Численный анализ устойчивости подкрепленных пластин с некратными критическими нагрузками

Полный текст

Введение 1 Подкрепленные пластины - важный и достаточно часто встречающийся конструктивный элемент в машиностроении, авиации и строительстве. Задача об устойчивости подкрепленных пластин является актуальной и недостаточно изученной. Полученные на сегодняшний день отдельные решения не создают целостной картины поведения подкрепленных пластин различных геометрических параметров под действием сжимающей нагрузки. В данной работе кривые равновесных состояний строятся в геометрически нелинейной постановке, постоянно учитывается нелинейное взаимодействие собственных форм (локальной формы волнообразования и формы общего выпучивания подкрепленной пластины как эйлерова стержня), а также влияние начальных геометрических несовершенств, что позволяет получать реальные значения критических нагрузок для подкрепленных пластин. Влияние начального несовершенства для тонких прямоугольных и круглых пластин по форме выпучивания эйлерова стержня в задачах изгиба и устойчивости оценено впервые в работах H. Ню- ландера [6]. Одной из первых по проблеме устойчивости подкрепленных пластин была работа В.Т. Койтера и М. Скалауда [4]. Весьма важные исследования проведены А. Ван дер Нейтом [8; 9] и Ж. Майером [10], а также В. Твергардом [7]. Эти ученые придерживались противоположных точек зрения по поводу чувствительности к начальным геометрическим несовершенствам: по А. Ван дер Нейту, эта чувствительность во многих случаях небольшая, тогда как по В. Твергарду, она может быть значительной. Для описания равновесных состояний вблизи двукратной критической точки Дж. Хант [2] предложил особые диаграммы с дополнительным параметром σ, что использовано в настоящей статье. Интересные экспериментальные исследования устойчивости сжатых подкрепленных пластин проведены С. Массонье [5]. Особый случай обратного прогиба сжатой подкрепленной пластины исследовал В. Фок [1]. В работах А.И. Маневича [12; 13] рассмотрены задачи связанной потери устойчивости для подкрепленной панели и стержня прямоугольного сечения, изучено влияние вторичной местной формы потери устойчивости на расчетную предельную нагрузку в зависимости от параметров сечений и начальных несовершенств. 1. Постановка задачи Задача об устойчивости тонких подкрепленных пластин решена методом конечных элементов. Выбраны геометрические параметры подкрепленных пластин: - длина пластин - 86 см, - ширина пластин - 36 см, - δ = 0,1 см; е = 1,2 см; J = 17,283 см4; - δ = 0,13 см; е = 1,132 см; J = 18,754 см4; - δ = 0,16 см; е = 1,071 см; J = 20,064 см4; - δ = 0,2 см; е = 1 см; J = 21,624 см4; - δ = 0,23 см; е = 0,952 см; J = 22,665 см4; - δ = 0,3 см; е = 0,857 см; J = 24,765 см4; - δ = 0,4 см; е = 0,95 см; J = 27,192 см4; - δ = 0,8 см; е = 0,9 см; J = 33,936 см4, где δ - толщина пластины; е - эксцентриситет положения главной центральной оси сечения; J - момент инерции относительно главной центральной оси. Граничные условия: шарнирное опирание вдоль коротких сторон со свободными продольными краями. Пластина имела четыре продольных ребра жесткости. Поперечное сечение подкрепленной пластины представлено на рис. 1. Конечно-элемент- ная модель построена в раcчетном комплексе MSC PATRAN - NASTRAN. Использованы четырех- узловые плоские конечные элементы типа shell (2378 элементов) (рис. 2). Материал считался абсолютно упругим (модуль упругости Е = 2·106кг/см2, коэффициент Пуассона μ = 0,3). Сжимающая на- грузка (четыре силы) приложена в точках пересечения осей симметрии ребер и главной центральной оси сечения. Рис. 1. Поперечное сечение подкрепленной пластины: b = 12 см; bp = 1,2 см; hp = 3 см [Figure 1. Cross-section of the stiffened plate: b = 12 сm; bp = 1.2 сm; hp = 3 сm] Рис. 2. Конечно-элементная модель подкрепленной пластины [Figure 2. Finite-element model of the stiffened plate] 2. Исследование докритического и начального послекритического равновесий подкрепленных пластин с некратными критическими нагрузками В данной части исследования изучено докритическое и послекритическое равновесия подкрепленных пластин с некратными критическими нагруз- ками без учета начальных геометрических несовершенств. Задача решена с учетом геометрической нелинейности. В первую очередь рассмотрены послекритические равновесия тонких пластин, когда толщины пластин значительно меньше, чем толщины ребер. Решение линейных задач на собственные значения (buckling) в расчетном комплексе позволило получить критические силы и формы потери устойчивости для данных тонких пластин. Эти силы соответствовали критическим точкам, полученным из расчета с учетом геометрической нелинейности. На рис. 3 показана кривая равновесных состояний для пластины толщиной δ = 0,1 см. Данная кривая представляет собой график изменения прогибов в зависимости от величины сжимающей нагрузки, построенный для отдельного узла пластины, расположенного на оси симметрии вблизи нагруженного края. Как показал расчет, развитие прогиба системы провоцирует начальное волнообразование в пластине (общее количество полуволн равно десяти), происходит первая бифуркация, но система продолжает держать нагрузку сжатия. Далее происходит перестройка волнообразования (последующие формы потери устойчивости имеют одиннадцать полуволн). Послекритическое равновесие для подкрепленной пластины толщиной δ = 0,1 см устойчиво (до Pmax = 34 200 кг). На рис. 4 показаны деформированные состояния подкрепленных пластин толщиной δ = 0,1 см, соответствующие разным величинам сжимающей нагрузки. Очевидно, что при данных геометрических параметрах наибольшее сопротивление сжатию оказывают ребра жесткости (нагрузка продолжает расти до достижения максимальной - Pmax = 34 200 кг). На рис. 5 показан график зависимости прогибов от величины сжимающей нагрузки, соответствующий подкрепленной пластине толщиной δ = 0,13 см. Для пластины с данными геометрическими параметрами первая бифуркация являлась устойчивой, тогда как последующая - неустойчивой (скачок перемещений на графике). Максимальное значение нагрузки соответствует нагрузке потери устойчивости в предельной точке. Рис. 3. График зависимости прогибов от величины сжимающей нагрузки при силовом нагружении подкрепленной пластины (δ = 0,1 см) [Figure 3. Bend curve vs compression load for the stiffened plate (δ = 0.1 cm)] Рис. 4. Развитие волнообразования в пластине (δ = 0,1 см) [Figure 4. Undulation effect propagation along a plate (δ = 0.1 cm)] Рис. 5. График зависимости прогибов от величины сжимающей нагрузки при силовом нагружении подкрепленной пластины (δ = 0,13 см) [Figure 5. Bend curve vs compression load for the stiffened plate (δ = 0.13 cm)] На рис. 6 показаны деформированные состояния подкрепленной пластины толщиной δ = 0.13 см до скачка и после скачка перемещений. В точках бифуркации происходит перестройка форм волно- образования. Количество полуволн до скачка - девять, после скачка - одиннадцать. Рис. 6. Деформированные состояния подкрепленной пластины толщиной δ = 0,13 см [Figure 6. Strain states of the stiffened plate δ = 0.13 сm] На рис. 7 показан график зависимости прогибов от величины сжимающей нагрузки для пластины толщиной δ = 0,16 см. Важно отметить, что геометрические параметры этой подкрепленной пластины очень близки к таким геометрическим параметрам, при которых подкрепленная пластина имеет двукратную критическую нагрузку (δ = 0,175 см). Результаты подробного исследования устойчивости подкрепленной пластины с двукратной критической нагрузкой нами приведены в работе [11]. Кривая равновесных состояний подкрепленной пластины толщиной δ = 0,16 см отличается от соответствующих графиков, построенных для пластин меньших толщин. В процессе нагружения прогиб системы монотонно увеличивается и провоцирует волнообразование в средней части пластины. Точка бифуркации соответствует критической нагрузке Рбиф = 42 324 кг, вслед за которой появляется предельная точка Рmax = 42 778 кг, а дальнейшее равновесие пластины становится неустойчивым (нагрузка падает при растущих прогибах). После прохождения предельной точки волнообразование распространяется по всей поверхности пластины. Следующая бифуркация (Рбиф = 42 246 кг) возникает уже на неустойчивой ветви кривой равновесных состояний. Рис. 7. График зависимости прогибов от величины сжимающей нагрузки при силовом нагружении подкрепленной пластины (δ = 0,16 см) [Figure 7. Bend curve vs compression load for a stiffened plate (δ = 0,16 cm)] Дальнейшие исследования устойчивости подкрепленных пластин посвящены рассмотрению послекритических равновесий пластин с большими толщинами (δ = 0,2 см, δ = 0,23 см и δ = 0,3 см) по сравнению с параметрами аналогичной пластины (δ = 0,175 см), обладающей двукратной критической нагрузкой. Для каждой из таких пластин при δ > 0,175 см первой критической является нагрузка выпучивания пластины как эйлерова стержня. На рис. 8 и 9 представлены графики зависимостей прогибов от величин сжимающей нагрузки для подкрепленных пластин толщинами δ = 0,2 см и δ = 0,23 см. Рис. 8. График зависимости прогибов от величины сжимающей нагрузки при силовом нагружении подкрепленной пластины (δ = 0,2 см) [Figure 8. Bend curve vs compression load for a stiffened plate (δ = 0.2 cm)] Рис. 9. График зависимости прогибов от величины сжимающей нагрузки при силовом нагружении подкрепленной пластины (δ = 0,23 см) [Figure 9. Bend curve vs compression load for a stiffened plate (δ = 0.23 cm)] Исследования показали, что под действием увеличивающейся сжимающей нагрузки растет про- гиб в средней части пластин. Однако бифуркации волнообразования появлялись только после прохождения предельных точек на неустойчивых участ- ках кривых равновесных состояний. На рис. 10 представлен график зависимости прогибов от величины сжимающей нагрузки для подкрепленной пластины толщиной δ = 0,3 см. Анализ послекритического равновесия данной пластины показал, что потеря устойчивости происходит только в предельной точке, без возникновения точек бифуркации волнообразования (Рmax = 62 294 кг). Волнообразование сильно уменьшает продольную жесткость, поэтому слабо растущая эластика Эйлера переходит в слабо падающую кривую после предельной точки. Подкрепленная пластина толщиной δ = 0,4 см также теряет устойчивость в предельной точке (Рmax = 68 345 кг). Бифуркации волнообразования здесь не наблюдались. Рис. 10. График зависимости прогибов от величины сжимающей нагрузки при силовом нагружении подкрепленной пластины (δ = 0,3 см) [Figure 10. Bend curve vs compression load for a stiffened plate (δ = 0.3 cm)] Полученные особенности поведения подкрепленных пластин для случаев, когда первой критической нагрузкой является нагрузка волнообразования (δ < δ = 0,175 см) и когда первая критическая нагрузка - эйлерова сила (δ > δ = 0,175 см), можно объяснить с помощью бифуркационных диаграмм Дж. Ханта [2]. Они построены путем введения в выражение потенциальной энергии двойной полусимметричной точки бифуркации дополнительного члена с параметром σ: V16V q222 2312V q q112 1 22  12крV q V q11 1 2  22 2 2 12 V q11 1 2, (1) где V - потенциальная энергия; цифровые индексы означают дифференцирование по координатам q1 и q2; индекс с буквой λ - дифференцирование по параметру нагрузки. Рис. 11. Бифуркационные диаграммы Дж. Ханта [Figure 11. J. Hunt’s bifurcation diagrams] При σ > 0 получим диаграмму на рис. 11, а и при σ < 0 - диаграмму на рис. 11, б. Первая из этих диаграмм соответствует поведению подкрепленной пластины, когда критическая сила вызывает неустойчивое волнообразование. Вторая диаграмма описывает бифуркации волнообразования на неустойчивой части кривой развития прогибов пластины как эйлерова стержня. Все производные потенциальной энергии вычисляются в точке двойной бифуркации, поэтому модификация потенциальной энергии работает локально, вблизи этой точки. В формуле (1) и на рис. 11 обозначено: q1 - координата, соответствующая форме волнообразования пластины; q2 - координата, соответствующая форме выпучивания стержня; λ - параметр нагрузки (λ = Р - Ркр); А - точка бифуркации, соответствующая критической силе выпучивания подкрепленной пластины как эйлерова стержня (Рэл); S - точка бифуркации, соответствующая критической силе волнообразования пластины; B - точка вторичной бифуркации, возникающая при развитии прогиба в подкрепленной пластине; 1 - прямая несвязных равновесий, соответствующая относительной амплитуде по форме выпучивания подкрепленной пластины как эйлерова стержня; 2 и 3 - асимптоты, к которым стремятся бифуркационные кривые связанных равновесий с координатами, зависящими как от прогиба по Эйлеру, так и от амплитуды волнообразования. Согласно бифуркационной диаграмме (рис. 11, а), если при расчете получим первую критическую нагрузку, соответствующую критической нагрузке волнообразования пластины, то точка бифуркации будет неустойчивой и послебифуркационные траектории равновесия окажутся падающими в одном направлении. Данное явление наблюдалось при анализе послекритического равновесия подкрепленных пластин толщиной δ = 0,16 см. Согласно диаграмме на рис. 11, б, если при расчете получим первую критическую нагрузку, соответствующую критической нагрузке потери устойчивости по Эйлеру, то тогда на падающей послебифуркационной траектории возникает вторичная неустойчивая бифуркация волнообразования. Это явление наблюдалось для подкрепленных пластин с толщинами δ = 0,2 см и δ = 0,23 см. Данные бифуркационные диаграммы позволяют предсказывать послекритическое поведение подкрепленных пластин с различными геометрическими параметрами. 3. Влияние начальных геометрических несовершенств на критическую нагрузку подкрепленных пластин Начальные геометрические несовершенства заданы по двум формам потери устойчивости: - несовершенство по форме выпучивания под-крепленной пластины как эйлерова стержня; - несовершенство по форме волнообразования пластины. Все амплитуды несовершенства заданы в долях от толщины подкрепленных пластин. На рис. 12 показаны кривые падения критических нагрузок при задании несовершенств по формам выпучивания стержня и волнообразования пластины, а табл. 3 содержит соответствующую числовую информацию. Падение критической нагрузки для пластины толщиной δ = 0,4 см, вызванное несовершенством по форме выпучивания эйлерова стержня 2δ составило 20 %. Анализ послекритического равновесия подкрепленной пластины толщиной δ = 0,8 см показал, что для этой пластины послекритическое равновесие неустойчиво, система теряет устойчивость в предельной точке (Pmax = 86 938 кг). Однако при задании несовершенства большой амплитуды (>2δ) по форме выпучивания пластины как эйлерова стержня система становится достаточно «грубой» и влияние начального несовершенства приводит к возникновению устойчивой ветви равновесия (псевдоэластики Эйлера). На рис. 13 показаны кривые равновесных состояний для пластины толщиной δ = 0,8 см. Таблица 1 Значения критических нагрузок для пластин (δ = 0,1 см, δ = 0,13 см, δ = 0,16 см) [Table 1. Critical loads for the stiffened plates(δ = 0.1 cm, δ = 0.13 cm, δ = 0.16 cm)] Ркр (кг) δ = 0,1 см, Pmax =34 200 кг δ = 0,13 см, Pmax = 39 100 кг δ = 0,16 см, Pmax = 42 778 кг Несовершенство по фор ме волнообразо вания пласт ины [Und ulation form imperfection] 0,1δ 1δ 2δ 0,1δ 1δ 2δ 0,1δ 1δ 2δ 34 143 34 125 34 125 37 368 36 672 36 168 41 749 40 032 38 472 Несовершен ство по ф орме выпучиван ия стержня [ Strut buc kling form imper fection] 0,1δ 1δ 2δ 0,1δ 1δ 2δ 0,1δ 1δ 2δ 3 2887 31 992 31 200 37 200 36 000 35 280 41 650 39 027 37 607 Таблица 2 Значения критических нагрузок для пластин (δ = 0,2 см, δ = 0,3 см, δ = 0,3 см) [Table 2. Critical loads for the stiffened plates (δ = 0.2 cm, δ = 0.23 cm, δ = 0.3 cm)] Ркр (кг) δ = 0,2 см, Pmax=54 322 кг δ = 0,23см, Pmax = 57 150 кг δ = 0,3см, Pmax = 62 294 кг Несовершенство по форме волнообразования пластины [Undulation form imperfection] 0,1δ 1δ 2δ 0,1δ 1δ 2δ 0,1δ 1δ 2δ 50 210 42 353 41 110 54 508 45 241 43 859 61 058 55 506 52 039 Несовершенство по форме выпучивания стержня [Strut buckling form imperfection] 0.1δ 1δ 2δ 0.1δ 1δ 2δ 0.1δ 1δ 2δ 50 186 42 438 40 305 55 643 48 120 43 689 60 542 53 932 49 769 Таблица 3 Падение критической нагрузки (%) [Table 3. Declination of the critical load (%)] Толщина пластины δ [Thickness of plate] Несовершенство по форме волнообразования пластины [Undulation form imperfection] 0,1δ 1δ 2δ Несовершенство по форме выпучивания стержня [Strut buckling form imperfection] 0,1δ 1δ 2δ 0,1 см 0,167 0,219 0,219 3,839 6,456 8,772 0,13 см 4,43 6,21 7,545 4,859 7,928 9,77 0,16 см 2,405 6,419 10,066 2,637 8,769 12,088 0,2 см 7,57 22,033 24,322 7,614 21,877 25,804 0,23 см 4,623 20,838 23,256 2,637 15,801 23,554 0,3 см 1,984 10,897 16,462 2,235 12,909 19,631 Рис. 12. Кривые падения критических нагрузок: δ = 0,1 см; δ = 0,13 см; δ = 0,16 см; δ = 0,2 см; δ = 0,23 см; δ = 0,3 см [Figure 12. Decline curves of the critical loads: δ = 0.1 cm; δ = 0.13 cm; δ = 0.16 cm; δ = 0.2 cm δ = 0.23 cm; δ = 0.3 cm] Рис. 13. График зависимости прогибов от величины сжимающей нагрузки (подкрепленная пластина δ = 0,8 см) [Figure 13. Bend curve vs compression load for a stiffened plate (δ = 0.8 cm)] Заключение Наибольшее влияние на критическую нагрузку оказало несовершенство по форме выпучивания подкрепленной пластины как эйлерова стержня ам- плитудой 2δ. Несовершенство такой формы провоцировало возникновение изгибающего момента и развитие волнообразования в пластине, вследствие чего падала изгибная жесткость системы. Достаточно небольшое падение критической нагрузки подкрепленных пластин с толщинами δ = 0,1 см, δ = 0,13 см, δ = 0,16 см обусловлено значительной толщиной ребер жесткости, поскольку основная нагрузка сжатия воспринималась при данных геометрических параметрах именно ребрами. Падение критической нагрузки подкрепленных пластин, имеющих толщины δ = 0,2 см, δ = 0,23 см, составило более 20 %, несмотря на увеличение толщины пластины. С ростом толщины подкрепленной пластины значение критической нагрузки повышается, но вместе с тем закритическое равновесие становится неустойчивым, и, соответственно, пластина получает чувствительность к начальным геометрическим несовершенствам. Существует мнение: если система теряет устойчивость в предельной точке, то такая система не чувствительна к начальным геометрическим несовершенствам. Но справедливо ли это утверждение для всех систем? Анализ послекритического равновесия подкрепленных пластин показал, что пластины с толщинами δ = 0,3 см, δ = 0,4 см без несовершенств теряли устойчивость в предельной точке без дальнейшего возникновения бифуркаций, однако падение критической нагрузки вследствие влияния несовершенств достигало величины немногим менее 20 %. При задании несовершенств для подкрепленных пластин данных толщин по форме выпучивания пластины как эйлерова стержня точки бифуркации появились на неустойчивой ветви равновесных состояний уже после прохождения предельной точки. Для пластины толщиной δ = 0,8 см падение критической нагрузки, вследствие влияния начального несовершенства по форме эйлерова стержня амплитудой 1δ, составило 10 %.

Об авторах

Гайк Александрович Мануйлов

Российский университет транспорта

Автор, ответственный за переписку.
Email: kositsyn-s@mail.ru

кандидат технических наук, доцент кафедры cтроительной механики

Российская Федерация, 127994, Москва, ул. Образцова, 9

Сергей Борисович Косицын

Российский университет транспорта

Email: kositsyn-s@mail.ru
SPIN-код: 9390-7610

советник РААСН, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики

Российская Федерация, 127994, Москва, ул. Образцова, 9

Ирина Евгеньевна Грудцына

Российский университет транспорта

Email: kositsyn-s@mail.ru

аспирант кафедры теоретической механики

Российская Федерация, 127994, Москва, ул. Образцова, 9

Список литературы