 - F2)1/2(1 - u2)1/2], N = 0. Следовательно, криволинейные координаты u, v на рассматриваемых поверхностях будут неортогональными (F ≠ 0) и для поверхностей (7а), (9а) - несопряженными (M ≠ 0). Площадь фрагмента или всей срединной поверхности оболочки можно вычислить по формуле S . Координатные линии v на поверхности, изображенной на рис. 2, а, будут совпадать с прямолинейными образующими поверхности (N = 0). Координатные линии v на поверхности, изображенной на рис. 2, в, тоже совпадают с прямолинейными образующими поверхности (N = 0), а координатные линии u на поверхности (8а) (рис. 2, б) будут совпадать с прямыми на поверхности. Гауссова кривизна K = (LN - M2)/( A2B2 - F2) поверхности (8а) (рис. 2, б) равна нулю, следовательно - это конус. Кроме того, эта поверхность при T = L будет иметь F = 0, следовательно, криволинейная координатная сеть u, v на ней будет в линиях кривизн, так как F = 0 и M = 0. Такое положение возникнет, если килевую линию (3) взять в виде окружности. Очевидно, что на основе поверхностей, изображенных на рис. 2, а, 2, б и 2, в, легко запроектировать тентовое покрытие, учитывая, что поверхность образована семейством прямых линий [13], а поверхность, представленная на рис. 2, б, полностью развертывается на плоскость. Место рассматриваемых линейчатых поверхностей в классификации линейчатых поверхностей пока не определено [5-14]. Две поверхности, изображенные на рис. 2, а, и 2, в, можно отнести к коноидам [6- 15], а поверхность на рис. 2, б - к коническим поверхностям. На рис. 3 показаны поверхности, задаваемые уравнениями (7а)-(9а), с геометрическими параметрами: T = L = 6 м, W = 3 м, s = k = 0,8. На рис. 4 показаны поверхности, задаваемые уравнениями (7б)-(9б), с геометрическими параметрами: L = 6 м, W = 6 м, T = 8 м , s = k = 1,5. Рис. 3. Поверхности, соответствующие уравнениям (7а)-(9а), с параметрами T = L = 6 м, W = 3 м, s = k = 0,8 Figure 3. Surfaces corresponding to equations (7a)-(9a) with parameters T = L = 6 m, W = 3 m, s = k = 0.8 Тип 1 / Type 1 Тип 2 / Type 2 Тип 3 / Type 3 Рис. 4. Поверхности, соответствующие уравнениям (7б)-(9б), с параметрами L = 6 м, W = 6 м, T = 8 м , s = k = 1,5 Figure 4. Surfaces corresponding to equations (7б)-(9б), with parameters L = 6 m, W = 6 m, T = 8 m, s = k = 1.5 2.3. Статический расчет оболочек со срединными поверхностями (7а)-(9а). Для расчета на собственный вес были выбраны три оболочки, построенные согласно формулам (7а)-(9а), с геометрическими параметрами T = L = 6 м, W = 3 м, s = k = 1,5 (см. рис. 4). Компьютерный комплекс ANSYS APDL хорошо зарекомендовал себя в ранее проведенных исследованиях автора [16; 17], поэтому он был выбран для исследования рассматриваемых линейчатых оболочек. Были построены модели оболочек в программе ANSYS APDL, к моделям приложена нагрузка в виде собственного веса. Характеристики материала: условный железобетон с модулем упругости E = 325 000 МПа, коэффициент Пуассона = 0.17, плотность 2 500 кг/м3. Толщина оболочки 12 см. Для построения модели применялись оболочечные конечные элементы типа shell181, конечные элементы другого типа применялись в [16-18]. 3. Результаты и обсуждение При расчете оценивались максимальный прогиб оболочки, нормальные напряжения по разным осям и эквивалентные напряжения. 3.1. Оболочка со срединной поверхностью, показанной на рис. 3, б (тип 1) Максимальное эквивалентное напряжение 216 257 Н/м2. Распределение напряжений отличается относительной равномерностью. Изополя вертикальных перемещений представлены на рис. 5, а изополя эквивалентных напряжений на рис. 6. 3.2. Оболочка со срединной поверхностью, показанной на рис. 4 (тип 2). Получен максимальный прогиб 0,26×10-4 м, максимальное напряжение 313 726 Н/м2. Изополя вертикальных перемещений представлены на рис. 7, а изополя эквивалентных напряжений на рис. 8. 3.3. Оболочка со срединной поверхностью, показанной на рис. 4 (тип 3). Получены максимальные вертикальные перемещения 0,693×10-4 м. Максимальные эквивалентные напряжения 401 179 Н/м2. Изополя вертикальных перемещений представлены на рис. 9, а изополя эквивалентных напряжений на рис. 10. Рис. 5. Изополя перемещений вдоль оси z. Максимальный прогиб 0,347 × 10-4 м. Рис. 6. Изополя эквивалентных напряжений Figure 5. Isofields of deflections along the z-axis. Figure 6. Isofields of equivalent stresses The maximum deflection is 0.347 × 10-4 m. Рис. 7. Изополя перемещений вдоль оси z. Максимальный прогиб 0,260 × 10-4 m Рис. 8. Изополя эквивалентных напряжений. Figure 7. Isofields of deflections along the z-axis. Figure 8. Isofields of equivalent stresses The maximum deflection is 0.260 × 10-4 m Рис. 9. Перемещения вдоль неподвижной оси z. Максимальный прогиб 0,219 × 10-4 m. Рис. 10. Изополя эквивалентных напряжений. Figure 9. Isofields of deflections along the fixed z-axis. Figure 10. Isofields of equivalent stresses The maximum deflection is 0.219 × 10-4 m. Сравнение показало, что все оболочки имеют выраженные максимумы перемещений. Максимальные напряжения у оболочек 2 и 3 сконцентрированы и значительно превышают средние по всей поверхности в верхней части около ребер, у оболочки 1 распределены более равномерно, что можно считать более выгодным для практического применения. Наибольшие напряжения и прогибы получены в оболочке третьего типа, минимальные в оболочке второго типа. В [19] отмечается, что все выдающиеся сооружения, построенные и получившие известность в последнее время, являются тонкими оболочками или оболочечными структурами. А.В. Коротич [20] предлагает использовать линейчатые поверхности в качестве модулей для создания новых сложных архитектурных форм. Вероятно, как вариант линейчатого модуля можно применить и рассматриваемые в данной статье линейчатые поверхности (7)-(9). Исследованиям оболочек, применяющихся в судостроении, посвящены статьи [21-25]. 4. Заключение 1. Исследована геометрия одного из видов линейчатых алгебраических поверхностей на ромбовидном плане. 2. Доказано и проиллюстрировано, что, имея одинаковый главный каркас поверхности, можно построить три разные поверхности. Взяв эти три разные линейчатые поверхности в качестве срединных поверхностей тонких строительных оболочек, можно расширить число архитектурных форм, приемлемых для строительной практики. 3. Показана возможность статического расчета рассматриваемых оболочек и намечены пути выбора оптимальных форм линейчатых оболочек выбранного типа в автоматизированном режиме.
×

Об авторах

Евгения Михайловна Тупикова

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: emelian-off@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-8742-3521

кандидат технических наук, доцент департамента строительства, инженерная академия

Москва, Российская Федерация

Список литературы

  1. Мамиева И.А. Линейчатые алгебраические поверхности с главным каркасом из трех суперэллипсов // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2022. Т. 18. № 4. С. 387-395. https://doi.org/10.22363/1815-5235-2022-18-4-387-395
  2. Weisstein E.W. Superellipse // From MathWorld. A Wolfram Web Resource. URL: https://mathworld.wolfram.com/Superellipse.html (дата обращения: 22.01.2023).
  3. Кривошапко С.Н. Тентовая архитектура // Строительство и реконструкция. 2015. № 3 (59). С. 100-109. EDN: TQTUPZ
  4. Карневич В.В. Построение гидродинамических поверхностей каркасами из кривых Ламе на примере корпуса подводной лодки // Вестник РУДН. Инженерные исследования. 2022. Т. 23. № 1. С. 30-37. https://doi.org/10.22363/2312-8143-2022-23-1-30-37
  5. Krivoshapko S.N. Tangential developable and hydrodynamic surfaces for early stage of ship shape design // Ships and Offshore Structures. 2022. Vol. 18. Issue 5. Р. 660-668. https://doi.org/10.1080/17445302.2022.2062165
  6. Mamieva I.А., Gbaguidi-Aisse G.L. Influence of the geometrical researches of rare type surfaces on design of new and unique structures // Строительство и реконструкция. 2019. № 5(85). С. 23-34. https://doi.org/10.33979/2073-7416-2019-85-5-23-34
  7. Коротич А.В. Новые архитектурные формы линейчатых квазимногогранников // Архитектон: известия вузов. 2015. № 2 (50). С. 31-46. EDN: TZXCOB
  8. Мамиева И.А. Аналитические поверхности для параметрической архитектуры в современных зданиях и сооружениях // Academia. Архитектура и строительство. 2020. № 1. С. 150-165. EDN: KNYKTY
  9. Shelden D.R. Digital surface representation and the constructability of Gehry’s architecture // Thesis (PhD). Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Architecture, 2002. 340 p. URL: http://hdl.handle.net/1721.1/16899 (accessed: 22.01.2023)
  10. Воличенко О.В. Концепции нелинейной архитектуры // Архитектон: известия вузов. 2013. № 44. С. 21-39. EDN: RRZMFX
  11. Hecker Z. The cube and the dodecahedron in my polyhedric architecture // Leonardo. 1980. Vol. 13. P. 272-275. URL: https://muse.jhu.edu/article/599543/pdf (accessed: 22.01.2023).
  12. Бондаренко И.А. Об уместности и умеренности архитектурных новаций // Academia. Архитектура и строительство. 2020. № 1. С. 13-18. EDN: PCRPPG
  13. Кривошапко С.Н. Гидродинамические поверхности // Судостроение. 2021. № 3. С. 64-67. http://dx.doi.org/10.54068/00394580_2021_3_64
  14. Кривошапко С.Н. Классификация линейчатых поверхностей // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2006. № 1. С. 10-20. EDN: JSISGF
  15. Krivoshapko S.N. The application of conoid and cylindroid in forming of buildings and structures of shell type // Building and Reconstruction. 2017. № 5 (73). Р. 34-44. EDN: ZUCUTX
  16. Tupikova E.M., Ershov M.E. Trial design of umbrella type shell structures // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2021. Т. 17. № 4. С. 414-424. https://doi.org/10.22363/1815-5235-2021-17-4-414-424
  17. Тупикова Е.М. Выбор оптимальной оболочки покрытия на квадратном плане в виде поверхности переноса // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 5. С. 367-373. http://doi.org/10. 22363/1815-5235-2019-15-5-367-373
  18. Алёшина О.О., Иванов В.Н., Кахамарка-Сунига Д. Анализ напряженного состояния оболочки одинакового ската при действии равномерно распределенной касательной нагрузки различными методами // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2021. Т. 17. № 1. С. 51-62. http://doi.org/10.22363/1815-5235-2021-171-51-62
  19. Кривошапко С.Н., Мамиева И.А. Выдающиеся пространственные сооружения последних 20 лет // Монтажные и специальные работы в строительстве. 2012. № 12. С. 8-14. EDN: UDJITZ
  20. Коротич А.В. Архитектоника плотнейших пространственных компоновок из модулей с линейчатыми поверхностями // Дизайн и технологии. 2021. № 83-84 (125-126). С. 6-12. EDN: HPYTEX
  21. Kwang H.K. A survey: application of geometric modeling techniques to ship modeling and design // International Journal of Naval Architecture and Ocean Engineering. 2010. Vol. 2. P. 177-184. https://doi.org/10.2478/IJNAOE-2013-0034
  22. Janson C., Larsson L. A method for the optimization of ship hulls from a resistance point of view // Twenty-First Symposium on Naval Hydrodynamic. Washington: The National Academies Press. 1997. P. 680-696. https://doi.org/10.17226/5870
  23. Tober H. Evaluation of drag estimation methods for ship hulls. Stockholm: KTH Royal Institute of Technology, School of Engineering Sciences. 2020. 67 p.
  24. Oetter R., Barry C.D., Duffty B., Welter J. Block construction of small ships and boats through use of developable panels // Journal of Ship Production. 2002. Vol. 18. Issue 02. P. 65-72. http://doi.org/10.5957/jsp.2002.18.2.65
  25. Perez-Arribas F., Fernandez-Jambrina L. Computer-aided design of developable surfaces: Designing with developable surfaces. surfaces // Journal of Computers. 2018. Vol. 13. Issue 10. P. 1171-1176. http://doi.org/10.17706/jcp.13.10 1171-1176

© Тупикова Е.М., 2023

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах