Статика и динамика криволинейных стержней на основе гипотез Бернулли и соотношений для прямолинейного стержня

Полный текст

Введение В настоящее время теория и методы расчета статики и динамики стержневых систем достаточно разработаны и отражены в ряде монографий [1-5]. Однако криволинейные стержни имеют очень широкий круг приложений (арки, пилоны мостов, композитные стержневые криволинейные структуры, пружины, сверла, трубопроводы, упругие подвески вибраторов, лопатки турбомашин упругие амортизаторы) и при их расчете возникают особенности, требующие отдельного внимания. Последнее связано с тем, что традиционно используемые вариационные принципы и уравнения равновесия криволинейных стержней содержат производные не ниже второго порядка от радиуса-вектора продольной оси стержня. Во многих случаях исходные данные о геометрии стержней сложной формы задаются дискретно, поэтому при расчетах используются аппроксимирующие функции, построение которых требует разработки специальных методов, позволяющих получать информацию о радиусе-векторе продольной оси стержня и его производных с требуемой точностью [6-9]. Кроме того, следует иметь в виду, что в настоящее время остаются актуальными вопросы расчета криволинейных стержней, так как возникает ряд особенностей при моделировании технологических процессов [10-12], исследовании контактных взаимодействий, хаотических колебаний и динамической потери устойчивости [13-17], при расчете больших перемещений, когда прямолинейный стержень при деформировании становится криволинейным стержнем сложной формы [18; 19], при расчете влияния ребер жесткости на напряженно-деформированное состояние оболочек сложной формы [20; 21]. Остаются не до конца исследованными вопросы влияния принятых при моделировании стержней гипотез на результаты расчетов сложных динамических процессов [22-25]. Представлен метод расчета криволинейных стержней, основанный на использовании гипотез Бернулли и соотношений для прямолинейного стержня. Приводятся обоснование метода и результаты расчетов. Особенность используемых для расчетов криволинейных стержней соотношений состоит в том, что в них не входят кривизны продольной оси стержня. Ранее подобный метод использовался для решения линейных и нелинейных задач статики стержней с использованием соотношений, полученных на основе гипотез Коссера - Тимошенко [26-28]. Основные соотношения Рассмотрим стержневую систему, состоящую из прямолинейных и криволинейных стержней. Полагаем, что возникающие в стержневой системе деформации являются малыми, справедливы гипотезы Бернулли, зависимость между деформациями и напряжениями определяется законом Гука, криволинейные стержни являются стержнями малой кривизны, для которых отношением можно пренебречь по сравнению с единицей ( - толщина сечения, - радиус кривизны продольной оси). Разобьем систему на N участков таким образом, чтобы на каждом из них направляющие косинусы касательного к продольной оси стержня вектора и ортов главных осей поперечных сечений изменялись непрерывно. Воспользуемся принципом Гамильтона - Остроградского, в соответствии с которым должно выполняться условие где - линия продольной оси стержня на n-м участке; К, П, - кинетическая, потенциальная энергии деформации и элементарная работа внешних сил; t - время; s - параметр, используемый для описания линии . При исследовании статики и динамики сложных стержневых систем часто используются алгоритмы решения, в которых интегралы в условии (1) вычисляются численно. При использовании численного интегрирования выражение (1) можно записать в следующем виде: где - координаты узлов интегрирования; - множители, величина которых зависит от формы линии и от используемой при интегрировании квадратурной формулы. Соотношения для прямолинейного стержня. Для описания деформации прямолинейного стержня используем декартову систему координат Оxyz с ортами . Полагаем, что ось Ох направлена вдоль продольной оси, а Оу, Оz - главные центральные оси поперечного сечения стержня. В этом случае Введем вектор перемещения точек продольной оси стержня и вектор углов поворота поперечных сечений При использовании гипотезы Бернулли Следовательно, Вектор перемещения стержня определяется по формуле , где . Учитывая выражения для Линейные и угловые деформации вычисляются по формулам Напряжения и деформации связаны законом Гука: ; ; , (6) где , - модули упругости и сдвига; , - функции, выражающие закон распределения касательных напряжений по поперечному сечению стержня, вид этих функций зависит от формы сечения стержня, например для круглого сечения С учетом соотношений (3)-(6) и того, что Оу, Оz - главные центральные оси поперечного сечения, выражения для вариаций кинетической и потенциальной энергий деформации можно записать следующим образом: где - площадь, главные моменты инерции поперечного сечения; - момент инерции при кручении. Элементарная работа внешних сил где , - компоненты внешних сил и моментов функции . Величины , являются функциями координат x и t, вид которых определяется характером распределения по стержню и во времени действующих внешних силами. Основные соотношения для криволинейного стержня. Выделим некоторый участок криволинейного стержня, продольная ось которого лежит на поверхности . Введем декартову систему координат Оxyz с ортами Выберем такие размеры выделенного участка, чтобы поверхность можно было описать уравнением Зададим линию в параметрическом виде: ; ; . (9) Радиус-вектор поверхности . Если в последнее соотношение подставить выражения (9), то получим радиус-вектор линии . (10) В поперечных сечениях стержня введем репер с началом в центре тяжести : Вектор направлен по касательной к , а - по нормали к . В направлении векторов ведем оси координат . В этой системе координат радиус вектор точек поперечных сечений стержня Векторы перемещения точек продольной оси стержня и углов поворота поперечных сечений определяются по формулам Вектор перемещения стержня , где . С учетом выражений для получается, что вектор перемещения точек стержня при деформировании Радиусы-векторы точек стержня до и после деформации вычисляются по формулам Используя выражения (10), (11) и учитывая, что находим Рассмотрим стержни малой кривизны, для которых должны выполняться условия Используя приведенные в статье соотношения для получаем Следовательно, компоненты деформации будут вычисляться по формулам Здесь Как видно из соотношений (12)-(13), выражения для компонентов деформации являются сравнительно громоздкими и справедливы в случае, когда продольная ось стержня находится на пологой поверхности . Кроме того, коэффициенты перед искомыми функциями в (13) являются первой и второй производной уравнения поверхности поэтому в общем случае, когда линия продольной оси стержня имеет недостаточно простой вид, эти коэффициенты будут переменными величинами и для их определения с нужной точностью необходимо использовать специальные алгоритмы [1-5]. Отметим, что указанные особенности в выражениях для компонентов деформации имеются и в классических теориях криволинейных стержней [6-9]. Для существенного упрощения указанных формул и снятия ограничения, связанного с пологостью , поступаем следующим образом. Введем две декартовы системы координат, глобальную - и локальную - Начало локальной системы координат совместим с точкой продольной оси стержня, находящейся в сечении, для которого нужно вычислить деформации. Обозначим координату этой точки . Совместим направления ортов локальной системы координат с направлением векторов репера . В этом случае в точке начала координат при С учетом (14) соотношения (13) существенно упрощаются и принимают вид Подставляя эти выражения в соотношения (12), получим формулы для вычисления деформаций, такие же как формулы для прямолинейного стержня в виде (5). Таким образом показано, что для криволинейного стержня компоненты деформации в локальной декартовой системе координат определяются такими же соотношениями, как и для прямолинейного стержня. Деформации вычисляются по формуле (5). Вариации потенциальной и кинетической энергий деформации, работа внешних сил определяются соотношениями (7), (8). При проведении расчетов следует ввести вектор перемещения и вектор углов поворота поперечных сечений стержня с компонентами, определенными в глобальной декартовой системе координат . Перемещения и повороты в локальной системе координат будут выражаться через и по формулам (15) где - матрица направляющих косинусов локальной системы координат. Вследствие того, что при дифференцировании по направлению Ох направляющие косинусы являются константами, справедливы равенства При вычислении деформаций и напряжений, а также при записи условия (2) следует, с учетом (15), (16), все величины выражать через компоненты векторов , , определенные в глобальной системе координат. Для проведения расчетов на основе описанной математической модели использовался вариационный метод. Опишем методику расчета. На каждом их участков стержневой системы с продольной осью введем вектор и угол поворота с компонентами в глобальной системе координат. С учетом соотношений (7), (8), (6), (16) условие (1) можно записать следующим образом: Представим перемещения и угол поворота в виде рядов где , - функции, подлежащие определению из решения; ; ; ; ; , ; . Значению соответствует начало участка стержня, значению - конец. Функции таковы, что на концах отрезка выполняются равенства Следовательно, , , , - это значения функций и их первых производных при . Использование аппроксимирующих функций в виде (18) позволяет легко удовлетворять геометрическим граничным условиям для искомых функций и их производной. Например, для удовлетворения условий при s = 0, при s = 1 следует положить . Использование аппроксимирующих функций в виде (18) также позволяет легко осуществить стыковку перемещений и углов поворота на концах участков стержневой системы. Так, если положить , то будет выполнено условие стыковки концов двух стержней с номерами для перемещений и первых производных от перемещений. Поэтому при проведении расчетов часть коэффициентов рядов (18) находится из геометрических граничных условий, а также из условий стыковки перемещений и первых производных от перемещений на границах участков стержней. Подставляя выражение (18) в условие (17), получим систему уравнений для определения , : , (19) где , - матрицы масс и жесткости стержневой системы; - вектор функция; - вектор, зависящий от действующей внешней нагрузки; точка над обозначением означает дифференцирование по времени. При свободных колебаниях конструкции внешние силы равны нулю и система уравнений (19) записывается следующим образом: . Полагая , получаем . Для статической задачи уравнения (20) принимают вид . Результаты расчетов Представим примеры сравнения результатов расчета по описанному методу с опубликованными в литературе данными. Эти примеры показывают достоверность и высокую точность получаемых решений. На рис. 1, а схематически показан стержень с продольной осью в виде окружности радиуса , нагруженный равномерно распределенной нагрузкой . Один конец стержня защемлен, другой - свободен. Поперечное сечение - квадрат со стороной , , , . В результате решения получено (при α = 90°), (α = 180°). На основе классической теории криволинейных стержней [29] получается , . Представленные здесь соотношения являются справедливыми и для естественно закрученных стержней. Приведем решение задачи изгиба сосредоточенным моментом равномерно закрученного консольного стержня (рис. 1, б). На одном конце стержня заделка, а на другом конце, в плоскости действует момент . При расчетах полагалось , , , , . Поперечное сечение стержня - прямоугольник со сторонами , . Рассмотрены случаи, когда вдоль продольной оси закручивания изменяется по линейному закону, а на конце и Получены расчетные значения перемещения на конце стержня и . Эти величины с точностью до двух значащих цифр совпали с данными, приведенными в [29]. а б Рис. 1. Стержень с продольной осью в виде окружности (а), естественно закрученный стержень (б) Figure 1. A rod with a longitudinal axis in the form of a circle (а), naturally twisted rod (б) Частоты собственных колебаний пружины с сосредоточенной на конце массой (рис. 2) представлены во втором столбце таблицы. В последнем столбце таблицы приводятся данные из [29]. При расчетах полагалось, что длина пружины , радиус поперечного сечения , радиус винтовой оси , , , , , , , . Рис. 2. Пружина Figure 2. Spring Частоты колебаний пружины Spring vibration frequencies ω, Гц / Hz Расчетные данные / Calculating data Данные из [29] / Data from [29] ω1 5,6 5,79 ω2 7,3 7,04 ω3 15,8 14,31 Отметим, что в [29] результаты расчетов представлены в виде графиков, поэтому в последнем столбце таблицы данные могут иметь погрешность. Заключение Представлен метод расчета криволинейных стержней, основанный на использовании соотношений для прямолинейного стержня и гипотез Бернулли. Основное достоинство и особенность метода состоит в том, что для расчетов криволинейных стержней используются простейшие соотношения, в которые не входят кривизны продольной оси стержня. Как показывают численные расчеты тестовых задач, метод позволяет с высокой точностью получать решения задач статики и динамики криволинейных стержней.

Об авторах

Мурат Нуриевич Серазутдинов

Казанский национальный исследовательский технологический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: serazmn@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-7222-1935
SPIN-код: 9043-5123

доктор физико-математических наук, профессор кафедры основ проектирования и прикладной механики

Российская Федерация, 420015, Казань, ул. Карла Маркса, д. 68

Список литературы