Итерационные методы построения решения уравнений незамкнутых оболочек

Полный текст

Введение На настоящем этапе теория упругости, а именно такие ее разделы, как теория оболочек и пластин, требует эволюции в более изящную и непротиворечивую, а трансформация ее методов, поиск более универсальных подходов и алгоритмов являются актуальными научными задачами, особенно в свете развития сегодня материаловедения, создания композитов, анизотропных материалов, имеющих свойства, которые не учитывались в классических моделях. Авторов привлекают неклассические модели оболочек и пластин [1-4], научными школами ведется поиск подходов, позволяющих получить решения для случаев, когда классическая теория с введением традиционных допущений не дает удовлетворительных ответов на поставленные задачи или возникающие вычислительные трудности представляются непреодолимыми [5-8]. Точное аналитическое решение трехмерной задачи теории упругости связано с рядом вычислительных трудностей, поэтому, как правило, трехмерная задача сводится к двумерной при помощи введения некоторых гипотез. В целом прикладные методы решения задач теории пластин и оболочек можно классифицировать следующим образом [3; 9; 10]: 1) метод гипотез; 2) метод разложений по толщине; 3) асимптотические методы. Асимптотические методы особенно интенсивно развивались во второй половине ХХ в., после того как стало ясно, что классическая теория Лява не во всех случаях обеспечивает необходимую точность решения. Задачи динамики, слоистых и анизотропных оболочек, термоупругости [11; 12] в рамках классической теории Лява не получают достаточно точного решения, приемлемого для практических целей. Поправки Рейсснера и Тимошенко позволяют учесть касательные напряжения и удовлетворить трем граничным условиям на краях. Поперечные напряжения во всех методах отбрасываются как несущественные, что, к примеру, для слоистых оболочек представляется необоснованным. Метод разложения компонент поля напряжений и деформаций в ряды полиномов по толщине, например в варианте с полиномами Лежандра, имеет то преимущество, что уравнения получаются относительно простыми. На основе этого подхода написано множество работ, посвященных динамическим задачам и термоупругости, слоистым оболочкам [13-15]. Однако совпадение полученных решений с экспериментом зачастую или не проверялось, или недостаточно. Бурно развивающимся направлением в современной теории упругости также является применение взамен классических положений механики сплошных сред модели континуума Коссера [16], представляющей собой обобщение уравнений механики Эйлера. Популярность этого подхода продиктована назревшей необходимостью учитывать свойства структуры материала на микроуровне. Модели микрополярных оболочек и их свойствам посвящена значительная часть новейших публикаций по обозначенной тематике [17-22]. В настоящей работе дано развитие работ о создании непротиворечивой теории оболочек на основе классического подхода механики сплошных сред [23; 24]. В рамках предложенного подхода итерационно решается трехмерная задача теории упругости без введения каких-либо гипотез для сведения к двумерной теории. Итерационный процесс сходится независимо от выбора величин начального приближения. При этом в процессе решения получаются уравнения в напряжениях и перемещениях, которые можно преобразовать к уравнениям в усилиях и моментах. Они совпадут с классическими с точностью до, вообще говоря, некоторых лишних, учтенных в классической теории. Каждому члену в каждом уравнении дается оценка по малому параметру: малые (они же выходящие за рамки точности) члены отбрасываются. Математическая реализация предложенного подхода позволяет избежать значительных вычислительных трудностей. Метод является сходящимся, что представляется принципиально важным. Предложенный подход в перспективе подойдет и для расчета анизотропных и слоистых оболочек, не требуя никаких принципиальных изменений, доработок или введения допущений, увеличится лишь объем выкладок. Современность характеризуется использованием электронных вычислительных машин в самых разных областях человеческой деятельности. Под их влиянием существенно изменился характер прикладных исследований. Многие методы приближенного определения параметров в различных физических и технических задачах отживают свой век; исследователи, особенно молодые, предпочитают обращаться к вычислительным машинам и пользоваться подходящими численными методами. Большие серии расчетов превратились в своеобразные машинные эксперименты, проведение которых не требует высокой математической культуры. Естественно, возникает вопрос о месте, которое занимают сейчас при решении прикладных задач аналитические методы. Не должны ли они уйти в прошлое и уступить место новым, машинным методам [25; 26]? Для решения той или иной задачи, прежде всего, необходимо аналитическое построение математической модели. При создании модели обычно принимают во внимание одни особенности модели, пренебрегая другими. Для реализации этих важных положений нужно определить относительные порядки различных элементов системы, сравнивая их друг с другом и с заранее выбранными характерными элементами, приведя переменные и, соответственно, уравнения к безразмерному виду с выделением малых или больших параметров. Большая часть способов приближенного решения уравнений основана на идее последовательных приближений. Эта идея применяется как при решении уравнений, так и для решения ряда практических задач. Одним из наиболее эффективных методов реализации последовательных приближений являются асимптотические методы теории возмущений. Асимптотические методы решения уравнений относительно гибки вследствие возможности делать замены зависимых и независимых переменных, после чего задача выглядит совершенно иначе. Считается, что в настоящее время невозможно сформулировать единственную конструктивную процедуру, включающую все возможные применения метода. Характерная особенность асимптотических задач для дифференциальных уравнений состоит в том, что обычно можно интуитивно догадаться, какая асимптотическая формула или асимптотический ряд должен быть получен. В физических задачах малый параметр берется из безразмерных уравнений путем перехода к безразмерным величинам. Физические задачи удобны с точки зрения применения методов теории возмущений. Однако даже если общая природа решений известна, доказать, что это действительно асимптотическая формула, довольно трудно. Считается, что, если при приведении системы уравнений задачи к безразмерному виду появляются представляющие собой коэффициенты малые постоянные величины, решение системы может разыскиваться в виде разложений неизвестных в ряды по степеням малого параметра, например . Для задач теории тонких упругих оболочек они выглядят так , , , , , , , , , , , , , , . Здесь перечислены все 15 искомых неизвестных теории оболочек, записанных в виде разложений в ряд по степеням некоторого малого параметра , и использованы следующие обозначения: , - тангенциальные перемещения срединной поверхности; - касательное тангенциальное перемещение; , - тангенциальные деформации срединной поверхности; , - нормальные тангенциальные напряжения; , , - изменения кривизн поверхности; , - нетангенциальные напряжения изгиба; - нетангенциальное напряжение кручения элемента срединной поверхности; , - нетангенциальные касательные напряжения. Легко видна запись искомых функций по аналогии с записью чисел в некоторой системе счисления . Находящаяся в левой части каждого равенства числовая функция представляется в виде суммы отмеченных индексами в скобках числовых функций. Выражение в скобках можно определить как мантиссу числовой функции, а множитель перед скобкой - как ее порядок.[7] Если показатели порядков найдены каким-то образом для всех функций, то разложения можно внести в уравнения и, приравнивая члены с одинаковыми показателями между собой, получить последовательность уравнений итерационного процесса для определения неизвестных в желаемом приближении. При этом в уравнениях должны быть определены асимптотические порядки символов дифференцирования относительно малого параметра для медленно и быстро меняющихся величин. Найденные показатели должны удовлетворять условиям разрешимости задачи, то есть позволять построить решение и выполнить все граничные условия [27]. Конструктивная процедура определения показателей описана, например, в [23; 24]. В кратком изложении она состоит в замене дифференциальных уравнений первого порядка интегральными по схеме Пикара - Линделефа [28-30]. Пусть дано уравнение , правая часть которого в прямоугольнике непрерывна и имеет непрерывную частную производную по . Требуется найти удовлетворяющее при начальному условию решение . Интегрируя обе части уравнения от до , получим или . Таким образом, исходное дифференциальное уравнение первого порядка заменяется интегральным уравнением, в котором неизвестная функция находится под знаком интеграла. При этом интегральное уравнение удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальному условию. Заменяя в равенстве функцию значением , получим первое приближение . Заменив затем в уравнении найденным значением , получаем второе приближение . Продолжая процесс далее, последовательно находим Таким образом, получаем последовательность уточненных функций . Если в уравнении имеется малый параметр и при этом уравнение можно записать в форме , последовательность уточненных функций будет асимптотически убывающей вместе с : . Метод Пикара - Линделефа дает последовательность приближений к решению уравнения, так что приближение -е получается из -го приближения. Итерационный ряд Пикара - Линделефа прост в реализации. Полученные с помощью этого анализа решения обычно являются степенными рядами. Исходные уравнения теории оболочек Уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние оболочки [4] запишем в следующем виде: - тангенциальные уравнения равновесия , , ; (1) - нетангенциальные уравнения равновесия , ; (2) - формулы, связывающие компоненты тангенциальной деформации с перемещениями: , , ; (3) - формулы, связывающие компоненты изгибной нетангенциальной деформации (изменения кривизн) с перемещением: , , ; (4) - формулы, связывающие тангенциальные напряжения с тангенциальными деформациями: , , ; (5) - формулы, связывающие нетангенциальные напряжения с нетангенциальными деформациями: , , , (6) где - тангенциальные нормальные напряжения; - тангенциальное касательное напряжение; - нетангенциальные нормальные напряжения; - крутящее напряжение; - поперечные касательные напряжения; - тангенциальные нормальные компоненты деформации; - тангенциальная деформация сдвига; и - тангенциальные и нормальное перемещения точек срединной поверхности. Введен малый параметр , где - размерная полутолщина оболочки, - некоторый размерный характерный радиус срединной поверхности оболочки. Индексы ноль в скобках и без скобок указывают на то, что эти уравнения получены из уравнений теории упругости в нулевом приближении с точностью . Имея целью построение второго (относительно первого итерационного процесса, с помощью которого выведены уравнения теории оболочек из уравнений теории упругости [4]) итерационного процесса методом SVPB, опустим индексы и , считая уравнения (1)-(6) достаточно точными. Уравнения состояния узкой незамкнутой оболочки Рассмотрим незамкнутую оболочку, срединная поверхность которой определяется координатами, . Определенную таким образом криволинейную полосу возьмем узкой . Введем новое обозначение координаты . При этом будет , . Выберем малый параметр таким образом, чтобы ширина полосы определялась соотношением . Соответственно, малый параметр определяется выражением . В уравнениях (1)-(6) введем замену переменной у искомых неизвестных по формуле . (7) Уравнения состояния приводятся к следующему виду: - тангенциальные уравнения равновесия: , , ; (8) - нетангенциальные уравнения равновесия: , ; (9) - формулы, связывающие компоненты тангенциальной деформации с перемещениями: , , ; (10) - формулы, связывающие компоненты изгибной нетангенциальной деформации (изменения кривизн) с перемещением: , , . (11) Формулы (5), связывающие тангенциальные напряжения с тангенциальными деформациями, и формулы (6), связывающие нетангенциальные напряжения с нетангенциальными деформациями, не меняют своего вида. При подстановке выражения (7) в уравнения (1)-(4) малый параметр оказывается в знаменателе. Чтобы избежать этого и перевести в числитель, уравнения (8)-(11) умножены на . Построение итерационного процесса интегрирования уравнений (5), (6), (8)-(11) для оболочки нулевой кривизны Внесем в уравнения (8)-(11) следующие значения коэффициентов первой и второй квадратичной формы, свойственные оболочкам нулевой кривизны: , , . Уравнения состояния приводятся к следующему виду: - тангенциальные уравнения равновесия: , , ; (12) - нетангенциальные уравнения равновесия: , ; (13) - формулы, связывающие компоненты тангенциальной деформации с перемещениями: , , ; (14) - формулы, связывающие компоненты изгибной нетангенциальной деформации (изменения кривизн) с перемещением : , , . (15) По сравнению с уравнениями системы (11) во втором и третьем уравнениях этой системы отброшены малые члены относительно главных. Для построения итерационного процесса решения системы (5), (6), (12)-(15) по методу Сен-Венана - Пикара - Банаха (SVPB) выберем величины в качестве начального приближения , (16) и запишем уравнения в виде следующей последовательности относительно шести тангенциальных неизвестных , , , , , : , , , , , . (17) Нижний индекс в скобках означает номер приближения. Индекс без скобок в правых частях первых двух уравнений указывает на величины начального приближения (16). Поскольку величины (16) считаются заданными, из первого уравнения находим , а из второго . Третье уравнение позволяет определить . Четвертое и пятое уравнения алгебраические определяют и путем умножения на коэффициенты меньше единицы. Шестое уравнение дает величину в первом приближении. Третье уравнение системы (12) связывает через формулы (15) и уравнения (13) величины и . Выразив через и подставив его во второе уравнение системы (14), записанное следующим образом: , (18) находим в первом приближении. На этом вычисление первой итерации можно считать законченным и, вернувшись к последовательности уравнений (17), продолжить вычисления искомых величин в следующем приближении. По известной величине можно вычислить последовательно те из неизвестных , , , , , , , , которые нужны для выполнения граничных условий , , , , , , , . (19) Третье уравнение равновесия из (12) на основании вытекающих из (19) оценок и после отбрасывания величин порядка по сравнению с величиной принимает вид . (20) Выразив из этого уравнения через и поверхностные нагрузки , можно подставить в уравнение (18) и продолжить вычисления в следующем приближении. После вычислений всех неизвестных в нулевом и неизвестных , , с помощью которых будут выполняться граничные условия, в первом приближении, получим , , , , , , (21) Здесь , , , - произвольные функции интегрирования, зависящие только от координаты , штрихом обозначено дифференцирование по , - частное решение (20) при . С помощью выражений (21) можно выполнить заданные граничные условия. Покажем это на более простом в записи примере. Пример построение итерационного процесса для длинной круговой цилиндрической панели Зададим в уравнениях (12)-(16) дополнительно следующие значения для круговой цилиндрической оболочки и примем поверхностную нагрузку отсутствующей: . Уравнения состояния приводятся к следующему виду: - тангенциальные уравнения равновесия: , , ; (22) - нетангенциальные уравнения равновесия: , ; (23) - формулы, связывающие компоненты тангенциальной деформации с перемещениями: , , ; (24) - формулы, связывающие компоненты изгибной нетангенциальной деформации (изменения кривизн) с перемещением : , , . (25) Для построения итерационного процесса решения системы (22)-(25) по методу SVPB выберем величины в качестве начального приближения , (26) и запишем уравнения в виде следующей последовательности относительно шести тангенциальных неизвестных , , , , , : , , , , , . (27) Третье уравнение системы (22) связывает через формулы (25) и уравнения (23) величины и . Выразив через и подставив его во второе уравнение системы (24), записанное следующим образом , (28) находим в первом приближении. На этом вычисление первой итерации для круговой цилиндрической оболочки можно считать законченным и, вернувшись к последовательности уравнений (27), продолжить вычисления искомых величин в следующем приближении. По известной величине можно вычислить последовательно те из неизвестных , , , , , , , , которые нужны для выполнения граничных условий , , , , , , , . (29) После вычислений всех неизвестных в нулевом и неизвестных , , с помощью которых будут выполняться граничные условия, в первом приближении, получим , , , , , , , , , , , . (30) Примем, что на длинных сторонах панели заданы следующие напряжения: , , , при , , , при , (31) предполагая их свободными от каких-либо закреплений. Считая выражения неизвестных (30) вычисленными с достаточной точностью, запишем соответствующие граничные обыкновенные дифференциальные уравнения: при , при , (32) при , при , при , при , при , при . (33) Складывая и вычитая попарно условия (32), получим системы: - для определения неизвестных и : , ; (34) - для определения неизвестных и : , ; (35) и два уравнения для определения неизвестных и : , , (36) по вычисленным ранее из (32) и . Последние два условия (33) для нетангенциальных касательных напряжений в рамках классической теории (1)-(6) без привлечения поправок типа Тимошенко - Рейсснера и возвращения к полным уравнениям теории упругости [5] выполнить невозможно, так как для этого надо вводить в рассмотрение - процесс [3; 5], который здесь из соображений простоты опущен. Уравнения (32) и (33) разрешимы относительно величин , , , и [5]. Предполагая нагрузки заданными медленно меняющимися функциями, запишем их: , , , , . (37) Их решения достаточно подробно разобраны в [5]. Индексами и отмечены быстро и медленно меняющиеся величины соответственно. Для уравнений (36) надо сформулировать граничные условия на коротких сторонах панели при . Примем на них жесткое защемление , , На основании выражений (30) в развернутом виде эти условия при примут вид , , . (38) Вторая и третья формулы для и преобразованы с учетом выражений (36). Коэффициенты в выражениях (38) должны обращаться в ноль при каждом полиноме от . Оставив только в этих формулах главные члены, запишем граничные условия , , . Условия соответствуют классическим условиям жесткого защемления. Последние два условия исключают перемещение оболочки как жесткого целого. На этом пример построения итерационного процесса для длинной круговой цилиндрической панели считаем законченным. Сама процедура вычислений повторяет процедуру, описанную в [3; 4]. Заключение Изложенная здесь процедура построения итерационного процесса подходит как для открытых, так и для замкнутых оболочек. В первом случае малый параметр образуется за счет малой ширины оболочки по сравнению с ее длиной. Теория тонкостенных стержней является частным случаем такого подхода. В случае с замкнутой оболочки малый параметр появляется в результате допущения большой изменяемости в поперечном направлении. Наличие малого параметра позволяет построить итерационный процесс интегрирования уравнений теории оболочек путем замены дифференциальных уравнений первого порядка интегральными уравнениями, решение которых может быть всегда получено асимптотически сходящимся методом последовательных приближений. Решение уравнений получается без каких-либо исходных гипотез и допущений и в силу выполнения всех граничных условий и теоремы о неподвижной точке не зависит от выбора величин начального приближения.

Об авторах

Евгений Михайлович Зверяев

Российский университет дружбы народов; Московский авиационный институт

Email: zveriaev@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-8097-6684

доктор технических наук, профессор кафедры проектирования сложных механических систем; профессор департамента строительства, Инженерная академия

Российская Федерация, 125993, Москва, Волоколамское шоссе, д. 4; Российская Федерация, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6

Евгения Михайловна Тупикова

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: tupikova-em@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0001-8742-3521

кандидат технических наук, доцент департамента строительства, Инженерная академия

Российская Федерация, 117198, Москва, Миклухо-Маклая, д. 6

Список литературы