Визуализация образования поверхности полуправильных многогранников Архимеда

Полный текст

Введение [9] Полуправильные многогранники, или тела Архимеда, - это тринадцать выпуклых многогранников, которые имеют следующие признаки многогранников Платона (правильных многогранников): все ребра равны, все грани - правильные многоугольники [1]. Однако, в отличие от тел Платона, полуправильные многогранники имеют грани двух или трех форм [2; 3]. Для образования полуправильных многогранников обычно используют метод усечения плоскостью углов правильных многогранников, при этом происходит также усечение ребер, исходящих из этих углов. Для усечения тетраэдра, октаэдра икосаэдра, кубооктаэдра и икосододекаэдра величина усечения ребер известна [4]. Для образования усеченного додекаэдра и усеченного куба эта величина рассчитывается. Ромбокубододекаэдр и усеченный икосододекаэдр формируются отсечением ребер с одновременным усечением углов [5]. Известно построение ромбоикосодекаэдра и усеченного икосододекаэдра с использованием прямоугольников, в которых отношение сторон соответствует пропорции золотого сечения [6]. Вопросы визуализации архитектурных и инженерных тел в трехмерном пространстве посредством использования различных видов программного обеспечения отражены в работах [7-12]. Использование системы AutoCAD и языка AutoLISP для образования различных поверхностей опубликовано в работах [13-18]. Визуализация образования поверхностей тел Платона кинематическим способом в динамическом режиме в системе AutoCAD рассмотрена в работе [19]. Предложенная статья является продолжением исследований в области визуализации процессов образования многогранников Архимеда [20]. Далее рассмотрена задача о визуализации образования на базе додекаэдра четырех полуправильных многогранников: усеченного додекаэдра, икосододекаэдра, ромбоикосододекаэдра и усеченного икосододекаэдра. 1. Образование поверхности усеченного додекаэдра Усеченный додекаэдр (рис. 2) образуется усечением вершин додекаэдра (рис. 1) и, следовательно, углов у пятиугольников. Он имеет 20 треугольных и 12 десятиугольных граней. Конфигурация вершины: 3, 10, 10. Для образования усеченного додекаэдра кинематическим способом строится его каркас усечением каркасных линий додекаэдра. Величины сторон десятиугольников, треугольников и отсекаемых отрезков определяются из соотношений (рис. 3) , (1) , (2) , (3) , (4) где - длина стороны пятиугольника додекаэдра; - радиус окружности, описанной вокруг пятиугольника; ϑ = 36° - угол при вершине в треугольнике ; - величина граней десятиугольника; - величина отрезков, отсеченных от сторон пятиугольников. Каркас усеченного додекаэдра строится на базе каркаса додекаэдра. В пятиугольных ячейках додекаэдра образуются десятиугольные ячейки усеченного додекаэдра. В образовавшемся между ними пространстве появляются ячейки треугольной формы. Рис. 1. Додекаэдр [Figure 1. Dodecahedron] Рис. 2. Усеченный додекаэдр [Figure 2. Truncated dodecahedron] Рис. 3. Определение размеров ребер [Figure 3. Definition of the size of the ribs] Полученный каркас используется для построения отсеков поверхностей десятиугольных и треугольных граней. Образование отсеков выполняется раздельно двумя пользовательскими функциями в виде двух конструктивных форм. Формирование конструктивной формы 1 Набор отсеков поверхности десятиугольной грани строится в ячейке каркаса усеченного додекаэдра. Система координат устанавливается в середине нижнего основания дестиугольника и поворачивается вокруг оси на величину двугранного угла, при этом система преобразуется в систему координат , расположенную в плоскости ячейки (рис. 4). Образование набора отсеков поверхности десятиугольника выполняется в цикле с использованием функции Loft и ее опции «По сечениям». Конструктивная форма 1 изображена на рис. 5. Она состоит из отсеков двух рядов десятиугольников и двух оснований такой же формы. Рис. 4. Образование отсеков в десятиугольнике [Figure 4. Formation of compartments in the decagon] Рис. 5. Конструктивная форма 1 с направляющими линиями [Figure 5. Constructive form 1 with guide lines] Формирование отсеков поверхности треугольной грани также выполняется в ячейке каркаса. Ее положение определяется двумя углами и (рис. 6). Треугольные ячейки расположены в 4 ряда. Ячейка 1-го ряда изображена на рис. 6, где - сторона десятиугольника; , и - отрезки, отсеченные от сторон пятиугольников. Сторона десятиугольника равна , (5) при этом . Сторона пятиугольника равна . (6) С учетом равенства углов и формулы (2), (5) и (6) позволяют получить выражения для определения величин стороны десятиугольника и отсеченных отрезов и имеют вид , . Углы и определяют положение треугольной ячейки и вычисляются по формулам , , где - высота правильной пирамиды ; - центр треугольника , являющегося основанием пирамиды. Рис. 6. Треугольная ячейка 1-го ряда [Figure 6. 1st row triangular cell] Для образования отсеков поверхности треугольника первого ряда систему координат переносим в точку и совмещаем ось с высотой , выполнив следующие операции: - поворот системы координат вокруг оси с тем, чтобы ось стала перпендикулярной стороне ; - перенос системы в точку ; - поворот системы вокруг стороны на угол ; - перенос системы из точки в точку Для образования отсеков поверхности треугольника второго ряда систему координат переносим в точку и совмещаем с высотой (рис. 7), выполнив следующие операции: - поворот системы координат вокруг оси на угол - ось по ребру - перенос системы по каркасной линии в точку ; - поворот системы координат вокруг оси на угол α - ось y по ; - перенос системы координат в точку . Формирование отсеков грани десятиугольной формы выполняется в цикле с шагом . Конструктивная форма 1 формируется из отсеков поверхностей 12 десятиугольных граней. Она представлена на рис. 5. Формирование отсеков треугольной формы выполняется в цикле с шагом , который зависит от шага . Рис. 7. Формирование системы координат [Figure 7. Formation of the coordinate system ] Рис. 8. Определение шага для ряда 1 [Figure 8. Definition of a step for rank 1] На рис. 8 продемонстрировано образование отсеков поверхности треугольника 1-го ряда сверху. Если шаг образования поверхности десятиугольной грани - , а треугольной грани - , то их проекции на ребро - отрезок . Следовательно, , . На рис. 9 представлено образование отсеков поверхности треугольника 2-го ряда сверху. Если шаг образования поверхности десятиугольной грани - , а треугольной грани - , то их проекции на ребро - отрезок . Следовательно, Вычисление шага образования отсеков поверхности треугольных граней, расположенных в других рядах, выполняется по такому же алгоритму. Рис. 9. Определение шага для ряда 1 [Figure 9. Definition of a step for rank 2] Рис. 10. Конструктивная форма 2 [Figure 10. Constructive form 2] Рис. 11. Образование поверхности усеченного додекаэдра [Figure 11. Formation of truncated dodecahedron] Конструктивная форма 2, составленная из отсеков поверхностей 20 треугольных граней, изображена на рис. 10. Визуализация образования поверхности усеченного додекаэдра в динамическом режиме осуществляется потребительской функцией, в которой в качестве блоков задействованы конструктивные формы 1 и 2. Фрагмент образования усеченного додекаэдра представлен на рис. 11. 2. Образование поверхности икосододекаэдра Икосододекаэдр имеет 32 грани, среди них - 12 правильных пятиугольников и 20 правильных треугольников [рис. 12]. Все грани являются правильными многоугольниками двух типов - пятиугольник и треугольник. В каждой вершине сходятся два пятиугольика и два треугольника. Конфигурация вершины: 3, 3, 5, 5. Рис. 12. Икосододекаэдр [Figure 12. Icosododecahedron] Рис. 13. Образование поверхности икосододекаэдра [Figure 13. Formation of icosododecaheron surface formation] Многогранник получается при срезании вершин додекаэдра плоскостями, проходящими через середины ребер додекаэдра. В результате такого усечения пятиугольные грани изменяются в размере и между ними образуются грани треугольной формы. Усечение пятиугольников показано на рис. 14. Секущие линии (i = 1,…, 5), проходят через середины сторон пятиугольника . Результат усечения - пятиугольник . Рис. 14. Усечение пятиугольника MNKFQ додекаэдра [Figure 14. Truncation of the dodecahedron pentagon MNKFQ] Рис. 15. Образование отсеков одной грани икосододекаэдра. [Figure 15. Formation of compartments of a face of the icosodododecahedron] Окружность, описанная вокруг пятиугольника , является вписанной в пятиугольник , радиус которой равен , где радиус окружности, описанной вокруг пятиугольника . Сторона пятиугольника равна . Каркас икосододекаэдра содержит ячейки пятиугольной и треугольной форм (рис. 15 ). Образование отсеков пятиугольной грани показано на том же рисунке. Отсеки поверхности треугольных граней расположены в четыре ряда. Если шаг образования поверхности пятиугольной грани - , то шаг образования отсеков треугольной грани равен: - ряды 1, 4; - ряды 2, 3. С целью выполнения визуализации процесса образования икосододекаэдра создаются две конструктивных формы. Первая форма - набор отсеков поверхности пятиугольных граней, вторая - набор отсеков поверхности треугольных граней (рис. 16). Для использования в программе формирования поверхности икосододекаэдра конструктивные формы представляются в виде блоков. Рис. 16. Набор отсеков треугольных граней [Figure 16. Set of compartments of triangular faces] Икосододекаэдр в процессе образования показан на рис. 13. 3. Образование поверхности ромбоикосододекаэдра Ромбоикосододекаэдр состоит из 12 правильных пятиугольников, 30 квадратов и 20 правильных треугольников [рис. 17]. В каждой из вершин сходятся треугольник, пятиугольник и два квадрата. Ромбоикосододекаэдр формируется усечением ребер и вершин додекаэдра или икосаэдра. При усечении додекаэдра его 12 конгруэнтных правильных пятиугольников трансформируются в 12 уменьшенных правильных пятиугольников ромбоикосододекаэдра, расположенных в тех же плоскостях. В образовавшемся пространстве формируются 30 конгруэнтных квадратов и 20 конгруэнтных равносторонних треугольников. Усечение ребра додекаэдра представлено на рис. 19. Для того чтобы стороны пятиугольников и образовавшегося между ними прямоугольника были равны между собой, необходимо выполнить условие подобия пятиугольников и : , (7) , (8) где r - радиус окружности, описанной вокруг пятиугольника додекаэдра (задан). Если фигура - квадрат, то . , (9) где , - двугранный угол додекаэдра. Рис. 17. Ромбоикосододекаэдр [Figure 17. Romboicosododecahedron] Рис. 18. Образование поверхности ромбоикосододекаэдра [Figure 18. Formation of romboicosododecahedron surface] Рис. 19. Усечение ребра додекаэдра [Figure 19. Truncation of the dodecahedron edge] Выражения (7), (8), (9) позволяют найти величину стороны , принадлежащей и пятиугольнику ромбоикосододекаэдра, и прямоугольнику. . Двугранный угол между пятиугольниками и квадратами равен . Таким образом, при усечении ребер додекаэдра образуются пятиугольники, центры которых совпадают с центрами прямоугольников додекаэдра, между пятиугольниками формируются квадраты, а между квадратами - конгруэнтные треугольники, стороны которых равны сторонам квадрата. Усеченные пятиугольники, квадраты и треугольники составляют каркас ромбоикосододекаэдра. В ромбоикосододекаэре имеется еще один двугранный угол между квадратом и треугольником (рис. 20). , где - угол между осью и осью ; - угол между осью и осью ; ; . Конструктивная форма 1 образуется посредством функции Array для набора отсеков граней, представленных на рис. 21. По существу это участки двух меридианов, к первому меридиану относятся квадрат и пятиугольник (ряд слева), ко второму - два треугольника и квадрат (ряд справа). Между меридианами находятся половинки квадратов. Отсеки поверхности этих граней строятся в ячейках каркаса ромбоикосододекаэдра. Система координат соответствует SEIsometric. Рис. 20. Углы ромбоикосододекаэдра [Figure 20. Angles of the rhombicosododecahedron] Рис. 21. Набор отсеков для формирования конструктивной формы 1 [Figure 21. Set of compartments for forming a structural form 1] Алгоритм образования отсеков поверхности в ячейках 1-го меридиана: - поворот системы координат вокруг оси на - перенос системы координат в середину основания квадрата; - поворот системы координат вокруг оси на угол (180 - ); - формирование отсеков поверхности квадрата; - перенос системы координат в основание пятиугольника; - поворот системы координат вокруг оси на угол (180 - ); - формирование отсеков поверхности пятиугольника; - установка системы координат в положение World. Алгоритм образования отсеков поверхности в ячейках 2-го меридиана: - поворот системы координат вокруг оси на - перенос системы координат в вершину нижнего треугольника; - поворот системы координат на угол вокруг оси ; - формирование отсеков поверхности нижнего треугольника; - перенос системы координат в основание квадрата; - поворот системы координат вокруг оси на угол (180 - ); - формирование отсеков поверхности квадрата; - перенос системы координат в середину основания верхнего треугольника; - поворот системы координат вокруг оси на угол (180 - ); - формирование отсеков поверхности верхнего треугольника; - установка системы координат в положение World. Алгоритм образования отсеков поверхности в ячейках квадратов между меридианами 1 и 2: - перенос системы координат в точку или и установка оси перпендикулярно основанию голубого треугольника; - формирование отсеков поверхности треугольников; - установка системы координат в положение World. Конструктивная форма 2 формируется из отсеков граней, представленных на рис. 22. Конструктивные формы 1 и 2 представлены на рис. 23 и 24. Образование поверхности ромбоикосододекаэдра продемонстрировано на рис. 18. Рис. 22. Набор отсеков для формирования конструктивной формы 2 [Figure 22. Set of compartments for forming a structural form] Рис. 23. Конструктивная форма 1 [Figure 23. Constructive form 1] Рис. 24. Конструктивная форма 2 [Figure 24. Constructive form 1] 4. Образование поверхности усеченного икосододекаэдра Усеченный икосододекаэдр формируется отсечением ребер и вершин додекаэдра. При усечении додекаэдра необходимо его 12 конгруэнтных правильных пятиугольников трансформировать в 12 конгруэнтных правильных десятиугольников, а также образовать 30 конгруэнтных квадратов и 20 конгруэнтных равносторонних шестиугольников. Рис. 25. Усеченный икосододекаэдр [Figure 25. Truncated icosododecahedron] Рис. 26. Фрагмент формирования усеченного икосододекаэдра [Figure 26. A fragment of the formation of a truncated icosododecahedron] Стороны квадрата принадлежат и десятиугольнику, и шестиугольнику (рис. 25). Поэтому стороны всех многоугольников, составляющих усеченный икосододекаэдр, будут равны друг другу, если при усечении будет выполнено условие равенства стороны десятиугольника стороне квадрата: (10) На рис. 27 изображены два десятиугольника и квадрат после усечения ребра додекаэдра. Расстояние между основанием десятиугольника и ребром додекаэдра равно , (11) где - радиус окружности, описанной вокруг пятиугольника (задано), ; - радиус окружности, описанной вокруг десятиугольника, . . (12) Рис. 27. Усечение ребра додекаэдра [Figure 27. Truncation of the dodecahedron edge] Величину стороны квадрата можно определить из выражения . (13) Принимая во внимание, что , а также выражения (11), (12) и (13), получим . Рис. 28. Отсеки граней для формирования конструктивной формы [Figure 28. Compartments of faces for the formation of a structural form] Итак, стороны всех многоугольников равны по величине стороне квадрата . Полученные данные позволяют построить каркас усеченного икосододекаэдра на базе додекаэдра Платона. Двугранный угол между квадратом и десятиугольником равен двугранному углу между квадратом и пятиугольником в ромбоикосододекаэдре, двугранный угол между квадратом и шестиугольником равен двугранному углу между квадратом и пятиугольником в ромбоикосододекаэдре. Для визуализации процесса образования усеченного додекаэдра строится конструктивная форма из отсеков граней рассматриваемого многогранника. Форма образуется формированием полярного массива из заранее сформированных отсеков двух меридианов (рис. 28). Алгоритм образования отсеков меридианов аналогичен алгоритму, приведенному для ромбоикосододеаэдра. Образование поверхности показано на рис. 26. Заключение Результатом проведенной работы является создание алгоритмов и программного обеспечения на языке AutoLISP для образования электронных моделей и визуализации формирования кинематическим способом поверхностей следующих полуправильных многогранников Архимеда: - усеченного додекаэдра; - икосододекаэдра; - ромбоикосододекаэдра; - усеченного икосододекаэдра.

Об авторах

Викторина Анатольевна Романова

Автор, ответственный за переписку.
Email: v.a.r-victoryna@mail.ru
SPIN-код: 3869-5969

доцент департамента строительства Инженерной академии

Список литературы