Геометрические характеристики деформированного состояния оболочек c ортогональной системой координат срединной поверхности

Полный текст

Введение1 По теории и методам расчета тонких оболочек имеется обширная литература, начиная с классических трудов Г. Арона [1] и А. Лява [2]. Большой вклад в развитие теории и методов расчета внесли Российские ученые В.З. Власов, В.В. Но- вожилов, К.Ф. Черных, А.Л. Гольденвейзер [3-8] и др. Аналитические методы расчета тонких оболочек разработаны в основном для оболочек канонических форм: оболочек вращения, цилиндрических и конических оболочек, пологих оболочек, некоторых видов торсовых оболочек. Для оболочек неканонических (сложных) форм приходится использовать численно-аналитические, а чаще всего численные методы. Наиболее используемым методом расчета пространственных конструкций в последнее время стал метод конечных элементов (МКЭ) [9-11]. На базе этого метода разработаны программные комплексы. В большинстве программных комплексов МКЭ геометрия оболочки заменяется системой плоских элементов с узлами на поверхности оболочки, в расчетах не используются геометрические характеристики срединных поверхностей оболочки. Для оболочек сложной формы это может приводить к потере точности расчета НДС конструкции. Альтернативу МКЭ может составить вариационноразностный метод (ВРМ) [11-13]. Оба метода (МКЭ и ВРМ) основаны на вариационном принципе минимума полной энергии деформаций конструкции в перемещениях [14-16]. В вариационно-разностном методе производные в функционале энергии деформаций заменяются разностными производными с использованием геометрических характеристик (коэффициентов квадратичных форм). Для вычисления геометрических характеристик в программный комплекс включается библиотека кривых и поверхностей, на основе которых формируются срединные поверхности оболочек и вычисляются необходимые геометрические характеристики. В настоящее время на кафедре сопротивления материалов и расчета на прочность департамента строительства Инженерной академии РУДН разработан программный комплекс ВРМ на базе поверхностей с координатной системой в линиях главных кривизн, и комплекс дорабатывается для расчета оболочек с ортогональной несопряженной системой поверхностных координат. 1. Методика Рассмотрим оболочки, срединная поверхность которых описывается ортогональной поверхностной системой координат, не являющихся в общем случае линиями кривизны (рис. 1). Рис. 1. Ортогональная система [Figure 1. Normal coordinate] К данному классу поверхностей относятся, в частности, нормальные циклические поверхности - поверхности, образуемые движением окружности переменного радиуса в нормальной плоскости направляющей кривой (линии центров образующих окружностей) [13; 16-18]. Известно, что все поверхности имеют систему координат - главных линий кривизны. Однако получить уравнение поверхности в линиях кривизны не всегда удается. Для нормальных циклических поверхностей это приведет к более сложным уравнениям и формулам геометрических характеристик поверхности, так как вместо окружностей системой координатных линий будут пространственные кривые. Единичные векторы касательных координатной сетки поверхности e e1 2, определяются фор- 1 ρ мулой ei  ; единичный вектор нормали к Ai αi ρ поверхности m e 3  e e1 2 . Здесь Ai  - коэф- αi фициенты 1-й квадратичной формы поверхности; ρα ,α1 2 - радиус-вектор поверхности. Для системы единичных взаимно ортогональных векторов имеем eei i  1 ; eei j   0 , и, следовательно, дифференцируя, получаем eei j ei e j  ej ei 0;  αk αk αk ei ej ej ei; ei ei  0, (1) αk αk αk i, j = 1, 2, 3; k = 1, 2. Так как порядок дифференцирования для смешанных производных по координатам j (j = 1, 2) не должен влиять на результат, то получаем   ρ    ρ  α j αi  αi α j  или   Ai ie  Aje j , α j αi откуда Ai ei  Ai ei Aj e j  Aj e j . α j α j αi αi Умножая полученное равенство скалярно на еj, еi с учетом соотношений (1), имеем αeij ej  А1i Aαij ; ei e j e j ei  1 Ai . (2)  αi  αi  Аj α j Здесь i, j = 1, 2. Вторая формула (2) получена с учетом формул (1) при k = i. Далее получим  ei e3 α j  A1i αρi e3  α j  1  2ρ    1   Ai  α αi i e3 α j  Ai Ai eei 3  k Aij j. (3) 1  2ρ  Здесь kij   α αi i e3 - кривизны и круA Ai j чение координатных линий на поверхности;  2ρ   α αi i e3 bij - коэффициенты 2-й квадратичной формы поверхности. Эти обозначения соответствуют: b11 = L, b12 = M; b22 = N; k11 L A/ 12  k1; k22  N / A12  k2 , k12 = M / АB. Коэффициенты квадратичных форм отвечают условиям Гаусса - Кодацци [10]: ki Aj  k Aj j  1  k A2, 12 i αi αi Ai α j   1 Aj     1 Ai   AiAj k ki j  k122  , (4)   αi  Ai αi  α j  Aj α j  i, j = 1, 2, i ≠ j. Для общей ортогональной системы координат k12 ≠0 кривизны координатных линий k1, k2 не являются главными кривизнами поверхности. Для по- верхности в линиях кривизны k12 = 0. Обозначим:  ei ej  А1i Aαij  pi; α j  ei e j e j ei pj; αi  αi   e1 m   me1  k A1 1  q1;  α1   α1   e1 m   m e1  k12 2А  t1;   α2   α2   e2 m   me2   k12 1A  t2;  α1   α1   e2 m   m e2   k2 2А  q2. (5)  α2   α2  Таким образом, введены обозначения 1 Aj pi  ; qi  k Ai i; ti  k12Аj; i, j = 1, 2, i ≠ j. (6) Аi αi Введем вектор орт поверхностной системы координат  e  e e e1, 2, 3; * - транспонирование вектора (матрицы). С учетом формул (1), (2), (5), (6), получим векторно-матричную формулу дифференцирования орт поверхности: e d i e , i = 1, 2; αi  0  d1   p2 q1 p2 0 t2 q1  t2; 0   0 d2   p1  t1 p1 0 q2 t1   q2. (7) 0  2. Вывод компонентов деформаций оболочки Рассмотрим деформированную срединную по- верхность оболочки. Обозначим через u = u(1, 2) вектор упругого смещения срединной поверхности оболочки. Развернув его по осям основного триэдра (рис. 2), запишем u u1 1e u2 2e u3 3e    u  e , (8) Рис. 2. Перемещения точки срединной поверхности [Figure 2. Development of a point of middle surface] Радиус-вектор точки деформированной поверх- ности ρ%  ρ  u. (9) С учетом формул (1) - (6) получим 1 ρ%  ei  1  u    e  u d i e ρ  ( 1, 2) Ai αi Ai  αi   1  ui  u  di  1  u j  1 Ai  αi  i ei  Ai  αi  u  dij e j  1  u3  u  d3   Ai  αi  i e3  1 εi ei  γi je i e3; (10) ~ρ 1  u εi   i  u  dii   A1i αuii  A Ai1 j αAij u j  k ui 3; Ai  αi  1  u j   ωi  Ai  αi  u dij   A1i uαij  A Ai1 j αAij ui  k u12 3; A1  uα3  u  dik    A1i uα3i  k ui i  k u12 j; (11) i    i  i i, j = 1, 2; i ≠ j; k = 3, где εi - относительные деформации растяжения (сжатия) срединной поверхности оболочки в на- правлении координаты i. Параметр ωi определяет поворот касательной координатной линии (вектора ei) деформированной срединной поверхности вокруг нормали по направлению к вектору ej относительно начального положения (недеформированной поверхности). Параметр ϑi определяет вращение векторов ei, e3 в нормальной плоскости к вектору ej. Суммируя 1, 2, получаем деформацию сдвига деформированной срединной поверхности оболочки: ε12  ε3  ω1  ω2  1 u2  1 A1 u1  A1 α1 A A1 2 α2  1 u1  1 A2 u2  2k u12 3  A2 α2 A A1 2 α1  A1   u1   A2   u2   2k u12 3. (12)   A2 α2  A1  A1 α1  A2  Полуразность параметров ω1, ω2 определяет угол поворота орт деформированной срединной поверхности оболочки вокруг нормали e3 (положи- тельный угол вращения против часовой стрелки): ω3  ω1  ω2   2 2u  Au1 1 . (13) 1 1  A 2 2A A1 2  α1 α2  По аналогии с вектором перемещений введем вектор углов поворота координатной системы деформированной срединной поверхности оболочки относительно начальной координатной системы срединной поверхности (положительное вращение против часовой стрелки). θ θ1 1e  θ2 2e  θ3 3e    θ  e ,  θ  θ ,θ ,θ , ,1 2 3  (14) где θ1 = -ϑ2; θ2 = ϑ1 или ωi   1ij , i, j = 1, 2; i ≠ j; θ3 = ω3. Учитывая параметры вращения векторов исходной координатной системы срединной поверхности при деформировании, получим векторы касательных и нормали к деформированной срединной поверхности: e e%i  i  ωi je ie3, i, j = 1, 2; e%3 1 1e 2 2e e3. (15) Рис. 3. Геометрия срединной и параллельной поверхностей [Figure 3. Geometry of middle and parallel surfaces] Формулы (11), (12) определяют деформации срединной поверхности оболочки. Отметим, что формулы деформаций срединной поверхности оболочки с произвольной ортогональной системой координат отличаются от формул оболочки в линиях кривизны только в деформациях сдвига - учитывается влияние кривизны кручения срединной поверхности k12. Для получения деформаций в произвольной точке оболочки рассмотрим геометрию и перемещения точек поверхности параллельной срединной поверхности оболочки, отстоящей от срединной поверхности на величину z (z = {-h / 2 ÷ h / 2}) (рис. 3). ρz α ,α1 2  ρα ,α1 2  z e3; (16) ρz αi  Ai ie  z q i ie  t jej   Ai 1 zki ei  zk12e j ; Aiz  Аi 1 zki ; (17) F z  zk12A Ai j 1 zk1  1 zk2  2zk12A Ai j  0; eiz  Aiz 1 zk1ei  zk12e j   ei  zk12e j; (18) Ai e eiz zj   2zk122  0 - координатная система поверхности параллельной срединной поверхности оболочки не в линиях кривизны, не ортогональна. emz e3z ei zk12e j e j zk12ei  em. Кривизна параллельной поверхности определяется формулой Riz  Ri  z, kiz  R1iz  Ri1 z  1kk zi i . (19) Пусть смещение точки параллельной поверхности определяется вектором uz  u1 1ze  u2 2ze  u3 3ze . (20) Согласно теории оболочек, основанной на гипо- тезах Кирхгофа - Лява, точка оболочки, находящаяся на расстоянии z по нормали от точки а срединной поверхности оболочки, остается на том же расстоянии z от точки перемещения срединной поверхности аи по направлению нормали к деформированной срединной поверхности (рис. 4). Из рис. 4 следует z e3  uz  u  z e%3, откуда uz  u  z e%3  e3 или с учетом формулы (15) uz  u  z  1 1e  2 2e . (21) С учетом гипотез Кирхгофа - Лява деформации поверхности параллельной срединной поверхности изменяются по линейному закону: εiz  Aiz εi  zχi ; ; i = 1, 2; Ai ε3z  ω1z  ωzz  A1z ω1  zτ1 A2z ω2  zτ2 . (22) A1 A2 Здесь параметры χi характеризуют приращения углов поворота θi нормали к деформированной срединной поверхности вдоль координаты, перпендикулярной вектору вращения θi, - параметры изменения кривизн координатных линий при деформировании срединной поверхности:  χi   1 j A1i αωi ej   1 j  A1i ωαij AAi1 j αAij ωi k12ω3   j 1 j  1i   1  i  Ai j k12ω3 ;  Ai αi AAi j α j  χ1  1 1  1 A1 2  k12ω ;3 A1 α1 A A1 2 α2 χ2  1 2  1 A21  k12ω3. (23) A2 a2 A A1 2 α1 Параметры τ1, τ2 характеризуют кручение координатных линий при деформировании оболочки. Проводя дифференцирование перемещений параллельной поверхности (21) по аналогии с перемещениями срединной поверхности (10), получим: 1 j 1 τi   i, i, j = 1, 2; i ≠ j. (24) Ai αi A Ai j Учитывая формулы Гаусса - Кодацци (11), можно показать, что τ1k1 2ω  k12 1ε  τ2 k2 1ω  k12 2ε  τ. (25) Выводы Сравнивая формулы (11) - (13), (23) - (25) функ- ций, характеризующих деформированное состояние тонких оболочек, с сопоставимыми формулами для оболочек с ортогональной несопряженной системой координат, полученными на основе методов тензорного анализа в монографиях [6-8], отмечаем их аналогию. Отличия обнаруживаются только в принятых обозначениях. Таким образом, в статье получены формулы деформаций тонких оболочек со срединой поверхностью с ортогональной несопряженной системой координат. При выводе уравнений использовались матрично-векторные формы дифференцирования уравнения поверхности (7), что позволяет более компактно и удобно провести необходимые преобразования. Матрично-векторная форма обоснована в работе [19] при выводе уравнений равновесия тонких оболочек со срединными поверхностями в ортогональной несопряженной системе координат. Полученные формулы деформаций срединной поверхности справедливы для оболочек со срединной поверхностью в линиях кривизны - k12 = 0. Приведенные преобразования могут использоваться в учебных пособиях по теории оболочек.

Об авторах

Вячеслав Николаевич Иванов

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: i.v.ivn@mail.ru
SPIN-код: 3110-9909

доктор технических наук, профессор департамента архитектуры и строительства Инженерной академии

Российская Федерация, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Алиса Алексеевна Шмелева

Российский университет дружбы народов

Email: i.v.ivn@mail.ru

аспирант департамента строительства Инженерной академии

Российская Федерация, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Список литературы