Математическое моделирование изгибных волн напряжений в надземном нефтепроводе при нестационарном сейсмическом воздействии

Полный текст

Введение Волны напряжений различной природы, распространяясь, в деформируемом теле взаимодействуют друг с другом, что приводит к образованию новых областей возмущений. После трех- или четырехкратного прохождения и отражения волн напряжений в теле процесс распространения возмущений становится установившимся, напряжения и деформации усредняются, тело находится в колебательном движении. Рассматривается задача о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом 90° к горизонту на надземный нефтепровод с помощью волновой теории сейсмической безопасности. В списке литературы приводится информация о постановке и методах решения волновых задач. В [1-9] дана информация о численном моделировании волн напряжений в деформируемых телах. Исследуемые численный метод, алгоритм и комплекс программ в задачах переходного процесса механики деформируемых тел представлены в [10-18], а оценка их достоверности и точности - в [10-16]. В [10] приводится информация о практической реализации метода конечных элементов для решения нестационарных волновых задач. Представлены результаты исследований для некоторых задач для оценки физической достоверности и математической точности. Рассматриваемые задачи представлены в виде исследуемого объекта с упругой плоскостью и полуплоскостью. Применяется фундаментальное воздействие в виде функции Хевисайда, то есть ступенчатой функции. Основное внимание уделено оценке точности и достоверности численного решения нестационарных динамических задач для сложных деформируемых тел различной формы. На основе метода конечных элементов разработаны алгоритм и комплекс программ В.К. Мусаева для решения нестационарных волновых динамической задачи теории упругости при различных начальных и граничных условиях, для областей различной формы и для модели уравнений состояния кусочно-неоднородной изотропной среды, подчиняющейся упругому закону Гука при малых упругих деформациях. Первая задача - о воздействии плоской продольной упругой волны на свободное круглое отверстие в упругой плоскости. Исследуемая расчетная область имеет 1536 узловых точек. Контур круглого отверстия аппроксимирован 28 узловыми точками. Расхождение для максимального упругого контурного напряжения составляет 6 %. Вторая задача. Приводится решение первой задачи для сопоставления с результатами эксперимента, то есть динамической фотоупругости. Расхождение для максимального упругого контурного напряжения составляет 2 %. Третья задача - о влиянии плоской продольной упругой волны на подкрепленное круглое отверстие в плоскости. Исследуемая расчетная область имеет 1536 узловых точек. Внутренний контур подкрепления аппроксимирован 28 узловыми точками. По толщине круглое подкрепление аппроксимировано двумя узловыми точками. Расхождение для максимального упругого контурного напряжения составляет 12 %. Четвертая задача - о воздействии плоской продольной упругой волны на Курпсайскую плотину с основанием в виде полуплоскости. Исследуемая расчетная область имеет 953 узловых точек. Курпсайская плотина аппроксимирована 224 узловыми точками. Расхождение для максимального упругого контурного напряжения составляет 5 %. Пятая задача - о действии плоской продольной в виде треугольного импульса (дельта функция) на упругую полуплоскость. Решается система уравнений из 59 048 неизвестных. Заметим, что точное решение задачи соответствует рассматриваемому воздействию для упругих нормальных напряжений и имеется хорошее качественное и количественное совпадение с результатами точного решения. Шестая задача - о влиянии плоской продольной в виде ступенчатой функции (функция Хевисайда) на упругую полуплоскость. Решается система уравнений из 59 048 неизвестных. Имеется хорошее качественное и количественное совпадение с результатами точного решения. Перечисленные исследования и анализ численных результатов позволяют заключить, что метод конечных элементов с успехом применяется для решения нестационарных динамических задач механики деформируемого твердого тела. Проведенные исследования сходимости и устойчивости, сравнение с результатами других методов показали хорошее совпадение. В [12] рассмотрена некоторая информация моделирования нестационарных упругих волн в полуплоскости при импульсном воздействии в виде «восходящая часть - четверть круга, нисходящая - четверть круга». Для решения поставленной задачи применяются нестационарные волновые уравнения математической теории упругости. На основе метода конечных элементов разработаны численный метод, алгоритм и комплекс программ В.К. Мусаева. Решена задача о распространении нестационарных волн в упругой полуплоскости. Проведенные исследования позволяют сделать вывод о физической достоверности и математической точности результатов численного решения. В [16] изучена задача о воздействии плоской продольной волны в виде импульсного воздействия (первая ветвь: восходящая - линейная, средняя - горизонтальная, нисходящая - линейная; вторая ветвь: восходящая - линейная, средняя - горизонтальная, нисходящая - линейная) на упругую полуплоскость. Исследуемая расчетная область имеет 2 004 002 узловых точек. Решается система уравнений из 8 016 008 неизвестных. На фронте плоской волны получено количественное сопоставление с результатами аналитического решения. Результаты исследований показали хорошую качественную и количественную достоверность численного решения нестационарных упругих волн в деформируемых телах, полученных с помощью комплекса программ В.К. Мусаева. Постановка задачи Для решения задачи о моделировании нестационарных упругих волн в деформируемых областях сложной формы рассмотрим некоторое тело в прямоугольной декартовой системе координат(рис. 1), которому в начальный момент времени сообщается механическое воздействие [10; 17-33]. Предположим, что тело изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях [10; 17-33]. Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид [10; 17-33] , , , , , , , , (1) где , и - компоненты тензора упругих напряжений; , и - компоненты тензора упругих деформаций; и - составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей и соответственно; - плотность материала; - скорость продольной упругой волны; - скорость поперечной упругой волны; - коэффициент Пуассона; - модуль упругости; - граничный контур тела . Описание: Описание: Описание: Описание: D:\0000000000-СТАТЬИ-17-04-2020\0000-Журнал-Физика и механика материалов\РИС-10-08-2021\2\Рис. 1.tif Рис. 1. Некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат Figure 1. Some body Г in a rectangular Cartesian coordinate system Систему (1) в области, занимаемой телом , для корректности результатов следует интегрировать при начальных и граничных условиях, приведенных в учебниках и монографиях по решению нестационарных волновых задач, а также при разработке рассматриваемой методики. Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях [10; 17-18]. Методика Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Чтобы выполнить динамический расчет методом конечных элементов, нужно иметь матрицу жесткости и матрицу инерции конечного элемента [10; 17-18]. Принимая во внимание определение матриц и векторов для тела , записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости [10; 17-18] , , , (2) где - матрица инерции; - матрица жесткости; - вектор узловых упругих перемещений; - вектор узловых упругих скоростей перемещений; - вектор узловых упругих ускорений; - вектор узловых упругих внешних сил. Для интегрирования уравнения (2) конечно-элементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду [10; 17-18]: , . (3) Интегрируя по временной координате соотношение (3) с помощью конечно-элементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечно-элементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек [10; 17-18] , (4) где - шаг по временной координате. Шаг по временной переменной определяем из соотношения [10; 17-18] , (5) где - длина стороны конечного элемента; - число конечных элементов. Результаты численного эксперимента показали, что при обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечно-элементной линейной схемы [10; 17-18]. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать задачи при нестационарных волновых воздействиях [10; 17-18]. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90 [10; 17-18]. Исследуемая область разбивается по пространственным и временным переменным на конечные элементы первого порядка [10; 17-18]. Результаты Моделирование продольных волн в полуплоскости Рассматривается задача о воздействии плоской продольной волны в виде шести треугольников (рис. 3) на упругую полуплоскость (рис. 2) для оценки физической достоверности и математической точности [10; 17-18]. Исследуемая задача впервые решена В.К. Мусаевым с помощью разработанной методики, алгоритма и комплекса программ [10; 17-18]. Описание: Описание: ДИКОВА-Е-В-ТОЧНОСТЬ Рис. 2. Постановка задачи о распространении плоских продольных волн в виде шести треугольников в упругой полуплоскости Figure 2. Statement of the problem of propagation of plane longitudinal waves in the form of six triangles in an elastic half-plane Описание: Описание: Описание: Описание: D:\0000000000-СТАТЬИ-17-04-2020\0000-Журнал-Физика и механика материалов\1\2-6-0.tif Рис. 3. Воздействие в виде шести треугольников Figure 3. Impact in the form of six triangles Рис. 4. Изменение упругого нормального напряжения (задача о распространении плоских продольных волн в виде шести треугольников в упругой полуплоскости) во времени в точке В1: 1 - численное решение; 2 - аналитическое решение Figure 4. Change in elastic normal stress (the problem of propagation of plane longitudinal waves in the form of six triangles in an elastic half-plane) in time at the point В1: 1 - numerical solution; 2 - analytical solution Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ 0,098 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 0,98×109 кг/м3. На границе полуплоскости (рис. 2) приложено нормальное напряжение , которое изменяется от () и максимальное значение равно (, -0,1 МПа (-1 кгс/см2)). Граничные условия для контура при . Отраженные волны от контура не доходят до исследуемых точек при . Расчеты проведены при следующих исходных данных: ; = 1,862×10-6 с; = 2,06×105 МПа (2,1×10 6 кгс/см2); = 0,3; = 0,784×104 кг/м3 (0,8×10-5 кгс с2/см4); = 5371 м/с; = 3177 м/с. Исследуемая расчетная область имеет 2 004 002 узловые точки. Решается система уравнений из 8 016 008 неизвестных. Результаты расчетов получены в характерных точках В1-В10 (рис. 2). В качестве примера на рис. 4 приводится изменение нормального напряжения () (рис. 2) во времени в точке (1 - численное решение; 2 - аналитическое решение). В данном случае можно использовать условия на фронте плоской волны, которые изложены в [26]. На фронте плоской продольной волны имеются следующие аналитические зависимости для плоского напряженного состояния . Видно, что точное решение задачи соответствует воздействию (рис. 4). Моделирование изгибных волн в надземном нефтепроводе Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом 90° к горизонту на надземный нефтепровод (рис. 5). Исследуемая задача для моделирования изгибных волн впервые решена В.К. Мусаевым с помощью разработанной методики, алгоритма и комплекса программ [10; 17-18]. Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ 0,098 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 0,98×109 кг/м3. Сейсмическое воздействие, которое приложено на расстоянии трех средних диаметров от края трубы, моделируется в виде функции Хевисайда. От точки J под углом 90° на расстоянии трех средних диаметров от края трубы приложено нормальное напряжение , которое при () изменяется линейно от до , а при равно (, 0,098 МПа ( 1 кгс/см2)). Граничные условия для контура KLMI при . Отраженные волны от контура не доходят до исследуемых точек при . Для трубы приняты следующие исходные данные: ; = 9,309×10-7 с; = 2,06×105 МПа (2,1×106 кгс/см2); = 0,3; = 0,784×104 кг/м3 (0,8×10-5 кгс×с2/см4); = 5371 м/с; = 3177 м/с. Описание: Описание: Описание: Рис Рис. 5. Постановка задачи о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом 90° к горизонту на надземный нефтепровод Figure 5. Statement of the problem of the impact of a plane longitudinal seismic wave at an angle of 90° to the horizon on an aboveground oil pipeline Описание: Описание: Описание: СТАРОДУБЦЕВ-ПОСТАНОВКА-ТОЧКИ-НАПРЯЖЕНИЯ-СЕТКА-06-05-2017 Описание: Описание: REZ101-105 Рис. 6. Точки, в которых получены упругие напряжения во времени Figure 6. Points at which elastic stresses are obtained in time Рис. 7. Изменение упругого контурного напряжения во времени t/Δt в точках A1 (-) и A5 (--) (воздействие приложено под углом 90° к горизонту) Figure 7. Change in elastic normal stress in time t/Δt at points A1 (-) и A5 (--) (the impact is applied at an angle of 90° to the horizon) Описание: Описание: REZ102-106 Описание: Описание: REZ104-107 Рис. 8. Изменение упругого контурного напряжения во времени t/Δt в точках A2 (-) и A6 (--) (воздействие приложено под углом 90° к горизонту) Figure 8. Change in elastic normal stress in time t/Δt at points A2 (-) и A6 (--) (the impact is applied at an angle of 90° to the horizon) Рис. 9. Изменение упругого контурного напряжения во времени t/Δt в точках A4 (-) и A7 (--) (воздействие приложено под углом 90° к горизонту) Figure 9. Change in elastic normal stress in time t/Δt at points A2 (-) и A6 (--) (the impact is applied at an angle of 90° to the horizon) Для основания приняты следующие исходные данные: ; = 2,788×10-6 с; E = 3,09×104 МПа (3,15×105 кгс/см2); = 0,2; = 0,25×104 кг/м3 (0,255×10-5 кгс с2/см4); = 3587 м/с; = 2269 м/с. При расчетах принимается минимальный шаг по времени = 9,309×10-7 с. Внутренний диаметр трубы равен 14,5H. Средний диаметр трубы равен . Наружный диаметр трубы равен 15,5H. Толщина трубы равна 0,5H. Исследуемая расчетная область имеет 8 008 072 узловых точек. Решается система уравнений из 32 032 288 неизвестных. Результаты расчетов получены в виде компонентов тензора напряжений во времени n в точках B1-B10 (рис. 6) и в точках A1-A10 (рис. 6), находящихся в надземном трубопроводе с основанием. Изменение нестационарных изгибных волн для упругого контурного напряжения приведены в следующих точках рассматриваемого объекта A1 (-) и A5 (--) (рис. 7), A2 (-) и A6 (--) (рис. 8), A4 (-) и A7 (--) (рис. 9). Решена задача о математическом моделировании нестационарных изгибных волн напряжений в надземном нефтепроводе при сейсмическом воздействии (воздействие приложено под углом 90° к горизонту). Исследуемая расчетная область имеет 8 008 072 узловых точек. Решается система уравнений из 32 032 288 неизвестных. В рассматриваемой задаче преобладают изгибные волны. Заключение На объекты жизнедеятельности человека оказывают влияние сейсмические нагрузки. Они создают серьезные проблемы, неся разрушительные последствия. В истории человечества первой теорией сейсмической безопасности была статическая. Потом появилась спектральная теория, взявшая за основу одномассовый осциллятор и исследовавшая проблемы резонанса. Названные теории сейсмической безопасности были предложены в начале ХХ в., тем не менее здания и сооружения продолжали разрушаться при сейсмических воздействиях. Это связано было с несовершенством имеющихся теорий, не отражающих реальный физический процесс волнового воздействия на объекты жизнедеятельности человека. Тогда в распоряжении ученых был ограниченный инструментарий для исследования как в области математического, так и физического мониторинга. Хотя основные уравнения строительной механики (механики деформируемого твердого тела) получены в XIX в., решение их в нестационарной волновой постановке в начале ХХ в. не представлялось возможным. Поэтому не прекращались попытки решения частных уравнений и приращения некоторых знаний и закономерностей волнового напряженного состояния. Были получены знания в области продольных, поперечных, конических, релеевских и других волн. До появления электронных вычислительных машин были накоплены некоторые знания в области переходного периода. Например, выяснилось, что при отражении волны сжатия от свободной поверхности конструкции волна сжатия становится растягивающей и тем самым создается ситуация откольных явлений. Появление в конце ХХ в. электронных вычислительных машин позволило решать многие задачи строительной механики (механики деформируемого твердого тела) на нестационарные волновые воздействия. Однако переход от дифференциальных уравнений с начальными и граничными условиями к системе с конечных числом неизвестных для волновых процессов оказался не простым. Это связано с многими проблемами, среди которых математическая модель физических процессов переходного процесса и вычислительные сложности. В настоящее время можно решать волновые задачи и тем самым создавать базу знаний как в области фундаментальной, так и прикладной наук, а производная от этих знаний обеспечивает развитие производственной науки, то есть нормативно-правовой базы. Здания и сооружения разрушаются и для их защиты в эксплуатационный период, нужна информация о сейсмических воздействиях. В первую очередь - это знания в области продольных, поперечных и поверхностных волн. Они помогают определить и ранжировать сейсмические воздействия на здания и сооружения. В настоящее время эта информация называется балльностью землетрясений. В зависимости от величины балльности землетрясений применяются разные подходы и методы защиты строительных объектов от сейсмических воздействий. Основным в обеспечении безопасности строительных объектов, является оценка несущей способности. Ее можно осуществить при наличии информации о напряженном состоянии. Не зря в методе предельного состояния оценка несущей способности стоит на первом месте. Хотя определение напряжений всегда сложнее, чем перемещений и ее производных по времени. Волновая теория сейсмической безопасности находится на заключительном этапе своего формирования. На основе метода конечных элементов разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для линейных двумерных плоских задач, которые позволяют решать сложные задачи при нестационарных волновых воздействиях на уникальные объекты. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Матрица упругости выражена через скорость продольных волн, скорость поперечных волн и плотность. Линейная динамическая задача с начальными и граничными условиями в виде дифференциальных уравнений в частных производных для решения задач при волновых воздействиях с помощью метода конечных элементов в перемещениях приведена к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, которая решается по явной двухслойной схеме. Решена задача о воздействии плоской продольной волны в виде шести треугольников на упругую полуплоскость для оценки физической достоверности и математической точности. Решается система уравнений из 8 016 008 неизвестных. Результаты расчетов получены в характерных точках. Выполнено количественное сопоставление с результатами аналитического решения. Решена задача о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом 90° к горизонту на надземный нефтепровод. Сейсмическое воздействие, которое приложено на расстоянии трех средних диаметров от края трубы, моделируется в виде функции Хевисайда. Результаты расчетов получены в характерных точках исследуемого объекта. Решается система уравнений из 32 032 288 неизвестных. В рассматриваемой задаче преобладают изгибные волны.

Об авторах

Вячеслав Кадыр оглы Мусаев

Московский государственный строительный университет; Российский университет транспорта; Мингячевирский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: musayev-vk@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-4336-6785

доктор технических наук, профессор кафедры комплексной безопасности в строительстве, Московский государственный строительный университет; профессор кафедры техносферной безопасности, Российский университет транспорта; профессор кафедры высшей математики, Мингячевирский государственный университет

Российская Федерация, Москва, 129337, Москва, Российская Федерация, 127994, Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9; Азербайджанская Республика, AZ4500, Мингячевир, ул. Диляры Алиевой, д. 21

Список литературы