Оболочки в форме алгебраических линейчатых поверхностей на ромбическом плане

Полный текст

1. Введение В настоящее время в связи с появлением новых материалов и технологий в строительстве стало возможно более широкое внедрение новых форм, в частности, в виде аналитических поверхностей. С появлением 3D-принтеров, различных добавок для бетонов с заданными характеристиками, существующими возможностями торкретирования, усовершенствования технологии тентовых сооружений многие архитекторы и проектировщики усиленно развивают тему поиска новых геометрических форм для решения как утилитарных, так и эстетических задач, с тем чтобы отобрать наиболее удачные оптимальные конфигурации сооружений для применения на практике. Получив уравнение новой поверхности, представляется интересным провести прочностной расчет для предварительного проектирования и анализа работы такой конструкции под нагрузкой. В [1] предложены для внедрения пять типов линейчатых алгебраических поверхностей с главным каркасом из трех суперэллипсов. Суперэллипс представляет собой замкнутую кривую, состоящую из четырех дуг, симметричную относительно большой и малой полуосей [2]. Дуги могут быть выпуклыми или вогнутыми. Суперэллипс находится внутри прямоугольника. Явные и параметрические уравнения алгебраических поверхностей общего вида с главным каркасом из трех суперэллипсов получены в [3-5]. На основе этих уравнений, как частные случаи, получены линейчатые алгебраические поверхности. Если задать плоские кривые главного каркаса поверхностей в виде: Ø кривая 1 (ватерлиния в судостроении) расположена в плоскости z = 0: | | = 1 - | | , (1) Ø кривая 2 (мидельшпангоут в судостроении) расположена в плоскости x = 0: Ø кривая 3 (килевая линия в судостроении) расположена в плоскости y = 0: | | = 1 - | | , (3) где для выпуклых кривых r, t, n, m, s, k > 1; для вогнутых кривых r, t, n, m, s, k < 1, то явные уравнения тройки алгебраических поверхностей с заданным каркасом (1)-(3) будут иметь вид [3]: с образующим семейством сечений x = const: | | = 1 - | | / 1 - |/| / 1 - | / | / /, / с образующим семейством сечений у = const: (4) | | = 1 - | | / /1 - |/| / 1 - | / | / /, и с образующим семейством сечений z = const: (5) | | = 1 - | | / /1 - |/| / 1 - | / | / /, где - L ≤ x ≤ L, -W ≤ y ≤ W, 0 ≤ z ≤ T. Явные уравнения поверхностей (4)-(6) можно перевести в параметрическую форму задания: (6) x = x(u) = ±uL, y = y(u,v) = vW[1 - ut]1/r, z = z(u,v) = T[1 - uk]1/s[1 - |v|m]1/n , (4a) x = x(u,v) = vL[1 - ur]1/t, y = y(u) = ±uW, z = z(u) = T[1 - um]1/n[1 - |v|k]1/s, (5а) x = x(u,v) = vL[1 - us]1/k, y = y(u,v) = ± W[1 - un]1/m[1 - |v|t]1/r, z = z(u) = uT, (6а) где 0 ≤ u ≤ 1, -1 ≤ v ≤ 1; u, v - безразмерные параметры. Если принять r = t = 1, n = m = 1, s = k = 1, то кривые (1)-(3) вырождаются в прямые линии, объединенные в ромб. 2. Метод 2.1. Цель исследования. Учитывая активное внедрение новых форм оболочечных структур [6; 7] в рамках современных архитектурных стилей оболочек (параметрическая [8], дигитальная [9], нелинейная [10] архитектура, архитектура многогранников [11], архитектура свободных форм и др.), появление новых поверхностей, пригодных для строительных большепролетных структур, приветствуется архитекторами [12]. В настоящей статье изучается возможность использования линейчатых алгебраических поверхностей с каркасом из двух ромбов и одной произвольной плоской кривой в архитектуре строительных оболочек. Дается информация о статическом расчете на прочность тонких оболочек в форме рассматриваемых линейчатых поверхностей. 2.2. Геометрические исследования поверхности для случая вырождения суперэллипсов (1) и (2) в ромбы. Рассмотрим линейчатые поверхности как частный случай поверхностей (4а)-(6а). Пусть суперэллипс (1) вырождается в ромб, то есть r = t = 1, суперэллипс (2) вырождается в прямые линии, то есть n = m = 1, а кривая (3) остается без изменений (рис. 1), тогда имеем три поверхности на плоском ромбическом плане: / = 1 - | | / 1 - | / |/ 1 - | / | , (7) = 1 - | |/ 1 - |/| / 1 - | / | /, (8) | | = 1 - / 1 - | / |/ 1 - / /, (9) 5. Рис. 1. Каркас рассматриваемых поверхностей Figure 1. The frame of the considered surfaces Явные уравнения поверхностей (7)-(9) можно перевести в параметрическую форму задания: x = x(u) = ± uL, y = y(u,v) = vW[1 - u], z = z(u,v) = T[1 - uk]1/s[1 - |v|] (рис. 2, а), (7a) x = x(u,v) = vL[1 - u], y = y(u) = ±uW, z = z(u) = T[1 - u][1 - |v|k]1/s (рис. 2, б), (8а) x = x(u,v) = vL[1 - us]1/k, y = y(u,v) = ± W[1 - u][1 - |v|], z = z(u) = uT (рис. 2, в). (9а) а б в Рис. 2. Поверхности на плоском ромбическом плане: а - по уравнению 7а; б - по уравнению 7б; в - по уравнению 7в [1] Figure 2. Surfaces on a plane rhombic base: а - according to equation 7a; б - according to equation 7б; в - according to equation 7в [1] При построении поверхностей, показанных на рис. 2, предполагалось, что длина поверхности вдоль оси Ox 2L = 12 м, ее ширина вдоль оси Oy 2W = 10 м и высота T = 5 м. Все поверхности имеют s = k = 2. Следовательно, килевая линия является полуэллипсом. Определим порядок алгебраических уравнений (7)-(9) при s = k = 2, для чего запишем эти уравнения в виде | | | | | | | | 1 - - 1 - 1 - + 2 - 1 + = 0, (7б) | | | | | | | | 1 + - 1 - 1 + + 1 - = 0, (8б) | | - 1 + 1 + - 1 - = 0. (9б) Теперь очевидно, что поверхности (7б)-(9б) 3-го порядка (см. рис. 2, а - 2, в). Но хотя все поверхности одного порядка, описывают эти уравнения разные алгебраические поверхности. Коэффициенты основных квадратичных форм A2, B2, F, L, M, N поверхностей (7а)-(9а) будут иметь вид для случая s = k = 2: Ø для поверхности (7а): А2 = L2 + v2W2 + T2(1 - v)2u2/(1 - u2), F = T2(1 - v)u - vW2(1 - u), B2 = W2(1 - u)2 + T2(1 - u2), A2B2 - F2 = L2[W2(1 - u)2 + T2(1 - u2)] + W2T2(1 - u)(v + u)2/(1 + u); L = ±TWL[(1 - \v\)(1 - u)/(1 - u2)3/2]/( A2B2 - F2)1/2, M = [±LTW(1 - u)/(1 - u2)1/2]/( A2B2 - F2)1/2, N = 0; Ø для поверхности (8а): А2 = v2L2 + W2 + T2(1 - v2), F = (1 - u)v(T2 - L2), B2 = L2(1 - u)2 + T2(1 - u)2v2/(1 - v2), A2B2 - F2 = (1 - u)2L2[W2 + T2/(1 - v2)], L = M = 0, N = ±WLT(1 - u)2/[( A2B2 - F2)1/2(1 - v2)3/2], Ø для поверхности (9а): А2 = T2 + W2(1 - |v|)2 +v2L2u2/(1 - u2), F = W2(1 - |v|)(1 - u) - uvL2, B2 = L2(1 - u2) + W2(1 - u)2, L = ±WTL(1 - u)v/[(A2B2 - F2)1/2(1 - u2)3/2], M = ±WTL(u - 1)/[(A2B2 - F2)1/2(1 - u2)1/2], N = 0. Следовательно, криволинейные координаты u, v на рассматриваемых поверхностях будут неортогональными (F ≠ 0) и для поверхностей (7а), (9а) - несопряженными (M ≠ 0). Площадь фрагмента или всей срединной поверхности оболочки можно вычислить по формуле S . Координатные линии v на поверхности, изображенной на рис. 2, а, будут совпадать с прямолинейными образующими поверхности (N = 0). Координатные линии v на поверхности, изображенной на рис. 2, в, тоже совпадают с прямолинейными образующими поверхности (N = 0), а координатные линии u на поверхности (8а) (рис. 2, б) будут совпадать с прямыми на поверхности. Гауссова кривизна K = (LN - M2)/( A2B2 - F2) поверхности (8а) (рис. 2, б) равна нулю, следовательно - это конус. Кроме того, эта поверхность при T = L будет иметь F = 0, следовательно, криволинейная координатная сеть u, v на ней будет в линиях кривизн, так как F = 0 и M = 0. Такое положение возникнет, если килевую линию (3) взять в виде окружности. Очевидно, что на основе поверхностей, изображенных на рис. 2, а, 2, б и 2, в, легко запроектировать тентовое покрытие, учитывая, что поверхность образована семейством прямых линий [13], а поверхность, представленная на рис. 2, б, полностью развертывается на плоскость. Место рассматриваемых линейчатых поверхностей в классификации линейчатых поверхностей пока не определено [5-14]. Две поверхности, изображенные на рис. 2, а, и 2, в, можно отнести к коноидам [6- 15], а поверхность на рис. 2, б - к коническим поверхностям. На рис. 3 показаны поверхности, задаваемые уравнениями (7а)-(9а), с геометрическими параметрами: T = L = 6 м, W = 3 м, s = k = 0,8. На рис. 4 показаны поверхности, задаваемые уравнениями (7б)-(9б), с геометрическими параметрами: L = 6 м, W = 6 м, T = 8 м , s = k = 1,5. Рис. 3. Поверхности, соответствующие уравнениям (7а)-(9а), с параметрами T = L = 6 м, W = 3 м, s = k = 0,8 Figure 3. Surfaces corresponding to equations (7a)-(9a) with parameters T = L = 6 m, W = 3 m, s = k = 0.8 Тип 1 / Type 1 Тип 2 / Type 2 Тип 3 / Type 3 Рис. 4. Поверхности, соответствующие уравнениям (7б)-(9б), с параметрами L = 6 м, W = 6 м, T = 8 м , s = k = 1,5 Figure 4. Surfaces corresponding to equations (7б)-(9б), with parameters L = 6 m, W = 6 m, T = 8 m, s = k = 1.5 2.3. Статический расчет оболочек со срединными поверхностями (7а)-(9а). Для расчета на собственный вес были выбраны три оболочки, построенные согласно формулам (7а)-(9а), с геометрическими параметрами T = L = 6 м, W = 3 м, s = k = 1,5 (см. рис. 4). Компьютерный комплекс ANSYS APDL хорошо зарекомендовал себя в ранее проведенных исследованиях автора [16; 17], поэтому он был выбран для исследования рассматриваемых линейчатых оболочек. Были построены модели оболочек в программе ANSYS APDL, к моделям приложена нагрузка в виде собственного веса. Характеристики материала: условный железобетон с модулем упругости E = 325 000 МПа, коэффициент Пуассона = 0.17, плотность 2 500 кг/м3. Толщина оболочки 12 см. Для построения модели применялись оболочечные конечные элементы типа shell181, конечные элементы другого типа применялись в [16-18]. 3. Результаты и обсуждение При расчете оценивались максимальный прогиб оболочки, нормальные напряжения по разным осям и эквивалентные напряжения. 3.1. Оболочка со срединной поверхностью, показанной на рис. 3, б (тип 1) Максимальное эквивалентное напряжение 216 257 Н/м2. Распределение напряжений отличается относительной равномерностью. Изополя вертикальных перемещений представлены на рис. 5, а изополя эквивалентных напряжений на рис. 6. 3.2. Оболочка со срединной поверхностью, показанной на рис. 4 (тип 2). Получен максимальный прогиб 0,26×10-4 м, максимальное напряжение 313 726 Н/м2. Изополя вертикальных перемещений представлены на рис. 7, а изополя эквивалентных напряжений на рис. 8. 3.3. Оболочка со срединной поверхностью, показанной на рис. 4 (тип 3). Получены максимальные вертикальные перемещения 0,693×10-4 м. Максимальные эквивалентные напряжения 401 179 Н/м2. Изополя вертикальных перемещений представлены на рис. 9, а изополя эквивалентных напряжений на рис. 10. Рис. 5. Изополя перемещений вдоль оси z. Максимальный прогиб 0,347 × 10-4 м. Рис. 6. Изополя эквивалентных напряжений Figure 5. Isofields of deflections along the z-axis. Figure 6. Isofields of equivalent stresses The maximum deflection is 0.347 × 10-4 m. Рис. 7. Изополя перемещений вдоль оси z. Максимальный прогиб 0,260 × 10-4 m Рис. 8. Изополя эквивалентных напряжений. Figure 7. Isofields of deflections along the z-axis. Figure 8. Isofields of equivalent stresses The maximum deflection is 0.260 × 10-4 m Рис. 9. Перемещения вдоль неподвижной оси z. Максимальный прогиб 0,219 × 10-4 m. Рис. 10. Изополя эквивалентных напряжений. Figure 9. Isofields of deflections along the fixed z-axis. Figure 10. Isofields of equivalent stresses The maximum deflection is 0.219 × 10-4 m. Сравнение показало, что все оболочки имеют выраженные максимумы перемещений. Максимальные напряжения у оболочек 2 и 3 сконцентрированы и значительно превышают средние по всей поверхности в верхней части около ребер, у оболочки 1 распределены более равномерно, что можно считать более выгодным для практического применения. Наибольшие напряжения и прогибы получены в оболочке третьего типа, минимальные в оболочке второго типа. В [19] отмечается, что все выдающиеся сооружения, построенные и получившие известность в последнее время, являются тонкими оболочками или оболочечными структурами. А.В. Коротич [20] предлагает использовать линейчатые поверхности в качестве модулей для создания новых сложных архитектурных форм. Вероятно, как вариант линейчатого модуля можно применить и рассматриваемые в данной статье линейчатые поверхности (7)-(9). Исследованиям оболочек, применяющихся в судостроении, посвящены статьи [21-25]. 4. Заключение 1. Исследована геометрия одного из видов линейчатых алгебраических поверхностей на ромбовидном плане. 2. Доказано и проиллюстрировано, что, имея одинаковый главный каркас поверхности, можно построить три разные поверхности. Взяв эти три разные линейчатые поверхности в качестве срединных поверхностей тонких строительных оболочек, можно расширить число архитектурных форм, приемлемых для строительной практики. 3. Показана возможность статического расчета рассматриваемых оболочек и намечены пути выбора оптимальных форм линейчатых оболочек выбранного типа в автоматизированном режиме.

Об авторах

Евгения Михайловна Тупикова

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: emelian-off@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-8742-3521

кандидат технических наук, доцент департамента строительства, инженерная академия

Москва, Российская Федерация

Список литературы