Математическое моделирование нестационарных упругих волн напряжений в консоли с основанием (полуплоскость) при фундаментальном сейсмическом воздействии

Полный текст

Введение Импульсное воздействие характеризуется вневектора упругих перемещений вдоль осей ОХ и ОY соответственно; ρ - плотность материазапностью приложения и кратковременностью действия. В деформируемом теле при импульсном воздействии возникают возмущения различной прирола; Cp = E r(1- n2 ) - скорость продольной упру- E ды. Волны напряжений различной природы, распространяясь в деформируемом теле, взаимодейгой волны; Cs = 2r(1+ n) - скорость поперечной ствуют друг с другом, что приводит к образованию упругой волны; ν - коэффициент Пуассона; Е - новых областей возмущений, перераспределению напряжений и деформаций. После трехкратного или модуль упругости; тур тела Γ . S (S1 U S2 ) - граничный кончетырехкратного прохождения и отражения волн напряжений в теле процесс распространения возмущений становится установившимся, напряжения и деформации усредняются, тело находится в колебательном движении. Некоторые вопросы в области моделирования нестационарных динамических задач рассмотрены в работах [1-11]. В [6-9; 10] приведена информация о физической достоверности и математической точности моделирования нестационарных волн напряжений в деформируемых телах с помощью рассматриваемых численного метода, алгоритма и комплекса программ. 1. Постановка задачи Для решения задачи о моделировании нестационарных упругих волн в деформируемых областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Γ в прямоугольной декартовой системе координат XOY, Систему (1) в области, занимаемой телом Γ , следует интегрировать при начальных и граничных условиях. Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях. 2. Методика Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Чтобы выполнить динамический расчет методом конечных элементов, нужно иметь матрицу жесткости и матрицу инерции конечного элемента. Принимая во внимание определение матриц и векторов для тела Γ , записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости: HФ& + K r = r , Ф R которому в начальный момент времени t = 0 сообr r щается механическое воздействие. Предположим, что тело Γ изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях. Точные уравнения двумерной (плоское напря- Ф t =0 = Ф0 , r r Ф& = Ф& , (2) t = 0 0 где H - матрица инерции; K - матрица жесткоr женное состояние) динамической теории упругости сти; Φ - вектор узловых упругих перемещений; имеют вид Φ& - вектор узловых упругих скоростей перемещеr ∂ ∂ sx + ∂ txy ∂ = 2 ∂ ∂ r u , ∂ tyx ∂ ∂ ∂ s y 2 v ∂ + = r , ний; Φ& - вектор узловых упругих ускорений; R - x y t 2 ∂ x y t 2 вектор узловых упругих внешних сил. Для интегрирования уравнения (2) конечно- ( x, y )∈Γ , s = rC 2 e + r(C 2 - 2C 2 )e , элементным вариантом метода Галеркина привеx p x p s y дем его к следующему виду: s = rC 2 e + r(C 2 - 2C 2 )e , 2 , y p y p s x txy = rCs g xy d r r r ∂ ∂ u ε x = x , ∂ ∂ v ε y = y , ∂ ∂ ∂ ∂ u v γ xy = y + x , H Ф& + KФ = R , dt d r r ( x, y )∈( Γ∪ S ) , (1) Ф = Ф& . (3) dt где σ x , σ у и τ ху - компоненты тензора упругих Интегрируя по временной координате соотношение (3) с помощью конечноэлементного варинапряжений; ε x , ε у и γ ху - компоненты тензора анта метода Галеркина, получим двумерную явную упругих деформаций; u и v - составляющие двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек: r r r r i+1 i -1 Ф& = Ф& + DtH (- KФi + Ri ) , r r r Фi+1 = Фi + ΔtФ&i+1 , (4) где: Δt - шаг по временной координате. Система уравнений (4) для внутренних и граничных узловых точек, полученная в результате интегрирования уравнения движения теории упругости, должна давать решение, сходящееся к решению исходной системы. Шаг по временной переменной Δt ем из соотношения определяmin Dl Dt = k i Cp (i = 1, 2, 3, ..., r) , (5) Рис. 1. Постановка задачи для консоли (соотношение ширины к высоте один к десяти) с упругим основанием (полуплоскость) где Δl - длина стороны конечного элемента; r - [Figure 1. Problem statement for a console (width-to-height ratio of one to ten) with an elastic base (half-plane)] число конечных элементов. Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют производить расчеты при нестационарных волновых воздействиях на сложные системы. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык «Фортран-90». Исследуемая область разбивалась по пространственным переменным на конечные элементы первого порядка. По временной переменной исследуемая область также разбивалась на конечные элементы первого порядка. 3. Результаты Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ 0,1 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 109 кг/м3. Рассматривалась задача о воздействии плоской продольной упругой волны в виде функции Хевисайда на консоль с основанием (соотношение ширины к высоте один к десяти) (рис. 1). Начальные условия приняты нулевыми. От точки F параллельно свободной поверхности ABEFG приложено нормальное напряжение σx , которое при Рис. 2. Точки, в которых получены контурные напряжения в консоли [Figure 2. The points at which the contour voltages in the console are obtained] Рис. 3. Изменение упругого контурного напряжения sk 0 ≤ n ≤ 11 ( n = t / Δt ) изменяется линейно от 0 в точках 1 и 6 на контуре консоли во времени t / Dt до P , а при n ≥ 11 равно P ( P = s0 , s0 = 0,1 МПа (1 кгс/см2)). [Figure 3. The change of elastic contour stress sk at points 1 and 6 on the console loop in time t / Dt ] Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения sk Рис. 7. Изменение упругого контурного напряжения sk в точках 5 и 10 на контуре консоли во времени t / Dt [Figure 7. The change of elastic contour stress s в точках 2 и 7 на контуре консоли во времени t / Dt [Figure 4. The change of elastic contour stress sk at points 2 and 7 on the console loop in time t / Dt ] t > 0 k at points 5 and 10 on the console loop in time t / Dt ] Граничные условия для контура GHIA при u = v = u& = v& = 0 . Отраженные волны от контура GHIA не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 500 . Контур ABCDEFG свободен от нагрузок, кроме точки F . Решается система уравнений из 16 016 084 неизвестных. На рис. 3-7 показано изменение контурных напряжений σk t / Δt . в консоли (рис. 2) во времени Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения sk в точках 3 и 8 на контуре консоли во времени t / Dt [Figure 5. The change of elastic contour stress sk at points 3 and 8 on the console loop in time t / Dt ] Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения sk в точках 4 и 9 на контуре консоли во времени t / Dt [Figure 6. The change of elastic contour stress sk at points 4 and 9 on the console loop in time t / Dt ] Заключение Консоль (соотношение ширины к высоте один к десяти) моделируется с упругим основанием в виде упругой полуплоскости. Упругие контурные напряжения на гранях консоли являются почти зеркальным отражением друг друга, то есть антисимметричными. Консоль при сейсмическом воздействии работает как стержень переменного сечения, то есть если на одной грани - растягивающие напряжения, то на другой - сжимающие напряжения. На контурах консоли при сейсмическом воздействии в основном преобладают изгибные волны.

Об авторах

Вячеслав Кадыр оглы Мусаев

Российский университет транспорта; Мингячевирский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: musayev-vk@yandex.ru

доктор технических наук, профессор, профессор кафедры техносферной безопасности РУТ (МИИТ)

Российская Федерация, 127994, Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9; Азербайджанская Республика, AZ4500, Мингячевир, ул. Диляра Алиева

Список литературы