Investigation of waves in the strengthened net

Full Text

Введение В [1] на основе уравнений движения сети в общем случае строятся уравнения движения цилиндрической сети. Определяются варианты распространения волн в случае основы сети из упругих волокон. Методом характеристик решена и проиллюстрирована расчетами задача о распространении волн разгрузки в предварительно натянутой сети. На основе механики сетей [2-10] рассматриваются уравнения движения сети с дополнительными членами, которые соответствуют сопротивлению относительной поворота ветвей сети. Задача о распространении волн в случае плоской сети также решена методом характеристик и проиллюстрирована расчетами. В последние годы большое внимание привлекали полные уравнения, которые описывают движение деформируемой нити при больших прогибах. Частично этот интерес обусловлен техническими приложениями физических явлений, описываемых этими уравнениями. Например, в [11] рассмотрена задача о поперечном ударе, имеющая точные решения типа простых волн, и показано, что данные уравнения обеспечивают фундаментальную теоретическую основу для проведения экспериментальных исследований поведения материалов при больших динамических деформациях и высоких скоростях деформирования. В [12] рассмотрена задача о поперечном ударе по гибкой нити столь тупым клином, что его щеки оказывают влияние на характер движения нити. Особенность предложенной схемы решения поставленной задачи заключается в том, что вводятся сосредоточенные силы в точках излома; предполагается, что в области поперечных движений нить прилегает к щеке клина. В [13; 14] исследовалась динамика пространственных форм гибких связей. Первыми были рассмотрены задачи об ударе гладким конусом по нити [14] и решены автомодельные задачи. В [13] найден класс частных решений уравнений движения нити на поверхности абсолютно гладкого конуса. Теория сети построена на основе нити Х.А. Рахматулина [15]. На основе предложенной теории сети рассмотрен ряд задач, в том числе для плоских и пространственных конструкций. Также рассмотрены задачи для цилиндрических конструкций. Гибкие бурильные трубы могут рассматриваться как подкрепленная сеть. В [16] рассматривается некоторая континуальная система (напряжения, деформации, перемещения описываются функциями непрерывно меняющихся аргументов). Такой подход к исследованию сетчатых систем позволил эффективно использовать методы механики деформируемого твердого тела и аппарат уравнений математической физики [17-19]. В настоящее время известны сетевые и вантовые структуры. В частности, в качестве примера можно привести рыболовные сети [20]. В рассматриваемых задачах сеть рассматривается как изотропная среда. В случае больших деформаций или течения воды будут иметь место значительные отклонения расчетов от реальных состояний. Для статических задач это применимо. В случае движения результаты могут значительно отличаться от реальных, особенно при волновом движении. Можно сказать то же самое про вантовые сооружения с поддерживаемыми элементами из сетей или тканей, подвергающихся ветровым нагрузкам. Построенная на основе теории нити Х.А. Рахматулина [1] теория сети [2] расширяется в случае среды, сопротивляющейся сдвигу, путем присоединения к предыдущим уравнениям дополнительных членов. Данная теория может быть применена к тканям различной конструкции. К сетевым системам можно также отнести вантовые системы. Ветровые нагрузки дадут отклонения при расчетах для тканой сети. Цель работы состоит в исследовании волн в подкрепленной плоской сети. Постановка и решение задачи Уравнения сети впервые были приведены в [1]. Уравнение движения сети, построенной на основе теории Х.А. Рахматуллина, с учетом сопротивления относительно поворота элементов сети будут иметь вид (1) где t - время; ρ1 - плотность сети; ρ2 - плотность подкрепления; α - коэффициент усилия сопротивления относительного поворота элементов в различных направлениях. Получим замкнутую систему уравнений движения, дополняя кинематические соотношения (2) (3) где σ1 и σ2 - напряжения волокон в направлениях и ; - единичные векторы касательные к нитям; е1 и е2 - относительные удлинения соответствующих нитей; - радиус-вектор частицы сети; γ1, γ2 - углы нитей, образованные осью сети; s1 и s2 - лагранжевы координаты частиц нитей. Уравнения плоской сети будут иметь вид (4) (5) (6) (7) (8) (9) Для выявления рели подкрепления на деформирование сети рассмотрим случай статического растяжения полосы (рис. 1). Сеть равного наклона ветвей к координатам под действием цели P. Рис. 1. Подкрепленные сети Figure 1. Fortified net Далее рассматривается симметричное расположение правых и левых волокон. Тогда уравнения (4)-(9), учитывая примут вид (10) (11) Из (10) видно, что часть нагрузки берет на себя подкрепление . Если возвести в квадрат выражения (10) и (11) и сложить их рядом, получим (12) Откуда можно определить деформацию и из (11) угол поворота. Уравнение движение Рассмотрим плоское движение сети. Ось u располагается в диагональном направлении. Уравнение (4) примет вид (13) Уравнения (6) и (7) будут иметь вид (14) (15) Подставив в (13), получим или (16) Из (14) и (15) (17) откуда (18) Предполагая, что материал сети линейно упругий, то есть σ = Ee, имеем: (19) а также (20) Подставив (17) и (18) в (19), получим (21) Подставив (21) и (20) в (16), получим Рассмотрим величину С увеличением a увеличивается. Уравнения движения сети представим в виде (22) Поскольку с ростом а растет, скорость волн увеличивается, и в задаче о движении полубесконечной сети при нагружении неподвижной сети с одного края будет возникать ударная волна. При разгрузке предварительно растянутой сети будут возникать непрерывные волны. Исследуем этой случай. Введем метод характеристик. Пусть сеть находится в растянутом состоянии e0. На границе сеть разгружается со скоростью . Характеристики уравнения (22) имеют вид (23) (24) Условия на характеристиках (25) и (26) (27) (28) Фронт волны разгрузки движется со скоростью a(e0). В части DОA (рис. 2.) состояние покоя. Рис. 2. Описание скорости волны Figure 2. Description of wave speed Из условия на отрицательной характеристике BC следует дифференцируя в направлении положительной характеристики, имеем . Сравнивая с (25), получим то есть на положительных характеристиках ut и us постоянны. Из (23) имеем и (29) при На u = 0 выбираем t0 и определяем ε. Из (26) (30) (31) Из (30) и (31) (32) (33) Рассмотрим примеры: и График a(us) = a(ε) (us = ε), f(ε) показан на рис. 3. Рис. 3. На границе распределение деформации постоянной на характеристиках Figure 3. At the boundary, the distribution of deformation constant on the characteristics Пусть на границе s = 0 сеть разгружается со скоростью ξ(t). Из (26) (34) где ξ(t) - функция верхнего предела интеграла. Приближенно представим интеграл (34) в виде суммы (35) или ξ = f(ε), то есть обратную зависимость ε → ζ на границе. Поскольку положительные характеристики прямолинейны, можно определить ε во всей области движения. Функциональная зависимость «скорость движения - скорость волны» для рассмотренного примера представлена в табл. 1 и 2. Таблица 1 / Table 1 Функциональная зависимость «скорость движения - скорость волны», расчетные значения других используемых параметров, ρ1 = 1000, ρ2 = 5000 Functional dependence of the speed of movement - the speed of the wave, the calculated values of other parameters used ρ1 = 1000, ρ2 = 5000 ε0 ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 ε7 ε8 ε9 ε10 0,925 0,900 0,875 0,85 0,825 0,800 0,775 0,750 0,725 0,700 0,675 e(ε0) e(ε1) e(ε2) e(ε3) e(ε4) e(ε5) e(ε6) e(ε7) e(ε8) e(ε9) e(ε10) 1,136 1,102 1,069 1,036 1,003 0,97 0,937 0,904 0,871 0,838 0,806 a(ε0) a(ε1) a(ε2) a(ε3) a(ε4) a(ε5) a(ε6) a(ε7) a(ε8) a(ε9) a(ε10) 4,17·105 4,165·105 4,159·105 4,153·105 4,146·105 4,139·105 4,132·105 4,124·105 4,115·105 4,106·105 4,096·105 ξ0 ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 ξ5 ξ6 ξ7 ξ8 ξ9 ξ10 4,17·103 8,335·103 12,49·103 16,64·103 20,79·103 24,93·103 29,06·103 33,18·103 37,29·103 41,40·103 45,50·103 Таблица 2 / Table 2 Функциональная зависимость «скорость движения - скорость волны», расчетные значения других используемых параметров, ρ1 = ρ2 = 1000 Functional dependence of the speed of movement - the speed of the wave, the calculated values of other parameters used, ρ1 = ρ2 = 1000 ε0 ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 ε7 ε8 ε9 ε10 0,925 0,900 0,875 0,85 0,825 0,800 0,775 0,750 0,725 0,700 0,675 e(ε0) e(ε1) e(ε2) e(ε3) e(ε4) e(ε5) e(ε6) e(ε7) e(ε8) e(ε9) e(ε10) 1,136 1,102 1,069 1,036 1,003 0,97 0,937 0,904 0,871 0,838 0,806 f(ε0) f(ε1) f(ε2) f(ε3) f(ε4) f(ε5) f(ε6) f(ε7) f(ε8) f(ε9) f(ε10) 7,223·105 7,214·105 7,204·105 7,193·105 7,182·105 7,17·105 7,156·105 7,143·105 7,128·105 7,112·105 7,094·105 ξ0 ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 ξ5 ξ6 ξ7 ξ8 ξ9 ξ10 7,223·103 14,44·103 21,64·103 28,83·103 36,01·103 43,18·103 50,34·103 57,48·103 64,62·103 71,75·103 78,86·103 Задавая на границе скорость движения конца сети как функцию времени, можно определить деформацию как функцию времени на конце сети и вышеуказанным образам всюду в области DOt. Для примера возьмем ξ = kt, тогда t = f(ε)/k. В зависимости от распределения скорости на границе определяется распределение деформации постоянной на характеристиках (рис. 3). Заключение Решение с помощью уравнений характеристик показывает возникновение бегущих волн. Методом характеристик построено решение практических задач распространения волн в новой среде, моделирующей армированные материалы и материи определенной конструкции. Полученные результаты могут быть использованы в различных областях авиации, рыболовства и строительства.

About the authors

Jafar H. Agalarov

Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Azerbaijan

Email: gular-gulshan@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0002-4875-8246

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, chief researcher, Department of Wave Dynamics

9 B. Vahabzade St, Baku, AZ1141, Azerbaijan Republic

Guldasta Akif Mammadova

Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Azerbaijan

Author for correspondence.
Email: gular-gulshan@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0002-7753-1593

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, leading researcher, Department of Wave Dynamics

9 B. Vahabzade St, Baku, AZ1141, Azerbaijan Republic

Mexseti Akif Rustamova

Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Azerbaijan

Email: mehsetir@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-5192-1166

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, leading researcher, Associate Professor of the Department of Wave Dynamics

9 B. Vahabzade St, Baku, AZ1141, Azerbaijan Republic

References

Supplementary files