Дифференциальные уравнения равновесия сплошной среды для плоского одномерного деформирования при аппроксимации замыкающих уравнений биквадратичными функциями

Полный текст

1. Введение Построение математических моделей, наиболее полно описывающих механическое поведение сплошных деформируемых сред и позволяющих адекватно отражать их напряженное и деформированное состояние, является одной из приоритетных задач механики деформируемого твердого тела. Одним из путей решения этой практически важной задачи является разработка уточненных математических моделей, описывающих реальные диаграммы объемного и сдвигового деформирования. Основная трудность при этом заключается в том, что диаграммы объемного и сдвигового деформирования сугубо индивидуальны для каждого рассматриваемого материала. Ввиду этого возникает задача построения математических моделей этих диаграмм, имея в наличии только значения координат нескольких характерных точек на этих диаграммах и задаваясь видом кривых на интервалах между этими характерными точками. Одной из наиболее простых математических моделей при этом будет модель, построенная на базе трех характерных точек диаграмм объемного и сдвигового деформирования и аппроксимированная на интервалах между этими точками отрезками прямых (билинейная модель) [1]. Более сложной является математическая модель, построенная на базе трех характерных точек диаграмм объемного и сдвигового деформирования и аппроксимированная на интервалах между этими точками отрезками парабол (биквадратичная модель) [2]. Следующим шагом на пути решения практических задач является построение дифференциальных уравнений равновесия для различных частных случаев напряженного и деформированного состояний сплошной среды, соответствующих принятым диаграммам объемного и сдвигового деформирования. В работе [3] представлены дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях при аппроксимации диаграмм объемного и сдвигового деформирования билинейными функциями для характерных случаев напряженно-деформированного состояния сплошной среды: одномерного плоского, осесимметричного, центрально-симметричного деформирования, плоской деформации в декартовых и цилиндрических координатах, как без учета, так и с учетом геометрической нелинейности (в трактовке В.В. Новожилова [4]). Надо отметить, что в настоящее время разработано много математических моделей, описывающих механическое поведение сплошных сред, в частности грунтовых массивов. Работа [5] посвящена разработке рекомендаций по выбору достоверных математических моделей грунтов в численных расчетах грунтовых плотин и их сравнению с наиболее распространенными моделями в современной практике применения [6-9]. Данная работа посвящена разработке дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях для сплошной среды, находящейся в условиях одномерного плоского деформирования при аппроксимации замыкающих уравнений произвольного вида биквадратичными функциями. В качестве математических моделей сплошной среды используются как модели, не учитывающие геометрическую нелинейность, так и модели, учитывающие геометрическую нелинейность. Следует отметить, что вопросами расчета физически и геометрически нелинейных деформируемых сплошных сред и конструкций при сложном напряженно-деформированном состоянии занимаются многие отечественные и зарубежные исследователи [10-12]. Общие вопросы учета нелинейности в расчетах строительных конструкций рассматриваются в работе [13]. Отмечается, что физические процессы, в частности в механике деформируемого твердого тела, чаще всего носят нелинейный характер. Строгие линейные зависимости между различными параметрами, определяющими состояние того или иного объекта, встречаются крайне редко. Фактически линейные предположения действительны только в особых обстоятельствах и обычно включают некоторую меру «малости», например, небольшие деформации, небольшие смещения, небольшие вращения и т. д. В работе [14] обсуждаются проблемы получения корректных решений нелинейных задач теории упругости, особенно в связи с развитием численных методов решения, в частности метода конечных элементов. В статье [15] утверждается, что в настоящее время нелинейные расчеты можно рассматривать лишь как некоторый дополнительный инструмент, который используют в тех случаях, когда применение простых стандартных методов расчета является недостаточным. Указывается на декларативность нормативных требований относительно обязательности выполнения нелинейных расчетов объектов строительства. Приводится перечень проблем, отсутствие решения которых мешает полноценному использованию нелинейного анализа в проектировании. Рис. Диаграммы объемного (а) σ ≈ ε и сдвигового (б) Т ≈ Г деформирования: пунктирные толстые линии - исходные кривые объемного и сдвигового деформирования; сплошные толстые линии - аппроксимирующие отрезки парабол Figure. Chart surround (а) σ ≈ ε and shifting (б) Т ≈ Г deformation: dotted thick lines - original curves of volume and shift deformation; solid thick lines - approximating segments of parabola Во многих работах рассматривается расчет грунтовых массивов и элементов строительных конструкций методом конечных элементов с учетом физической и геометрической нелинейности. В частности, в работах [16-19] методом конечных элементов выполняется расчет грунтовых массивов, в [20-24] - расчет элементов строительных конструкций методом конечных элементов, в [25] проводится анализ работ по расчету пластин и оболочек за пределом упругости с учетом неоднородности материала, связанной с изменением его свойств в результате термообработки, облучения и воздействия агрессивной среды. Анализ показал необходимость разработки методов и алгоритмов расчета, позволяющих вести исследования неоднородных элементов конструкций с разрывными параметрами с учетом физической и геометрической нелинейности и начальными несовершенствами формы срединной поверхности. В данной работе строятся дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях для сплошной среды, находящейся в условиях одномерного плоского деформирования , при аппроксимации замыкающих уравнений произвольного вида квадратичными функциями как для геометрически линейной, так и для геометрически нелинейной модели сплошной среды (см. рисунок). 2. Геометрически линейная модель В соответствии с работой [2] секущие модули объемного расширения (сжатия) и сдвига на первом криволинейном участке диаграмм и (см. рисунок) будут определяться выражениями (1) где (2) На втором криволинейном участке диаграмм и секущий модуль объемного расширения (сжатия) и секущий модуль сдвига будут вычисляться по формулам (3) где (4) В формулах (2) и (4) обозначено: - начальный модуль объемного расширения (сжатия); - начальный модуль сдвига; - начальный модуль упрочнения при объемном расширении (сжатии); - начальный модуль упрочнения при сдвиге; - координаты конечной точки первого участка (координаты начальной точки второго участка) на диаграмме ; - координаты конечной точки первого участка (координаты начальной точки второго участка) на диаграмме ; - координаты конечной точки второго участка на диаграмме ; - координаты конечной точки второго участка на диаграмме . Кроме того, - первый инвариант тензора напряжений; - первый инвариант тензора деформаций; - интенсивность касательных напряжений; - интенсивность деформаций сдвига. Физические уравнения для геометрически линейной модели При плоском одномерном деформировании сплошной среды , причем и, следовательно, . Тогда и . Поскольку , то графики нелинейных диаграмм и при плоском одномерном деформировании связаны друг с другом. Ввиду этого рассмотрим шесть основных случаев физических зависимостей для плоского одномерного деформирования сплошной среды. Случай 1: . Точки излома графиков на квадратичных диаграммах объемного и сдвигового деформирования совпадают, то есть . При этом и . (5) Точки излома графиков на квадратичных диаграммах объемного и сдвигового деформирования не совпадают, то есть . При этом и . (6) Здесь интенсивности соответствуют такие компоненты деформации, при которых . (7) Точки излома графиков на квадратичных диаграммах объемного и сдвигового деформирования не совпадают, то есть . При этом и (8) Здесь объемной деформации соответствуют такие компоненты деформации, при которых . (9) В этом случае физические уравнения с учетом формул (1) будут иметь вид (10) Случай 2: . Точки излома графиков на квадратичных диаграммах объемного и сдвигового деформирования не совпадают, то есть . При этом и (11) Здесь объемной деформации и интенсивности соответствуют такие компоненты деформации, при которых выполняются соотношения (9) и (7) соответственно. В этом случае физические уравнения с учетом формул (1) и (3) будут иметь вид (12) Случай 3: . Точки излома графиков на квадратичных диаграммах объемного и сдвигового деформирования не совпадают, то есть . При этом и (13) Здесь объемной деформации и интенсивности соответствуют такие компоненты деформации, при которых выполняются соотношения (9) и (7) соответственно. В этом случае физические уравнения с учетом формул (1) и (3) будут иметь вид (14) Случай 4: . Точки излома графиков на квадратичных диаграммах объемного и сдвигового деформирования совпадают, то есть . При этом и . (15) Точки излома графиков на квадратичных диаграммах объемного и сдвигового деформирования не совпадают, то есть . При этом и . (16) Здесь объемной деформации соответствуют такие компоненты деформации, при которых выполняется соотношение (9). Точки излома графиков на квадратичных диаграммах объемного и сдвигового деформирования не совпадают, то есть . При этом и (17) Здесь интенсивности соответствуют такие компоненты деформации, при которых выполняется соотношение (7). В этом случае физические уравнения с учетом формул (3) будут иметь вид (18) Случай 5: . Точка излома графика на квадратичной диаграмме объемного деформирования отсутствует. При этом, если , то физические уравнения будут иметь вид (10), а если - (14). Случай 6: . Точка излома графика на квадратичной диаграмме сдвигового деформирования отсутствует. При этом, если , то физические уравнения будут иметь вид (10), а если - (12). Дифференциальные уравнения равновесия для геометрически линейной модели Подставляя физические уравнения (10), (12), (14), (18) в дифференциальное уравнение равновесия одномерного плоского деформирования сплошной среды , (19) получим четыре вида разрешающих уравнений в перемещениях: 1) для физических уравнений (10) дифференциальное уравнение равновесия в перемещениях будет иметь вид (20) 2) для физических уравнений (12) получим: (21) 3) для физических уравнений (14): (22) 4) для физических уравнений (18): (23) Таким образом, дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях для сплошной среды, находящейся в условиях одномерного плоского деформирования, при биквадратичной аппроксимации замыкающих уравнений без учета геометрической нелинейности построены. 3. Геометрически нелинейная модель Замыкающие уравнения для геометрически нелинейной модели сплошной среды [4] описываются соотношениями, устанавливающими в самом общем случае перекрестные зависимости между первыми инвариантами тензоров и вторыми инвариантами девиаторов обобщенных напряжений и нелинейных деформаций: , , (24) где - первый инвариант тензора обобщенных напряжений; - первый инвариант тензора нелинейных деформаций; - интенсивность обобщенных касательных напряжений; - интенсивность нелинейных деформаций сдвига. Аппроксимируя зависимости (24) биквадратичными функциями, нетрудно получить секущие модули объемного расширения (сжатия) и сдвига на первом и втором криволинейных участках диаграмм и , аналогичных соотношениям (1)-(4). При этом все величины, входящие в формулы (1)-(4), следует записывать со звездочками. Таким образом, - геометрически нелинейный аналог начального модуля объемного расширения (сжатия); - геометрически нелинейный аналог начального модуля сдвига; - геометрически нелинейный аналог начального модуля упрочнения при объемном расширении (сжатии); - геометрически нелинейный аналог начального модуля упрочнения при сдвиге; - координаты конечной точки первого участка (координаты начальной точки второго участка) на диаграмме ; - координаты конечной точки первого участка (координаты начальной точки второго участка) на диаграмме ; - координаты конечной точки второго участка на диаграмме ; - координаты конечной точки второго участка на диаграмме . Физические соотношения для геометрически нелинейной модели сплошной среды для случая плоского одномерного деформирования будут записываться в форме, аналогичной соотношениям (10), (12), (14), (18) (если у всех величин, входящих в эти формулы проставить звездочки). Дифференциальные уравнения равновесия для геометрически нелинейной модели Поскольку дифференциальное уравнение равновесия для геометрически нелинейной модели сплошной среды для случая плоского одномерного деформирования имеет вид (25) отлично от дифференциального уравнения равновесия для геометрически линейной модели сплошной среды (19) и, кроме того, при плоском одномерном деформировании сплошной среды, описываемой геометрически нелинейной моделью , причем и, следовательно, , то есть и , то запись дифференциального уравнения равновесия в перемещениях для геометрически нелинейной модели будет отличаться от записи дифференциального уравнения в перемещениях для геометрически линейной модели (формулы (20)-(23)). Геометрически нелинейный аналог уравнения (20) имеет вид (26) Геометрически нелинейный аналог уравнения (21) записывается в следующей форме: (27) Геометрически нелинейный аналог уравнения (22) имеет вид (28) Геометрически нелинейный аналог уравнения (15) имеет вид (29) Таким образом, дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях, описывающие напряженно-деформированное состояние сплошной среды, находящейся в условиях одномерного плоского деформирования, при биквадратичной аппроксимации замыкающих уравнений с учетом геометрически нелинейности построены. 4. Результаты и обсуждение Для описания напряженно-деформированного состояния сплошной среды, находящейся в условиях одномерного плоского деформированного состояния, дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях построены. Для сплошной среды, механическое поведение которой описывается и в части объемных, и в части сдвиговых деформаций произвольными функциями, аппроксимируемыми биквадратичными замыкающими уравнениями без учета геометрической нелинейности, дифференциальные уравнения представлены соотношениями (20), (21), (22), (23). Для сплошной среды, описываемой геометрически нелинейной моделью, графики диаграмм объемного и сдвигового деформирования которой аппроксимированы биквадратичными замыкающими уравнениями, дифференциальные уравнения представлены соотношениями (26), (27), (28), (29). Дифференциальные уравнения имеют достаточно сложную структуру. Это объясняется тем, что при аппроксимации нелинейных графиков диаграмм объемного и сдвигового деформирования при помощи двух отрезков парабол на первом нелинейном участке секущий модуль объемного расширения - сжатия является линейной функцией первого инварианта тензора деформаций (11), а секущий модуль сдвига - интенсивности деформаций сдвига (12). На втором нелинейном участке диаграмм и объемного и сдвигового деформирования секущий модуль объемного расширения - сжатия является дробной (рациональной) функцией первого инварианта тензора деформации (31), а секущий модуль сдвига - интенсивности деформаций сдвига (32). Вместе с тем эти дифференциальные уравнения линейны относительно старшей производной от перемещения по пространственной координате и являются квазилинейными. Квазилинейность дифференциальных уравнений второго порядка не может существенно усложнить процедуру их решения, так как методы решения таких уравнений разработаны достаточно подробно. 5. Заключение Построенные в статье дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях могут найти применение при определении напряженно-деформированного состояния сплошных сред, в частности, грунтовых массивов под монолитной фундаментной плитой под здание или сооружение, оснований под складские сооружения больших объемов и т. д., находящихся в условиях одномерного плоского деформирования, замыкающие уравнения физических соотношений для которых описываются биквадратичными функциями.

Об авторах

Сергей Васильевич Бакушев

Автор, ответственный за переписку.
Email: bakuchsv@mail.ru

профессор кафедры механики, доктор технических наук

Список литературы