Влияние трения при взаимодействии анизотропной полосы и жесткого основания

Полный текст

Введение [7] Задача об определении перемещений и напряжений в упругом слое, контактирующем под действием поверхностной нагрузки с основанием, имеет широкое применение на практике: при расчете конструкций на упругом основании, в механике грунтов, для исследования работы асфальтобетонных покрытий. Контактное взаимодействие слоя из изотропного материала с основанием рассматривалось в работах [1-9]. Для варианта, когда материал слоя имеет выраженную анизотропию, аналогичный класс задач рассмотрен, например, в [10-16]. В перечисленных работах решение проводилось или при отсутствии трения, или при отсутствии скольжения на контактной плоскости между телами. Трение при контакте полосы и полуплоскости, когда материал слоев изотропный, на напряженное и деформированное состояние двухслойной области учитывалось в [17]. Исследуем влияние трения на распределение напряжений в анизотропной полосе при взаимодействии с жестким основанием. 1. Постановка задачи Полоса из анизотропного материала постоянной высоты и бесконечной длины лежит на жестком основании (рис. 1). Ось направим вдоль нижней плоскости полосы, ось - перпендикулярно основанию. На верхней плоскости действует нормальная симметричная относительно оси поверхностная нагрузка Направления осей анизотропии определяются углом Положительные направления нормальных и касательного напряжений, перемещений и совпадают с обозначениями [18]. Рис. 1. Расчетная схема [Figure 1. Design model] 2. Метод расчета При решении воспользуемся приведенными в [14] уравнениями для определения в произвольной точке полосы перемещений (1) и напряжений (2) где Формулы (1)-(2) записаны для варианта Для плоского напряженного состояния коэффициенты связаны с коэффициентами деформации [18] соотношениями в случае плоского деформированного состояния Производная по обозначена через Функции перемещений на нижней плоскости обозначены через функции усилий Точки, далее их показывать не будем, отделяют дифференциальные операторы от функций, на которые они воздействуют. Полагаем, что полоса плотно прилегает к основанию и на границе контакта значение касательного усилия пропорционально нормальному давлению: (3) где - коэффициент трения. Подставим в функции напряжений и (2) значение Учитывая направления и условия , получим систему двух уравнений относительно неизвестных функций и : (4) где определяется выражением (3). Из системы (4) найдем зависимость между и при которой полоса плотно прилегает к основанию: (5) Принимая в (5) имеем соотношение между нагрузкой и контактным усилием для варианта, когда полоса лежит на жестком основании без трения [12]. Запишем, исходя из системы (4), выражение для определения функции - через поверхностную нагрузку и усилие : (6) - через поверхностную нагрузку и касательное усилие : (7) Из условия (отсутствие скольжения между полосой и основанием) и уравнений (6), (7) найдем зависимости между и и Подставляя выражения и в (1)-(2), получим формулы для определения перемещений и напряжений в произвольной точке полосы, жестко скрепленной с основанием [14]. Предполагаем, что существует интегральное преобразование Фурье от функций и которые разделим на симметричные и кососимметричные составляющие [19]: (8) где где - любое положительное вещественное число. Трансформанту Фурье учитывая уравнения (3), (5), (8), а также то, что при симметричной нагрузке нормальное усилие будет симметричным, касательное - кососимметричным, выразим через трансформанту от симметричной нагрузки (9) где Используя формулу обращения Фурье, запишем (10) В формулах (9) и (10) введены обозначения Подставим (10), учитывая (3), в любое из уравнений системы (4) и, воздействуя дифференциальными операторами на функции и , найдем (11) Уравнения (10), (11) внесем в (1)-(2). После преобразований получим формулы для определения в полосе перемещений (12) и напряжений (13) где При переходе от анизотропного материала полосы к изотропному в уравнениях (12) и (13) слагаемые, входящие под знак интеграла, раскладываем в ряды. Числитель и знаменатель сократим на множитель и выполним переход к техническим постоянным. Например, для плоского напряженного состояния . Подставим технические постоянные в ряды и, учитывая, что для изотропного материала ряды свернем. После преобразований формулы для определения напряжений имеют вид (14) где Значение напряжения при и как следует из формулы, не зависит от коэффициента Пуассона Рассмотрим вариант, когда к верхней плоскости полосы в сечении приложена сила равномерно распределенная вдоль оси перпендикулярной плоскости рисунка. Трансформанта Фурье от сосредоточенной силы (15) где - дельта-функция Дирака. Используя (13), (15) и симметрию внешней нагрузки, запишем формулы для определения в произвольной точке полосы напряжений: (16) где Компоненты напряжений для полосы из изотропного материала можно аналогично записать на основе формул (16). Принимая в (16) получим формулы для определения напряжений в анизотропной полосе, лежащей на жестком основании без трения. При нагружении полосы силой приложенной на расстоянии от начала координат, в формулах (16) необходимо заменить параметр на где Полагая имеем выражения для определения напряжений от единичной нагрузки, которые можно рассматривать как функции влияния для задачи о равновесии полосы, лежащей на жестком основании, с учетом трения. Используя данные функции, несложно записать формулы для определения напряжений при нагружении верхней плоскости полосы на отрезке определенной длины нормальной симметричной нагрузкой Например, при определении напряжения от нагрузки, расположенной симметрично относительно оси и действующей на участке длиной имеем (17) 3. Результаты Для оценки влияния трения и свойств анизотропии материала на характер напряженного состояния рассмотрим пример, когда полоса выполнена из стеклопластика при значениях упругих постоянных приведенных в [18]. На рис. 2 показаны графики изменения параметра напряжения на границе контакта полосы и основания от силы, приложенной в сечении к верхней плоскости. Наибольшее значение модуля упругости материала направлено по оси Количественное и качественное сопоставление результатов расчета показано для полосы в условиях плоского напряженного состояния (ширина полосы b=1). Сплошной линией обозначена кривая, когда полоса лежит на основании без трения, штрихпунктирной соответствует вариант жесткого сцепления. Штриховой линией показан характер распределения при взаимодействии с трением полосы и основания Видно, что наибольшее значение возникает при отсутствии трения между полосой и основанием. Рис. 2. Изменение параметра при [Figure 2. The change of the parameter when ] Зависимость параметра от значений коэффициента трения при приведена на рис. 3, а, при на рис. 3, б. Сплошная линия соответствует варианту, когда наибольший модуль упругости анизотропного материала направлен по оси штриховая - по оси Штрихпунктирная линия иллюстрирует зависимость от коэффициента трения для изотропного материала Из анализа кривых на рис. 3, а следует, что с увеличением коэффициента трения значения параметра уменьшаются. Рис. 3, б показывает, что при влияние коэффициента трения на величину параметра незначительно. Рис. 3. Зависимость параметра от коэффициента трения : а - при б - при [Figure 3. Dependence of the parameter on the coefficient of friction : а - when б - when ] На рис. 4 представлены графики зависимости параметра от коэффициента трения и направления осей анизотропии. При проведении расчетов коэффициенты деформации, используя формулы преобразования упругих постоянных при повороте осей анизотропии на некоторый угол [18], выражены через технические постоянные , На рис. 4, а показаны графики изменения при на рис. 4, б при Обозначения кривых соответствуют рис. 2. Из анализа графиков следует, что наименьшие значения возникают при расположении осей анизотропии под углом к координатным осям. Рис. 4. Зависимость параметра от направления осей анизотропии: а - при б - при [Figure 4. Dependence of the parameter from the direction of the anisotropy axes: а - when б - when ] Графики изменения параметра касательного напряжения когда наибольшее значение модуля упругости материала направлено по оси х, построены на рис. 5 и 6. Кривые соответствуют обозначениям на рис. 2. Распределение параметра по высоте полосы в зависимости от коэффициента трения и параметра представлено на рис. 5. Из сопоставления кривых видно, что отличие в значениях и характере распределения наблюдается в области, примыкающей к зоне контакта полосы и основания. На линии контакта наибольшее значение возникает при учете трения между полосой и основанием. Распределение параметра по длине полосы при показано на рис. 6. Сравнение кривых показывает, что при учете трения максимальное значение смещается от линии действия силы на большее расстояние, чем без учета трения или при жестком сцеплении контактирующих тел. Рис. 5. Изменение параметра по высоте полосы [Figure 5. The change of the parameter for the height of the strip] Рис. 6. Изменение параметра при [Figure 6. The change of the parameter when ] Рис. 7. Изменение параметра при [Figure 7. The change of the parameter when ] Характер распределения параметра напряжения по длине полосы при представлен на рис. 7. Интеграл для вычисления параметра - расходящийся. При проведении расчетов использован прием, предложенный в работах [4] и [19]. Анализ кривых, обозначения соответствуют рис. 2, показывает, что качественная картина изменения параметра и количественные значения зависят от условий сцепления между полосой и жестким основанием. Заключение Получены расчетные формулы для оценки напряженного и деформированного состояния в анизотропной полосе при взаимодействии с жестким основанием и разных вариантах сцепления между контактирующими телами. Из приведенных формул, как частный случай, следуют решения задач о взаимодействии полосы из изотропного материала с жестким основанием с учетом и без учета трения. Численные расчеты проведены для варианта нагружения верхней плоскости полосы сосредоточенной силой. Показано, что максимальные нормальные напряжения, действующие в направлении перпендикулярном границе основания, при данных физических характеристиках материала с увеличением значения коэффициента трения уменьшаются. При учете трения наибольшее отличие в характере изменения и значениях напряжений наблюдается в области, примыкающей к зоне контакта полосы и основания.

Об авторах

Сергей Геннадьевич Кудрявцев

Поволжский государственный технологический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: KudryavcevSG@volgatech.net

кандидат технических наук, доцент кафедры сопротивления материалов и прикладной механики

Российская Федерация, 424000, Республика Марий Эл, Йошкар-Ола, пл. Ленина, 3

Юлия Михайловна Булдакова

Поволжский государственный технологический университет

Email: KudryavcevSG@volgatech.net

старший преподаватель кафедры сопротивления материалов и прикладной механики

Российская Федерация, 424000, Республика Марий Эл, Йошкар-Ола, пл. Ленина, 3

Список литературы