Напряженно-деформированное состояние оболочки вращения при использовании различных формулировок трехмерных конечных элементов

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Цель исследования - выполнить сравнительный анализ результатов расчета произвольно нагруженных оболочек вращения при использовании метода конечных элементов в различных формулировках, а именно в формулировке метода перемещений и в смешанной формулировке. Методы. Для получения матрицы жесткости конечного элемента применен функционал, основанный на равенстве действительных работ внешних и внутренних сил, а для получения матрицы деформирования в смешанной формулировке - функционал, полученный из предыдущего путем замены в нем действительной работы внутренних сил разностью полной и дополнительной работы. Результаты. В формулировке метода перемещений для объемного конечного элемента в виде восьмиузлового шестигранника в качестве узловых неизвестных приняты перемещения и их первые производные. Аппроксимация перемещений внутренней точки конечного элемента осуществлялась через узловые неизвестные на основе полиномов Эрмита третьей степени. Для конечного элемента в смешанной формулировке в качестве узловых неизвестных принимались перемещения и напряжения. Аппроксимация искомых величин конечного элемента через их узловые значения в смешанной формулировке выполнялась на основе трилинейных функций. На тестовом примере показано, что конечный элемент в смешанной формулировке позволяет повысить точность прочностных параметров напряженно-деформированного состояния оболочки вращения.

Полный текст

1. Введение Теория деформирования твердых тел в настоящее время развита достаточно подробно [1-2]. Однако аналитическое получение конкретных результатов возможно только в некоторых случаях, далеких от практики инженерных расчетов. Поэтому разработка приближенных и численных методов расчета конструктивных элементов инженерных структур является актуальной задачей. Среди современных методов исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) строительных конструкций в последнее время практически повсеместно получил распространение численный метод конечных элементов (МКЭ) на основе метода перемещений [3-15]. Основными недостатками данной формулировки МКЭ можно назвать отсутствие непрерывности производных от перемещений на ребрах и боковых поверхностях конечных элементов. Разработка конечных элементов в смешанной формулировке [16-25] позволяет понизить степень аппроксимирующих функций для выражения искомых величин через узловые неизвестные, дает возможность выполнить условия непрерывности напряжений и перемещений не только в узловых точках, но и на ребрах и боковых поверхностях элементов дискретизации. Предметом исследования является напряженно-деформированное состояние оболочки вращения при произвольном нагружении, целью - сравнительный анализ конечно-элементных алгоритмов определения параметров прочности оболочки вращения. Для выполнения сравнительного анализа вариантов разработаны конечно-элементные алгоритмы шестигранного конечного элемента в двух формулировках: в формулировке метода перемещений и в смешанной формулировке. При получении матрицы жесткости шестигранника в формулировке метода перемещений в качестве узловых неизвестных использованы перемещения и их первые производные, а при формировании матрицы напряженно-деформированного состояния шестигранника в смешанной формулировке в качестве узловых неизвестных приняты перемещения и напряжения. 2. Методы исследования Для получения матрицы жесткости шестигранного конечного элемента в формулировке метода перемещений использования функционал, основанный на равенстве действительных работ внешних нагрузок на перемещениях и действительных работ внутренних напряжений на деформациях по объему конечного элемента. Для аппроксимации искомых величин внутренней точки конечного элемента через узловые неизвестные применялись полиномы Эрмита третьей степени. Для получения матрицы напряженно-деформированного состояния в смешанной формулировке использовался функционал, полученный путем замены действительной работы внутренних усилий функционала метода перемещений разностью полной работы внутренних усилий и их дополнительной работы, а для аппроксимации перемещений и напряжений через узловые неизвестные - трилинейные соотношения. 2.1. Геометрические параметры оболочки вращения Положение произвольной точки срединной поверхности оболочки вращения определяется радиус-вектором (1) где - орты декартовой системы координат; - радиус вращения рассматриваемой точки срединной поверхности; - угол, отсчитываемый от вертикального диаметра против хода часовой стрелки. Базисные векторы произвольной точки срединной поверхности определяются выражениями (2) где Положение произвольной точки оболочки отстоящей на расстоянии от срединной поверхности, определяется радиусом-вектором (3) Базисные векторы точки определяются дифференцированием (3): (4) При использовании (2) на основе (4) можно сформировать матричные соотношения (5) где Дифференцированием (4) при учете (5) производные базисных векторов точки можно определить компонентами в этом же базисе: (6) где 2.2. Перемещения и деформации Вектор перемещения точки от действия нагрузки представляется компонентами в базисе точки : (7) где Производные вектора перемещения (7) по криволинейным координатам определяются выражениями (8) С учетом (6) соотношения (8) можно представить в виде (9) где - функции компонент вектора перемещения и их производных, определяемые выражениями … (10) Деформации определяются соотношениями механики сплошной среды: (11) С учетом (4) и (9) можно сформировать матричное соотношение (12) где - матрица алгебраических и дифференциальных операторов. 2.3. Соотношения между деформациями и напряжениями Закон Гука представляется в криволинейной системе координат выражениями (13) где - первый инвариант тензора деформаций; - первый инвариант тензора напряжений; - ковариантные и контравариантные компоненты метрического тензора; - ковариантные и контравариантные компоненты тензора деформаций; - ковариантные и контравариантные компоненты тензора напряжений; - параметры Ламе; - модуль упругости материала; - коэффициент поперечной деформации. На основании соотношений (13) формируется матричное выражение (14) где 2.4. Конечный элемент оболочки вращения в формулировке метода перемещений Конечный элемент принят в виде шестигранника с узлами Для выполнения численного интегрирования шестигранник отображается на куб с локальными координатами, изменяющимися в пределах . В качестве узловых неизвестных приняты перемещения и их производные по локальным координатам. Аппроксимация перемещений внутренней точки конечного элемента выполнялась на основе полиномов Эрмита третьей степени матричным выражением (15) где Векторы узловых неизвестных в локальной и глобальной системах координат связаны матричным соотношением (16) где Матрица сформирована на основе дифференциальных соотношений (17) где под принимаются компоненты вектора перемещения С использованием (15) деформации (12) определяются в матричном виде (18) Для формирования матрицы жесткости конечного элемента используется функционал, основанный на равенстве работ внешних и внутренних сил: (19) где - объем элемента; - поверхность приложения заданной нагрузки; - компоненты вектора внешних нагрузок. При учете (14), (15), (16) и (18) функционал (19) запишется выражением (20) После выполнения минимизации функционала (20) получается (21) где - матрица жесткости конечного элемента; - вектор узловых усилий. 2.5. Конечный элемент оболочки вращения в смешанной формулировке В качестве узловых неизвестных шестигранного конечного элемента принимаются перемещения и напряжения: (22) Для аппроксимации искомых величин через узловые значения приняты билинейные функции (23) где под понимаются величины На основе (22) и (23) формируются матричные соотношения (24) Деформации (12) на основе (24) запишутся в матричном виде: (25) Для получения матрицы деформирования конечного элемента использован функционал, полученный из (19) путем замены действительной работы внутренних сил разностью полной и дополнительной работы внутренних усилий: (26) С учетом (24) и (25) функционал (26) для конечного элемента запишется выражением (27) После варьирования функционала (27) по узловым неизвестным и получаются системы уравнений: (28) где Системы (28) представляются в традиционной для МКЭ форме (29) где - матрица деформирования конечного элемента; - строка узловых неизвестных; - строка узловых нагрузок конечного элемента. 3. Результаты исследований и их анализ Было определено напряженное состояние жестко защемленной по торцам цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним давлением интенсивности . Приняты следующие исходные данные: радиус срединной поверхности = 1,0 м; длина образующей = 0,5 м; толщина стенки = 0,02 м; = 5 МПа; модуль упругости материала МПа; коэффициент поперечной деформации = 0,3. Таблица 1 Численные значения параметров напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки при использовании элементов в формулировке метода перемещений Число рядов элементов по толщине цилиндра Сетка дискретизации Сечение Точка 1 Точка 2 Точка 3 Напряжения, МПа 1 381,14 -308,97 298,26 -221,91 -57,04 141,07 396,74 -298,97 303,02 -211,51 -56,83 140,99 430,50 -269,26 302,17 -212,05 -56,61 140,88 467,52 -236,44 301,87 -211,73 -56,46 140,81 505,40 -202,51 301,66 -211,46 -56,33 140,74 2 444,24 -329,74 331,64 -253,09 -73,52 157,34 464,29 -323,12 342,49 -260,16 -73,83 157,77 489,77 -326,93 342,70 -261,20 -73,78 157,80 516,03 -328,81 342,71 -260,89 -73,69 157,76 540,37 -326,81 342,64 -260,69 -73,62 157,72 3 472,09 -347,74 334,54 -262,45 -75,68 159,53 499,49 -349,06 345,85 -267,92 -76,03 160,00 527,69 -352,34 347,01 -267,10 -76,03 160,07 552,45 -352,12 346,93 -266,94 -75,95 160,03 578,18 -351,27 346,82 -266,77 -75,88 160,00 4 491,13 -354,73 338,14 -265,33 -76,91 160,78 526,89 -355,26 348,14 -270,49 -77,43 161,42 561,89 -355,87 350,38 -270,86 -77,50 161,56 586,72 -355,73 350,32 -270,78 -77,45 161,54 611,58 -355,93 350,22 -270,64 -77,39 161,51 7 523,33 -362,29 348,61 -268,24 -78,25 162,14 584,38 -363,68 350,40 -274,48 -79,00 163,04 642,43 -365,46 354,14 -275,20 -79,19 163,29 677,46 -365,73 354,56 -275,23 -79,19 163,32 704,12 -365,73 354,53 -275,16 -79,16 163,31 Таблица 2 Численные значения параметров напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки при использовании элементов в смешанной формулировке Число рядов элементов по толщине цилиндра Сетка дискретизации Сечение Точка 1 Точка 2 Точка 3 Напряжения, МПа 1 472,47 -381,34 373,02 -288,59 -72,05 159,57 479,93 -390,65 365,74 -277,22 -79,57 165,13 480,76 -392,41 366,43 -278,84 -81,44 166,05 480,60 -392,55 366,27 -278,98 -81,76 166,07 480,43 -392,54 366,11 -278,98 -81,87 166,03 2 532,16 -335,43 364,93 -292,25 -74,68 160,75 543,99 -334,06 370,30 -278,72 -81,31 165,52 544,53 -332,87 369,31 -279,13 -82,49 166,10 543,17 -333,25 368,38 -279,17 -82,55 166,05 542,10 -333,71 367,80 -279,22 -82,51 166,00 3 516,60 -365,22 365,88 -293,70 -75,69 160,87 541,69 -384,38 363,23 -275,69 -81,81 165,84 556,19 -394,50 364,47 -278,87 -82,82 166,42 559,89 -397,72 364,49 -279,98 -82,84 166,34 561,38 -399,15 364,43 -280,50 -82,80 166,26 4 519,91 -350,43 363,74 -296,82 -76,28 161,07 553,90 -367,90 361,51 -274,04 -82,07 165,86 583,84 -381,24 363,74 -277,62 -82,99 166,41 592,53 -385,93 364,13 -278,75 -82,99 166,33 595,59 -388,04 364,09 -279,27 -82,92 166,24 7 517,45 -354,04 364,49 -298,62 -76,85 161,26 558,47 -382,77 358,64 -271,14 -82,31 165,97 616,05 -413,21 361,39 -275,66 -83,07 166,43 645,52 -425,87 363,43 -277,76 -83,06 166,35 659,74 -431,69 364,19 -278,77 -83,01 166,28 Результаты расчетов представлены в табл. 1 и 2. Приведены значения напряжений по направлению оси цилиндра в точках, расположенных следующим образом: 1 - в заделке; 2 - на расстоянии от заделки; 3 - в середине пролета. Расчетная схема представлена одной полоской шестигранных элементов вдоль оси цилиндра. В табл. 1 в первой колонке показано число рядов конечных элементов по толщине цилиндра, во второй колонке - число узловых точек в осевом направлении и в направлении толщины оболочки. В последующих колонках приведены численные результаты напряжений по направлению оси цилиндра во внутренних и наружных волокнах соответственно в точках 1, 2, 3. Анализ численных результатов табл. 1 показывает сходимость вычислительного процесса при использовании МКЭ в формулировке метода перемещений. Различия в результатах расчетов для точки 1 объясняются отличием граничных условий для конечных элементов в принятых формулировках, а именно: в методе перемещений назначаются граничные условия по производным перемещений, а в смешанной формулировке назначаются граничные условия по перемещениям. В точке 2, отстоящей от заделки на расстоянии , результаты стабилизировались при смешанном методе уже при одном конечном элементе по толщине, а в методе перемещений монотонно стремится к таким же числовым значениям при увеличении количества конечных элементов по толщине. Анализ численных результатов табл. 2 показывает более быструю сходимость вычислительного процесса при использовании метода конечных элементов в смешанной формулировке. Это объясняется тем, что в смешанном конечном элементе выполняется совместность по напряжениям не только в узлах конечных элементов, но и по их граням. В конечных элементах метода перемещений совместность деформаций по граням отсутствует. 4. Заключение Точность определения параметров прочности оболочки вращения и сходимость вычислительного процесса выше при использовании конечных элементов в смешанной формулировке. Это объясняется тем, что при получении матрицы деформирования этого конечного элемента степень аппроксимирующих функций для аппроксимирования искомых величин внутренней точки конечного элемента через узловые неизвестные в смешанной формулировке ниже, чем в формулировке метода перемещений. Условие совместности искомых величин в формулировке метода перемещений выполняются только в узловых точках. На ребрах и гранях шестигранных конечных элементов вышеупомянутые условия совместности отсутствуют. При использовании конечных элементов в смешанной формулировке условия совместности по перемещениям и напряжениям выполняются не только в узловых точках, но и на ребрах и гранях шестигранного элемента.

×

Об авторах

Наталья Анатольевна Гуреева

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации

Автор, ответственный за переписку.
Email: aup-volgau@yandex.ru

доктор физико-математических наук, доцент департамента математики

Российская Федерация, 125993, Москва, Ленинградский пр-кт, 49

Юрий Васильевич Клочков

Волгоградский государственный аграрный университет

Email: aup-volgau@yandex.ru

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики электроэнергетического факультета

Российская Федерация, 400002, Волгоград, Университетский пр-кт, 26

Анатолий Петрович Николаев

Волгоградский государственный аграрный университет

Email: aup-volgau@yandex.ru

доктор технических наук, профессор кафедры прикладной геодезии, природообустройства и водопользования эколого-мелиоративного факультета

Российская Федерация, 400002, Волгоград, Университетский пр-кт, 26

Владислав Николаевич Юшкин

Волгоградский государственный аграрный университет

Email: aup-volgau@yandex.ru

кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной геодезии, природообустройства и водопользования эколого-мелиоративного факультета

Российская Федерация, 400002, Волгоград, Университетский пр-кт, 26

Список литературы

  1. Галимов К.З., Паймушин В.Н. Теория оболочек сложной геометрии. Казань: Изд-во Казанского университета, 1985. 164 с.
  2. Петров В.В. Нелинейная инкрементальная строительная механика. Вологда: Инфра-Инженерия, 2014. 479 с.
  3. Бате К.-Ю. Методы конечных элементов / под ред. Л.И. Турчака. М.: Физматлит, 2010. 1024 с.
  4. Kosytsyn S.B., Akulich V.Y. Stress-strain state of a cylindrical shell of a tunnel using construction stage analysis // Komunikacie. 2019. Vol. 21. No. 3. Pp. 72-76.
  5. Косицын С.Б., Акулич В.Ю. Определение критической нагрузки потери устойчивости стержневой и плоской моделей круговой цилиндрической оболочки, взаимодействующей с основанием // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 4. С. 291-298.
  6. Косицын С.Б., Акулич В.Ю. Численный анализ учета стадийности в расчетах оболочки совместно с массивом грунта // Международный журнал по расчету гражданских и строительных конструкций. 2019. Т. 15. № 3. С. 84-95.
  7. Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. М.: Физматлит, 2006. 392 с.
  8. Киселев А.П., Гуреева Н.А., Киселева Р.З. Расчет многослойной оболочки с использованием объемного конечного элемента // Известия ВолгГТУ. 2010. Т. 4. № 4. С. 125-128.
  9. Каюмов Р.А. К решению задач неоднородной теории упругости методом конечных элементов // Труды Второй Всероссийской научной конференции (1-3 июня 2005 г.). Ч. 1. Математические модели механики, прочность и надежность конструкций. Математическое моделирование и краеведческие задачи. Самара: СамГТУ, 2005. С. 143-145.
  10. Киселев А.П., Киселева Р.З., Николаев А.П. Учет смещения как жесткого целого осесимметрично нагруженной оболочки вращения на основе МКЭ // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2014. № 6. С. 59-64.
  11. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Ищанов Т.Р. Конечно-элементный анализ НДС оболочек вращения с учетом деформаций поперечного сдвига // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2016. № 5. С. 48-56.
  12. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Соболевская Т.А., Клочков М.Ю. Сравнительный анализ эффективности использования конечных элементов различной мерности при анализе НДС тонких оболочек // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2018. Т. 14. № 6. С. 459-466.
  13. Гуреева Н.А., Арьков Д.П. Решение плоской задачи теории пластичности на основе МКЭ в смешанной формулировке // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2010. № 4. С. 32-36.
  14. Beirão da Veiga L., Lovadina C., Mora D. A virtual element method for elastic and inelastic problems on polytope meshes // Computer methods in applied mechanics and engineering. 2015. Vol. 295. Pp. 327-346.
  15. Klochkov Y.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V., Kiseleva T.A. Stress-strain analysis of a thin-shell part of fuselage using a triangular finite element with Lagrange multipliers // Russian Aeronautics. 2016. Vol. 59. No. 3. Pp. 316-323.
  16. Klochkov Y.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V. Calculation of rotation shells using finite triangular elements with Lagrange multipliers in variative approximation of displacements // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2016. Vol. 45. No. 1. Pp. 51-58.
  17. Magisano D., Liabg K., Garcea G., Leonetti L., Ruess M. An efficient mixed variational reduced order model formulation for nonlinear analyses of elastic shells // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2018. Vol. 113. Issue 4. Pp. 634-655.
  18. Гуреева Н.А., Клочков Ю.В., Николаев А.П. Расчет осесимметрично нагруженной оболочки вращения с учетом геометрической нелинейности на основе смешанного МКЭ // Известия вузов. Авиационная техника. 2014. № 4. С.14-19.
  19. Гуреева Н.А., Николаев А.П., Юшкин В.Н. Сравнительный анализ конечно-элементных формулировок при плоском нагружении упругого тела // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2020. Т. 16. № 2. С. 139-145.
  20. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В. Решение плоской задачи теории упругости по методу конечных элементов в форме классического смешанного метода // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Строительство и архитектура. 2013. Вып. 31-2 (50). С. 337-343.
  21. Игнатьев А.В., Игнатьев В.А., Гамзатова Е.А. Анализ изгибаемых пластинок с односторонними связями по методу конечных элементов в форме классического смешанного метода // Известия высших учебных заведений. Строительство. 2018. № 8 (716). С. 5-14.
  22. Игнатьев А.В., Игнатьев В.А., Гамзатова Е.А. Анализ изгибаемых пластинок, имеющих жесткие включения или отверстия, по МКЭ в форме классического смешанного метода // Известия высших учебных заведений. Строительство. 2017. № 9 (705). С. 5-14.
  23. Leonetti D., Ruess M. An efficient mixed variational reduced order model formulation for non-linear analyses of elastic shells // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2017. Рр. 1-24.
  24. Chi H., Beirao da Veiga L., Paulino G.H. Some basic formulations of the virtual element method (VEM) for finite deformations // Comput. Methods Appl. Engng. 2017. Vol. 318. Pp. 148-192. https://doi.org/10.1016/j.cma.2016.12.020
  25. Artioli E., de Miranda S., Lovadina C., Patruno L. A Stress/Displacement Virtual Element Method for Plane Elasticity Problems // Comput. Methods Appl. Engng. 2017. Vol. 25. Pp. 155-174. doi: 10.1016/j.cma.2017.06.036.

© Гуреева Н.А., Клочков Ю.В., Николаев А.П., Юшкин В.Н., 2020

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах