Расчет радиально неоднородного кольца, нагруженного нормальными и касательными нагрузками

Полный текст

Введение Рассматривается плоская задача теории упругости в полярных координатах для радиально неоднородного диска под действием переменных нормальных и касательных нагрузок с учетом радиальной неоднородности. Решение задачи позволяет рассчитывать на прочность и деформированность труб при действии внутреннего и внешнего давления, а также кручения. Особенность исследования заключается в неоднородности конструкции, что значительно расширяет объем решения задач механики деформирования твердых тел. Первые статьи по постановке и решению задач механики неоднородных тел появились в 1950-е и 1960-е гг. с созданием ЭВМ. Значительный вклад в развитие механики неоднородных тел внесли российские ученые: С.Г. Михлин [1], Г.Б. Лехницкий [2], В.А. Ломакин [3], Г.Б. Колчин [4; 5]. Следует упомянуть работы польских ученых, в первую очередь В. Ольшака и его учеников [6; 7]. Автор данной статьи начал заниматься рассматриваемым направлением механики с 1974 г. [8-11] и продолжает с учениками и коллегами в настоящее время [12-15]. Предложенная статья посвящена решению задачи напряженно-деформированного состояния тонкого кольца при радиальных и кольцевых нагрузках с учетом радиальной неоднородности кольца. Задача является двумерной с одномерной неоднородностью. Используется метод разделения переменных, в основу которого положено развитие обобщенного решения Дж. Мичелла (J.H. Michell) [16] для плоской задачи в полярных координатах. Приведены два решения задачи - аналитическое и численно-аналитическое, показано сравнение результатов двух расчетов. Постановка задачи Рассматривается задача о равновесии тонкого кольца, когда к его внешней поверхности приложены усилия (1) а внутренняя поверхность свободна от нагрузки (рис. 1). Рис. 1. Расчетная схема задачи Модуль упругости материала кольца изменяется по степенному закону (2) коэффициент Пуассона ν = const. Аналитическое решение В основу аналитического решения положен метод [17], основанный на развитии обобщенного решения Мичелла [16], для расчета плоской задачи в полярных координатах для неоднородных конструкций. В данном методе решение ищется в виде (3) где каждое слагаемое состоит из произведения неизвестных функций , умножаемых на определенную тригонометрическую функцию. В (3) индексы s и с означают, что соответствующие функции умножаются на sinnθ или cosnθ. Решение сводится к бесконечной частично распадающейся системе уравнений второго порядка. В рассматриваемой задаче из этой системы выбираются соответствующие уравнения в зависимости от граничных условий и формул для напряжений. В соответствии с (1) граничные условия имеют вид (4) Сопоставляя граничные условия и напряжения можно принять, что выражения для напряжений должны содержать функции φ0, ψ1, φs2 и ψs2. Из системы упомянутых дифференциальных уравнений для определения указанных функций необходимо рассмотреть следующие четыре уравнения: (5) (6) (7) (8) В приведенных уравнениях сделан переход от плоского деформированного состояния к плоскому напряженному состоянию путем замены параметра λ на . Принимая во внимание, что решение данной задачи с учетом условия однозначности не должно иметь членов, содержащих θ, из (3) следует, что С учетом этого равенства уравнение (6) принимает вид . Интегралом данного уравнения является линейная функция, обращающаяся в постоянную величину при r = a, b. Учитывая, что граничные условия (18) для с учетом (1) не содержат постоянной, следует положить . Тогда уравнение (5) упрощается: (9) и может служить для определения функции . Таким образом, задачу можно разделить на две: определение с помощью уравнения (9) осесимметричной составляющей решения и определение из уравнений (7), (8) составляющей, зависящей от θ. Подстановка (2) в указанные уравнения приводит их к виду (10) (11) (12) Решением уравнения (10) является функция (13) где , . Константы интегрирования, входящие в (13), могут быть найдены из граничных условий для осесимметричной составляющей внешней нагрузки: Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (11), (12) может быть сведена к одному уравнению четвертого порядка следующим образом. Из уравнения (11) выразим как функцию от , и ее производных: (а) Дифференцируя полученное выражение по r и подставив в него равенство (а), получим (б) Подставляя (а) и (б) в (5.40), найдем выражение для : (в) Дифференцируя последнее равенство один раз по , приравняем полученное выражение соотношению (а), подставив в него (в). В результате получим уравнение четвертого порядка относительно функции : (14) Полученное уравнение можно свести к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, введя переменную t с помощью зависимости r = et: Характеристическим уравнением, соответствующим полученному уравнению, будет Используя замену , данное уравнение можно свести к квадратному Окончательное решение уравнения (14) представляется в виде константы которого Di определяются из граничных условий для неосесимметричной составляющей: Функцию можно найти из равенства (в). Ниже приводится пример расчета, проведенного для следующих исходных данных: δ = -1; b/a = 2; ν = 1/3; E = 2·104 MPa. На рис. 2 показаны эпюры напряжений σθ вдоль трех направлений радиуса. Из приведенных графиков можно сделать вывод, что учет неоднородности в данном случае не приводит к качественному изменению характера эпюр. Что же касается численных отличий, то они в некоторых случаях составляют примерно 20 %. Естественно предположить, что при более существенной неоднородности отличия в результатах для однородного и неоднородного материалов могут быть более существенны. В данной задаче достаточно просто проследить зависимости перемещений от неоднородности материала. На рис. 3 показаны эпюры перемещений точек внутреннего контура кольца вдоль угловой координаты. Можно заметить, что перемещения в неоднородном кольце больше, чем в однородном. Этот факт объясняется тем, что при δ = -1 модуль упругости уменьшается от внутреннего контура к внешнему в два раза, приводя к уменьшению жесткости кольца в целом. Рисунок2а 1) θ = 0; 2) θ = π/4; 3) θ = π/2 Изображение выглядит как диаграмма Автоматически созданное описание Рис. 2. Напряжения σθ в кольце: - - неоднородный материал; - - однородный материал Рис. 3. Перемещения точек внутреннего контура кольца: - - неоднородный материал; - - homogeneous material Решение численно-аналитическим методом В этом разделе рассматривается задача, аналитическое решение которой получено в п. 3. На примере данной задачи будет продемонстрировано применение численно-аналитического метода, включая численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений [6; 7]. Одновременно можно определить точность рассматриваемого метода. Как было показано выше, для того чтобы удовлетворить граничным условиям (4) с учетом (1), достаточно в формулах (3) ограничиться слагаемыми φ0, φc2cos2θ and ψs2sin2θ. Выражения для напряжений σr и τrθ, входящих в граничные условия, будут иметь вид (15) Для функций φ0, φc2 и ψs2 при законе изменения модуля упругости (2) справедливы уравнения (10)-(12). Сведем уравнение (10) к системе двух уравнений первого порядка, введя обозначения : (16) Граничные условия (4) для осесимметричной составляющей напряжений примут вид (17) Уравнения (11), (12) при введении обозначений сводятся к системе четырех уравнений первого порядка. Добавляя к этим уравнениям граничные условия (4) для неосесимметричной составляющей, получим краевую задачу для функций и . Расчет проводился на интервале (a, b) при равномерном разбиении на 100 шагов для тех же исходных данных, что и в п. 3. В таблице приведены сравнительные значения напряжений в неоднородном кольце при θ = 45°, полученные в результате аналитического и численного расчетов. Напряжения в кольце r/a Аналитическое решение Численное решение σr τrθ σr τrθ 1,0 0 0 0 0 1,2 0,252 -1,266 0,263 -1,296 1,4 0,377 -1,338 0,378 -1,363 1,6 0,444 -1,108 0,444 -1,121 1,8 0,480 -0,807 0,480 -0,813 2,0 2,000 -0,500 2,000 -0,500 Сопоставление результатов, полученных двумя методами, позволяет сделать вывод о достаточно высокой точности численно-аналитического метода. Если рассмотреть кольцо, отношение внешнего и внутреннего радиусов которого достаточно велико, то на основании рассмотренного метода расчета можно получить решение задачи о растяжении - сжатии пластинки с малым круговым отверстием. В [8] получены решения задач о растяжении неоднородной пластинки с отверстием в одном направлении, о растяжении - сжатии в двух направлениях и о сдвиге пластинки с отверстием. На основании численно-аналитического расчета однородной пластинки и сопоставления результатов с решением задачи Кирша [4] показано, что удовлетворительная точность достигается при отношении размеров пластинки к радиусу отверстия больше 10. Заключение Рассмотренная задача является примером использования обобщенного метода расчета плоской двумерной задачи для радиально неоднородного кольца. Возможность получения аналитического решения таких задач во многом зависит от неоднородности материала, то есть в первую очередь от зависимости модуля упругости материала от радиуса. Выбранная в исследовании степенная зависимость модуля упругости от радиуса является самой простой. Полученное второе решение численным методом показывает хорошую совместимость с аналитическим решением и может использоваться для расчетов двумерных плоских задач с радиальной неоднородностью при любой непрерывной зависимости модуля упругости от радиуса.

Об авторах

Владимир Игоревич Андреев

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: asv@mgsu.ru
ORCID iD: 0000-0002-1057-4329
SPIN-код: 9906-7214

доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов

Российская Федерация, 129337, Москва, Ярославское шоссе, д. 26

Список литературы